上海师大固体物理 第五章(1)Bloch定理
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
布洛赫定理
布洛赫定理（一） Bloch 定理：势场()U r →具有晶格周期性时，即()U r →=()n U r R →→+ （1） 电子的波函数满足薛定谔方程的解具有以下性质：()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→（2）根据()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→，电子的波函数()r ψ→满足：()r ψ→=ni k R e→→·()u r →其中，()u r →为与势能同周期的周期性函数，()u r →=()n u r R →→+n R →为势场的周期（二）Bloch 定理的证明： （1） 证明H ∧具有周期性。
（2） 引入平移对称算符()n T R ∧→，证明平移对称算符与哈密顿算符H ∧对易，两者具有相同的本证函数。
（3） 由平移对称的本征值方程导出··ni k R n r R e r ψψ→→→→→⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据证明（2）知r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭也是哈密顿算符H ∧的本征函数，综合上述要点便可证明Bloch 定理的第一条性质。
证明：（1）H r ∧→⎛⎫ ⎪⎝⎭=—22()2r m →∇ +()U r → 在直角坐标系中：2()r →∇=222222x y z ∂∂∂++∂∂∂=222222112233()()()x n a y n a z n a →→→∂∂∂++∂+∂+∂+ =2()n r R →→∇+其中112233n R n a n a n a →→→→=++为势能的一个周期或者若干个周期。
∴()n H r R ∧→→+=—22()2n r R m →→∇+ +()n U r R →→+=—22()2r m→∇ +()U r → ∴()n H r R ∧→→+=()H r ∧→引入平移对称算符（简称平移算符）()n T R ∧→：()n T R ∧→·()f r →=()n f r R →→+()f r →为任意函数2()n T R ∧→·()f r →=()n T R ∧→·()n f r R →→+=(2)n f r R →→+ ()ln T R ∧→·()f r →=()n f r l R →→+=()n T lR ∧→·()f r →由上式知：()ln T R ∧→=()n T lR ∧→将平移算符作用到定态薛定谔方程中：()n T R ∧→·()H r ∧→·()r ψ→=()n H r R ∧→→+·()n r R ψ→→+=()H r ∧→·()n T R ∧→·()r ψ→∴()n T R ∧→·()H r ∧→=()H r ∧→·()n T R ∧→∴平移算符与哈密顿算符是对易的。
bloch定理 相位因子
bloch定理相位因子Bloch定理是量子力学中的一个重要定理，用于描述自旋1/2的粒子在磁场中的运动。
相位因子是Bloch定理中的一个关键概念，它对粒子的运动轨迹和态矢量的演化起着重要作用。
我们来了解一下Bloch定理的基本内容。
Bloch定理是由瑞士物理学家Felix Bloch在1946年提出的，它描述了自旋1/2的粒子在均匀磁场中的运动。
根据Bloch定理，粒子的波函数可以分解为一个幅度因子和一个相位因子的乘积形式。
幅度因子描述了粒子在空间中的分布，而相位因子则描述了粒子的相对相位。
相位因子是Bloch定理中的一个重要概念。
它由一个复数表示，它的模表示了粒子的幅度，而它的幅角表示了粒子的相位。
相位因子的变化会导致粒子的运动轨迹发生变化。
根据Bloch定理，相位因子的演化是由一个旋转算符来描述的，这个旋转算符对应着磁场的作用。
在实际应用中，我们可以通过改变磁场的强度和方向来控制相位因子的演化。
通过调整磁场的参数，我们可以实现对粒子的操控，例如改变粒子的自旋方向或者将粒子从一个自旋态转化为另一个自旋态。
这为实现量子计算和量子通信提供了可能。
相位因子的变化还会对粒子的态矢量产生影响。
态矢量描述了粒子的量子态，它可以用来计算粒子的物理性质。
在Bloch定理中，态矢量的演化是由相位因子来决定的。
通过改变相位因子，我们可以改变粒子的态矢量，从而实现对粒子的操控。
这为量子信息处理和量子通信提供了理论基础。
相位因子还可以帮助我们理解量子力学中的一些重要现象，例如干涉和纠缠。
干涉是指两个或多个波的叠加产生的现象，它在量子力学中也存在。
根据Bloch定理，相位因子的变化可以导致粒子的干涉现象，从而产生干涉条纹。
纠缠是指两个或多个粒子之间存在着特殊的量子关联关系，它在量子力学中也是一个重要概念。
相位因子的变化可以导致粒子之间的纠缠现象，从而实现量子纠缠。
Bloch定理中的相位因子对于描述自旋1/2的粒子在磁场中的运动和态矢量的演化起着重要作用。
布洛赫定理
2 2 2m U r r E r
其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢， 方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
—— Bloch函数 （Bloch wave function）
2 2 2m U r r E r 其中： U (r Rn ) U (r )
