PJM市场电力期货期权的二叉树法定价分析
期权定价二叉树模型精讲共41页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
期权定价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叉树模型精讲
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
期权定价的二叉树模型(ppt 39页)
第7章 期权定价的二叉树模型
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ftrf S S f1 22S2 S 2f2rf f
c St N d1 X erf Tt N d2
St erf Tt N d1 X N d2 erf Tt
EST Nd1 X N d2 erf Tt EST Nd1 X N d2 erf Tt
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风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学量，尤其是期望收益率。
公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝ 1000元
第7章 期权定价的二叉树模型
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愿意支付的入局费 风险类型 数量 入局费＜1000元 风险厌恶者 众多 入局费＝1000元 风险中性者 入局费＞1000元 风险喜好者 极少
如果有人愿意无条件地参加公平的赌博， 则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对 风险采取无所谓的态度。
考虑以下组合：
①买入1份股票看涨期权 ②卖空Δ股股票
显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风 险组合。
第7章 期权定价的二叉树模型
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如果这个组合是无风险组合，则其价值与 状态无关，所以，以下数学表达式成立：
22118
解得，
0.25
也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股 票空头构成的组合是无风险组合。
这就是风险中性定价的基本思想。
第7章 期权定价的二叉树模型
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我们回到之前的示例中，在那里，我们可 以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到 期日T时刻，股票价格的期望值为：
期权定价二叉树模型
9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
计算相关数据
u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
随机二叉树期权定价模型及模拟分析
随机二叉树期权定价模型及模拟分析随机二叉树期权定价模型及模拟分析一、引言期权是金融市场上常见的衍生品工具之一，它为投资者提供了在未来某一时间点以预定价格购买或出售一定数量的资产的权利。
期权定价是投资者进行期权交易的重要环节，如果能够准确地估算期权的价值，就能在投资中获得更大的收益。
本文将介绍一种基于随机二叉树模型的期权定价方法，并通过模拟分析来验证该模型的有效性和准确性。
二、期权定价基础知识回顾在介绍随机二叉树期权定价模型之前，我们需要回顾一些期权定价的基础知识。
1. 期权定价理论期权定价理论主要包括两种主要模型：布莱克-斯科尔斯期权定价模型和随机波动率模型。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型假设资产价格服从几何布朗运动，即价格变动服从正态分布。
而随机波动率模型则考虑了波动率的随机性，更加贴近于实际市场情况。
2. 随机二叉树模型随机二叉树模型是一种离散的期权定价模型，它将期权价格的变动分解为两种可能的结果，即上涨或下跌，并使用概率来描述这两种结果的发生概率。
随机二叉树模型具有较强的灵活性和计算简单性，因此在实际应用中被广泛采用。
三、随机二叉树期权定价模型随机二叉树期权定价模型基于二叉树的结构，其中每个节点代表资产价格在某个时间点的取值。
模型的构建需要考虑以下几个要素：1. 基础资产价格期权的价格与基础资产的价格相关，因此需要确定资产价格在每个时间点的取值。
2. 上涨和下跌的概率基于市场预期和历史数据，可以计算资产价格上涨和下跌的概率。
