海南高考真题 数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）

理科数学

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）()31-，

（B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--，

（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A

B =

（A ）{}1 （B ）{12}，

（C ）{}0123，，， （D ）{10123}-，，

，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8

（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=

（A ）4

3

-

（B ）3

4- （C （D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π

（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ

26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =

-∈ （D ）()ππ212

Z k x k =+∈

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34

（9）若π

3

cos 45

α??-= ???，则sin 2α= （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）7

25-

（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为

（A ）4n m （B ）2n

m （C ）4m n

（D ）2m

n

（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22

221x y a b -=的左，右焦点，点

M 在E 上，

1MF 与x 轴垂直，sin 211

3

MF F ∠= ,则E 的离心率为

（A

（B ）

32

（C

（D ）2

（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1

x y x

+=与()y f x =图像的交点

为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1

m

i i i x y =+=∑（ ）

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4

cos 5A =，5

cos 13

C =，1a =，

则b = ．

（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： （15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是

（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表

示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，；

（II）求数列{}

b的前1 000项和.

n

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5

4

，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=.

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)

的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

(I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++>

(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（

） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲 如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F. (I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；

(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B 两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.（I）求M；

（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案 1.【解析】A

∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．

2.【解析】C

()(){}

120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，

，∴{}0123A B =，，，，故选

C ．

3.【解析】D ()42a b m +=-，，

∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +?=--= 解得8m =， 故选D ．

4.【解析】A

圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，

故圆心为()14，，1d ==，解得4

3

a =-

， 故选A ．

5.【解析】B E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318?=种走法 故选B ．

6.【解析】C

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()

2

2223

4l =

+=，

21

π2

S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选

C ．

7.【解析】B

平移后图像表达式为π2sin 212y x ?

?=+ ??

?，

令ππ2π+122x k ?

?+= ?

??，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．

8.【解析】C

第一次运算：0222s =?+=， 第二次运算：2226s =?+=， 第三次运算：62517s =?+=， 故选C ．

9.【解析】D ∵3cos 45πα??-= ???，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ?

????

，故

选D ．

10.【解析】C

由题意得：()()12i i x y i n =???，，，，在如图所示方格中， 而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中

由几何概型概率计算公式知

π41m n

=，∴4πm

n

=

，故选C ．

11.【解析】A 离

心

率

12

21

F F e MF MF =

-，由正弦定理

得

122112sin 31

sin sin 13

F F M e MF MF F F ===---A ．

12.【解析】B

由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，

对称，而11

1x y x x

+==+也关于()01，对称，

∴对于每一组对称点

'0

i i x x +=

'=2

i i y y +，∴

()1

1

1

022

m m m

i i i i i i i m

x y x y m ===+=+=+?

=∑∑∑，故选B ．

13.【解析】21

13 ∵

4cos 5

A =

，

5cos 13

C =

，

3sin 5

A =

，

12sin 13

C =

，

()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=

， 由正弦定理得：sin sin b

a

B A =解得21

13b =．

14.【解析】②③④

15.【解析】 (1,3)

由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，

若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），

16.【解析】 1ln2-

ln 2y x =+的切线为：11

1

ln 1y x x x =

?++（设切点横坐标为1x ）()ln 1y x =+的切线为：

()22221ln 111x y x x x x =++-++∴()122

12

2111ln 1ln 11x

x x x x x ?=?+???+=+-?+?

解得112x = 21

2

x =-

∴1ln 11ln 2b x =+=-．

三.解答题

17.（本题满分12分）

【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.

试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =

111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======

（Ⅱ）因为0,110,

1,

10100,

2,1001000,

3,

1000.

n n n b n n ≤

≤

所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.?+?+?=

18.（本题满分12分）

试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故

()0.20.20.10.050.55.P A =+++=

（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=

又()()P AB P B =，故()()0.153

(|).()()0.5511

P AB P B P B A P A P A =

=== 因此所求概率为

3.11

（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为

0.850.300.05

1.23EX a a

=?=

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23

19.（本小题满分12分）

试题解析：（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CF

AD CD

=

，故//AC EF .

因此EF HD ⊥，从而'EF D H ⊥.由5AB =,6AC =得

04DO B ===.

由//EF AC 得

1

4

OH AE DO AD ==.所以1OH =，'3D H DH ==. 于是1OH =，'222'23110D H OH D O +=+==， 故'D H OH ⊥.

又'D H EF ⊥，而OH EF H ?=， 所以'D H ABCD ⊥平面.

B

y

（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，

()'0,0,3D ，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()'3,1,3AD =.设()111,,m x y z =是平面'

ABD 的法向量，则'

m AB m AD ??=???=??，即11111340330x y x y z -=??++=?，所以可以取

()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'

ACD 的法向量，则'

n AC n AD ??=??

?=??，即222260

330

x x y z =??

++=?，

所以可以取

()

0,3,1n

=-.于是

cos ,2550m n m n m n

?<>=

=

=， 295

sin

,25m n <>=.因此二面角

'B D A C --

20.（本小题满分12分）

试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程

为22

143

x y +=，()2,0A -.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4

π

.因此直线AM 的方程为2y x =+.

将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或12

7y =，所以

112

7

y =

. 因此AMN ?的面积11212144

227749

=??

?=

. （II ）由题意3t >，0k >

，()A .

将直线

AM

的方

程

(y k x =+代入

22

13

x y t +=得

(

)2

2

222330tk x

x t k t +++-=.

由(22

123t k x tk ?=+

得)

212

33tk x tk -=+，

故

1AM x ==

由题设，直线AN 的

方程为(1

y x k

=-

，故同理可

得

AN ==

，

由2AM AN =得

22

233k

tk k t

=++，即()()32321k t k k -=-

. 当k =

因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()

2

3233

21

32022

k k k k k k k -+-+-=<--， 即32

02k k -<-.由此得3

2020k k ->??-

k k -

->?2k <<.

因此

k 的取值范围是)2.

21.本小题满分12分）

试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-?-+∞.

222

(1)(2)(2)'()0,(2)(2)

x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20x x x e x x e x ->-+-++>

（II ）2

2(2)(2)2

()(()),x x e a x x g x f x a x x

-+++==+ 由（I ）知，

()f x a

+单调递增，对任意

[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥

因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =， 当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减； 当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为

000

000022

000(1)+()(1)().2

x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是0

0h()2

x e a x =+，由2

(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得0022

01().2022224

x e e e e h a x =<=≤=+++

因为2x e x +单调递增，对任意2

1(,],24e λ∈存在唯一的

0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈

使得(),h a λ=所以()h a 的值域是2

1(,],24

e

综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是2

1(,].24

e

22.

试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ?~? 则有,

,DF DE DG

GDF DEF FCB CF CD CB

∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ?~?由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.

（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，

由G 为Rt DFC ?斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ?~? 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ?面积GCB S ?的2倍，即

111

221.222

GCB S S ?==???=

23.

试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程

212cos 110.ρρθ++=

（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得

212cos 110.ρρα++=

于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=

22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-

由||AB =

得23cos ,tan 8αα==， 所以l

的斜率为

3

或3-.

24.

试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ?-≤-??

?=-<

?

?≥??

当1

2

x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122

x -<<时， ()2f x <；

当12

x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.

（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而

22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，

因此|||1|.a b ab +<+