湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(精品解析)
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解：，故，，，在第二象限，故选：B．将复数的分子分母同乘以，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即．故选：D．根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．3.曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为A. B. C. D.【答案】D故曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为，故选：D．求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线与直线及围成的封闭图形的面积，即可求得结论本题考查导数知识的运用，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．4.若，则关于x、y的方程所表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在y轴上的双曲线D. 焦点在x轴上的双曲线【答案】C【解析】解：，可得，，关于x、y的方程所表示的曲线是：焦点在y轴上的双曲线．故选：C．利用K的范围，判断二次方程的形式，即可推出结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．5.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有y，，则，，是P，A，B，C四点共面的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：若P，A，B，C四点共面，则满足，则，，不一定成立，即必要性不成立．若，，，则满足，则P，A，B，C四点共面，即充分性成立，故，，是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键．6.已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为A. 5B. 7C. 13D. 15【答案】B【解析】解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，所以根据椭圆的定义可得：，故选：B．由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．7.给出下列命题：已知，则；、B、M、N为空间四点，若不构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面；已知，则与任何向量不构成空间的一个基底；已知是空间的一个基底，则基向量可以与向量构成空间另一个基底．正确命题个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：若，则，故，故正确．若不构成空间的一个基底，则这3个向量共面，故A、B、M、N共面，故正确．当时，若与这3个向量不共面，则构成空间的一个基底，故不正确．若是空间的一个基底，设，则与这3个向量不共面，故构成空间的另一个基底，故正确．综上，正确，不正确．故选：C．对于，由条件可得，把等式的左边展开化简可得它和灯饰的右边相等，故正确．对于，由条件可得这3个向量共面，故A、B、M、N共面，故正确．对于，若与这3个向量不共面，则构成空间的一个基底，故不正确．对于，由条件可得与这3个向量不共面，能构成空间的另一个基底，故正确．本题主要考查空间向量基本定理及其意义，三个向量能构成空间的基底的条件是，这三个向量不共面．8.已知命题p：，，命题q：，，则下列命题中为真命题的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】C【解析】解：命题p：，，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由，化为：，解得，，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是￢，故选：C．命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由，化为：，解得，，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.命题“数列前n项和是的形式，则数列为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】C【解析】解：命题“数列前n项和是的形式，则数列为等差数列”是真命题，故逆否命题也是真命题；逆命题“若数列为等差数列，则数列前n项和是的形式”为真命题，故否命题也是真命题，故选：C．根据等差数列的前n项和是的形式，逐一分析原命题的逆命题，否命题，逆否命题的真假，可得答案．本题以命题的真假判断应用为载体，考查了四种命题，等差数列的性质等知识点，难度中档．10.某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图，社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域随机用一种颜色的花卉，且相邻区域用公共边的所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有A. 96B. 114C. 168D. 240【答案】C【解析】解：根据题意，分4步进行分析：对于e区域，有4种花卉可选，即有4种情况，对于c区域，与e区域相邻，有3种情况，对于d区域，与e、c区域相邻，有2种情况，对于a、b区域，分2种情况讨论：若其与d区域种植的相同，则b区域有3种花卉可选，即有3种情况，此时a、b区域有种情况，若a区域与d区域种植的步相同，则a区域有2种情况，b区域有2种情况，此时a、b区域有种情况，则a、b区域共有种情况，则不同种植方法的种数共有种；故选：C．根据题意，依次分析e、c、d以及a、b区域的选择情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况．11. 已知函数若关于x 的函数 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是A.B.C.D.【答案】D 【解析】解： 函数， 作出 的简图，如图所示：由图象可得当 在 上任意取一个值时，都有四个不同的x 与 的值对应．再结合题中函数 有8个不同的零点， 可得关于k 的方程 有两个不同的实数根 、 ，且 ， ．应有，解得， 故选：D ．方程 有8个不同实数解，即要求对应于 等于某个常数k ，有2个不同的k ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出 的简图：由图可知，只有满足条件的k 在开区间 时符合题意 再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案． 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解 数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）12. 如图，圆O ： 内的正弦曲线 与x 轴围成的区域记为 图中阴影部分 ，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______． 【答案】【解析】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线 与x 轴围成的区域记为M ，面积为由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率故答案为：先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线与x轴围成的区域记为M 的面积为，代入几何概率的计算公式可求本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题，具有一定的综合性，但难度不大．13.有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，则共有______种不同的排列方法．【答案】840【解析】解：根据题意，设出甲乙丙之外的4人为A、B、C、D，由于甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，先将三人的顺序确定，三人排好后，包括两端有4个空位，对于A，可以在4个空位中任选1个，有4种情况，4人排好后，包括两端有5个空位，对于B、可以在5个空位中任选1个，有5种情况，5人排好后，包括两端有6个空位，对于C、可以在6个空位中任选1个，有6种情况，6人排好后，包括两端有7个空位，对于D、可以在7个空位中任选1个，有7种情况；则一共有种不同的排法；故答案为：840．根据题意，设出甲乙丙之外的4人为A、B、C、D，先排好甲乙丙三人，依次分析A、B、C、D四人的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合及简单计数原理的应用，注意甲、乙、丙三人从左至右的顺序一定，但三人可以相邻也可以不相邻．14.已知，，，其中，，为单位正交基底，若，，共同作用在一个物体上，使物体从点移到点1，，则合力所作的功为______．【答案】14【解析】解：，，，其中，，为单位正交基底，若，，共同作用在一个物体上，和向量1，又在合力作用下物体从点移到点1，，3，则合力所作的功为14故答案为14由题设条件，欲求合力所做的功，要求出合力对应的向量，以及在合力作用下物体运动的位移，再利用数量积公式求出数量积的值即可求出合力所作的功，本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，解题的关键是求出合力对应的向量以及在合力作用下物体移动的位移，然后利用数量积公式求出数量积，注意本题中物理与数学结合的方式，近几年高考题中跨学科的题分量逐年加重，注意总结此类题的作题经验与切入点．15.已知双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为，则的最小值为______．【答案】由双曲线，得，，，则，则，，，则，连接交双曲线右支于P，则此时最小等于，的坐标为，，，的最小值为．故答案为：．由双曲线方程求出a及c的值，利用双曲线定义把转化为，连接交双曲线右支于P，则此时最小等于，由两点间的距离公式求出，则的最小值可求．本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．【答案】【解析】解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，得再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而得出．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题17.已知函数，，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：求导函数，可得，，，，，在上单调递增，，如果存在，使得对任意的，都有成立，，故答案为求导函数，分别求出函数的最小值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）18.