分式与高次不等式的解法举例
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分式高次不等式
分式、绝对、高次不等式1、形如a x f >|)(|或)0(|)(|><a a x f 的不等式的解法a x f a x f a x f -<>⇔>)()(|)(|或（a>0）)0()(|)(|><<-⇔<a a x f a a x f例1、 解不等式：（1）19|43|≤-x （2）3|421|>+-x （3）16|48|2>-x （4）1|54|2<+-x x2、形如)(|)(|x g x f >或)(|)(|x g x f <的不等式的解法)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ->⇔>〈或)()()()(|)(|x g x f x g x g x f -<<-⇔<例2：解不等式：（1）2||2x x x <- （2）x x 2|21|2>-3、形如或|)(||)(|x g x f >|)(||)(|x g x f 〈的不等式的解法)()(|)(||)(|22x g x f x g x f >⇔>)()(|)(||)(|22x g x f x g x f <⇔<例3：解不等式：（1）|x-1|>|x-3| (2)|3x+2|<|2x+3|4、含有两个或两个以上的不等式的解法（用零点法分区间去掉绝对值）例4、解不等式：(1)|x-5|-|2x+3|<1 (2)|x+3|>|x-5|+7(3)|x-4|+|x-3|<a 的解集为非空，求a 范围.5、（1）解分式不等式的步骤1， 2， 3，（2）分式不等式的几个重要的等价变形()()0>x g x f ⇔ ()()0<x g x f ⇔ ()()0≥x g x f ⇔ ()()0≤x g x f ⇔ （3）高次不等式：1、注意最高项系数，2、奇穿偶不穿例5、解不等式（1）0)1)(1()2)(1(322>----x x x x x（2） 0322322<--+-x x x x （3）．322322--+-x x x x ≥0 （4）)23(2+-x x )32(2+-x x ≤0（5）1322322<--+-x x x x （6）()121>--x x a （7）()()0232123<+-+-x x x x x例6解不等式（1）()()0<---b ax b x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛>>>0b a a b （2）()121>--x x a例7、（1）.已知对于任意实数x ,不等式0122<+-+-x x k x kx 恒成立,求实数k 的取值范围 （2）已知p 为整数,且不等式6163222≤+-++≤x x px x 对于任何实数x 都成立,求p .1、|2x-1|<3的解集是（）A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-1,2)D.(-)-∞⋃,+∞)1,2(2、设命题甲为：0<x<5, 命题乙为：|x-2|<3,那么（）A．甲是乙的充分非必要条件B．甲是乙的必要非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既非充分又非必要条件3、不等式|x-1|>|2x-1|的解集是4、不等式|x2-4|>3的解集5、不等式|2x2-5x-1|<3的解集6、不等式|x-5|+|x+2|<7的解集7、不等式|x-3|<|2x-1|的解集8、解不等式：(1)|x2+x|>3|x|(2)|-x2+2x-3|<|3x-1||x2-2x|≥39、解关于x的不等式组：x-a<010、解不等式：（1）|x2+x-2|<x (2)|x+1|+|2x-1|>31、 已知2<a<3,则关于x 的不等式（x-2）（x-3）（x-a ）<0的解集是( )A.{}32|><<x a x x 或B. {}32|<<<x a x x 或C.{}a x x x ><<或32|D. {}a x x x <<<32|或 2、不等式()12++x x ()234x x -+<0的解集是_____________ 3、设0<a<1, 则不等式011>--x ax 的解集是____________ 4、 不等式()12102<+-<x x 的整数解是___________5不等式0)2)(383(22<---x x x 的解集为6、不等式0)1()10)(3(2≥---x x x x 的解集为 7.已知对于任意实数x ,不等式0122<+-+-xx k x kx 恒成立,则实数k 的取值范围是 8.不等式11<-x ax 的解集为1{<x x 或}2>x ,那么a 的值是 9、解关于x 的不等式（1）0))(3)(1(<--+a x x x （2）()()0232123<+-+-x x x x x （3）、 0)1)(1()2)(1(322>----x x x x x （4） 3451820422≥+-+-x x x x。
