九年级数学下册 2.3《确定二次函数的表达式》典型例题1 (新版)北师大版
北师版九年级下册数学课件第2章2.3确定二次函数的表达式
课堂导练 2．(2020·江西)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)
的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 … y … m 0 －3 n －3 … (1) 根 据 以 上 信 息 ， 可 知 抛 物 线 开 口 向 ____上____ ， 对 称 轴 为 __直__线__x_＝__1____； (2)求抛物线的表达式及 m，n 的值；
课后训练 9．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与 x 轴交于点 A(－1，
0)，B(2，0)，与 y 轴交于点 C(0，4)，点 P 是第一象限内抛 物线上的一点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式；
课后训练
解：∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)， ∴设抛物线所对应的函数表达式为 y＝a(x＋1)(x－2)，将 C(0，4)的坐标代入 y＝a(x＋1)(x－2)，整理得 4＝－2a， 解得 a＝－2，∴该抛物线所对应的函数表达式为
课后训练
8．已知 A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2) 五个点，抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过其中三个点．
(1)求证：C，E 两点不可能同时在抛物线 y＝a(x－1)2＋k (a＞0)上．
课后训练
证明：由题意可知，抛物线的对称轴为直线 x＝1.若 C(－1，2) 在此抛物线上，则 C 点关于直线 x＝1 的对称点(3，2)也在此抛 物线上．∴点 E(4，2)不在此抛物线上．∴C，E 两点不可能同时 在抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
精彩一题 10．(中考·宁波已知抛物线 y＝－12x2＋bx＋c 经过点(1，0)，0，32. (1)求该抛物线的函数表达式；
北师大版九年级数学下册教学课件：确定二次函数的表达式
课程讲授
3 利用“交点式”求二次函数的解析式
练一练：如图，此抛物线的解析式是（ D ）
A. y 1 x2 x 4 2
B. y 1 x2 x 4 2
C. y 1 x2 x 4 2
D. y 1 x2 x 4 2
随堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-3，0），（0，3）， （2，-5），则这个二次函数的解析式为___y_=_-x_2_-_2_x_+_3____. 2.如图所示的抛物线的解析式为__y_=_2_x_2-_4_x_+_2_7____.
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容. y
9
这个抛物线的解析式为
6
y=_3_（x-_1_）2
3
（2,3）
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容. y
9
这个抛物线的解析式为
6
y=_3_（x-_1_）2+_2__
3 （1,2）
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
课程讲授
1 利用“一般式”求二次函数的解析式
问题1：我们已经知道由两点就可以确定一条直线，那 么由几个点的坐标就可以确定二次函数呢？
y = a x2 + b x + c
含有___3_个待定系数,需要__3__个抛物线上的点 的坐标就能求出来其解析式.
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1 利用“一般式”求二次函数的解析式
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1 利用“一般式”求二次函数的解析式
练一练：已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-1，0
九年级数学下册 第二章 二次函数 2.3 确定二次函数的表达式作业设计 (新版)北师大版-(新版)北
确定二次函数的表达式一、选择题1．若二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则该二次函数的表达式为（）A．y=x2-2x B．y=x2+x-1 C．y=x2+x-2 D．y=x2-x-22．若二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（-1，-2），则此二次函数的表达式为（）A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x-1 C．y=3x2-6x+1 D．y=-3x2-6x+1 3．如图，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2-x+2 B．y=x2+x+2 C．y=-x2-x+2 D．y=-x2+x+2 4．若y=ax2+bx+c，则由表格某某息可知y与x之间的函数表达式是（）A．y=x2-4x+3 B．．y=x2-4x+8 5．已知二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A．（-1，-1）B．（1，-1） C．（-1，1）D．（1，1）二、填空题6．在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为________．7．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此抛物线的表达式为___________．8．如果一条抛物线的形状与抛物线y=-x2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，-2），那么它的函数表达式是__________．9．二次函数的图象如图，则其表达式为__________．10．如果抛物线经过A（-1，-6），B（1，-2），C（2，3）三点，那么抛物线的函数表达式为__________．三、解答题11．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，-1），与x轴交于A，B两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△MAB的形状，并说明理由．12．如图，一拱桥的截面呈抛物线形状，拱桥两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，拱桥与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．（1）建立适当的直角坐标系并求出抛物线对应的函数表达式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．13．如图，已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），对称轴是经过点（-1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m，n的值；（2）若一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过A，B，C，D四个点，其中横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：求：（1（2）△ABD的面积．