某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩均为整数分成六组，，后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：Ⅰ求成绩落在上的频率，并补全这个频率分布直方图；Ⅱ估计这次考试的及格率分及以上为及格和平均分；Ⅲ为调查某项指标，从成绩在～分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段组的概率．【答案】解Ⅰ成绩落在上的频率是，频率分布直方图如下图．Ⅱ估计这次考试的及格率分及以上为及格为平均分：，Ⅲ成绩是～分A组有人，成绩在～分B组有人，按分层抽样A组抽2人记为a，b，B组抽4人记为1，2，3，从这6人中抽2人有a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，ab共15种选法．两人来自同一组有12，13，14，23，24，34，ab有7种选法．所以两人来自同一组的概率为【解析】Ⅰ根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在上的频率，从而补全频率分步直方图．Ⅱ先根据频率分布直方图，用1减去成绩落在，上的频率，即可得到这次考试的及格率，并求出平均分．Ⅲ分别求得成绩落在区间、上的人数，即可求得他们在同一分数段的概率．本题主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于中档题．19.已知p：，；q：函数有两个零点．若为假命题，求实数m的取值范围；若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：若p为真，令，问题转化为求函数的最小值，，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增，故，故，若q为真，则，或．若为假命题，则p，q均为假命题，实数m的取值范围为．若为真命题，为假命题，则p，q一真一假．若p真q假，则实数m满足，即；若p假q真，则实数m满足或，即．综上所述，实数m的取值范围为，．【解析】分别求出p，q为真时的m的范围，再判断出为假命题时的m的范围即可；通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．20.如图，在直三棱柱中，，，，点D是BC的中点．求证：面；求直线与平面所成角的余弦值．【答案】证明：如图，以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，0，，1，，0，，2，，，，设平面的法向量为，由取，得，，平面的法向量为由此可得，，又平面，面．解：，设直线与平面所成角为，则，又为锐角，直线与平面所成角的余弦值为．【解析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，即可证明面；求出：，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的余弦值．本题考查线面平行，考查直线与平面所成角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确运用向量法是关键，属于中档题．21.已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆上．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ由题意，设所求椭圆方程为．又点在椭圆上，可得．则所求椭圆方程为；Ⅱ由Ⅰ知，，所以，椭圆右焦点为．则直线AB的方程为由可得由于直线AB过椭圆右焦点，可知．设，，则，，．所以．由，即，可得，即．所以直线l的方程为【解析】Ⅰ由题意，设所求椭圆方程为，代入已知点，即可得到b，进而得到椭圆方程；Ⅱ设出直线AB的方程为，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的数量积坐标公式，化简整理，解方程，即可得到k，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，以及平面向量的数量积的坐标公式，考查化简整理和运算能力，属于中档题．22.设a为实数，函数，．求的单调区间与极值；求证：当且时，．【答案】解：解：由，，知，，，令，得，于是，当x变化时，和的变化情况如下表：故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，极小值为．证明：设，，于是，．由知，对任意，都有，所以在R内单调递增．于是，当时，对任意，都有，而，从而对任意，都有，即，故．【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．23.设函数．求f的单调区间；若，k为整数，且当时，，求k的最大值．【答案】解：的定义域为R，，若，则，在R上单调递增；若，则解得．当x变化时，，变化如下表：减极小值增所以，的单调减区间是：，增区间是：．由于，所以．故当时，等价于，令，则，而函数在上单调递增，，，所以在存在唯一的零点．故在存在唯一的零点．设此零点为a，则．当时，；当时，．所以在的最小值为．又由，可得，所以．由于式等价于，故整数k的最大值为2．【解析】分类讨论，利用导数的正负，可求的单调区间；当时，等价于，令，求最值，即可求k的最大值．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导、确定函数的单调性是关键．。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(理科)一、选择题。
1.设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A. 1B. 12-C.12D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2.已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A. [2,1][1,2]--UB. []1,2C. []0,3D. []1,8-【答案】D 【解析】 【分析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样.【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A.3B. 3-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=3.【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (.1)-∞- B. (3,)-+∞C. (13)-， D. ()3.1-【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5.已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D.31. 74%【答案】B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=.【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ） A. 2- B. 2C. 23-D.23【答案】D 【解析】【分析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31xf x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆.8.函数()cos x f x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A. 0B. 1-C. 1【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.512π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B.【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10.已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ） A. 3812π- B. 44π+ C. 3412π+D.3412π- 【答案】C 【解析】 【分析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出2101(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：0023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，由积分的几何意义得：1(),4f x dx π==⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力.11.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. 2-和0 B. 0 和1C. 1±D. 2±【答案】A 【解析】 由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x =,因此ππsin()1π()36k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A. 点睛：求函数解析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴12.已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725B.925C.1625D.2425【答案】B 【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=. 点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D.()()0f b g a <<【答案】A 【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。
2019学年湖南长郡中学高二下第一次检测理数学卷【含答案及解析】