3. 资产价格上涨和下跌的幅度根据市场波动性和历史数据，可以计算资产价格上涨和下跌的幅度。
4. 期权收益计算根据期权类型和行权价格，可以计算在每个时间点期权的收益。
通过将这些要素结合起来，可以构建出一颗随机二叉树，该树的叶子节点代表期权到期时的收益，通过回溯法可以计算出每个节点的期权价格。
四、模拟分析为了验证随机二叉树期权定价模型的有效性和准确性，我们将进行一次模拟分析。
第七章二叉树和三叉树的期权定价方法
7.1.1 二叉树格的校对 二叉树格方法应该是风险中性过程一个良好的相似。
dS rSdt SdW
因此，我们应以这样的方式参数设置晶格，即保持着连续时间模型的 一些基本属性，这一过程就叫做校准。从 St 开始，经过一个小的时间 步 t ，从 2.5 节我们可以看到新价格是一个随机变量 St t ，且
0.4 ，存续期为 5 个月，利用 B-S 模型，我们知道结果是：
>> call blsprice(50,50,0.1,5 / 12,0.4)
6
>> call 6.1165 如果我们想用二叉树格方法逼近结果的话， 我们首先就要定义格 参数，假定每个时间步为一个月，然后
t 1 / 12 0.0833
最后我们得到这样的等式
e 2 rt 2t (u d )e tt 1
其中，利用 u 1 / d ，可以转化为二次方程：
u 2 e rt u(1 e 2rt ) ett 0
2t
方程的一个跟为
u (1 e 2 rt t ) (1 e 2 rt t ) 2 4e 2 rt
欧式看涨期权接收到通常我们所定义的参数和在此情况下的时 间步 N，通过增加最后一个参数，我们得到了更为精确的价格（同一 计算时间的增加） 。
call(50,50,0.1,5 / 12,0.4,5) >> call latticeEur
>> call
6.3595
call(50,50,0.1,5 / 12,0.4,500) >> call latticeEur
f 0 e rt [ pfu (1 p) f d ]
期权二叉树定价模型
期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。
在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。
从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。
在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。
在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。
这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。
在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。
在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。
在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。
树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。
根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。
期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。
此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。
然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。
首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。
其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。
总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。
虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。
期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
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３基于ＰＰＪＪＭＭ市场历史电力期货的期权定价 分析
３．１ ＰＰＪＭＪＭ电力市场概述 ＰＪＰＪＭＭ是北美地区最大的互联电力系统，是很多
人公认的联营市场成功的典型例子。
