等比数列前n项和讲义(教师版)
等比数列及前n项和(教师)
1 1 1 ∴数列{ －1}是以 为首项， 为公比的等比数列． an 2 2 (2)数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1， Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． 设 bn＝an＋1－2an，证明{bn}是等比数列，并求其通项公式。 解：an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an. bn＋1 an＋2－2an＋1 4 an＋1－4an－2an＋1 2an＋1－4an ＝ ＝ ＝ ＝ bn an＋1－2an an＋1－2an an＋1－2an 2，∴数列{bn}是公比为 2 的等比数列，首项为 a2－2a1. ∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 3、等比数列的性质 例 3 (1)在等比数列{an}中，a7· a11＝6，a4＋a14＝5， a20 (1)下标和性质： 则 ＝ . 若{an}为等比数列， 且 k＋l＝m＋n(k， l， m， n∈N＋)， a10 解析：在等比数列{an}中，a7· a11＝a4· a14＝6① 则 ak· al＝am· an. 注：上述性质还可以推广到有三项、四项 ……的情 又 a4＋a14＝5② 形．但使用该性质时，一要注意等式两边下标和相 a4＝2 a4＝3， 由 ① 、 ② 组成方程组解得 或 等，二要注意等式两边和的项数必须相等． a14＝3 a14＝2. a20 a14 2 3 ∴ ＝ ＝ 或 . a10 a4 3 2 (2)已知等比数列{an}中， an>0， a10a11＝e， 则 lna1＋lna2＋… ＋lna20 的值为 . 解析：lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln[(a1a20)· (a2a19)·…·(a10a11)] ＝lne10＝10. 变式 (1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝ 5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝ . 解∵{an}为等比数列， ∴a1a2a3， a4a5a6， a7a8a9 成等比数列， 即(a4a5a6)2＝a1a2a3· a7a8a9＝50，∴a4a5a6＝5 2. (2)已知各项不为 0 的等差数列{an}，满足 2a3－a2 7＋2a11＝ 0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7，则 b6b8＝________. 2 解析：由题意可知，b6b8＝b2 7＝a7＝2(a3＋a11)＝4a7， ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16. (2)若{an}为等比数列，前 n 项和为 Sn，则：
等比数列及其前n项和讲义
等比数列及其前n 项和讲义课前双击巩固1.等比数列中的有关公式已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比是q ,前n 项和为S n ,则 等比数列定义式 (n ≥2,q ≠0且q 为常数)等比中项G a =bG(G 是a 与b 的等比中项)通项公式 或前n 项和公式 当q=1时,S n = ;当q ≠1时,S n = = 2.等比数列的性质已知{a n }是等比数列,S n 是{a n }的前n 项和. (1)若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m a n = .(2)若q ≠-1,或q=-1且m 为奇数,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成 数列,其公比为 .3.等比数列与函数的关系(1)等比数列的通项公式可以写成a n =a 1q q n(q ≠1),前n 项和公式可以写成S n =a 1q -1q n-a1q -1(q ≠1). (2)① 满足{a 1>0,q >1 或{a 1<0,0<q <1 时,{a n }是递增数列;②满足{a 1>0,0<q <1 或{a 1<0,q >1 时,{a n }是递减数列;③ 当q=1时,数列{a n }是常数列; ④ 当q<0时,数列{a n }为摆动数列. 常用结论1.若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),{1a n},{a n 2},{a n ·b n },{anb n}仍是等比数列.2.在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n+k ,a n+2k ,a n+3k ,…为等比数列,公比为q k.3.一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.4.{a n}为等比数列,若a1·a2·…·a n=T n,则T n,T2nT n ,T3nT2n,…成等比数列.5.当q≠0,q≠1时,S n=k-k·q n(k≠0)是{a n}成等比数列的充要条件,此时k=a11−q.6.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.题组一常识题1.[教材改编]已知数列{a n}是递增的等比数列,若a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.2.[教材改编]已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a6=8a3,S3=2,则S6=.3.在14和4之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积．为.题组二常错题◆索引:“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件;运用等比数列的前n项和公式时,忽略q=1的情况;等比数列的性质应用不熟导致出错.4.在等比数列{a n}中,a3=4,a7=16,则a3与a7的等比中项为.5.数列{a n}的通项公式是a n=a n(a≠0),则其前n项和为S n=.6.若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=.7.在等比数列{a n}中,a n>0,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=.