2019学年湖南长郡中学高二下第一次检测理数学卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________、选择题1. 已知集合 '： .，「―门3 ，若V •，则实数J 的值为（ ）A . 1 ______________________B . 2 _____________C . 4___________________ D . 1 或 2 (1 + /1+J-1 + j4.下列叙述中正确的是（）A •若仇R ，则“加一驻+亡工0 "的充分条件是"方—4峦€0 ”B .若a t b t ceR ，则“初】 ”的充要条件是“口兀 ”C .命题“对任意.…，有…-”的否定是“存在 "：•,有-_ ,D . 是一条直线， 是两个平面，若〔一仁丄於，则 .5.若一•- ，则下列结论不正确的是（）n hA - ?'■ ------------B .，冷：U L ----------------------C - _ '；：2. 已知-是虚数单位，则3.曲线的参数方程为A •线段 D.射线+ 2厶、， 、r（三是参数），则曲线是.双曲线的一支.圆D.同6. 设抛物线| 的焦点为丁，准线为,「为抛物线上一点，,；和I.匸为垂足，如果直线■.-的斜率为"，那么卜打（）A.叮; ------------- B . 8 ------------------------------ C —— J；-----------------------------------D. 167. 禾忧一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形…；…是边长为1的正方形，，且|平面…,，，［，则球体毛坯体积的最小值应为（）A -•fl/TB C~T~卡mD.二Tf8. 已知「- 为.-上的连续可导函数，且讣」，则函数- ■■的零点个数为（）A. 0 _________ B . 1 _____________ C . 2 ________________________ D .不能确疋9. 已知貞3打是球面上的五个点，其中厶在同一圆周上，若.不在:'■■■-所在的圆周上，则从这五个点的任意两点的连线中取出2条，这两条直线是异面直线的概率是（）1 3 、A. - ________ B . - ____________ C . — _____________$ $ 15D.—1510. 已知集合F H，在集合中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记这个三位数为.■，现将组成.■的三个数字按从小到大排成的三位数记为-•，按从大到小排成的三位数记为• ‘ （例如:-，，则「1.'），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出.的值为（）M ) *r=A/输单［卵:船］A. 792 _______________ B . 693 ___________ C . 594 ______________ D . 49511. 已知J「为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，以.•为圆心，『耳|为半径的圆与以 F 为圆心，此斤|为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（）A •乜 ___________B . 2 ______________________C . 3 ___________D . 412. 已知『"：，八：一- 丁，对任意的广” I ，存在实数T —1 T满足I • ■' ；■，使得.，/ / I . ，- I .：,则的最大值为（）A . 2 ______________________B . 3 _____________________C . 4 ________________ D. 5二、填空题13. 已知随机变量，若尸（,5>4）= 04 ，贝HO2 _____________________ .14. 若•一：的展开式所有的系数之和为81,则直线与曲线I 所围T成的封闭区域面积为__________ .15. 已知双曲线：的离心率为2,左、右焦点为，点在.上，若|F r^|=2|F r i|，则心乙砂= _______________________ .16. 已知口b =丄d■&匸（0 I），贝V —-——+ —-—的最小值为________「，' 1-/7 }~h三、解答题17. 已知点：「满足•，，I ….且点：的坐标为1一临U 1）.（1 ）求过点' -的直线的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于，点：都在（1 ）中的直线上.18. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30名女20名），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表：（单位：人）（2 ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为-，求的分布列及数学期望T I .附表及公式19. 如图，在三棱椎一圧「一工严二中，侧棱：底面二.，分别是线段-，钉的中点，过线段的中点，•作—的平行线，分别交，：于点….（2）求二面角兀—m —\：的余弦值.20. 如图，已知椭圆，:—…'的右焦点为；，点」分别是椭圆【的上、4下顶点，点.•是直线；上的一个动点（与-轴交点除外），直线厂：交椭圆于另一点■「.（1）当直线• W过椭圆的右焦点.■时，求- .■ . ' /的面积；（2）记直线■成.肢-的斜率分别为• ，求证：.m,为定值.21. 已知函数，I I：」-'I . 在其定义域内有两个不同的极值点•（1 ）求.的取值范围；（2）记两个极值点分别为,且，已知，若不等式「"丁•■:■坊恒成立，求一，的范围•22. 如图，.•是圆夕卜一点，—.是切线，1为切点，割线与圆■:相交于点•’・，- - ，「为「的中点， /的延长线交圆丿于点参考答案及解析第1题【答案】证明：（1）」-—; （2） 丫厂疔厂一、可】. 23. 在直角坐标系 ，：：「中，以原点为：极点，以 轴正半轴为极轴，圆：的极 ..' -、 "-■ ■-—. ＜的极坐标方程化为直角坐标方程； 坐标方程为 (1) 将圆 过点 克m 作斜率为i 直线 与圆交于两点，试求一 的 24. 已知函数 /（A'）'|-V-^| + |.V-1 . （1 ）当•.=；时，求不等式」 的解集；（2）若，• 对 … 恒成立，求实数■的取值范围I)【解析】趣井析：宙题盍,ff(?:-3a + 5 = l或日：一% + 5 =鼻且应：一3 口+5于0 ,凰卩农「一3口+ 4 = 0或口、一3卫+丄=0且灯：一2c工0 , J?得疔=1或灯=*!;故选D.第2题【答案】* I【解析】试题分析：由题鼠得亡1=丄一丄=—归©= 土L ,故选c.l+r 1 + : 14? 2 2第3题【答案】【解析】r v>2祇盼析：由題意，得A-V = 5 ,且,即该曲线是一条射线；敌选D.第4题【答案】j【解析】趣井析：在一亍+2工一1中，满足护一4白c竺0 ,当一F+2工一1工0不恒竝，故踽知当0=0 吋』由心不能得到>cb2*故0错貝命题作姙意十"，有,->0 "的否走是肆存在X E J? , .V2 < 0 W ,故匚错读由线面的垂直关系和面面平行的判定，可知选项证确；故曲.第5题【答案】第8题【答案】第7题【答案】【加试题分析：当四極锥为球的内接四核槪寸，球体毛坯体积最小，而四極键尸-肿B 是棱长为1的正方 体的一韶分，即该四棱锥的外接球即為正方体的外接球，则2£ =石，R=— , Wig 球体毛坯体积? 为r = -^x （—）J =-^ 刁故选D -■FM【解析】 【解析】试题分折：因为丄,a b£ 0所以，ZO $则（7* < ab<b~ p 且a + bvO ,故选项直、口、匚正确p 而g|*|®=（白4刿,改噹误』敬选九第6题【答案】 B【解析】试题井析；设叽均则,则去*2*2,则 |PFp%8 ;故选B.试题分析：因,所•则矗刃=讥工尸心》0)在(Q+©为增函数I且如七如1 ,即函数黑(幼=识町町(2。
湖南省长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(理)
湖南省长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试（理）时量:120分钟满分:100分一、选择题(每小题3分，共45分)1.设集合A={}{}21,2,3,3410B x x mx =-+=.若A B ={1}.则m =( )A.1B. 12-C. 12D.一1 ★2.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[0.3]，则函数y =f (x )的定义域为( ) A. [2,1][1,2]-- B. [1.2] C. [0.3] D.[一1.8]3.在平面直角坐标系x O y 中.角α与角β均以O x 为始边.它们的终边关于y 轴对称.若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=( )A.3 B. 3- C. 13 D. 13- 4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取 值范围是( )A. (.1)-∞-B. (3,)-+∞C.(一1，3)D.(一3.1) 5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(1，32).从中随机取一件.其长度误差落在区间(4，7)内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()P μσξμσ-<<+=68.26%，(22)P μσξμσ-<<+=95.44%)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D. 31. 74%6.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -2)=f (x +2)，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则f (9)=( )A. 2-B. 2C. 23-D. 23★7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为( )A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 8.函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为( )A. 0B.一1C. 1D.29.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则ϕ的最小值为( ) A.12πB.512π C. 6πD. 56π 10.已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=( )A.3812π- B. 44π+ C. 3412π+ D. 3412π- 11若函数()sin(2)f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()()3f x f x π+=-，2()13f π=-，则实数b 的值为( )A. -2或0B. 0或1C. 1±D. 2± 12.已知3tan()44πα+=，则2cos ()4πα-=( ) A.725 B. 925 C. 1625 D. 242513.设函数2()24,()ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数a ，b 分别是 f (x )、g (x )的零点，则( )A. g (a )<0<f (b )B. f (b )<0<g (a )C.0<g (a )<f (b )D. f (b )<g (a )<0 14.已知函数1()2(0)2xf x x =-<与()2()log x a g x +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A. (,-∞B. (,-∞C. (-∞D. ()2- 15.已知函数()ln (1)22f x x a x a =+-+-，若不等式f (x )>0的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( )A. (1ln 3,0]-B. (1ln3,2ln 2]-C. (0,1ln 2]-D. (1ln3,1ln 2]-- 二、填空题(每小题3分。
