4、选修4-4第二讲_参数方程(曲线的参数方程)

2 x 得到 y
x 2, 2


练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
(1) (x-2)2+y2=9
x sin (2) y cos2
x=t+1/t
(3)
y=t2+1/t2
(2) y=1- 2x2（- 1≤x≤1） 步骤：（1）消参； （2）求定义域。 (3) x2- y=2（x≥2或x≤- 2）
A(2，7)； B(1/3, 2/3) 3
C(1/2, 1/2)
D(1，0)
x 1 2t 已知曲线C的参数方程是 y at 2 (t为参数，a R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
x=100t=1000,
t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
练习
x 1 t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 y 4t 3(t为参数）
A(1，4)； B (25/16, 0)
C(1, -3)
D(±25/16, 0)
x sin (为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) 2、方程 y cos
( x 3)2 ( y 4)2 4
上的一点,求 PA PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
x 3 2 cos y 4 2 sin
2 2
2
2
PA PB
(4 2 cos )2 (4 2 sin )2 (2 2 cos )2 (4 2 sin )2
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（
2 x t A、 4 y t
）.
x t D、 2 y t
x sin t B、 2 y sin t
x t C、 y t
解： 在y=x2中，x∈R,
y≥0，
在A、B、C中，x, y的范围都发生了变化， 因而与 y=x2不等价； 而在D中， x, y范围与y=x2中x, y的范围相同， 代入y=x2后满足该方程，
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的角度 y 圆心为O1 (a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
b
v O
P r y x
a
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
例2 求参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) y 1 (1 sin ) 2
表示（ B ） （A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）; （B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）; （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2); （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1, 1/2).
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程： 一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程； 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
x= sin cos x= t 1 (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 sin 2 y 1 2 t
上的点是 ( B )
D (1, 3)
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 .
圆的参数方程
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. x r cos ( 为参数 ) y r sin
5、由方程x y 4tx 2ty 5t 4 0( t为
2 2 2
参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
x sin 2 5下列在曲线 y cos sin (为参数) 3 1 1 ( , 2) ( , ) C (2, 3) A 2 B 4 2
解: (1)由 x t 1 1
得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2 x 3( x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线；
( 2) x si n cos 2 si n (

4
)
所以x
2, 2

把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
60 8(3 cos 4 sin )
60 40sin( )
参数方程和普通方程的互化
x 3 cos , 在例1中，由参数方程 y sin . ( 为参数)
直接判断点M的轨迹是什么并不方便，
把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1， 轨迹是什么就很清楚了
x 3t 已知曲线C的参数方程是 y 2 t 2 1 （为参数）
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线 飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是 多少？（精确到1m）
普通方程化为参数方程：
普通方程化为参数方程需要引入参数：
如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程: x t (t为参数) y 2t 2
一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例 如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的 关系y=g(t)，那么:
x f (t ) y g( t )
就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取 值范围保持一致
x2 y2 1 的参数方程： 例3 求椭圆 9 4
(1)设 x 3cos , 为参数；
(2)设 y 2t , t 为参数.
为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
例1:
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。 解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所 以M1在曲线上．
5 3t 把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到 4 2t 2 1
6 3t (2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以a 2t 2 1
x 1 ( 2 )t 2
代入第二个方程得: y=(x-1)2/4
4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程.
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t y 2 12t
从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
所以S 3x y 3(1 2cos ) (2 2sin ) 5 6cos 2sin 5 2 10 cos( ) 1 (tan ) 3
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
例3 已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例2 已知x、y满足( x 1)2 ( y 2)2 4 ,求 S 3 x y 的最大值和最小值．
x 1 2cos , ( 为参数) 解：由已知圆的参数方程为 y 2 2sin .
第二讲：参平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。 参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。