这个方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有 离子之间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析， 令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波 仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。
——F Bloch 一. Bloch定理 • 能带理论的基础 • 针对周期性结构
的解可以表示为： k (r) f (r)uk (r) 其中 uk (r Rn ) uk (r ) 势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率
(r)
2
也必定是周期性的，这就给未知函数 f ( r ) 附加了下述
条件： 对于所有
f ( r Rn ) f ( r )
2
2
• 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。
floquet bloch定理
floquet bloch定理
Floquet定理和Bloch定理都是线性周期系统中的重要定理。
Bloch定理（也称为Bloch理论或Bloch波函数）描述了处于周期性晶格结构中运动的电子被周期性调幅的波函数形式，即波矢量k和振幅u(r)的乘积。
这个定理是由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov，1892年）等独立地提出。
Floquet定理则表述了一个具有周期系数的线性常微分方程可以通过约化成为一个常系数的常微分方程。
考虑方程：x ˙ = A(t)x\dot{x}=A(t)xx˙=A(t)x其中A(t)关于t是T周期的。
通过一些操作，可以将这个周期系数的线性方程约化为常系数方程。
这个定理具有非常重要的意义，因为它的高度概括性，使得它能应用在自然科学的很多领域，量子力学当中有这样一个结论：电子在一类周期势中运动时，其定态波函数总可以表示成一个平面波乘以适当的与势同周期的周期函数。
在Floquet定理中正是Φ(t)=P(t)e−BTP\Phi(t)=P(t)e^{-BT}\Phi(t)=P(t)e−BT。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅数学、物理相关书籍或咨询数学、物理专家。
布洛赫定理知识点
布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
bloch定理
bloch定理布洛赫定理（BlochTheorem）是物理学界最重要的定理之一，也是量子力学和物理化学领域中最基础的定理。
它是由德国物理学家费里克斯布洛赫（Fritz Bloch）在1929年发现的，概括性地描述了离散有限系统的电子状态，在量子力学领域得到了广泛的应用。
一、布洛赫定理的内容布洛赫定理指出，一个简单离散系统中电子状态的波函数，在一个周期序列上必须满足以下条件：1、波函数在周期序列的最后一节点，必须与在周期序列的第一节点处的波函数相同，即ψ (r + R) = (r)；2、波函数在周期序列的最后一节点处，其导数与在该序列的第一节点处的导数乘以1乘积，也必须相等，即 (r + R) = (r)。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理最主要的应用是用于计算离散系统中的能量状态，它可以用来显示特定的离散系统的电子模式。
此外，它还可以用于计算离散系统中的电子结构，如电子结构图正确性的验证，以及离子键的数量的确定。
布洛赫定理也可以应用于分子原子轨道计算中，帮助科学家们解释分子结构。
它也可以用来计算原子势能，从而实现对溶液中物质结构与化学行为的研究。
布洛赫定理还可以用于研究分子光谱，利用它可以求出离子测试的能量，从而得到分子的光谱线，从而确定分子的结构。
布洛赫定理的另一个重要应用是用来研究多电子系统中的电子交换现象。
它也可以用来研究公共电子结构、簇量子现象、多电子系统中最低能量状态等。
三、布洛赫定理的影响布洛赫定理是量子力学领域最基础的定理，其影响是广泛的。
它极大地丰富了物理科学在分子尺度上的研究，为科学家提供了一种新的思路，来实现对物质结构和化学行为的研究。
此外，布洛赫定理还可能在未来的物理、化学研究中发挥重要的作用。
比如，一些高精度的激光测量，可以用来研究离子的结构与性质，这正是布洛赫定理可以提供的帮助。
四、结论布洛赫定理自1929年以来，一直是物理学界最重要的定理之一，在量子力学领域得到了广泛的应用。
固体物理答案第五章1
∑ f ( x la )
∞
为某一确定的函数） （ f 为某一确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢。 试求电子在这些状态的波矢。
r r r r r ir Rn 解： 由式 ψk r + Rn = e ψk (r )
(
)
可知， 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
ψ k ( x + a ) = e ikna ψ k ( x )
v* a =
1 v i o 2A v* 1 v b = j o 4A
v* v* 以 a ,b
为基矢构成的倒格子
B3
ky
B2
A2
b
B1
A1
如图6-11所示 图中“。” 所示,图中 如图 所示 图中“
A3
o
代表倒格点。由图可见， 代表倒格点。由图可见， 矩形晶格的倒格子也是 矩形格子。 矩形格子。 第一区
(s = 0,1,2...