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)开学数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为（）A．2，B．4，3C．4，D．2，13．（5分）若复数z＝（a+i）2（a∈R）在复平面内对应的点在y轴上，则|z|＝（）A．1B．3C．2D．44．（5分）在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，则x≤1的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线（m＞0）渐近线方程为y＝±x，则m的值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．27．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4B．9C．10D．128．（5分）已知函数f（x）＝若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．（2，3）D．[，3）9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2B．﹣1C．1D．010．（5分）设p：f（x）＝x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；，则p 是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对11．（5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣12．（5分）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•＝2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13．（5分）幂函数y＝x a在其图象上点（2，16）处的切线方程为．14．（5分）函数f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．15．（5分）已知非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），则与的夹角为．16．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE 的外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝45°，求四面体F﹣DBC的体积．19．（12分）某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第x周）和市场占有率（y%）的几组相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x；（Ⅱ）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%（最后结果精确到整数）．参考公式：＝，＝﹣．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F 2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值．21．（12分）已知f（x）＝（a≠0，且a为常数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝，在区间（1，+∞）内，存在x1，x2，且x1≠x2时，使不等式|f（x1）﹣f （x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（l）求f（x）≥1的解集；（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t）．求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5＝2×5＝10．∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：′＝[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）]＝[3×（x1+x2+…+x5）﹣10]＝4，S′2＝×[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]，＝×[（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]＝9×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]＝3．故选：B．3．【解答】解：复数z＝（a+i）2＝a2﹣1+2ai（a∈R），由复数z＝（a+i）2（a∈R）在复平面内的对应点在y轴上，可得a2﹣1＝0，2a≠0，解得a＝±1．则|z|＝2．故选：C．4．【解答】解：∵在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，∴x≤1的概率P＝＝，故选：A．5．【解答】解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y＝±x，由渐近线方程为y＝±x，可得＝，可得m＝3，故选：C．6．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD＝，PD＝＝．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．7．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．8．【解答】解：∵数列{a n}是递增数列，又∵f（x）＝，a n＝f（n）（n∈N*），∴3﹣a＞0，且a＞1且f（10）＜f（11）∴10（3﹣a）﹣6＜a2解得a＜﹣12，或a＞2故实数a的取值范围是（2，3），故选：C．9．【解答】解：当i＝1时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝2；当i＝2时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝3；当i＝3时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝4；…当i＝2n﹣1（n∈Z）时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝2n；当i＝2n（n∈Z）时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝2n+1；…当i＝2018时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝2019；当i＝2019时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为1，故选：C．10．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣2x2+mx+1，所以f′（x）＝3x2﹣4x+m，由f（x）＝x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，即f′（x）＝3x2﹣4x+m≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，即△＝16﹣12m≤0，解得：m，即p：m，则p是q的必要不充分条件，故选：C．11．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．12．【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有y1•y2＝﹣m，∵•＝2，∴x1•x2+y1•y2＝2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2＝﹣2，故m＝2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，＝．当且仅当，即时，取“＝”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13．【解答】解：把点（2，16）代入幂函数y＝x a中，得2a＝16，解得a＝4，∴幂函数为y＝x4；求函数的导数为y′＝4x3，令x＝2，得切线斜率为k＝4×23＝32，所以过函数图象上点（2，16）处的切线方程为y﹣16＝32（x﹣2），即为y＝32x﹣48．故答案为：y＝32x﹣48．14．【解答】解：f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）＝1﹣2sin2x+6sin x＝﹣2sin2x+6sin x+1．令t＝sin x，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y＝，∴当t＝1时，y有最大值为．故答案为：5．15．【解答】解：∵非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），设与的夹角为θ，则•（2+）＝2+＝2+||•4||•cosθ＝0，∴cosθ＝﹣，∴θ＝，故答案为：．16．【解答】解：∵∠DAB＝60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD＝OE＝OC＝在直角△POD中：OP2＝PD2﹣OD2＝OP＝∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P＝O'D设O'P＝O'D＝R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2＝O'D2（OP﹣O'P）2+OD2＝O'D2（﹣R）2+（）2＝R2，R＝∴体积为πR3＝故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）公差d不为零的等差数列{a n}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为a1＝d，又a1+d＝4，可得a1＝d＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）＝2n+4n，则前n项和T n＝（2+4+…+2n）+（4+16+…+4n）＝•n（2+2n）+＝n2+n+．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA＝DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF＝D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA＝DB＝DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA＝EB＝EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝2，DE＝2，∴S△FBC＝＝2，∴四面体F﹣DBC的体积V F﹣DBC＝V D﹣FBC＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）由题中的数据可知：＝（1+2+3+4+5）＝3，＝（0.03+0.06+0.1+0.14+0.17）＝0.1则＝＝0.036＝﹣＝﹣0.008所以y关于x的线性回归方程：＝0.036x﹣0.008（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝0.036x﹣0.008＞0.40，解得x＞11.3，所以自上市起经过12个周，该款旗舰机型市场占有率能超过0.40%20．【解答】解：（I）由题意知，4a＝8，所以a＝2．因为e＝，所以c＝1，则b＝．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2x+4k2﹣12＝0，△＝64k4﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝k2+1＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，由k TA+k TB＝+＝＝，TA，TB的斜率存在，由A，B两点的直线y＝k（x﹣1），故y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），由2x1x2﹣5（x1+x2）+8＝＝0，∴k TA+k TB＝0，∴直线TA与TB的斜率之和为0，综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝（a≠0，且a为常数），∴f′（x）＝＝﹣．