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最小时，求点P的坐标．16．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）当0<x<3时，求y的取值X围；（3）P为抛物线上一点，若S△PAB =10，求出此时点P的坐标．参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．A 5．D二、6．-1 7．y=-x2+4x-3 8．y=（x-4）2-2或y=-（x-4）2-29．y=-x2+2x+3 10．y=x2+2x-5三、11．解：（1）∵在抛物线的函数表达式中二次项系数为1，且顶点为M（0，-1），∴其函数表达式为y=x2-1．（2）△MAB是等腰直角三角形．理由如下：当y=0时，x2-1=0，∴x=±1．∵点M的坐标为（0，-1），∴OA=OB=OM，∴∠OAM=∠OMA=∠OBM=∠OMB=45°，∴∠AMB=90°，∴△MAB是直角三角形，且MA=MB，∴△MAB是等腰直角三角形．12．解：（1）答案不唯一，如建立如图的平面直角坐标系．由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴的交点坐标是（0，1）．设抛物线对应的函数表达式是y=a（x-5）2+5．把（0，1）代入y=a（x-5）2+5，得a=-，∴y=-（x-5）2+5（0≤x≤10）．（2）由题意知，两盏景观灯的纵坐标都是4，令4=-（x-5）2+5，∴425（x-5）2=1，∴x1=，x2=．∴两盏景观灯之间的水平距离为-=5（m）．13．解：（1）∵抛物线的对称轴是经过点（-1，0）且平行于y轴的直线，∴-=-1，解得m=2．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），∴9-3m+n=1，∴n=3m-8=-2．（2）∵m=2，n=-2，∴二次函数的表达式为y=x2+2x-2．如图，分别过点P，B作PC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，则PC∥BD，∴．∵点P的坐标为（-3，1），∴PC=1．∵PA：PB=1：5，∴，∴BD=6，∴点B的纵坐标为6．令6=x2+2x-2，解得x1=2，x2=-4（舍去），∴点B的坐标为（2，6）．∴解得∴一次函数的表达式为y=x+4．14．解：（1）把A，B，C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，得解得所以二次函数的表达式为y=-x2+3x+3．（2）S△ABD =×3×4=6．15．解：（1）分别将A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得解得∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3．（2）当点P在x轴上时，P，A，B三点在一条直线上，则点P到点A，B的距离之和最小，此时点P的横坐标x=-=1．∴点P的坐标为（1，0）．16．解：（1）把A（-1，0），B（3，0）分别代入y=x2+bx+c，得解得∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3．∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．（2）由图象可知，当0<x<3时，-4≤y<0．（3）∵A（-1，0），B（3，0），∴AB=4．设P（x，y），则S△PAB =AB·|y|=2|y|=10，∴|y|=5，∴y=±5．①当y=5时，x2-2x-3=5，解得x1=-2，x2=4，此时点P的坐标为（-2，5）或（4，5）．②当y=-5时，x2-2x-3=-5，方程无实数解．综上所述，点P的坐标为（-2，5）或（4，5）．。
2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2-3确定二次函数的表达式》同步达标测试题(附答案)
2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数的表达式》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（）A．y＝（x﹣2）2+4B．y＝（x+4）2+4C．y＝（x﹣4）2+8D．y＝（x﹣2）2﹣4 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．3．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（）A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x4．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y＝x2﹣2x+4B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x+1D．y＝x2﹣2x+1 5．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（）A．y＝x²﹣4x+3B．y＝x²+4x+3C．y＝x²+4x﹣1D．y＝x²﹣4x﹣1 6．如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2xC．y＝﹣x2﹣2x+1D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x7．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（）A．若h＝2，则a＜0B．若h＝4，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝8，则a＞08．已知某抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝﹣5（x﹣1）2+2021B．y＝5（x﹣1）2+2021C．y＝﹣5（x+1）2+2021D．y＝5（x+1）2+2021二．填空题（共8小题，满分32分）9．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：x…012345…y…50﹣3﹣4﹣30…该二次函数的解析式是．10．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是．11．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），则其函数解析式为．12．已知某二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），则此二次函数的关系式是，若在此抛物线上存在一点P，使△ABP面积为8，则点P的坐标是．13．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（﹣1，﹣2），则抛物线的表达式为．14．二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的解析式为．15．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式是．16．已知：二次函数y＝ax2+bx+c中的x、y满足下表：x﹣2﹣11347y﹣5040m﹣36（1）m的值为；（2）此函数的解析式为；（3）若0＜x＜4时，则y的取值范围为．