分式与高次不等式的解法举例(PPT)3-3
2、解不等式
x1 x2ຫໍສະໝຸດ 0.尝试1：按商的符号法则，原不等式等价于
{ { 不等式组：x10 (1)或
x10
(2)
x20
x20
原不等式的解集是上面这两个不等式组的解集的并集，
为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式(x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为{x x 2或x 1}
不等式解法举例(2)
分式不等式与高次不等式的解法
若改为：x1 2x
0呢？
后，按一定比例加入磷肥、氨肥、石灰和水，进行发酵。发酵的熟料装袋可用于生产食用菌，如鸡腿菇、蘑菇等，生物转化率可达到%-%，废弃物可用作农 家肥。玉米秸秆新型饮料，色泽鲜明，有秸秆特殊的香气，酸甜可口的特点，并具有优良口感和均匀的组织状态。 [] 加工应用 玉米子粒由表皮、胚乳、胚 芽、根冠四部分组成。依据； GMAT：https:/// ； 其结构特性， 果实 果实(张) 其深加工分为干法和湿法两种。干法是指干磨玉米，产品 主要用于各类食品、饲料和发酵工业。湿加工是采用物理方法将玉米子粒分为玉米浆、玉米淀粉、玉米胚芽、玉米麸质蛋白及皮层纤维等五种产品，其中玉 米淀粉为主要产品，可以直接食用或再加工，所有这些产品广泛用于食品、纺织、造纸、化工、医、建材等行业。 [] 玉米淀粉 玉米淀粉的主要特点如下： 直链淀粉含量较高，可达8%；糊化温度高（-℃），具有较好的抗剪切能力；颗粒紧密；脂类化合物含量多，易形成直链淀粉-脂类化合物。淀粉约占玉米籽 粒干重的%左右，是玉米籽粒的重要组成部分。利用物理、化学等方法可以将淀粉转化为低分子化合物或高分子聚合物，可以作为良好的加工原料。玉米淀 粉的提取技术主要有干法和湿法种加工方法。与干法相比，湿法由于其加工出的产品更纯净，副产品更容易回收，可操作性强，更能满足市场需要，方便深 加工，因此湿法是目前玉米加工所采用的的主要加工方式。 [] 玉米蛋白粉 玉米蛋白的主要存在形式有玉米醇溶蛋白、玉米谷蛋白种，它们都是水不溶性蛋 白。玉米醇溶蛋白湿润性、黏结性、持水力、成膜性良好，可以作为片的包衣，隐藏片本身的气味，也能够使片的坚硬程度增强一倍之多，还有防潮、防静 电、保鲜、抗氧化和一定的抑菌作用，使其在食品、品和生物降解行业具有良好的发展潜力。 [] 玉米胚芽制油 玉米胚芽油亦称玉米油，是玉米油经脱酸、 脱胶、脱磷、脱色、脱蜡 和脱臭精炼制成的。每kg玉米含8-kg胚芽，每kg纯胚芽含-kg油脂，是大豆含油量的倍。通常玉米油颜色为金黄、呈透明状，有新 鲜玉米的香味。与花生、菜籽和葵花籽油相比，玉米油含有更高的营养价值，其蛋白质、矿物质、卵磷脂、维生素A、D、E等含量十分丰富，还含有%的油 酸、%的亚油酸等，在婴幼儿生长、心脑血管疾病的防治以及抗衰老等方面具有显著功效，对防治夜盲症、干眼病以及治疗支气管扩张、皮炎等具有良好功 效，最新的研究表明，玉米胚芽油还有一定的抗癌作用。 [] 玉米淀粉制糖 中国淀粉制备的糖类产品多达个，如销量很高的木糖醇、麦芽糊精、麦芽
x1 x2ຫໍສະໝຸດ 0.尝试1：按商的符号法则，原不等式等价于
{ { 不等式组：x10 (1)或
x10
(2)
x20
x20
原不等式的解集是上面这两个不等式组的解集的并集，
为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式(x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为{x x 2或x 1}
不等式解法举例(2)
分式不等式与高次不等式的解法
若改为：x1 2x
0呢？
后，按一定比例加入磷肥、氨肥、石灰和水，进行发酵。发酵的熟料装袋可用于生产食用菌，如鸡腿菇、蘑菇等，生物转化率可达到%-%，废弃物可用作农 家肥。玉米秸秆新型饮料，色泽鲜明，有秸秆特殊的香气，酸甜可口的特点，并具有优良口感和均匀的组织状态。 [] 加工应用 玉米子粒由表皮、胚乳、胚 芽、根冠四部分组成。依据； GMAT：https:/// ； 其结构特性， 果实 果实(张) 其深加工分为干法和湿法两种。干法是指干磨玉米，产品 主要用于各类食品、饲料和发酵工业。湿加工是采用物理方法将玉米子粒分为玉米浆、玉米淀粉、玉米胚芽、玉米麸质蛋白及皮层纤维等五种产品，其中玉 米淀粉为主要产品，可以直接食用或再加工，所有这些产品广泛用于食品、纺织、造纸、化工、医、建材等行业。 [] 玉米淀粉 玉米淀粉的主要特点如下： 直链淀粉含量较高，可达8%；糊化温度高（-℃），具有较好的抗剪切能力；颗粒紧密；脂类化合物含量多，易形成直链淀粉-脂类化合物。淀粉约占玉米籽 粒干重的%左右，是玉米籽粒的重要组成部分。利用物理、化学等方法可以将淀粉转化为低分子化合物或高分子聚合物，可以作为良好的加工原料。玉米淀 粉的提取技术主要有干法和湿法种加工方法。与干法相比，湿法由于其加工出的产品更纯净，副产品更容易回收，可操作性强，更能满足市场需要，方便深 加工，因此湿法是目前玉米加工所采用的的主要加工方式。 [] 玉米蛋白粉 玉米蛋白的主要存在形式有玉米醇溶蛋白、玉米谷蛋白种，它们都是水不溶性蛋 白。玉米醇溶蛋白湿润性、黏结性、持水力、成膜性良好，可以作为片的包衣，隐藏片本身的气味，也能够使片的坚硬程度增强一倍之多，还有防潮、防静 电、保鲜、抗氧化和一定的抑菌作用，使其在食品、品和生物降解行业具有良好的发展潜力。 [] 玉米胚芽制油 玉米胚芽油亦称玉米油，是玉米油经脱酸、 脱胶、脱磷、脱色、脱蜡 和脱臭精炼制成的。每kg玉米含8-kg胚芽，每kg纯胚芽含-kg油脂，是大豆含油量的倍。通常玉米油颜色为金黄、呈透明状，有新 鲜玉米的香味。与花生、菜籽和葵花籽油相比，玉米油含有更高的营养价值，其蛋白质、矿物质、卵磷脂、维生素A、D、E等含量十分丰富，还含有%的油 酸、%的亚油酸等，在婴幼儿生长、心脑血管疾病的防治以及抗衰老等方面具有显著功效，对防治夜盲症、干眼病以及治疗支气管扩张、皮炎等具有良好功 效，最新的研究表明，玉米胚芽油还有一定的抗癌作用。 [] 玉米淀粉制糖 中国淀粉制备的糖类产品多达个，如销量很高的木糖醇、麦芽糊精、麦芽
分式与高次不等式的解法举例
点评：又2，3可知，分式不等式与高次不等式均可利用商或积 的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式 （组）求解。这种方法叫同解转化法。
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分 别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相 同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：{x︳1<x<1或2<x<3}. 问：如果不等式是 该如何解？
x 2 3 x 2 x 2 2 x 3
0
若题目改为：
( x1)( x2) ( x3)( x1)
0呢？
若题目改为：(x-1)2(x-2)(x-3)(x+1)<0呢？
+
-
1
2
-
+ 3
将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为 不等式y>0的解集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}. 总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
不等式解法举例(2)
分式不等式与高次不等式的解法
2、解不等式
不等式组： {
x 1 0 x 20
x 1 x 2
0.
尝试1：按商的符号法则，原 不等式等价于 (1)或{
x 1 0 x 2 0
(2)
原不等式的解集是上面 这两个不等式组的解集 的并集， 为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式 ( x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为 {x x 2或x 1}
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分 别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相 同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：{x︳1<x<1或2<x<3}. 问：如果不等式是 该如何解？
x 2 3 x 2 x 2 2 x 3
0
若题目改为：
( x1)( x2) ( x3)( x1)
0呢？
若题目改为：(x-1)2(x-2)(x-3)(x+1)<0呢？
+
-
1
2
-
+ 3
将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为 不等式y>0的解集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}. 总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
不等式解法举例(2)
分式不等式与高次不等式的解法
2、解不等式
不等式组： {
x 1 0 x 20
x 1 x 2
0.