∴①若a＞0时，当0＜x＜1，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．即a＞0时，函数f（x）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．②若a＜0时，当0＜x＜1，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．即a＜0时，函数f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（2）由（1）知，f（x）＝在区间（1，+∞）上单调递减，不妨设x2＞x1＞1，则f（x1）＞f（x2），∴不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|可化为f（x1）﹣f（x2）≥k（lnx2﹣lnx1）．即f（x1）+klnx1≥f（x2）+klnx2，令F（x）＝f（x）+klnx，则F（x）在区间（1，+∞）上存在单调递减区间，∴F′（x）＝f′（x）+＝+＝＜0有解，即kx＜lnx（x＞1），∴k＜有解，令G（x）＝，则G′（x）＝，由G′（x）＝0得x＝e，当x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减．∴G（x）max＝G（e）＝，故k＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2＝16，即ρ＝±4．∴A、B两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ＝8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8，得到普通方程为x2﹣y2＝8．将直线代入x2﹣y2＝8，整理得．∴|MN|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|，故f（x）≥1，等价于|2x+1|﹣|2x﹣3|≥1，令2x+1＝0，解得x＝﹣，令2x﹣3＝0，解得x＝，则：不等式等价于：，或，或．解①求得x∈∅，解②求得，解③求得x．综上可得，不等式的解集为{x|}．（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max，∵函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|≤|2x+1﹣2x+3|＝4，∴f（x）max＝4．∵g（x）＝|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣x+a|＝|a+1|，故g（x）min＝|a+1|，∴|a+1|≥4，∴a+1≥4或a+1≤﹣4，求得a≥3或a≤﹣5．故所求的a的范围为{a|a≥3或a≤﹣5}．。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期3月第一次模块检测数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期3月第一次模块检测数学（理）试题一、单选题 1．已知复数()()12i i z i-++=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可求得z 的坐标得答案. 【详解】2(1)(2)3(3)13i i i i iz i i i i -++-+-+====-----Q ,z ∴在复平面内对应的点的坐标为(1,3)--,在第三象限.故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘除运算和复数的几何意义，属于基础题. 2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}{}()2451357=U A B C A B ==⋂，，，，，，，则A ．{}7B ．{}35，C ．{}1367，，，D ．{}137，， 【答案】D【解析】全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}{}2451,,3,6,7U A C A ==，，，. {}1357B =，，，.(){}1,3,7U C A B ⋂=.故选D.3．已知两个球的体积之比为8:27，那么这两个球的表面积之比为（ ） A ．2:3 B ．4:9C D ．【答案】B【解析】根据体积比等于相似比的立方,求出两个球的半径的比,表面积之比等于相似比的平方,即可求出结论. 【详解】两个球的体积之比为8:27,根据体积比等于其相似比的立方,表面积之比等于相似比的平方,所以两球的半径比为2:3,从而这两个球的表面积之比为4:9. 故选：B. 【点睛】本题考查相似比的知识，球的表面积、体积与其相似比的关系，属于基础题. 4．已知函数()sin cos f x x x =，则()f x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】A【解析】先化简函数1()sin 22f x x =,再由函数的奇偶性的定义可得选项. 【详解】()sin cos f x x x =Q ,1()sin 22f x x ∴=, 因为()f x 的定义域为R ，关于坐标原点对称， 又11()sin(2)sin 2()22f x x x f x -=-=-=-, 1()sin 22f x x ∴=是奇函数,故选：A. 【点睛】本题综合考查了二倍角公式和函数的奇偶性的定义,属于基础题.5．过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A 、B 两点，且6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．()0,2C ．(D ．(【答案】D【解析】由双曲线的通径与弦长AB 的关系,即可求得b 的取值范围.【详解】由题意过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ,B 两点,使得||6AB =,A ,B 位于双曲线的左支,当直线的斜率不存在时, AB 最短, 此时线段AB 称为双曲线的通径， 222b AB b a==，要使6AB =这样的直线有且仅有两条,则需222||6b b AB a=<=,解得06b <<,故选：D. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，关键在于理解有且只有两条直线的含义和需满足的条件，属于中档题.6．已知12,e e u r u u r 是夹角为90o 的两个单位向量，且12123,2a e e b e e =-=+r u r u u r r u r u u r ，则向量,a b r r 的夹角为 A ．120o B ．60oC ．45oD ．30o【答案】C 【解析】【详解】 由题意可得：且：()()222122113265a b e e e e e e ⋅=-⋅+=-=r r u r u u r u r u u r u r u u r ，设两向量的夹角为θ，由题意可知：2cos ,452a bb a θθ⋅==∴=⨯o r r r r .本题选择C 选项.7．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15B ．30C ．31D ．64【答案】A【解析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果. 【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-= 故选:A 【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.8．阅读下面的流程图，若输入的a ，b ，c 分别是5，2，6，则输出的a ，b ，c 分别是（ ）A ．6，5，2B ．5，2，6C ．2，5，6D ．6，2，5 【答案】A【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：5,2,6,5,6,2,5a b c x a c b =======，输出6,5,2a b c ===【考点】程序框图9．已知函数()22f x x x b =-+在区间()2,4内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ）A ．RB ．(),0-∞C ．()8,-+∞D ．()8,0-【答案】D【解析】分离参数，求得函数22y x x =-+在区间上的值域，即可容易判断. 【详解】因为函数()22f x x x b =-+在区间()2,4内有唯一零点，故22b x x =-+在区间()2,4上只有一个根.又22y x x =-+在()2,4上单调递减，其值域为()8,0-. 故要满足题意，只需()8,0b ∈-. 故选：D . 【点睛】本题考查由函数零点的范围求参数范围，属基础题.10．在ABC ∆中，已知120,1,2A b c ︒===，则a 等于（ ）A B CD 【答案】C【解析】试题分析：在ABC ∆中，由余弦定理得22202cos 14212cos1207a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =C ．【考点】余弦定理．11．已知()2a cosx dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638B ．212- C ．6316D ．638- 【答案】B 【解析】【详解】()20a cosx dx π=-⎰=20 |sinx π-=﹣1，则二项式912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为T r+1=﹣9r C •921•2rr x -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令9﹣2r=3，求得r=3， ∴展开式中x 3项的系数为﹣39C •18=﹣212-，故选B 【点睛】本题考查集合的混合运算.12．记()f n )*n ∈N 的整数，如：()11f =，()21f =，()32f =，()42f =，()52f =，…，若()()()()11114034123f f f f m ++++=L ，则正整数m 的值为（ ） A ．20162017⨯ B ．22017C ．20172018⨯D ．20182019⨯【答案】C【解析】()f n )*n ∈N 的整数，求出满足*(),f n x x N =∈的n 的个数，进而求出()f n x =时倒数和，根据已知倒数和确定()f m 对应的n ，即可求出结论. 【详解】设**11,,(),22x N n N f n x x x ∈∈=-<<+， 221144x x n x x -+<<++，则221x x n x x -+≤≤+， 故满足()f n x =的n 的值共有2x 个， 分别为2221,2,,x x x x x x -+-++L且222111122(1)(2)()x f x x f x x f x x x+++=⨯=-+-++L ， ()()()()1111403422017123f f f f m ++++==⨯L ， 所以()2017f m =是2017x =的最后一项， 所以22017201720172018m =+=⨯. 故选:C. 【点睛】本题考查数列与函数的关系，以及数列的应用，注意分组求和在解题中的运用，属于较难题.二、填空题13．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人. 