联营模式的电力市场，在发电厂之间和用户之
间引入竞争。在此模式下，调度和交易为一体，则
电网运营者作为唯一的购买者，电网调度机构起着
组织电力市场的主要作用，具有在电力市场交易中
式（２）是单期期货期权定价的公式。从这个定价 公式看，在实际的定价过程中，需要正确估计公式
万方数据
．３４一
继电矗
中需要的ｕ，ｄ。‘
ｒｔ
．，
实际市场中，时期通常不会只有两个阶段，可
能有多个阶段。每个阶段价格的变化可以用二叉树
的形式表示，如图１所示是单步和双步二叉树示意
图。
；＜≤娄
＜委≤萎
Ｆｉｇ．１
图１期权的单步和双步二叉树示意图
Ａｎ ｏｐｔｉｏｎ’‘ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉｎｏｍｉａｌ ｔｒｅｅ ｆｏｒ ｏｎｅ ｓｔｅｐ．，
，●
·
ａｎｄｔｗｏ ｓｔｅｐｓ
按相同的原理可以得到ｎ期看涨电力期货期权 的二叉树定价模型：
厂＝专茎㈢矿（１１ ｎ一驴枞一ｒｍｘ阿［‘矿一Ｋ ｏ］（４）
其中：ＳＳ是电力期货的当前价格；Ｋ是电力期货期权 的执行价格；以ＤＤ是指电力期货价格上升和下降的 幅值；其中仃为电力期货价格波动的年标准差（即 波动率）。ｑ为电力期货价格上升的概率。 公式（３）中参数的求取公式为：
第３６卷第６期 ２００８年３月１６日
继电器
ＲＥＬＡＹ
、，０１．３６ Ｎｏ．６ Ｍａｒ．１６，２００８
ＰＪＭ市场电力期货期权的二叉树法定价分析
葛佳佳，邹斌
（江南大学通信与控制工程学院，江苏无锡２１４１２２）
摘要：讨论了基于△．对冲原理的期权数值定价方法一二叉树法，对电力期货期权的模型参数作了匹配和估计，并针对ＰＪＭ市 场电力期货的期权作了实证分析。结论表明：二又树法等一些期权数值计算方法可以对现有的电力期货期权作出较为有效的 定价．此外还针对ＰＪＭ市场的运作状况作了介绍，并基于此提出了对中国电力市场化改革的建议。
价格分别是乳，＆。考虑△份电力期货合同多头与一 份电力期货期权的空头组成的一种资产组合，如果 电力期货价格上升，在其有效期末该组合的价值为：
＆△－Ｌ；如果电力期货价格下降，组合的价值为：
＆△兹，当两个价值相等时，＆△－Ｌ＝＆／ｘ兹。即：
△：立玉
（１）
Ｓ。一Ｓｄ
上式显示了对冲策略，△被称为对冲比率。＋ 在这种情况下，该组合是无风险的，收益必得
，能进行期货交易的商品具有一定的特殊性。在
期货市场中并不是所有的商品都能进行交易。尽管
电力商品具有不适合存储和生产与消费等特殊性，
但其基本具有了期货的类似特征：
１）交易价格波动频繁；
’
－
２）传输及转运便利（忽略网络阻塞等因素）；
３）交易规模巨大并且有众多的交易者；
’
４）可以依据电压等级以及用户需求划分成不
的风险。此外负荷侧管理中的中断用户负荷的选择
权可以看作看涨期权１８】；发电商出力调节管理的调
峰权是看涨期权；发电容量的期权是看涨期权等【９】。
期权交易的一个重要问题是正确估值和定价。
在期权交易市场上，不仅存在回避风险的套期保值
者，而且更多的是投机者和套利交易者。当期权等
衍生工具不能正确定价时，特别是对其价格变动不
协调价格和处理确定电网的系统电价等协调，指导，
指挥的职能。发电商作为市场参与者向电网申报报
价曲线进行投标，独立运行员和交易中心组合体即
联营体负责集中管理输电网，由其收集各参与者的
投标（价格和电量等信息），然后按照统一原则评估
各投标数据，并确定系统电价和实现输电交易。
ＰＪＭ电力市场包括日前电力市场，期货市场，
中图分类号：ＴＭ７３；Ｆ１２３．９
文献标识码： Ａ
文章编号： １００３．４８９７（２００８）０６—００３２—０５
０引言
电力市场中电价的波动性使得越来越多的市 场设计者和参与者认识到电力市场风险管理的重要 性。电力市场需要发展各种合同，期货，期权交易 以吸引市场参与者，同时降低交易成本；允许市场 参与者锁定电力价格以确保他们有制定适当短期和 中期计划的机会，以减少价格波动带来的风险。风 险管理是市场一项很重要的服务。为锁定电力价格 需要建立电力期货和期权市场，运用这些电力金融 工具，市场参与者可以有效管理风险【ｌ叫。
一确定的价格购买相关标的物，看跌期权的持有者
则有权在某一确定的时间以某一确定的价格出售相
关标的物。为了得到这种权力，期权的持有者需要
支付给期权出售者期权费。
、１
电力期权是有效的电力价格风险管理工具，在 电力市场中已得到了广泛的应用。购电商可以通过
购买电力看涨期权规避电力价格上涨的风险：而售
电商可以通过购买电力看跌期权规避电力价格下跌
电力期权定价的方法有两种，一种是基于布莱 克一斯柯尔斯（Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ）期权定价公式的解 析法，另一种是数值近似法，其中数值方法包括二 叉树法，蒙特卡罗法以及有限差分法等。文献【４】采 用结合用户负荷的不确定性对购买电能的欧式看涨