n = ±1,±2...)
5.2 电子在周期场中得势能
1 2 2 2 mω b ( x na ) V (x) = 2 0
[
]
当na b ≤ x ≤ na + b
当(n - 1)a + b ≤ x ≤ na b
是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 且 a = 4b, ω 是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 V(x) 解：
r k ya kza k xa at E k = E s A 8J cos cos cos 2 2 2
并求能带宽度。 并求能带宽度。 用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点 用紧束缚方法处理晶格的 态电子， 解： 态电子 的相互作用时，其能带的表示式为 的相互作用时，
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ˆ T ˆ U H e ee
r i r j U en r i R n
绝热近似对能级影响在10-5 eV
2. Hatree-Fock平均场近似（单电子近似）
严格来说，体系中的每一对电子之间都有相互作用。 平均场近似是指对于单个电子，把其它电子对它的作用看成一个平均 场，即假定每个电子所处的势场都相同，使每个电子的电子间相互作 用势能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关。
周期势场近似：周期场中的单电子运动问题
固定的离子势场看作周期势场，电子的平均场是常势场。 在单电子近似和晶格周期势场近似下，把多电子体系问题简化为在 晶格周期势场下的单电子定态问题，即
2 2 V r r E r 2m
ˆ （1）引入平移对称算符 T ( R n )
• 平移对称操作算符：代表平移格式的对称操作，任意一 个函数 f r 经平移算符作用后变成
ˆ T Rn f r f r Rn
ˆ f ( r )可以是V ( r )， ( r )，H ( r ) r i , E Ei ，代入薛定谔方程， 由分离变量法，令 r1 r i i
ˆ ri E ri H i i i i
所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得 i r i , Ei ，便可得
也是严
格周期性的，
V r V r R n
平移对称性是晶体单电子势最本质的特点
绝热近似：多粒子的多体问题一种粒子的多电子问题
所有离子都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子的碰撞
平均场近似：多电子问题单电子问题
忽略电子与电子间的碰撞，用平均场代替电子与电子间的相互作用。每个电子都 是固定的离子势场和其它电子的平均场中运动的。
R n a n a n a R 其中 k 为电子波矢， n 是格矢， n 1 1 2 2 3 3 。
（1）Bloch定理适用条件：单电子近似
意思是所考察电子在其它电子的平均作用下运动，包括其本身 ，而并不考虑其它电子的具体运动情况 单电子近似并非所研究的系统只有一个电子。系统可以有多个 电子，但是波函数十单电子的波函数，多个单电子方程。但所 有单电子都满足同样的方程，因此这个单电子方程的解对所有 电子都适用，是所有电子的解。 如果该近似用到不满足这个近似的体系——强关联体系，会出 现反常现象。
2 2 V r r E r 2m
的本征函数是按布喇菲格子周期性调幅的平面波，即
ik r k (r ) e uk (r ),
V r V r R n
且
uk r uk r Rn
F. Bloch
5.2.1 布洛赫定理
1. 晶格的周期性势场
在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和； 每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势能与距离成反比)； 理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性； 电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附 加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。 电子在一个具有晶格周期性的势场中运动
V r ue r ui r 电子与电子之间的相互作用，在平均场近似下代表一种平均势能 ue r : ，为一恒量 ui r : 离子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期
V r
具有晶格周期性。假定晶格是严格周期性的，那么
V r
能带理论仍然是一个近似理论
第一节 能带理论的基本假设
假设在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电 子，那么该系统的哈密顿量为：