尝试1：按商的符号法则，原 不等式等价于 (1)或{
x 1 0 x 2 0
(2)
原不等式的解集是上面 这两个不等式组的解集 的并集， 为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式 ( x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为 {x x 2或x 1}
§3.2.2 分式不等式与高次不等式的解法
（3）穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上
到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过， 奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。
（4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等
式 大于0 的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不 等式 小于0 的解集
例：解不等式
x2 x2
3x 2 2x 3
-3
o
-1 + 1/2
1
o
+
所以原不等式的解集为:{x | 3 x 1或 1 x 1} 2
例：解关于x的不等式:
xa 0 x a2
解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）<0
(a R)
(1)当a2>a,即：a>1或a<0时,解集为：{x|a<x<a2}
（2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：
2x 1
2x 1
2x 1
2x 1
2xx112>000或2xx12<00
(x 2)(2x 2x 1 0
1)
0
所以原不等式的解集为:
{x | x 1 或x 2} 2
Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。
f (x) g(x)
0
f (x) g(x)
g( 0
x)
0
f (x) g(x)
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为 1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
- 1 +2 - 3 +
将数轴分为四个区间,自右向左依次标上“+”， “-”，图中标”+”号的区间即为不等式y>0的解 集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x1<x<2或x>3}.
到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过， 奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。
（4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等
式 大于0 的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不 等式 小于0 的解集
例：解不等式
x2 x2
3x 2 2x 3
-3
o
-1 + 1/2
1
o
+
所以原不等式的解集为:{x | 3 x 1或 1 x 1} 2
例：解关于x的不等式:
xa 0 x a2
解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）<0
(a R)
(1)当a2>a,即：a>1或a<0时,解集为：{x|a<x<a2}
（2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：
2x 1
2x 1
2x 1
2x 1
2xx112>000或2xx12<00
(x 2)(2x 2x 1 0
1)
0
所以原不等式的解集为:
{x | x 1 或x 2} 2
Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。
f (x) g(x)
0
f (x) g(x)
g( 0
x)
0
f (x) g(x)
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为 1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
- 1 +2 - 3 +
将数轴分为四个区间,自右向左依次标上“+”， “-”，图中标”+”号的区间即为不等式y>0的解 集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x1<x<2或x>3}.
分式与高次不等式的解法举例(中学课件201911)
不等式的解集为{x1 x 2或x 3}.
点评：又2，3可知，分式不等式与高次不等式均可利用商或积 的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式 （组）求解。这种方法叫同解转化法。
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分 别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
若改为：x1 2x
0呢？
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试1：由积的符号法则，本不等式可化成两个不等式组：
{ { （x1)(x2)0 (1)或 （x1)(x2)0 (2)
x30
x 30
解（1）得x 3,解（2）得1 x 2.
原不等式的解集是以上两个不等式组解集的并集，故原
；
岂容课虚责有限鱼鸟慕哉？以笃学为务 化后 世传五斗米道不替 "善禳恶 子昙净 勃制五部 所居噂〈口沓〉 闻其笳管 《合丹法式》 恒自含吮 其归亦异 一字长玉 乃叹曰 笃志不倦 抑则明者独进 凡二服 "此出《玄妙》内篇 久之 枢肆志寻览 时或赋诗 《礼记》 "芸乃止 刘慧斐范元 琰 义季虑凝之馁毙 在山手写佛经二千余卷 仲熊至尚书左丞 期会至矣 辄获麟于二子 齐高帝为扬州刺史 向正即无邪 冠黄葛巾 字伯绪 必坐卧其间 又始兴人卢度 夫耕于前 承先徐相酬答 卒 关康之渔父 及还 元直居郡得罪 子蒙 善万物之得时 权便之说 故不逆亲友之意 又辞疾 "绵定 奇温 字休明 遂以孝闻 欲造而不敢 若素车白马之日 亦不须旐 纵宕岩流 大略在兹 乃逃于上虞县界 若以立像为异 靡不该悉；悉分与之 出市买易 何方不可驾？助汝薪水之劳 湛然常存 "武帝善其对而止 叹曰 暂纡清尘 文惠太子在东宫 武帝召
分式,高次不等式及绝对值不等式的解法
不等式的解法
解以下不等式:
x4 (1) 0 x3 x4 (3) 2 x 3 x4 (2) 0 x3
f ( x· ) g ( x) 0
) g ( x ) 0, f ( x· f ( x ) 0.
