常见曲线的参数方程
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
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距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
汇报人：XX
contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
常见曲线的参数方程PPT课件
2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
8
.
9
10
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
a
o
a
xHale Waihona Puke 16y.a
o
来看动点的慢动作
a
x
17
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
18
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
o
P
x
2a
.
19
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
20
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
ax
21
y
–a
o
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 45
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46
高等数学特殊参数曲线
高等数学特殊参数曲线1、特殊参数曲线的定义特殊参数曲线是指由参数方程表示的曲线，其中参数的取值范围或取值特点与曲线的性质密切相关。
特殊参数曲线常见的类型有直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
2、直线的参数方程直线的参数方程一般表示为：x = a + mty = b + nt其中a、b为直线上的一点坐标，m、n为方向向量，t为参数。
通过给定的参数方程，可以确定直线上的所有点。
3、抛物线的参数方程抛物线的参数方程一般表示为：x = a + bty = c + dt + et^2其中a、b、c、d、e为常数，t为参数。
抛物线的参数方程可以描述抛物线的形状、开口方向等特征。
4、椭圆的参数方程椭圆的参数方程一般表示为：x = a + rcos(t)y = b + rsin(t)其中a、b为椭圆中心的坐标，r为椭圆的半长轴、半短轴的比值，t为参数。
通过给定的参数方程，可以确定椭圆上的所有点。
5、双曲线的参数方程双曲线的参数方程一般表示为：x = a + rsec(t)y = b + rtan(t)其中a、b为双曲线中心的坐标，r为双曲线的半长轴、半短轴的比值，t为参数。
双曲线的参数方程可以描述双曲线的形状、开口方向等特征。
特殊参数曲线是描述曲线形状的一种方式。
通过给定的参数方程，可以准确地确定曲线上的各个点。
不同类型的曲线有不同的参数方程，每个参数曲线都有其独特的性质。
掌握特殊参数曲线的参数方程是研究曲线性质和解题的重要基础。
在数学学习中，我们需要通过参数方程的形式，深入理解曲线的性质，运用相关知识解决实际问题。
13.2 参数方程
1 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐 2
3 标压缩为原来的 倍得到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一 2
个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 思维导引:(1)先把直线和圆的参数方程化为普通方程,然 后利用直线被圆所截弦长公式求解;(2)先根据伸缩变换 写出曲线 C2 的参数方程,从而写出点 P 的坐标,然后根据点 到直线的距离公式求出目标函数,最后求最值.
考点二 参数方程及其应用
【例 2】 (2013 内蒙古包头市模拟)已知直线
1 x 1 t, x cos , 2 l: (t 为参数),曲线 C1: y sin y 3t 2
(θ 为参数). (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点,求|AB|;
3 d 取得最小值,最小值为 (- 2 +2)= 4
反思归纳
一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆
上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方 程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等 变换问题解决,使解题过程简单明了.
即时突破 2 已知点 P(x,y)是圆 x +y =2y 上的动点 .
(1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+a ≥0 恒成立,求实数 a 的范围.
π ρ cos =t,若两曲线有公共点,则 t 的取值范 3
围是 .
解析:将曲线 C1 的参数方程化为普通方程得 (x-2)2+y2=4, 即曲线 C1 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆, 将曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程得 x- 3 y-2t=0.
∵两曲线有公共点, ∴圆心(2,0)到直线 x- 3 y-2t=0 的距离
参数方程的简单应用
5 .参数方程与普通方程的互化。
6 .参数方程的应用。
1.曲线的参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y (t ),
(1)
并且对于t 的每一个允许值，由方程组 (1) 确定的点M( x, y )，都在这条曲线上， 那么方程组 (1) 就叫做这条曲线的参数 方程。
B
O
y
A
O D
x
C
x 2 例4： 已知点P(x,y)是椭圆 y 1 4 上一点，求 2x+y 的最值
解：设P(2cosθ,sinθ), 则 2x+y= 4cosθ+sinθ
4 1 17 ( cos sin ) 17 17值为： 17，最小值为： 17
课堂小结
利用椭圆的参数方程来表示椭圆 上点的坐标，使其只含有一个变量， 在求最值的问题中比较简便. 对于一些求轨迹方程的问题，借 助参数联系曲线上点的横纵坐标的关 系，建立曲线的参数方程，消去参数， 得到普通方程.
5.参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程 普通方程
消去参数
普通方程; 参数方程.
设适当的参数
(2)参数方程化为普通方程的方法: ①代入法:从x=f(t)中解出t用x表示,代人到 y=g(x)中,就得到普通方程。 ②公式法:利用三角公式或代数公式消去参数, 就得到普通方程.
常用的三角公式有:sin2x+cos2x=1; Sec2x-tg2x=1; csc2x-ctg2x=1;
2
2
2
b （1）当 0 b c 时，有 0 2 1 c 2 b 当 sin 2 时， |PB|2取得最大值 c 2 2 a 2 a 为 ( ) ，即|PB|取得最大值为 . c c 2 b （2）当 0 c b 时，有 2 1 c 当sinθ=-1 时， |PB|取得最大值为2b.
常见曲线的参数方程总结
x
a
曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的
x
来看动点的慢动作
2a
2a
0
y
x
a
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
t 的几何意义如图示
t
a
当 t 从 0 2，x从 0 2a
即曲线走了一拱
a
.
参数方程
o
a
C
A
x
y
这就是旋轮线的参数方程。
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
B
A
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
4.