【答案】100【解析】试题分析：因为按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20进行调查，已知从其他教师中抽取10人，所以从高级教师和中级教师中抽取了201010-=人，设全校共有老师x 人，则全校人数为10202030x=+，解得100x =．【考点】分层抽样的应用．14．已知0m >，0n >，且4m n +=，则mn 的最大值是__________． 【答案】4【解析】由基本不等式可得mn 2()2m n +≤=4，注意等号成立的条件即可． 【详解】∵m ＞0，n ＞0，且m +n ＝4， ∴由基本不等式可得mn 2()2m n +≤=4， 当且仅当m ＝n ＝2时，取等号， 故答案为4 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．15．若幂函数()y f x =的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25f 的值是______. 【答案】15【解析】设出幂函数()f x x α=，（α为常数），把点代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可 求()25f 的值． 【详解】设幂函数为()f x x α=，因为幂函数的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以193α=，解得：12α=-，于是所求的幂函数为：12()f x x -=，故121(25)255f -===， 故答案为：15. 【点睛】本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法，属于基础题．16．已知动点(),P x y 满足：22240(1)(1)1x y x xx y y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪+-++≥⎪⎩，则226x y x +-的最小值为______. 【答案】409-【解析】由21||0y y y y ++>+≥，可得222111x x y y y y +-≥=+-++，再由函数22()11f x x x x x=+-=++在()0∞，+上是减函数，可得出x y ≤，从而得到约束条件为240x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，作出可行域由点到直线的距离公式得到(3,0)P 到区域中点A 的距离最小，可得答案. 【详解】∵21||0y y y y ++>+≥，∴222111x x y y y y +-≥=+-++，∵函数22()11f x x x x x=+-=++在()0∞，+上是减函数，∴x y ≤，∴原不等式组化为240x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，该不等式组表示的平面区域如下图：∵()222236+9x y x y x +-=--，由点到直线的距离公式可得,(3,0)P 到区域中点A 的距离最小，由24x y x y+=⎧⎨=⎩得点44,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入点A 的坐标得222244440663339x y x ⎛⎫⎛⎫+-=+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以226x y x +-的最小值为409-. 故答案为：409-. 【点睛】本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义，属于中档题.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）．（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM V 面积的最大值．【答案】（1）26cos 8sin 210ρρθρθ-++=（2）9+【解析】（1）消去参数α，将圆C 的参数方程，转化为普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==求得圆C 的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及点到直线的距离公式，求得M 到直线AB 的距离，由此求得三角形ABM 的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），所以其普通方程为()()22344x y -++=，所以圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=. （2）点(),M x y 到直线AB ：20x y -+=的距离d =故ABM V 的面积1|||2cos 2sin 9|924S AB d πααα⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM V 面积的最大值为9+【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，考查点到直线距离公式，属于中档题.18．已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin a B =. （1）求角A 的大小；（2）若02A π<<，6a =，且ABC V 的面积S =，求ABC V 的周长. 【答案】（1）3A π=或23π；（2）14【解析】(1)由2sin a B =,根据正弦定理化简即可求角A 的大小.(2)利用“整体”思想,利用余弦定理求解b c +的值,即可得ABC V 的周长. 【详解】（1）由正弦定理得2sin sin sin 2A B B A =⇒=， ∵0A π<<，∴3A π=或23π. （2）∵02A π<<，∴3A π=，∵1sin 2S bc A ===，∴283bc =， 由余弦定理得，2222362cos ()383a b c bc b c bc b c π==+-=+-⇒+=.故ABC V 的周长14l a b c =++=. 【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理解三角形，关键在于由已知条件，选择合适的公式进行边角互化，属于中档题.19．某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计和频数分布表和频率分布直方图如下：[)40,4530[]45,5010合计100（1）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[)35,40内的人数X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）5,20x y==，频率分布直方图见解析；（2）详见解析.【解析】【详解】试题分析：(1）利用频率分布直方图的性质即可得出．（2）各层之间的比为5：20：35：30：10=1：4：7：6：2，且共抽取20人，可得年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人．X可取0，1，2，P（X=k）=2137220k kC CC-,即可得出．试题解析：由图知，(2530)0.0150.05P x≤<=⨯=，故1000.055x=⨯=；()(3035)10.050.350.30.110.80.2P x≤<=-+++=-=故1000.220y=⨯=，0.20.045==频率其组距.（2）Q 各层之间的比为5:20:35:30:101:4:7:6:2=，且共抽取20人， ∴年龄在[)35,40内层抽取的人数为7人.X 可取()()2111313722202078910,1,2,0,1190190C C C P X P X C C ======， ()27220212190C P X C ===，故X 的分布列为 X0 1 2 P7819091190 21190故912113312190190190E x =⨯+⨯=（）. 20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明:PB ∥平面AEC .（2）设二面角D AE C --为60o ，1AP =，3AD =E ACD -的体积.【答案】（1）见解析（2）38【解析】(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO . 根据四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，E 为PD 的中点，利用三角形的中位线可得EO ∥PB ，再利用线面平行的判定定理证明.(2) 根据PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，建立空间直角坐标系A xyz -.设()(),0,00B m m >，再求得平面DAE ， 平面CAE 的法向量，根据二面角D AE C--为60o ，利用1cos ,cos602m n ==o u r r ，解得32m =.，然后利用锥体体积公式求解. 【详解】(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ，且EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2) 因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，所以,,AD AB AP 两两垂直，以A 为坐标原点，AB u u u r 的方向为x 轴的正方向，AD u u u r 的方向为y 轴的正方向，AP u u u r 的方向为z 轴的正方向，AP u u u r为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -. 设()(),0,00B m m >，则()()313,0,0,,3,022D E C m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以310,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()3,0,AC m =u u u r设(),,n x y z =r 为平面ACE 的法向量，则30031002mx n AC n AE y z ⎧=⎧⋅=⇒⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ， 可取)3,3n m m =-r ， 又()1,0,0m =u r 为平面DAE 的一个法向量，由题设知1cos ,cos602m n ==o u r r即2231233m m =++，解得32m =. 因为E 为PD 的中点，设F 为AD 的中点， 则PA ∥EF ，且1122EF PA ==，EF ⊥面ACD ， 故有三棱锥E ACD -的高为12EF =， 三棱锥E ACD -的体积111313333222ACD V S EF ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 所以三棱锥E ACD -的体积为3. 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理，二面角和三棱锥的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）根据离心率为3，即3c a =，V OAB 的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.【详解】 （Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 设，则. 