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．（1）求抛物线解析式；（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；（2）抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数解析式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标．20．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），抛物线又经过点（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在图中画出这条抛物线；（3）根据图象回答，当y＞3时，自变量x的取值范围．21．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若函数y＝ax2+2ax+c在m≤x≤m+2时有最大值为4，求m的值；（3）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标．22．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为直线x＝2．（1）求此抛物线的表达式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限．①当△OAB的面积为10时，求B的坐标；②点P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：y＝x2﹣4x+8＝x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+4，故选：A．2．解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，∴a＝，∵顶点为（﹣2，1），∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1．故选：C．3．解：设这个二次函数的解析式是y＝ax（x﹣3）（a≠0），把（1，﹣4）代入得﹣4＝﹣2a，解得a＝2；所以该函数的解析式为：y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x．故选：C．4．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，即y＝x2﹣2x+4．故选：A．5．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），把（0，3）代入得：4a﹣1＝3，解得，a＝1．所以，这条抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．故选：A．6．解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，∴a＝±1，∵抛物线开口向下，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x，故选：A．7．解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，整理得：a（6﹣2h）＝1，若h＝2，则a＝，故A错误；若h＝4，则a＝﹣，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝8，则a＝﹣，故D错误；故选：C．8．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝﹣5，∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2021．故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），将（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．10．解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，∵顶点为（﹣6，0），∴h＝﹣6，k＝0，又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，∴a＝﹣，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，11．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），∴二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，故答案为：y＝x2﹣4x+3．12．解：将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c中，可得，解得，∴y＝x2+2x﹣3，设P（m，m2+2m﹣3），∵AB＝4，∴S△ABP＝×AB×y P＝×4×|m2+2m﹣3|＝8，∴|m2+2m﹣3|＝4，∴m2+2m﹣3＝4或m2+2m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1±2或m＝﹣1，∴P（﹣1+2，4）或P（﹣1﹣2，4）或P（﹣1，﹣4），故答案为：y＝x2+2x﹣3；（﹣1+2，4）或（﹣1﹣2，4）或（﹣1，﹣4）．13．解：根据题意设抛物线解析式为y＝ax2，将x＝﹣1，y＝﹣2代入得：﹣2＝a，则抛物线解析式为y＝﹣2x2．故答案为：y＝﹣2x2．14．解：∵二次函数的图象顶点坐标为（﹣1，2），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x+1）2+2（a≠0），∵二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是8，∴交点坐标为（0，8）或（0，﹣8），把（0，8）代入y＝a（x+1）2+2，得8＝a+2，解得a＝6，则这个二次函数的解析式y＝6（x+1）2+2；把（0，﹣8）代入y＝a（x+1）2+2，得﹣8＝a+2，解得a＝﹣10，则这个二次函数的解析式y＝﹣10（x+1）2+2；故答案为：y＝6（x+1）2+2或y＝﹣10（x+1）2+2．15．解：∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），∴设此抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣3，∵与y轴的交点的坐标为（0，1），∴1＝a﹣3，解得a＝4，∴此抛物线为y＝4（x﹣1）2﹣3＝4x2﹣8x+1，故答案为：y＝4x2﹣8x+1．16．解：（1）由图中表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，且（4，m）与（﹣2，﹣5）关于直线x＝1对称，∴m＝﹣5；故答案为：﹣5；（2）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（1，4）代入得：4＝a×2×（﹣2），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，y取最大值4，∵1﹣0＜4﹣1，∴x＝4时，y取最小值﹣（4﹣1）2+4＝﹣5，∴0＜x＜4时，y的取值范围为是﹣5＜y≤4；故答案为：﹣5＜y≤4．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）当x＝2时，y＝x2﹣6x+5＝4﹣12+5＝﹣3≠3，∴该二次函数的图象不经过点（2，3）．