双曲线离心率_图文

• 所以双曲线的离心率 • 故选B.
•
已知双曲线C：x2-y2=4与直线l：
y=k(x-1)，讨论直线l与双曲线C的公共点
的个数.
•
将直线l的方程与双曲线的方程联立
，消元后转化为关于x（或y）的方程，若
是一元二次方程则可利用判别式求解.
•
y=k（x-1）
•
联立方程组 x2-y2=4，消去y得（
1-k2）x2+2k2x-k2-4=0，
【答案】(1)B (2)D (3)B
2、 若椭圆 则双曲线
的离心率为 , 的离心率为_______
[答案] D
[答案] D
答案：D
(2009·湖南，12)已知以双曲线C的两个焦 点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中， 有一个内角为60°，则双曲线C的离心率 为________．
解析：如图，∵c＞b，∴∠B1F1B2＝60°
x y
• 误区警示
1．注意双曲线的几何量a、b、c关系是c2＝a2 ＋b2应与椭圆区别．离心率e的取值范围是 e>1.
2．在双曲线有关计算和证明中，要分清焦点在 哪个轴上，不知道焦点位置时要分类讨论， 或直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)， 据方程判断焦点的位置时，也要注意与椭圆 的区别．椭圆看a与b的大小，双曲线看x2、y2 系数的正负．
• [解析] 因为满足条件的动点在底面 ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为 轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面
[答案] C
[答案] A
[答案] 2
• 6．中心在原点，焦点在x轴上的一个椭
圆与一双曲线有共同的焦点F1、F2，且
|F1F2|＝2
，椭圆的长半轴长比双
曲线实半轴长大4，离心率之比为3 7.
[答案] D
[答案] D
[答案] C
[答案] B
[答案] B
• 2．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 当动点M在底面ABCD内运动时，总有： D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨 迹是( )上的一段弧．( )
• A．圆
B．椭圆
• C．双曲线 D．抛物线
• [答案] A
[答案] B
[答案] C
• 4．(2010·湖南长沙雅礼中学)过双曲线
2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线 于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线 有( )
• A．4条 D．1条
B．3条
C．2条
• [答案] B
• [解析] 过双曲线右焦点作直线l交双曲线 于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲 线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4
即3a2＞2c2,
.
∴离心率e= ∈(1, ).
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答案：C
答案：C
[答案] C
• (理)(2010·深圳市调研)若双曲线过点(m ，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x， 则双曲线的焦点
•( ) • A．在x轴上 • B．在y轴上 • C．在x轴或y轴上 • D．无法判断是否在坐标轴上
（*）
• （1）当1-k2=0，即k=±1时，方程（*） 化为2x=5，方程组一解.故直线与双曲线 有一个公共点，此时直线与渐近线平行.
• （2）当1-k2≠0，即k≠±1时：
• ①由Δ=4(4-3k2)>0，得
，且
k≠±1时，方程组有两解，故直线与双曲线
有两个公共点.
• ②由Δ=4（4-3k2）=0，得
(A)(1,8]. (B)(1, ].
(C)( , ). (D)(2,3].
【解析】(1)(法一)由题意得F2的坐标为( ,0),点P的坐标为( ,4),所
以|PF1|=2
=6,|PF2|=4,a= =1,b2=c2-a2=1,
所以双曲线的方程为x2- =1.
(法二)由题意可得F2的坐标为( ,0),点P的坐标为( ,4).
3．解决与双曲线上的点有关问题时，有时候还 要区分点在哪支上．
• 已知sinθ＋cosθ＝ ，双曲线x2sinθ＋ y2cosθ＝1的焦点在y轴上，则双曲线C的 离心率e＝________.
离心率
• 1.下列曲线中离心率为 的是（ B ）
• A.
B.
• C.
D.
•
若e= 则
所以
•即
结合选项得选B.
• (1)求这两条曲线的方程；
• (2)若P为这两条曲线的一个交点，求 cos∠F1PF2的值．
(2009·宁夏银川一模)已知双曲线
(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若 在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝ 3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为 ()
• 变式3.已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若
过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一
.