当时，直线的方程为. 令，得，从而. 直线的方程为. 令，得，从而. 所以. 当时，， 所以. 综上，为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.22．设函数()2x f x x a =-（0a >，且1a ≠），()()'g x f x =，（其中()'f x 为()f x 的导函数）.（1）当a e =时，求()g x 的极大值点；（2）讨论()f x 的零点个数.【答案】（1）ln 2；（2）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）令()0g x ¢=求出()g x 的极值点，判断()g x '的符号变化即可得出答案；（2）对a 和x 进行讨论，利用零点的存在性定理，结合函数的图象判断零点的个数． 试题解析：（1）()()2,20ln2x xg x x e g x e x =-=-=⇒='， 当ln2x <时，()'0g x >；当ln2x >时，()'0g x <，故()g x 的极大值点为ln2；（2）（i ）先考虑1a >时，()f x 的零点个数，当0x ≤时，()f x 为单减函数， ()1110f a-=->；()010f =-<，由零点存在性定理知()f x 有一个零点； 当0x >时，由()0f x =得 22ln 2ln ln ln x x x a x x a a x =⇔=⇔=，令()2ln x h x x =，则()()221ln 'x h x x-=. 由()'0h x =得，x e =，当0x e <<时，()'0h x >；当x e >时，()'0h x <， 故()()max 2h x h e e==，()10h =，且()0h x >总成立，故()h x 的图像如下图， 由数形结合知， ②若2ln a e >即2e a e >时，当0x >时，()f x 无零点，故x ∈R 时，()f x 有一个零点； ②若2ln a e =即2e a e =时，当0x >时，()f x 有一个零点，故x ∈R 时，()f x 有2个零点； ③若20ln a e <=即21e a e <<，当0x >时，()f x 有2个零点，故x ∈R 时，()f x 有3个零点.（ii ）再考虑01a <<的情形，若01a <<，则11a>，同上可知，当21eea>即20ea e<<时，()f x有一个零点；当21eea=即2ea e=时，()f x有2个零点；当211e ea<=即21ee a<<时，()f x有3个零点.综合上述，①当2ea e>或20ea e<<时，()f x有一个零点；②当2ea e=或2ea e=时，()f x有2个零点；③当21ea e<=或21ee a<<时，()f x有3个零点.点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.。
湖南省长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试理数答案
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人教版各省市-湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(解析版)
2，
∴
������
=
1
2，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得
出．
本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
9. 命题“数列{������������}前 n 项和是������������ = ������������2 + ������������的形式命题，逆否命
>
0，
∴ ������在第二象限，
故选：B． 将复数的分子分母同乘以1 ‒ 2������，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
2. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方
⃗ ⊥ ⃗ ⃗,⃗ ③已知������ ������，则������ ������与任何向量不构成空间的一个基底；
{⃗,⃗,⃗}
⃗,⃗
⃗ =⃗+⃗
④已知 ������ ������ ������ 是空间的一个基底，则基向量������ ������可以与向量������ ������ ������构成空间另一个基底．
7. 给出下列命题： ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ ⋅ (⃗ + ⃗) + ⃗ (⃗ ‒ ⃗) = ⃗ ⋅ ⃗
①已知������ ������，则������ ������ ������ ������ ⋅ ������ ������ ������ ������；
⃗, ⃗ ,⃗ ②������、B、M、N 为空间四点，若������������ ������������ ������������不构成空间的一个基底，则 A、B、M、N 共面；
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题含答案
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期入学考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ） A. 若222x y +<，则1x ≤或1y ≤ B. 若222x y +<，则1x ≤且1y ≤ C. 若222x y +<，则1x <或1y <D. 若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤2.在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（a R ∈，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A. 1a ≥- B. 1a >-C. 1a ≤-D. 1a <-3.已知{}n a 等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ）A.23B.32C. 23-D. 32-4.设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A.13B. 3C. 6D. 95.已知x y 、满足2213xy +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ）A. []112， B. []06，C. []012， D. []113， 6.已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ） A. [)0,3B. (0,C. )⎡⎣D. (]0,4 7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）是A. 5?i <B. 6?i <C. 7?i <D. 8?i <8.已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C. 1625D. 259.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )A. 4B.203C.263D. 810.已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ） A. (16,21)B. (16,24)C. (17,21)D. (18,24)11.三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述均不的12.设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A. 92ln 2[1,]4+ B. 92ln 2(1,)4+ C. 92ln 2[1,]10+ D. 92ln 2(1,]10+ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上.13.设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________.14.已知向量,a b rr 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ．15.曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．16.如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 23569(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$; (3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()nni i i ii i n nii i i x x y y x y nxyax x x nx b y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 18.在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．19.已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v，且m n ⊥u v v． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂中为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 21.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 22.已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值数学（理科）参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.A4.C5.D6.B7.B8.B9.B10.B11.B12.D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上..13. 14,1]14 [51315 3216. (2n+1)2+m−n−1三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）x̅=2+3+4+5+65=4，y̅=2+3+5+6+95=5b=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1=2×3+3×3+4×5+5×6+6×9−5×4×54+9+16+25+36−5×16=1.7∴a=y̅−bx̅=−1.8，∴ŷ=1.7x−1.8（3）当x=10（万元），ŷ=15.2（万元）18.(1) 由a1=1，及a n+1=ca n+c n+1(2n+1)(n∈N∗)得a2=ca1+c2⋅3=(22−1)c2+c，a3=ca2+c3(2×2+1)=c[(22−1)c2+c]+c3(2×2+1)=(32−1)c3+c2于是猜测:a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)(2)下面用数学归纳法予以证明:10当n=1时，由a1=1=(12−1)c+c1−1显然结论成立．20假设n=k时结论成立，即a k=(k2−1)c k+c k−1那么，当n=k+1时，由a k+1=ca k+c k+1(2k+1)=c[(k2−1)c k+c k−1]+c k+1(2k+1)=(k2+2k)c k+1+c k=[(k+1)2−1]c k+1+c k显然结论成立．