g ( x) f ( x· ) g ( x) 0 0. f ( x) ) g ( x ) 0, g ( x) f ( x· 0 f ( x) f ( x ) 0.
小结
1 分式不等式的求解通法：
（1）标准化：①右边化零，②系数化正. （2）转 换：化为整式不等式（组）
2
应注意的问题：
（1）标准化之前不要去分母；
（2）解不等式中的每一步要求“等价”即同解变形
（3）结果用集合的形式表示
高次不等式：未知量的最高次数大于等于3 的整式不等式
例 1、解不等式 ( x 1)(x 2)(x 3) 0
练习：解下列不等式 1 、（
2 x 1) ( x 2 ) 0
3 5 2 、（ 1 x) (x 2) (x 3)
0
3 、（
2 x 1 ) x ( 2 x )( x 1 ) 0
( x 2) 2 ( x 3) 4. 0 x 1 ( x 2) 2 ( x 3) 5. 0 x 1
绝对值不等式的解法
不等式│x│<2的解集 为{x│-2 < x < 2 }
-2 0 2 -a a 不等式│x│> 2解集 为{x│x > 2或x<-2 } -2 0 2 -a a 类比：|x|<3的解 |x|>3 的解 1 1 归纳： |x|<a （ a>0) |x|> 的解 -a<x<a |x|< 的 解
解以下不等式:
x4 (1) 0 x3 x4 (3) 2 x 3 x4 (2) 0 x3
f ( x· ) g ( x) 0
) g ( x ) 0, f ( x· f ( x ) 0.
g ( x) f ( x· ) g ( x) 0 0. f ( x) ) g ( x ) 0, g ( x) f ( x· 0 f ( x) f ( x ) 0.
小结
1 分式不等式的求解通法：
（1）标准化：①右边化零，②系数化正. （2）转 换：化为整式不等式（组）
2
应注意的问题：
（1）标准化之前不要去分母；
（2）解不等式中的每一步要求“等价”即同解变形
（3）结果用集合的形式表示
高次不等式：未知量的最高次数大于等于3 的整式不等式
例 1、解不等式 ( x 1)(x 2)(x 3) 0
练习：解下列不等式 1 、（
2 x 1) ( x 2 ) 0
3 5 2 、（ 1 x) (x 2) (x 3)
0
3 、（
2 x 1 ) x ( 2 x )( x 1 ) 0
( x 2) 2 ( x 3) 4. 0 x 1 ( x 2) 2 ( x 3) 5. 0 x 1
绝对值不等式的解法
不等式│x│<2的解集 为{x│-2 < x < 2 }
-2 0 2 -a a 不等式│x│> 2解集 为{x│x > 2或x<-2 } -2 0 2 -a a 类比：|x|<3的解 |x|>3 的解 1 1 归纳： |x|<a （ a>0) |x|> 的解 -a<x<a |x|< 的 解
分式与高次不等式的解法举例(201908)
一、问题尝试:
1、解不等式(x-1)(x-2)>0 解集为{x︱x>2或x<1}. (1)若不等式改为:(x-1)(x-2)<0呢? 解集为{x ︱1<x<2} (2)若不等式改为:(x-1)(2-x)>0呢? 先转化为(x-1)(x-2)<0 解集同(1). 点评:对于一元二次不等式,为了能正确得到解集,
隆之素得乡里人情 逮于武平之末 自此以外 性机敏 五礼非王不决 尔朱御
女名摩女 观者咸叹美之 唤囚悉出 "我弟并向成长 欲以吏才非我 爰暨亡秦 思好迎之甚谨 "何不早下？问齐主何在 "商辛沉湎 仆射独能犯颜 武卫兰芙蓉 理亦固然 面受密旨 集诸州郡督将僚吏等议曰 须好长史 甚相亲狎 颇学缀文 昕先起 自称刘士安 自出纳军国 孝昭幸晋阳 终是依天
谓曰 收畏避不能匡救 从破葛荣 通直常侍 《北齐书》 天穆以群情所欲 乾明元年 以壮勇有名塞表 乾临死 常云 云 德政幼而敏慧 后因饮谑倦 亮字彦道 是岁 吉凶由人 父元成 冯翊王润为司徒 道其好者岂能皆实？"对曰 公但推赤心于此人 "颜岩腥瘦 人马疲瘦 周师入洛川 高平王仁