18．解：（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，解得，∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝﹣＝﹣1，∴由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1），又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2，∴﹣4＜m＜2．19．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，即﹣8a＝4，解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4，联立，解得或，故点P的坐标为（6，﹣8）．20．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将点（1，0）代入，得a﹣1＝0．解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，（2）∵y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），其关于对称轴的对称点为（4，3），令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），画出函数图象如下：（3）由函数图象知，当y＞3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞4．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；（2）∵y＝﹣x2﹣x+4，∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝﹣1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值4，∴当y＝4时，有﹣x2﹣x+4＝4，∴x＝0或x＝﹣2，①在x＝﹣1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣2时，y有最大值4，②在对称轴x＝﹣1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝0时，y有最大值4；综上所述：m＝﹣4或m＝0；（3）过点M作MG∥y轴交直线AB于点G，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设M（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，﹣m+2），∴MG＝﹣m2+2，∴S△ABM＝×4×（﹣m2+2）＝﹣m2+4，∴当m＝0时，△ABM的面积最大，此时M（0，4）．22．解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，﹣5）代入，得5a＝﹣5，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+4x，故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x；（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限，∴设B（2，m）（m＜0），设直线OA的解析式为y＝kx，解得：k＝﹣1，∴直线OA的解析式为y＝﹣x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，﹣2），∴BH＝﹣2﹣m，∵S△OAB＝10，∴×（﹣2﹣m）×5＝10，解得：m＝﹣6，∴点B的坐标为（2，﹣6）；②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，﹣5），B（2，﹣6）代入得：，，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣，如图2，当P A﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：或，∴P（﹣，﹣）．∵AB＝＝，∴P A﹣PB的最大值为．。
北师大版初中数学九年级下册2.3 确定二次函数的表达式1
北师大初中数学 九年级
重点知识精选
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北师大初中数学
2.3 确定二次函数的表达式
解析式
已知：抛物线经过 A(－1，8)、
1．通过对用待定系数法求二次函数表 B(3，0)、C(0，3)三点．
M(1，－2)，所以设此二次函数的解析式为
已知下列抛物线满足以下条件，
y＝a(x－1)2－2，把点 N(2，3)代入解析式 求各个抛物线的函数表达式．
解答．
(1)抛物线经过两点 A(1，0)，B(0，－
解：已知抛物线的顶点坐标为 M(1， 3)，且对称轴是直线 x＝2；
－2)，设此二次函数的解析式为 y＝a(x－
2
9
1
1
，解得 2
a＝2，所以抛物线解析式为
y＝2(x
1 ＋2)(x－4)＝ x2－x－4.
2
方法总结：在利用待定系数法求二次
函数关系式时，要根据题目给定的条件，
选择恰当的方法设出关系式，从而代入数
值求解．一般地，当已知抛物线上三点
时，常选择一般式，用待定系数法列三元
一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点
如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x ＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式； (2)若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝ 8，求△BCD 的面积． 解析：(1)把点 A(－4，－3)代入 y＝x2 ＋bx＋c 得 16－4b＋c＝－3，根据对称轴 是 x＝－3，求出 b＝6，即可得出答案；(2) 根据 CD∥x 轴，得出点 C 与点 D 关于 x＝ －3 对称，根据点 C 在对称轴左侧，且 CD ＝8，求出点 C 的横坐标和纵坐标，再根据 点 B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中 CD
北师大版数学九年级下册《确定二次函数表达式(一般式及顶点式)》课件
解：设这个二次函数的表达式是 y=a(x +3)2+k，
{ { a(-4 +3)2+k = -3，
a = 1，
a(-1 +3)2+k = 0， 解得 k = -4，
∴该二次函数的表达式是 y= (x -1)2 -4
当堂练习
y
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象
5 4
的表达式应是 y
3 4
x2
.
3 2 1
缺少常数项， 图象经过原点
自学检测1：（3分钟）
完成课本第43页“随堂练习”第2题第（1）题。
解：将点（1,1）、（2、3）分别代入表达式
y=x2+bx+c，得
{1=1+b+c 3=4+2b+c
已知一次项系数
解这个方程组，得
{ b=-1 c=1
小所结以：，所求二次函数的表达式为y=x2-x+1。
1. 已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数 ，再知道图
自学检测3：（5分钟）
1.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 y=-2(x-1)2+6 .