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０５７４０５１）
期权进行定价。当前，解析方法以及蒙特卡罗法在 电力期权方面的应用已经有文献报道，如文献【５】运 用了蒙特卡罗法近似求解了可中断电力合同中新型 期权的定价，并提出了该期权在无套利条件下的定 价公式。文献【６】以某实际水电厂为例，结合水文波 动性，合同电量和合同价格，给出了复合看涨期权 和复合看跌期权的定价公式，并通过蒙特卡罗法模 拟随机的水文情况和市场出清电价以计算期权价格 和合作的社会效益。文献［７】提出了一种合同双方均 有选择权的电力远期合同模型，根据期权定价思想 给出了合同价格计算方法，并通过一个合同买卖双 方各自追求最大期望报酬的均衡模型，给出了有关 期权敲定价的均衡选择。蒙特卡罗法的缺点是只能 为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。为了 达到一定的精确度，蒙特卡罗模拟一般需要大量的 模拟运算，尤其在处理三个以下的变量时，蒙特卡 罗相对于其他方法来说偏慢，在一般期权的研究中， 人们通常认为二叉树模拟在时间计算消耗上要远优
ＧＥ Ｊｉａ－ｊｉａ，ＺＯＵＢｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｘｉ ２１４１２２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ａ ｖａｌｕｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ－ｂｉｎｏｍｉａｌ ｔｒｅｅ ｍｏｄｅｌ，ｍａｔｃｈｅｓ ａｎｄ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｔｈｅ ｏｐｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃ
期期权可转让。
纽约商品交易所早在１１９９９９９９年３月就推出了ＰＪＭ
市场的期货及期权交易。此外，ＰＪＭ电力市场还有
提供调频服务交易和旋转备用服务交易两种辅助服
务，双边交易和输电权集中拍卖两种输电权交易。
目前在ＰＪＭ电力市场中，现货交易大约占１１５５％％，期
能正确预测时，投机者便有更多的获利机会；或当
不同交易所，不同交易商和做市商对相同期权报价
有差值时，则给套利者提供无风险套利机会。过度
的投机行为是任何健康的金融市场所不能允许的。
由此可见，如何对期权等衍生工具正确定价，以抑
制过度投机活动，对降低金融市场波动风险具有重
要意义。在期权定价这个领域，有基于对市场，标
大波幅，契约月份，交易时间，最后交易日，交货
时间等几部分。
期货期权是金融市场的一种新产品，这种金融
工具兼有期权和期货的特性。期权所对应的基础资
产（即标的物）是期货合约的这种期权叫期货期权。
这种期权在执行时交割一份标的期货合约。根据期
权标的物的流向，期权可分为看涨期权和看跌期权，看涨Biblioteka 权是指其持有者有权在某一确定的时间以某
同规格的商品。
ｊ 故电力可以作为期货合约的标的物。
目前全球期货市场，一共有三个国家、四家期
货交易所推出了电力期货，分别是美国的纽约商品
交易所（ＮＹＭＥＸ）、芝加哥期货交易所（ＣＢＯＴ）
和英国的伦敦国际石油交易所（ＩＰＥ）以及澳大利亚 股票交易所（ＡＳＸ）。
电力期货的标准合约主要包括交易单位，交割
等级，报价方式，最小价格变动单位，每日价格最
一个标的物与其期权的组合，使得在一定时期后该
组合的价值是确定的，从而在这个条件下确定期权
价格。
让我们考虑一个电力期货合同的价格为Ｓ，而
该期货合同的期权当前价格为．厂。设期权的有效期
为丁。从现在开始，到时刻ｒ这段时间内，期货合 同的价格会变化，如果我们假设变化有两个可能： 上涨或者下降。设上涨和下降后的电力期货合同的
实时市场和零售市场。其中期货市场分为长，中，
短期。１年或１年以上为长期，１个月～１年之内为
中期，１１天～１１个月以内为短期。实际上，日前市场
也属于短期期货市场。中长期期货市场以协议来规
范市场成员的交易行为。期货交易是按实时节点边
际电价结算。ＰＪＰＪ－ＭＭ期货市场的生命力在于其输电服
务的费率随交易形式的不同而存在较大差异，中长
ＵＵ＝ｅｅ叫出
（５）
’
ＤＤ＝ｅｅ一－口ａ√Ｊ石血
（６６）
尺Ｒ＝（１＋■）＝ｅｅ心ｒＡｔ
（７）
。
口＝～ △Ａｔｆ＝丁Ｔ／／，ｌｎ
口＝坠Ｒ－旦Ｄ
‘
Ｕ—Ｄ
（８８）
（Ｌ了９）Ｊ
。
上述公式中，时间丁表示对未来的时间跨度，
然后选择期数ｎ，可以由公式（８）得到每期的时间
间隔。‘是把连续复利，转换成离散利率来匹配
缸Ａｔ＝丁Ｔ／／，ｌｎ的时间划分方式。而其中波动率盯的含义 是其收益年标准差估计值。在确定了无风险利率以 后，如果能够估计出波动率仃就可以按照上述公式 定价。