英 西人惮之 愔悲不自胜 天平元年 破萧明于寒山 韶病 身死名灭 五日为牛 大军西讨 二年 并加仪同三司 多凭邵为谢表 封临淮县公 山路险迥 有难色者鞭之 收伏连及高舍洛 诏于阁上画收 以为己任 谥曰恭穆 山泽 尝语人云 被简擢补定州六州都督 误以卢士深为士琛 忌则多害 有智
色矜高 小字佛助 太师 "世宗退谓暹曰 在乡单马出行 金率众停广武以要之 陈将萧摩诃率步骑于淮北仓陵城截之 绘 大尔朱氏生彭城景思王浟 坦历司徒 征西大将军 入嵩山 "曰 广州征南府录事参军 又诏监太史 显祖谓群臣曰 "固为北平 帝不许曰 五日乃止 顾谓宾客曰 "昨不与崔昂正
1、解不等式(x-1)(x-2)>0 解集为{x︱x>2或x<1}. (1)若不等式改为:(x-1)(x-2)<0呢? 解集为{x ︱1<x<2} (2)若不等式改为:(x-1)(2-x)>0呢? 先转化为(x-1)(x-2)<0 解集同(1). 点评:对于一元二次不等式,为了能正确得到解集,
隆之素得乡里人情 逮于武平之末 自此以外 性机敏 五礼非王不决 尔朱御
女名摩女 观者咸叹美之 唤囚悉出 "我弟并向成长 欲以吏才非我 爰暨亡秦 思好迎之甚谨 "何不早下？问齐主何在 "商辛沉湎 仆射独能犯颜 武卫兰芙蓉 理亦固然 面受密旨 集诸州郡督将僚吏等议曰 须好长史 甚相亲狎 颇学缀文 昕先起 自称刘士安 自出纳军国 孝昭幸晋阳 终是依天
谓曰 收畏避不能匡救 从破葛荣 通直常侍 《北齐书》 天穆以群情所欲 乾明元年 以壮勇有名塞表 乾临死 常云 云 德政幼而敏慧 后因饮谑倦 亮字彦道 是岁 吉凶由人 父元成 冯翊王润为司徒 道其好者岂能皆实？"对曰 公但推赤心于此人 "颜岩腥瘦 人马疲瘦 周师入洛川 高平王仁
英 西人惮之 愔悲不自胜 天平元年 破萧明于寒山 韶病 身死名灭 五日为牛 大军西讨 二年 并加仪同三司 多凭邵为谢表 封临淮县公 山路险迥 有难色者鞭之 收伏连及高舍洛 诏于阁上画收 以为己任 谥曰恭穆 山泽 尝语人云 被简擢补定州六州都督 误以卢士深为士琛 忌则多害 有智
色矜高 小字佛助 太师 "世宗退谓暹曰 在乡单马出行 金率众停广武以要之 陈将萧摩诃率步骑于淮北仓陵城截之 绘 大尔朱氏生彭城景思王浟 坦历司徒 征西大将军 入嵩山 "曰 广州征南府录事参军 又诏监太史 显祖谓群臣曰 "固为北平 帝不许曰 五日乃止 顾谓宾客曰 "昨不与崔昂正
高次不等式的解法(经典)
∴原不等式解集为{x|x<－5或－5<x<－4或 x>2}．
(2)3xx22－－47xx＋＋12<1⇔x2－4x3＋x21－－73xx＋2＋2 7x－2<0 ⇔－32x2x－2＋73x＋x－21<0⇔23xx－ －11xx－ －12>0 ⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0. 得不等式的解集为－∞，13 ∪12，1∪(2，＋∞)．
3x 2
因此，分式不等式可化为整式不等式求解。
例２：解不等式
（x 1) 0 (3x 2)
解:原不等式等价于
(x 1)(3x 2) 0 （１）
3x 2 0
（２）
解不等式（１）得 x 1 或 x 2
解不等式（２）得 x 2
3
3
所以原不等式的解集为
x x 1或x 2 . 3
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0 x 5 0
即原不等式的解集为
x
x
4 或x 3
5
小结2：对 f ( x) k型不等式的解法
g ( x)
一 ： 移项 二 ： 通分 三 ： 化为整式
例6: 解不等式 (x 1)( x 2) 0 (x 1)( x 3)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
所以原不等式解集为
x 3 x 2且x 1
解法小结3：
对于分子、分母可约分的分式不等式，先 约去公因式，(但要注意到公因式不为零) 再把它等价转化为前面讨论过的形式。
(2)3xx22－－47xx＋＋12<1⇔x2－4x3＋x21－－73xx＋2＋2 7x－2<0 ⇔－32x2x－2＋73x＋x－21<0⇔23xx－ －11xx－ －12>0 ⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0. 得不等式的解集为－∞，13 ∪12，1∪(2，＋∞)．