由10、20知，对任何n∈N∗都有a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)19.（1）∵，∴，，由，得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，∴函数的递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．（2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．20.（1）以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0),P(0,0,4)，故∵，∴GE与PC所成角的余弦值为√1010．（2）解：设F(0,y,z)，则，∵，∴，即(32,y −32,z)⋅(0,2,0)=2y −3=0，∴y =32， 又，即(0,32,z −4)=λ(0,2,−4)，∴z =1，故F(0,32,1)，，∴PFFC =3√52√52=321.解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为x 2=4cy ，由√2=3√22结合c >0，解得c =1，所以拋物线C 的方程为x 2=4y .（2）拋物线C 的方程为x 2=4y ，即y =14x 2，求导得y ′=12x ， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(其中y 1=x 124,y 2=x 224)则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2，所以切线PA 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 122+y 1，即x 1x −2y −2y 1=0，同理可得切线PB方程为x 2x −2y −2y 2=0，因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0)，所以x 1x 0−2y 0−2y 1=0，x 2x 0−2y 0−2y 2=0， 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x −2y 0−2y =0的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0.（3）由拋物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1，联立方程{x 0x −2y −2y 0=0x 2=4y，消去x 整理得y 2+(2y 0−x 02)y +y 02=0. 由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y 2=x 02−2y 0,y 1y 2=y 02， 所以|AF|⋅|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=y 02+x 02−2y 0+1又点P(x 0,y 0)在直线l 上，所以x 0=y 0+2，所以y 02+x 02−2y 0+1=2y 02+2y 0+5=2(y 0+12)2+92， 所以当y 0=−12时，|AF|⋅|BF|取得最小值,且取得最小值为92. 22.（1）因为f(1)=1−a2=0，的所以a=2，故f(x)=lnx−x2+x,x>0，所以f′(x)=1x −2x+1=−2x2+x+1x=−(x−1)(2x+1)x(x>0)，由f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调减区间为(1,+∞)．（2）令g(x)=f(x)−(ax−1)=lnx−12ax2+(1−a)x+1，x>0，由题意可得g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．又g′(x)=1x −ax+(1−a)=−ax2+(1−a)x+1x．①当a≤0时，则g′(x)>0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为g(1)=ln1−12a×12+(1−a)+1=−32a+2>0，所以关于x的不等式f(x)≤ax−1不能恒成立．②当a>0时，g′(x)=−ax2+(1−a)x+1x =−a(x−1a)(x+1)x，令g′(x)=0，得x=1a．所以当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．故当x=1a 时，函数g(x)取得极大值，也为最大值，且最大值为g(1a)=ln1a−12a×(1a)2+(1−a)×1a+1=12a−lna．令ℎ(a)=12a−lna,a>0，则ℎ(a)在(0,+∞)上单调递减，因为ℎ(1)=12>0，ℎ(2)=14−ln2<0．所以当a≥2时，ℎ(a)<0，所以整数a的最小值为2．。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。
2. 设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若| ，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C4. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5. 已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8. 若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos ＜（+，＞=0，即为||=cos ＜+，＞，当cos ＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C ．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.12. 设，则使得的的取值范围是（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f （x ）的解析式分析可得函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，当x ≥1时，对函数f （x ）求导分析可得函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f （|x|）＜f （|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x 的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f （x ）=﹣x 2+2x﹣2（e x﹣1+e 1﹣x ）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e 1﹣x ）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．13. 已知函数，其中为函数的导数，则（）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得：∴函数的图象关于点中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴故选：A14. 中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17. 对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18. 已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)22. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.23. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；单调递减区间是.（2）【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二_上_入学数学试卷_解析版_
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分。
1．（3分）已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．1或﹣1或0 2．（3分）下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同3．（3分）已知函数g（x）＝3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）A．t≤﹣1B．t＜﹣1C．t≤﹣3D．t≥﹣34．（3分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99B．66C．144D．2975．（3分）如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7B．15C．31D．636．（3分）下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．47．（3分）如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝6，AB ＝3，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（）A．90°B．45°C．60°D．30°8．（3分）函数y＝tan（）的单调递增区间是（）A．（2kπ﹣，2kπ+）k∈ZB．（2kπ﹣，2kπ+）k∈ZC．（4kπ﹣，4kπ+）k∈ZD．（kπ﹣，kπ+）k∈Z9．（3分）若仅存在一个实数，使得曲线C：关于直线x＝t对称，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．10．（3分）直线l：ax+y﹣2﹣a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．﹣2或111．（3分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c（b+2c），若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．312．（3分）若函数f（x）＝lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）13．（3分）已知圆T：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，过圆T内定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD面积最大值为（）A．21B．21C．D．4214．（3分）设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a2，b2，c2依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．a2，b2，c2依次成等比数列15．（3分）已知函数f（x）＝|lnx|﹣1，g（x）＝﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1B．2C．3D．416．（理科选做）已知函数f（x）＝|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k＝0，下列四个结论中正确的有（）①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。