课堂考点探究探究点一等比数列的基本运算1 (1)已知等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5= ( )A.1B.12C.14D.4(2)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3=3,且a2016+a2017=0,则S101等于( )A.3B.303C.-3D.-303[总结反思](1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,a n,q,n,S n,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意对q=1和q≠1的分类讨论.式题(1)在等比数列{a n}中,公比q=2,若a2与2a3的等差中项为5,则a1= ( )A.3B.2C.1D.-1(2)已知等比数列{a n}满足a1=12,a2a8=2a5+3,则a9= ( )A.-12B.98C.648D.18(3)已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列且满足a6-a2=30,a3-a1=3,则数列{a n}的前5项和S5= ( )A.15B.31C.40D.121探究点二等比数列的性质及应用2 (1)在等比数列{a n}中,a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为()A.2B.4C.8D.16(2)等比数列{a n}的前5项的和S5=10,前10项的和S10=50,则它的前20项的和S20= ( )A.160B.210C.640D.850[总结反思](1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有a m a n=a p a q”,则可减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质,例如在等比数列中,S k,S2k-S k,S3k-S2k,…也成等比数列,公比为k).式题(1)在等比数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则a1a17a9= ( )A.2√2B.2C.1D.-2(2)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=3,S 9-S 6=12,则S 6= . 探究点三 等比数列的判定与证明 3 已知数列{a n }的首项a 1=35,a n+1=3a n4a n +1,n ∈N *.(1)求证:数列{1a n-2}为等比数列;(2)记S n =1a 1+1a 2+…+1a n,若S n <100,求n 的最大值.[总结反思] 判定一个数列为等比数列的常见方法: (1)定义法:若a n+1a n=q (d 是常数),则数列{a n }是等比数列;(2)等比中项法:若a n+12=a n a n+2(n ∈N *),则数列{a n }是等比数列;(3)通项公式法:若a n =Aq n(p ,q 为常数),则数列{a n }是等比数列.式题 在数列{a n }中,a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2,且a 1=2,a 2=5. (1)证明:数列{a n +1}是等比数列; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .课时作业一、填空题1．已知各项为正的等比数列{a n}满足a3·a9＝4a25，a2＝1，则a1＝________.2．在等比数列{a n}中，若a1＋a2＝1，a11＋a12＝4，则a21＋a22的值为________.3．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于________.4．在等比数列{}a n中，a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝________.5．已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.6．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于________.7．在等比数列{a n}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为________.8．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝________.9．已知{a n}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.10．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________.11．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n，S n为{a n}的前n项和．若S n＝126，则n＝________.二、解答题12．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3，b4，b5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n＋54}是等比数列．13．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.。
等比数列的前n项和(上课课件)
S6
练习巩固
S
n
6
3 (1 2 ) 1 2
189 .
( 2 ) a1 8 , q 1 , a n 1 2 2
Sn
8 1 1 2 2 31 2 1 1 2
2．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎
8
1
解2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当
作第8项，
即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，
其中b1=a8=1，q’=2，所以前8项和
S8 b1 (1 q ' )
8
1 q'
1 2
8
1 2
255
4．求和
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8 8
① ②
② ①
得 9 1 q ，
3
则 q 2 , a1 1 .
a 9 a1 q 2 2 5 6 .
课堂练习
练习3：
已 知 在 等 比 数 列 a n 中 ， S 3 3, a 3 1,
则 S6 ______ .