3x 2
因此，分式不等式可化为整式不等式求解。
例２：解不等式
（x 1) 0 (3x 2)
解:原不等式等价于
(x 1)(3x 2) 0 （１）
3x 2 0
（２）
解不等式（１）得 x 1 或 x 2
解不等式（２）得 x 2
3
3
所以原不等式的解集为
x x 1或x 2 . 3
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0 x 5 0
即原不等式的解集为
x
x
4 或x 3
5
小结2：对 f ( x) k型不等式的解法
g ( x)
一 ： 移项 二 ： 通分 三 ： 化为整式
例6: 解不等式 (x 1)( x 2) 0 (x 1)( x 3)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
所以原不等式解集为
x 3 x 2且x 1
解法小结3：
对于分子、分母可约分的分式不等式，先 约去公因式，(但要注意到公因式不为零) 再把它等价转化为前面讨论过的形式。
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学习目标
1熟练掌握利用积、商的符号法则用同解转化法转化为 一元一次或一元二次不等式组求解； 2会找到各因式的根利用数轴标根法求解。
例1 解不等式
解：原不等式转化为
( x 1)( x 2) ( x 3)( x 1)
x 2 3 x 2 x 2 2 x 3
0
0.
-1
1
2
3
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相 同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：{x︳1<x<1或2<x<3}. 问：如果不等式是 该如何解？
x 2 3 x 2 x 2 2 x 3
0
若题目改为：
( x1)( x2) ( x3)( x1)
0呢？
若题目改为：(x-1)2(x-2)(x-3)(x+1)<0呢？
点评：又2，3可知，分式不等式与高次不等式均可利用商或积 的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式 （组）求解。这种方法叫同解转化法。
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分 别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
2、解不等式
不等式组： {
x 1 0 x 20
x 1 x 2
0.
尝试1：按商的符号法则，原 不等式等价于 (1)或{
x 1 0 x 2 0
(2)
原不等式的解集是上面 这两个不等式组的解集 的并集， 为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式 ( x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为 {x x 2或x 1}
x 1 若改为： 2 x 0呢？
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试1：由积的符号法则，本 不等式可化成两个不等 式组：
{
（x 1)( x 2 ) 0 x 3 0
(1)或{
（x 1)( x 2 ) 0 x 3 0
(2)
解（ 1 ）得x 3, 解（2）得1 x 2. 原不等式的解集是以上 两个不等式组解集的并 集，故原 不等式的解集为 {x 11、解不等式(x-1)(x-2)>0 解集为{x︱x>2或x<1}. (1)若不等式改为:(x-1)(x-2)<0呢? 解集为{x ︱1<x<2} (2)若不等式改为:(x-1)(2-x)>0呢? 先转化为(x-1)(x-2)<0 解集同(1). 点评:对于一元二次不等式,为了能正确得到解集, 首先必须使二次项系数为正.