2.已知二次函数的顶点坐标为（2,5），且图像经过点
（3，7），求此二次函数的表达式。 y=2(x -2)2+5，
3.二次函数的图像过点A(－4，－3)和B(-1,0)，对称轴
是直线x＝－3，求二次函数解析式
解：设这个二次函数的表达式是 y=a(x -2)2+3，
再把点（-1，0）代入上式得 a(-1-2)2+3=0，
小结： 解得 a= -—13 . ∴1.用所顶求点的式二y次=a函(x数－的h)表2+k达时式，是知道y=顶-1点/3（(xh-2,k)2）+3和图象 上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式。
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式(无答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）确定二次函数的表达式知识梳理知识点一：用配方法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴、顶点坐标及最值 1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的配方一般地，对于二次函数y =ax ²+bx +c ，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例：求次函数y =ax ²+bx +c 的对称轴和顶点坐标． 配方：这个结果通常称为求顶点坐标公式. 2.二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图象和性质(1)二次函数y =ax ²+bx +c 的图象是一条抛物线. 画二次函数图象的“三步骤” ①化：把一般式化成顶点式.②定：确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. ③画：利用抛物线对称性列表、描点、连线.(2)二次函数y =ax ²+bx +c 写成顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。
(3)对称轴顶点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c c x a b x a 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a c a b a b x a b x a 22222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(4)开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，有最小值为ab ac y 442min-=；当a<0时，抛物线的开口向下，有最大值为ab ac y 442max -=。
(5)增减性：① a>0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而增大，当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小. ②a<0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而减小，当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大知识点二：抛物线位置与系数a ，b ，c 的关系：知识点三：用待定系数法求二次函数解析式 1.利用三点坐标确定二次函数的一般式①一般情况下，把三点的坐标代入解析式y =ax ²+bx +c ，列方程组. ②如果没有直接给出三点的坐标，可通过图象的性质求出其他点的坐标. 确定二次函数一般式的“四步骤”①设：设二次函数解析式为y =ax ²+bx +c (a ≠0). ②列：根据题意列方程组.北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）③解：解方程组.④定：确定二次函数解析式.2.利用顶点式确定二次函数解析式用顶点式求解析式的“三种情况”①已知顶点坐标. ②已知对称轴或顶点的横坐标. ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.3.利用交点式确定二次函数解析式当已知抛物线与x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，则设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，再根据其他条件求出a的值。
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
北师大版九年级数学下册课件 2.3 第1课时 由两点确定二次函数的表达式
解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
∴可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
又∵它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
1
解得 a .
8
1
2
y
(
x
8)
9.
∴所求的二次函数的表达式是
8
二、自主合作，探究新知
典型例题
例3：已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这
时，通常需要 2 个独立的条件.确定反比例函数 =
（k≠0)关系式时，
通常需要 1 个条件.
思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，
通常又需要几个条件？
二、自主合作，探究新知
探究：确定二次函数表达式
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所
道图象上一个点的坐标.
(2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系
数，所以需要知道图象上两个点的坐标.
(3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那
么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
二、自主合作，探究新知
做一做：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）
− + = ,
∴
+ + = −,
= −,
解得
= −,
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
九年级数学下册知识讲义-2.3二次函数的解析式(附练习及答案)-北师大版
初中数学二次函数的解析式一、考点突破1. 掌握求二次函数解析式的方法。
2. 能够根据题目要求选择合适的求解析式的方法解决问题。
二、重难点提示重点：求二次函数解析式。
难点：根据问题选择合适的方法，求二次函数解析式。
考点精讲1.二次函数的解析式的四种形式一般式：（）。
顶点式：（）。
其中（，）为顶点，对称轴为。
交点式：（）。
其中，为抛物线与轴交点的横坐标。
对称点式：（）。
其中（，），（，）为图象上两个对称的点。
2.确定二次函数解析式的几种基本思路根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。
用待定系数法求二次函数的解析式，必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。