1. 根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的
等比数列的前n项和
设等比数列 a n 公比为 q ，它的前n项 和 S n a 1 a 2 a n ，如何用 a 1 , q , n 来表示 S n ？
一般地，等比数列的前n项和
S n a 1 a1q a 1q a 1q
2 n2
a1q
a1 1 2 ,q 1 2 ,n 8
8 1 1 1 2 2 S8 1 1 2
《等比数列的前n项和第一课时：定义和公式》名师课件2
思考：
❖ (1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
1,2,22 ,23,,263
❖ (2)国王需要给发明者多少粒小麦？
1 2 22 23 263 ?
问题探究
若{an} 为等比数列，那么等比数列前n项和： Sn a1 a2 a3 an1 an ?
公式辨析
1．口答：
在公比为 q 的等比数列{an}中
(1)若 a1
2,q 3
1 3
，则
S
n
_1__(_1_)_n__
3
（2）若 a1 1,q 1 ，则 Sn __n______
2．判断是非：
①1
2
4
8
(2)n1
1 (1 2n 1 2
)
②1 2 22 23 2n 1
注意：1.对公比q的分类讨论；
3.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
国际象棋的传说
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象 棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以 满足你的任何要求．西萨说：“请给我棋盘的64 个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第 三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至 第64格．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意 了。
S8
1 [1 (1)8 ] 22
1 1
255 ; 256
2
能否运用q≠1时的 另一个公式进行
1 27 • q8 , q 0.解得：q 1
243
3
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1 ( 1)
1640 . 81
3
《等比数列的前 n 项和》 讲义
《等比数列的前 n 项和》讲义在数学的奇妙世界里，等比数列是一个充满魅力和挑战的概念。
而其中，等比数列的前 n 项和更是具有重要的地位和广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探索等比数列的前 n 项和的奥秘。
一、等比数列的定义首先，咱们得清楚啥是等比数列。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数就叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
比如说，数列 2，4，8，16，32 就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式有了等比数列的定义，那怎么表示它的每一项呢？这就引出了等比数列的通项公式：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 是首项，n 是项数。
举个例子，对于等比数列 2，4，8，16，32 ，首项 a1 ＝ 2 ，公比 q ＝ 2 ，那么第 5 项 a5 ＝ 2×2^（5 1) ＝ 32 。
三、等比数列的前 n 项和公式接下来，就是咱们的重点——等比数列的前 n 项和公式。
当公比 q ＝ 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn ＝ na1 。
当公比q ≠ 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
这个公式是怎么来的呢？咱们来推导一下。
设等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，其前 n 项和为 Sn 。
Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an ①qSn ＝ a2 ＋ a3 ＋ a4 ＋＋ an ＋ an+1 ②②①得：qSn Sn ＝ an+1 a1Sn(q 1) ＝ a1(q^n 1)所以，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) （q ≠ 1）四、公式的应用知道了公式，那得会用啊！咱们来看几个例子。
例 1：求等比数列 2，4，8，16，32 的前 5 项和。
这里首项 a1 ＝ 2 ，公比 q ＝ 2 ，项数 n ＝ 5 。
因为q ≠ 1 ，所以使用公式 Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q)S5 ＝ 2×（1 2^5) ／（1 2) ＝ 2×（1 32) ／（－1) ＝ 62例 2：一个等比数列的首项为 3 ，公比为 2 ，求它的前 10 项和。
等比数列的前n项和 课件
a11－qn 1－q
，已知
a1，q，an且q≠1时，用公式Sn＝a11－－aqnq.
3．等比数列前n项和的公式是如何推导的？
提示：设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an① 则把①式两边同乘以q得：qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an －1q＋anq＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1② ①－②得(1－q)Sn＝a1－an＋1 ∴当q≠1时，Sn＝a11－－aqn＋1＝a111－－qqn. 又当q＝1时，∵a1＝a2＝…＝an，∴Sn＝na1.