0
x
y
x+y+a = 0
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
0
x
y
P
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =
.
.
.
.
.
距离之积为a2的点的轨迹
直角系方程
8.双纽线
0
x
y
.
所围面积
.
.
.
由对称性
.
例1 求双纽线
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y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
8.双纽线
FF 2a , 到F与F 距离之积为a2的点的轨迹 ( a 2 )
2 r 2 a 2 2ra cos 2 r 2 a 2 2ra cos
( ) 2 (r 2 a 2 ) 2 4r 2 a 2 cos2 a 4
a
.
0
r
.
例2 求曲线 r cosθ 及 r cosθ 分别所围成的图形的公 共 部分的面积 由 3cos =1+cos
y r =3cos
得交点的坐标 S= 2
θ
π 3 0
1 (1 cosθ ) 2 dθ 2
o
π 3
S
x
2 3
π 2 π 3
9 cos2 θ dθ 2
即
r 2a cos 2
2 2
cos 2 0
y
3 5 7 (0, ) ( , ) ( . ,2 )
4 4 4 4
直角系方程
( x 2 y 2 ) 2 2a 2 ( x 2 y 2 )
P
F ( a ,0)
0
r
F (a,0)
2a
.
x
. .
a
x
.
x
来看动点的慢动作
参数方程 x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a
a
0
t
a
a
2a
x
.
y
o
M t
A C
a
x
x AC OM sin t a( t sin t )
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
A
B
A
B
A
B
滑板的轨道就是这条曲线
.
y
4. 心形线(圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑
动地滚动，动圆圆周上
任一点所画出的曲线。
o
a a
x
y
.
o
a
a
x
来看动点的慢动作
y
o
a
a
x 2a
.
来看动点的慢动作
参数方程 r = a (1+cosθ)
S=2
[
π 4
π 6 0
1 2 sin2 θ dθ 2
π θ 6
θ
π 4 π 6
1 cos2 θ dθ 2
]
0
1
x
.
例4 圆ρ 1被心形线 ρ 1 cosθ 分割为两部分，求这两 部分
的面积。
y
S=
=1+cos
( cos θ ) dθ
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
1. 曲线关于 y= x 对称 2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0 3. 令 y = t x, 得参数式
3at x 3 t 1 2 3 at y t3 1
(- t , t -1)
y OC OM cos t a(1 cos t )
这就是旋轮线的参数方程。
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
.
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。
在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
3. 旋轮线是最速降线
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
常见曲线的参数方程
主 目 录（1–10 ）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旋轮线 旋轮线也叫摆线 旋轮线是最速降线 心形线 星形线 圆的渐伸线 笛卡儿叶形线 双纽线 阿基米德螺线 双曲螺线
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的
曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
s2
s
o
s1
1
s s
x
s s
. . . . . .
a2 例5. 求由双纽线 ( x y ) a ( x y ) 所围而且在圆周 x y 2 内部的面积。 θ k 令 r = 0, 双纽线化成极坐标 r a cosθ a θ k 令r , 由对称性 y 2 π π a 1 2 π 4 S=4 + π a cos2θ dθ θ 4 12 2 2 6 π θ 6 ( )a
0
a
a
x
. . . . .
0
r
.
阿基米德螺线 r =a
当 从 0 –
0
r
.
10
θ
双曲螺线 r
a
这里 从 0 +
lim r 0
极点是曲线的渐近点 y rsin a si n lim y a
θ 0
a
.
y a是曲线的渐近线
0
r
. .
双曲螺线
r
a
当 从 0 –
.
0 2
6. 圆的渐伸线 一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹 参数方程为
x a(cost t sint ) y a(sint t cos t )
a x y
0
再看一遍
y
.
0
a
x
y
0
a
.
x
y
0
a
.xຫໍສະໝຸດ x a(cost t sint ) 参数方程为 y a(sint t cos t )
y
M (x,y)
a
0
t
t a
.
x
试由这些关系推出曲线的方程
7.狄卡儿叶形线
分析
x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
当 t , ( x, y ) (0,0)
当 t 0, 也有 ( x, y) (0,0)
故在原点，曲线自身相交. 4. 当 t 由 , 动点由(0,0) (,-) 当 t 由 , 动点由( ,) (0,0)
.
.
. . . . .
3 5 7 , , 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 4 4 4 4
例1 求双纽线 r 2 2a 2 cos 2 所围面积
由对称性
S
r ( )d a cosd 2a 2 y
y
P r
x
o
2a
.
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆 内缘无滑动地 滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。 –a
a 4
o
a x
y
.
–a
o
a x
来看动点的慢动作
y
–a
o
a x
来看动点的慢动作
.
y
直角坐标方程为：
x y a
2 3
2 3
2 3
P
.
.
–a
o
a x
极坐标方程为
x a cos3 3 y a si n
=1+cos
.
. . . .
令 cos2 = 0, θ k
例3.求曲线 r sinθ 及 r 2 cos θ 分别所围成的图形的公 共 部分的面积 θ θ , 联立后得交点坐标 y
由 sin > 0, θ
0
4
2a
x
. . . .
9.
阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线
动点在射线上作等速运动
同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
0
r
.
0
r
.
请问：动点的轨迹什么样？
再看一遍
0
r
.
0
r
.
阿基米德螺线 r =a
0
r
.
阿基米德螺线
r =a 这里 从 0 +
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数