2 2 1 e 2 / ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 i , j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n i 1 2 M ˆ U ri r j T ˆ U Rn Rm U ri Rn T e ee n nm en N
• 1927年薛定谔方程
量子力学基础
• 1928年Bloch定理， 能带理论基础
量子自由电子论
(1927年Sommerfeld索末菲)
保持自由电子观点，用量子行为约 束。简单直观，使用方便。
能带论
(1928年 Bloch布洛赫)
彻底改变观念，放弃自由假定， 建立了固体理论新模式。理论复 杂，数十年方才完善。 • 1930年布里渊讨论了 带隙，提出布里渊区 的概念 • 1963年Kohn建立了 密度泛函理论
ˆ 表示第 用 H i
i
个电子的哈密顿算符，
2 2 ˆ H i ue r i ui r i i 2m
电子体系的哈密顿算符为单个电子的哈密顿算符之和
ˆ H ˆ H i
i
薛定谔方程方程变为
ˆ r1 r i E r1 r i H
第五章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
晶体中电子能带理论
能带理论的基本假设 布洛赫定理及布里渊区 近自由电子近似 平面波方法 紧束缚近似方法 能带途径 能带结构 能带信息 习题课
本章研究的问题：电子在固体中的状态
金属导电 理论研究 的发展
经典自由电子论
(1900年 Drude德鲁特)
到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一 个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。
3. 周期势场假设
考虑一理想完整晶体，所有的离子实都周期性地静止排列在其平衡位置 上，每一个电子都处在除其自身外其它电子的平均势场和离子实的势场 中运动。按照周期场近似，电子所感受的势场是具有周期性。 哈密顿算符的势能项为
NZ个电子的动能和 电子之间的库仑相 互作用能
N个离子实的动能 和库仑相互作用能
电子和离子实之间 的相互作用能
体系的薛定谔方程为
ˆ H r , R E r , R
1. Born-Oppenheimer绝热近似
认为电子运动的速度比原子核要快许多，因此在描述电子行为时，认为 原子核是近似不动的，电子在原子核的势场中运动； 价电子对晶体性能影响最大，并且在结合成晶体时，原子的价电子的状 态变化最大，而原子的内层电子状态变化很小，因此可以把内层电子和 原子核看成一个离子实，这样价电子就在固定不变的离子场中运动。
V r V r R n
（其中Rn为任意格点的位矢）
2 2 V r r E r 2m
2. 布洛赫定理：第一种表述
对于周期性势场，即
其中 R n 取布喇菲格子的所有格矢，单电子的薛定谔方程
2 2 1 e 2 / ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 M 2 i 1 i, j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n ˆ ˆ Te U ee r i r j Tn U nm R n R m U en r i R n N
NZ 1 e2 U ee ri rj ' u r e i 2 i. j 4 0 ri rj i 1
U en
NZ N ri Rn
i 1
NZ N NZ Ze 2 ui ui ri n 1 4 0 ri Rn i 1 n 1 i 1
1/2
const。
• 实际上晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周 围，因此，其波函数就具有 k
i k r r e uk r 的形式。周期函数的性质 uk r
反映了电子与晶格相互作用的强弱。 晶体中电子： k
i k r r e uk r
（2）对定理的说明
ik r (r ) e (r ) u 具有 k 形式的波函数称为布洛赫波函数 k
• 行进波因子 e ：描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体 中运动。 若电子完全被束缚在某个原子周围，则 e 孤立原子： k
i k r
ikr
• 举例说明
(a) 沿某一列原子方向电子的势能
V r V r R n
(b) Bloch函数中周期函数因子
uk r
(c) 平面波的实数部分
e
ikr
(d) 某一本征态波函数的实数部分
k
i k r r e uk r
3. 布洛赫定理的证明
i k r Bolch函数或Bloch波。光滑曲线表示被振荡函数uk r 调制的 e 波。
周期势场中的电子波函数必定是按晶格周期函数调幅的平面波
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共 有化运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。