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住 房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？ (计算时取1.15＝1.6)
[分析] 本题以实际问题为载体，融函数建模、数列 的知识于一体，主要考查学生阅读资料提取信息以及用所 学知识解决实际问题的能力．
[解] 设第n年末实际住房面积为an(n∈N*)． (1)由题意，则a1＝1.1a－b(m2)． a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(m2) (2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12b －1.1b－b a4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－b)－b ＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
[点评] 所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边 同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数 列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和， 其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．
《等比数列的前 n 项和》 讲义
《等比数列的前 n 项和》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，32，就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 q^｛n-1}＼），其中＼（a_1\）为首项，＼（n\）为项数。
通项公式可以帮助我们快速求出等比数列中任意一项的值。
三、等比数列的前 n 项和公式推导我们先来考虑一个简单的等比数列：＼（a_1\），＼（a_1q\），＼（a_1q^2\），，＼（a_1q^｛n-1}＼）。
设其前 n 项和为＼（S_n\），则＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋＋ a_1q^｛n-1}＼）①两边同乘以公比 q ，得到＼（qS_n ＝ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n}＼）②用①②，可得：＼＼begin{align}S_n qS_n&＝a_1 a_1q^n\＼S_n(1 q)＆＝a_1(1 q^n)＼end{align}＼当＼（q≠1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）；当＼（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\）。
这就是等比数列的前 n 项和公式。
四、等比数列前 n 项和公式的应用（一）已知首项、公比和项数求前 n 项和例 1：在等比数列中，首项＼（a_1 ＝ 2\），公比＼（q ＝ 3\），求前 5 项的和＼（S_5\）。
因为＼（q≠1\），所以＼（S_5 ＝＼frac{a_1(1 q^5)｝｛1 q} ＝＼frac{2×（1 3^5)｝｛1 3} ＝ 242\）。
（二）已知前 n 项和、首项和公比求项数例 2：等比数列的前 n 项和＼（S_n ＝ 189\），首项＼（a_1 ＝3\），公比＼（q ＝ 3\），求项数 n 。
数列之第3讲：等比数列及其前n项和(教师版)
第3讲 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示. 数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列.(5)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数.(×) (2)公比q 是任意一个常数，它可以是任意实数.(×) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n）1－a.(×)(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.(×) 2.已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A.7B.5C.－5D.－7解析 法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8， ∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案 D3.已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A.2B.1C.12D.18解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.选C. 答案 C4.(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________.解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8， 从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案 2n －15.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________. 解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4. 答案 4考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152B.314C.334D.172(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21B.42C.63D.84(3)(2015·郑州质量预测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________.解析(1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1（1－q 3）1－q ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎨⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. (3)设等比数列的公比为q ，首项为a 1，则a 6a 3＝q 3＝27.S 6S 3＝a 1＋a 2＋…＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＋q 4＋q 51＋q ＋q 2＝1＋q 3＝28. 答案 (1)B (2)B (3)28规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.【训练1】 (1)已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( ) A.3312 B.31C.314D.以上都不正确(2)(2015·湖南卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.解析 (1)设{a n }的公比为q ，q ＞0. 由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2，q 2＋3q －10＝0，解得q ＝2或q ＝－5(舍去)， 又a 2＝2，则a 1＝1，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1×（1－25）1－2＝31.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1.S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2.又3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q ＝3(q ＝0舍去).所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案 (1)B (2)3n －1考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝( ) A.20B.50C.70D.80(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A.2B.73C.83D.3解析 (1)由等比数列的性质可知，a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，所以a 10·a 11＝e 5，于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝10ln(a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.(2)由等比数列的性质及题意，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.答案 (1)B (2)B规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】 (1)(2016·南昌一模)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A.5 2B.7C.6D.4 2(2)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________. 解析 (1)把a 1a 2a 3，a 2a 3a 4，…，a 7a 8a 9各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第1项、第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项.因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝（a 1a 2a 3）·（a 7a 8a 9）＝5×10＝5 2.(2)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n ＞0，所以a 4＋a 8＝51. 答案 (1)A (2)51考点三 等比数列的判定与证明【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式. (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列. 