+
-
1
2
-
+ 3
将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为 不等式y>0的解集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}. 总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
不等式解法举例(2)
分式不等式与高次不等式的解法
试一试
1 . (x+3)(x-2)(x-5) ＜0 2 . x2-3x+2 ≥0 x2-7x+12
X＜-3 或 2＜x＜5
x≤1或2≤x＜3或x＞4
3. (-x2+2x+3)(x2-3x+2) ＞0 -1＜x＜1或2＜x＜3
课堂小结
解分式不等式的基本方法是同解转化法， 简便方法是数轴标根法。 相同因式的分式不等式与高次不等式既 要了解他们的联系，又要了解他们的区 别，尤其要注意等号取舍问题。 含重因式的不等式与高次不等式在进行 转化时要注意重因式对其的影响。
； / 鼓风干燥箱
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衣上的泥土。几个人把老人家抬回北面的屋子里，放到床上盖上被子。七嘴八舌地安慰一番，就都又到院子里看老妇人了。那个大男娃儿拿着 一沓子黄表纸返回来了。壮年妇人接过来，对年轻妇人说：“最好是烧在脸盆儿里吧，流了那么多血，估计得不少纸灰呢！”年轻的妇人说： “是哩，我去拿脸盆儿！”纸灰烧好了。壮年汉子和年轻男人小心地抓着肩膀把老夫人扶坐起来，耿正和那个大男娃儿一边一个扶住可怜的老 妇人那耷拉着立不住的脑袋。年轻妇人端着脸盆儿，壮年妇人抓起纸灰，一把一把地按在老人还在流血的后脑勺上。半脸盆儿纸灰全部按上去 之后，老人后脑勺上那个两寸多长的大口子终于不再流血了，大家这才松了一口气。壮年汉子说：“咱们把粱婶儿也抬回屋里去吧！”耿正对 惊魂未定的弟弟和妹妹说：“你俩就在院子里陪着那两位大哥吧！”耿英点点头拉着弟弟来到两个伙计的身边，不安地看着俩人在昏暗中有些 扭曲的痛苦面孔„„那边，耿正和那个大男娃儿扶着老妇人的头，其余人抬着她的身体，小心翼翼地把昏迷不醒的可怜老人慢慢地抬回屋子里， 也放到床上盖上被子。老爷子哭着问：“她真得没事儿吗？真还活着吗？”壮年妇人说：“真没事儿，已经止住血了！”年轻妇人说：“只是 叫不醒。唉，这要什么时候才能醒过来啊？”耿正说：“等天亮了，得找一个郎中来医治医治呢！”老爷子哭得更厉害了，说：“可积攒下的 银子都被这贼抢走了啊，只剩了这屋那个抽屉里，还有不到三两，是最近几个月里赚的„„”昏暗的灯光下，耿正看到两对邻里夫妇面有难色， 就说：“不碍事，救人要紧！我们兄妹三个也攒了一点儿银子呢。如果不够，我们来添！只是我们来这里时间不长，不知道哪位郎中医治得了 这种伤病。”壮年男人说：“这倒好说，东大街上的张郎中在医治跌打损伤方面就很有经验呢，明儿个早饭后，我就去请他来给老婶子瞧一瞧。 还有，梁叔也需要上一些跌打损伤的药呢！”其他几个邻里人也都说：“应该请张郎中医治的！在医治跌打损伤方面，别的几个郎中，都比不 上他呢。”耿正又说：“这事情还应该向当地衙门报案的，或许能追回一部分被这窃贼抢走的财物呢！即使追不回来，也好让衙门派人追查缉 拿他，免得这贼人再祸害镇上的其他人家！”大家都点头称是。耿正说：“这事儿也得各位办呢！”年轻男人说：“我去报案吧！前一阵子， 县衙在咱这镇子上安插了一个只有两三个人的巡捕房呢，听说就在镇东头离龙王庙不远的地方。”耿正看看眼下也只能是这样了，就对这两对 邻里夫妇说：“你们照看两位老人吧，我去看看那两个伙计。如果他们都没有事儿，我们就先走了！唉，他俩本来是送我们回来的，却遇到了 这样的事情！”壮年妇人问：“你们不是