•
因为∠AOB=120 ∠AOF=60
∠AFO=30 c=2a，所以e= =2.填2.
•
本小题考查双曲线的定义、几何性质
及三角形有关知识等，考查数形结合能力.
答案：D
答案：C
答案：C
(3)(广东省高州长坡中学2011届高三年级12月月考)点P是双曲线 =1(a>0,b>0)左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M为线段FP的中 点,且M到坐标原点的距离为 c,则双曲线的离心率e范围是 ( )
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• 重点难点
• 重点：双曲线定义、标准方程与几何性质 ．
• 难点：双曲线几何性质的应用和求双曲线 方程．
• 知识归纳 • 1．双曲线的定义 • 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝
对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线．
• 2．双曲线的标准方程与几何性质
•
熟练掌握双曲线的定义及几何性
质，借助数形结合及正余弦定理能很好的
解决与焦点有关的三角形问题，涉及考查
双曲线的离心率比较常见，需注意e>1.
•
设△ABC为等腰三角形，
∠ABC=120°,则以A、B为焦点且过点C的
双曲线的离心率为（ B ）
• A.
B.
C.
D.
•
设
∠ABC=120°,由余
弦定理得
• 又因为双曲线以A、B为焦点且过点C，则
• 3.设F1和F2为双曲线
(a＞0,b＞0)
的两个焦点,若F1、F2、P（0，2b）是正三角
形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ B ）
• A.
B.2
• C.
D.3
•
结合图象易得
3c2=4b2=4（c2-a2）,则
则 故选B.
• 4.若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线
的顶点是椭圆
短轴端点，且该双
时，方
程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共
点，此时直线与双曲线相切.
• ③由Δ=4(4-3k2)<0，得
或
• 时，方程组无解，故直线与双曲线无公共点.
• 综上所述，当k=±1或 双曲线只有一个公共点；
时，直线与
•当
或-1<k<1，或
• 时，直线与双曲线有两个公共点；
•当
或
公共点.
时，直线与双曲线无
曲线的离心率与此椭圆的离心率的乘积为1
短轴端点坐标为
(0,±1)，离心率e= ，所以所求双曲线
的离心率为 ，顶点坐标为（0，±1），
即实半轴长a=1，所以该双曲线的方程为y2-
x2=1，填y2-x2=1.
• 易错点：应判断双曲线焦点所在的位置 ，设出标准方程，注意双曲线方程中的a、 b、c的关系与椭圆方程中的a、b、c的关系 加以区别.
•
在解决直线与双曲线位置关系
的问题时，对消元后方程的二次项系
数是否为零分类讨论，并结合图形，
利用数形结合来分析各种情况，以防
漏解.
• 2.(2009·湖南卷)过双曲线C：
(a＞
0,b＞0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切
线，切点分别为A、B，若∠AOB=120°（
O是坐标原点），则双曲线C的离心率为 2
个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
• 答案：C
双曲线C：
（a＞0,b＞0）的右顶点A，x轴上
有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使AP，PQ=0，
求此双曲线离心率的取值范围.
设P点坐标为(x,y),则由AP·PQ=0，得AP⊥PQ，
则P点在以AQ为直径的圆上，
即
.
①
又P点在双曲线上，得
.②
由①②消去y，得
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（a2+b2）x2-3a2x+2a4-a2b2=0. 即［(a2+b2)x-(2a3-ab2)］(x-a)=0. 当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去.
当x=
时,满足题意的P点存在,
需x=
＞a,化简得a2＞2b2,
设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),则有
,解得 .
故双曲线的方程为x2- =1.
(2)由题意可得 = ,c2=a2+b2,所以 = . (3)设双曲线的左焦点为F'与坐标原点为O,连结PF',则|OM|= c,又因 为M是线段FP的中点,所以|PF'|=2|OM|=2× c= ,而|PF'|≥c-a,即 ≥c-a得 ≤a,得 ≤ ,即e≤ ,又e>1,故1<e≤ .
•