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，又c n ＝a n －1，首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列. (2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合， ∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.【训练3】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎨⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1).∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列. ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 得a n ＝(3n －1)·2n －2.[思想方法]1.方程的思想.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q .2.解题中要注意选用等比数列的性质，减少运算量.如a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝ a m a n －m ＋1.3.函数的思想.通项公式a n ＝a 1q n－1可化为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q n ，因此a n 是关于n 的函数，即{a n }中的各项所表示的点(n ，a n )在曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x 上，是一群孤立的点.4.分类思想.当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，此处是常考易错点. [易错防范]1.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n－S n )2＝S n·(S 3n－S 2n )总成立.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·宜昌模拟)等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A.33B.72C.84D.189解析 由已知，得q 3＝a 4a 1＝8，解得q ＝2，则有a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝3×(4＋8＋16)＝84. 答案 C2.已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A.－3B.±3C.－3 3D.±3 3解析 由等比中项知y 2＝3，∴y ＝±3，又∵y 与－1，－3符号相同，∴y ＝－3，y 2＝xz ， 所以xyz ＝y 3＝－3 3. 答案 C3.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2B.12C.2或12D.－2或12 解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1（1＋q 3）a 1（q ＋q 2）＝1＋q 3q ＋q2＝（1＋q ）（1－q ＋q 2）q （1＋q ）＝1－q ＋q 2q ＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C. 答案 C4.(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d ＞0，dS 4＞0 B.a 1d ＜0，dS 4＜0 C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )， 整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3， ∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.答案 B5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150B.－200C.150或－200D.400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20).即(S 20－10)2＝10(70－S 20)， 故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A. 答案 A 二、填空题6.(2016·银川一模)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于________.解析 ∵S 1，S 3，S 2成等差数列，∴a 1＋a 1＋a 1q ＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2).∵a 1≠0，q ≠0，∴解得q ＝－12. 答案 －127.(2016·哈尔滨一模)正项等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{a n }的前9项和等于________.解析 正项等比数列{a n }的公比q ＝a 4a 2＝164＝2，a 1＝a 2q ＝2，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 0228.(2016·甘肃诊断)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1（1－q 4）1－q ＝3a 1（1－q 2）1－q，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8. 答案 8三、解答题9.(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2，从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n＝12n ， 所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n ＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *).(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式.(1)证明 依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列.(2)解 由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1， 由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1. 可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2). 当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *). 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·西宁复习检测)已知数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )A.－1B.1C.1或－1D. 2解析 ∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，∴2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，又∵a 1＝4，则有q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，∴q ＝±1，故选C.答案 C12.(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n ）1－9＝12(9n －1). 答案 B13.(2016·兰州诊断)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2 015110，则a 21＝________.解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2 015110)10＝2 015. 答案 2 01514.已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列.(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1(n ≥2).令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23， ∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列.。
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(1)
a1
0, a2
1, 3
a4
1 27
，求
Sn；
(2) Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n.
【解析】
(1)
Sn
3 4
1
1 3
n
(2)由
Sn＝a1（11－－qqn），an＝a1·qn－1
以及已知条件，得189＝a1（11－－22n）， 96＝a1·2n－1，
∴a1·2n＝192，即 2n＝1a912，∴189＝a1(2n－1)＝a1(1a912－1)，∴a1＝3，2n－1＝936＝32，∴n＝6.
(2) 知道首项 a1、公比 q 和项数 n，可以用a111－－qqn；知道首尾两项 a1，an 和 q，可以用a11－－aqnq； (3) 在通项公式和前 n 项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.
【典例讲练】
题型一 等比数列的前 n 项和公式
例 1 在等比数列{an}中，
巴蜀中学高 2022 届高一（下）数学讲义（教师版）
2.5 等比数列的前 n 项和
2.5.1 等比数列前 n 项和公式的推导及简单应用
【学习目标】
1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
【要点整合】
等比数列的前 n 项和公式 已知量
综上所述，q＝1，a3＝2 或 q＝－2，a3＝8. （2）.在等比数列{an}中，若 S3＋S6＝2 S9，求公比 q.