一般来说，有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用对称点式。
典例精讲例题1（宝安区一模）如图，已知抛物线l1：y=（x－2）2－2与x轴分别交于O、A 两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数解析式为（）A. y=（x－2）2+4B. y=（x－2）2+3C. y=（x－2）2+2D. y=（x－2）2+1思路分析：根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式，求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式，求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的。
答案：解：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=（x－2）2－2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA•AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=（x－2）2－2+4，即y=（x－2）2+2，选C。
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《确定二次函数的表达式》典型例题
例1 已知二次函数，当x ＝4时有最小值-3，且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式。
例2 求函数解析式的题目
(1) 已知二次函数的图象经过点(-1，-6)，(1，-2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式。
(2) 已知抛物线的顶点为)3,1(--，与y 轴交点为)5,0(-，求此抛物线的解析式。
(3) 已知抛物线与x 轴交于)0,1(-A ，)0,1(B ，并经过点)1,0(M ，求抛物线的解析式。
例3 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交于点)0,6(A ，顶
点B 的纵坐标是－3。
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若一次函数m kx y +=的图象与x 的轴相交于)0,(1x D ，且经过此
二次函数的图象的顶点B ，当
62
3≤≤m 时， (ⅰ)求1x 的取值范围；
(ⅱ)求BOD ∆(O 为坐标原点)面积的最小值与最大值。
参考答案
例1 分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x 轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x 轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：
解：此题可用以下四种方法求出解析式。
方法一：因为抛物线的对称轴是x ＝4，抛物线与ｘ轴的一个交点为(1，0)，由对称性可知另一点为(7，0)，同例1，抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a 、b 、c 的三元一次方程组，可解出a 、b 、c 来。
方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以
由上面的方程组解出a 、b 、c 。
方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k ，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a ，再利用抛物线通过(1，0)或通过(7，0)求出a 来。
即20(14)3a =--得出13
a =。
所求二次函数解析式为221187(4)33333
y x x x =--=-+。
方法四：由于抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=1，x 2=7．可以采用双根式y=a(x-x 1)(x-x 2)，其中x 1=1，x 2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a ，再把顶点(4,-3)
代入上式得:13(41)(47),3
a a -=--=所求二次函数解析式为21187(1)(7)3333
y x x x x =--=-+。
例2 (1)解：设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2
………①
将(-1，-6)、(1，-2)和(2，3)分别代入①，得 ⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=++-=+-,324,2,6c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.5,2,1c b a
所以二次函数的解析式为.522-+=x x y
(2)解：因为抛物线的顶点为)3,1(--，
设其解析式为3)1(2-+=x a y ……①
将)5,0(-代入①得35-=-a ，2-=a ，
所求抛物线的解析式为.3)1(22-+-=x y
即.5422---=x x y
(3)解：因为点)0,1(-A ，)0,1(B 是抛物线与x 轴的交点，
所以设抛物线的解析式为)1)(1(-+=x x a y ………①
将)1,0(M 代入①，得1-=a ，
所求抛物线解析式为).1)(1(-+-=x x y
即12
+-=x y
说明：此三题考查用待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据已知条件选择正确解析式的三种形式，将给我们做题带来很大的方便。
(1)中给出抛物线上任意三点，所以选择一般式；(2)中给出顶点，所以选择顶点式；(3) 中给出与x 轴的两个交点，所以选择两根式。
例3 分析：(1)由已知条件可知，抛物线的顶点坐标是(3，－3)，所以可设出抛物线的顶点式，再把已知点的坐标代入解析式，即可求得。
(2)因为当m 取最小值时，1x 也取最小值；当m 取最大值时，1x 也取最大值。
所以把m 的最大值和最小值代入直线的解析式，即可求出1x 的取值范围。
解：(1)∵二次函数c bx ax y ++=2的图象经过原点O (0，0)与点A (6，0)，∴它的对称轴是3=x 。
∴它的顶点B 的坐标是(3，－3)。
设此二次函数为3)3(3--=x a y ，把(6，0)代入解析式得039=-a ，∴31=a ，故所求二次函数的解析式为 x x x y 23
13)3(3122-=--=。
(2)(ⅰ)令23=m 得直线1l 的解析式为231+=x k y ，把(3，－3)代入得2
31-=k ，故直线1l 的解析式为2
323+-=x y 。
令0=y ，得)0,1(D 。
令6=m 得直线2l 的解析式为62+=x k y ，把(3，－3)代入得32-=k ，故直线2l 的解析式为63+-=x y ，令0=y ，则得)0,2(D 。
故1x 的取值范围是211≤≤x 。
(ⅱ)∵BOD ∆的OD 边上的高(即B 点的纵坐标的绝对值)为定值3，故OD 最小，则BOD ∆面积最小，OD 最大，则BOD ∆面积最大。
∵OD 最小为1，最大为2，
故BOD ∆的面积最小是2
3，最大为3。