解析 3 4 2
例 3 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前 n 项和 Sn＝126，求 n 及公比 q. 【解析】 ∵{an}是等比数列，∴a1an＝a2an－1＝a3an－2. ∵a2an－1＋a3an－2＝256，∴a1an＝128. 又 a1＋an＝66，∴aa1n＝＝624，，或aa1n＝ ＝624. ，显然 q≠1，由公式 Sn＝a11－－aqnq＝126.
例 4 等比数列{an}中，an＞0，Sn＝80，S2n＝6 560，前 n 项中值最大的项是 54，求其通项公式 an.
2
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巴蜀中学高 2022 届高一（下）数学讲义（教师版）
【解析】 因为 Sn＝80，S2n＝6 560.故 q≠1.
所以
a1 (1 qn ) 80 1q
a1 (1 q2n ) 6560
练习 1：等比数列 1，x，x2，x3，…的前 n 项和 Sn 等于( )
1
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1－xn A. 1－x
巴蜀中学高 2022 届高一（下）数学讲义（教师版）
1－xn－1 B. 1－x
C.11－－xxn，x≠1， n，x＝1
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
答案 C
解析 当 x＝1 时，Sn＝n；当 x≠1 时，Sn＝11－－xxn.
(1) (2)
1 q
②÷①得 1＋qn＝82，所以 qn＝81③，将③代①得a1（11－－q81）＝80，即 a1＝q－1.
因为 n∈N*，且 qn＝81＞1.所以 q＞1，a1＝q－1＞0.所以{an}是递增数列，an 是前 n 项中值最大的项． 所以 a1qn－1＝54，所以 a1＝23q.
综上得 a1＝2，q＝3.所以 an＝2·3n－1 (n∈N*)． 例 5 在等比数列{an}中，a2＋a4＝60，a1·a3＝36，Sn＞400，求正数 n 的取值范围． 【解析】 由 a1a3＝a22＝36，得 a2＝±6. 再由 a2＋a4＝60，得 a4＝54 或 a4＝66. 因为 a2 与 a4 同号，所以 a2＝6，a4＝54. 再由 q2＝aa42＝9，得 q＝±3. 当 q＝3 时，a1＝aq2＝2.此时，Sn＝2（33－n－11）＞400，即 3n＞401.所以 n＞6.
公式
首项 a1，项数 n 与公比 q
na1，q＝1， Sn＝a111－－qqn，q≠1
首项 a1，末项 an 与公比 q
na1，q＝1， Sn＝a11－－aqnq，q≠1
注意：(1)在应用公式求和时，应注意到 Sn＝a111－－qqn的使用条件为 q≠1，而当 q＝1 时应按常数列求和， 即 Sn＝na1.
【学习目标】
1. 理解等比数列前 n 项和公式的函数特征. 2. 熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题.
【要点整合】
1. 等比数列前 n 项和公式的函数特征 当公比 q≠1 时，设 A＝q－a1 1，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝Aqn－A.由此可见，非常数列的等比数列的 前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1，Sn 是 n 的正比例函数. 2. 等比数列前 n 项和的性质 (1) 若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
当 q＝－3 时，a1＝－2，此时 Sn＝（－2）－[（3－－13）n－1]＞400，即(－3)n＞801.所以 n≥8(n∈N*且 n 为偶数)．
综上：当 a1＝2，q＝3 时，n 是不小于 6 的正整数． 当 a1＝－2，q＝－3 时，n 是不小于 8 的偶数．
2.5.2 等比数列前 n 项和的性质及应用
例 2 在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝623，求 an
【解析】
∵S6≠2S3，∴q≠1，又 S3＝72，S6＝623，∴
a1（11－－qq3）＝72， ① a1（11－－qq6）＝623， ②
②÷①，得 1＋q3＝9，∴q＝2.将 q＝2 代入①中，得 a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即 an＝2n－2.
n＝6，q＝2 或 q＝ 1 2
练习 3：设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于(
)
15
17
A.2
B.4
C. 2
D. 2
解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.答案 C 题型二 公式的应用
练习 2：
（1）.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3 和 q. 解析 由题意，得若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式， 得 S3＝a1（11－－qq3）＝2（11－－qq3）＝6，解得 q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.