不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
不等式的证明技巧[共五篇]
不等式的证明技巧[共五篇] 第一篇：不等式的证明技巧 不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场[例1]．已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+ 1125)(b+)≥.ba 4［例2］求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有 关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，①② 当且仅当x=y时，②中有等号成立.比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.解法二：设u= x+y (x+y)2== x+yx+y x+y+2xy2xy .=1+ x+yx+y ∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(当x=y时“=”成立)，∴ 2xy2xy ≤1，的最大值是1.x+yx+y 从而可知，u的最大值为+1=2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化为 x
+1≤ayx +1，y 设 xπ=tanθ，θ∈(0，).y 2∴tanθ+1≤atan2θ+1；即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+ π 4)，③ 又∵sin(θ+π 4)的最大值为1(此时θ=π4).由③式可知a的最小值为2.●锦囊妙计 1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野. 2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法、增量代换法，‘1’代换法等，换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练 一、填空题 ab1.已知x、y是正变数，a、b是正常数，且+=1，x+y的最小值为__________.xy2.设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.3.)若m＜n，p＜q，且(p－
常用不等式及其证明方法
常用不等式及其证明方法 不等式作为数学中重要的概念，广泛应用在数学推理、优化问题以及各个领域的研究中。在本文中，我们将介绍一些常用的不等式及其 证明方法，帮助读者更好地理解和运用不等式。 一、基本不等式 1. 平均不等式 平均不等式是最基本的不等式之一。对于任意非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$，其算术平均和几何平均的大小关系如下： \[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n} \] 2. 柯西-施瓦兹不等式 柯西-施瓦兹不等式是数学分析中常用的不等式之一。对于实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，其平方和满足以下不等式：\[ (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \] 3. 马尔可夫不等式 马尔可夫不等式用于描述非负随机变量的概率分布。对于非负随机变量$X$和任意大于$0$的实数$a$，其概率满足以下不等式：\[ P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a} \] 二、常用不等式
1. 幂平均不等式 幂平均不等式是数学分析中常用的不等式之一。对于非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和实数$p$，定义$p$次幂平均如下： \[ M_p = \left(\frac{a_1^p + a_2^p + \ldots + a_n^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}} \] 当$p > q$时，有$M_p \geq M_q$。 2. 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式是概率论中常用的不等式之一，用于度量随机变量偏离其期望值的程度。对于随机变量$X$和任意大于$0$的实数$a$，其概率满足以下不等式： \[ P(|X-\mathbb{E}(X)| \geq a) \leq \frac{{\rm Var}(X)}{a^2} \] 3. 看孤立点 已知$n$个数的和和积相等，求出这$n$个数的范围(这里可能增加一些自己的题目) 三、不等式的证明方法 1. 数学归纳法 数学归纳法常用于证明对于自然数$n$的命题。首先证明当$n=1$时命题成立，然后假设对于$n=k$时命题成立，再证明当$n=k+1$时命题也成立。 2. 反证法
证明不等式的几种方法
昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日
证明不等式的几种方法 摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为： 1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。 2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为： 1.作商：将左右两端作商。 2.变形：化简商式到最简形式。
不等式证明的几种方法
不等式证明的几种方法 1.直接证明法 直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、 公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。例如，要证明 a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0 的形式，再通过数学运算的方式得出结论。 2.反证法 反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。该方法是先 假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从 而证明所假设的不等式为真。例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们 可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。由 此可知，不等式不成立。 3.数学归纳法 数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当 n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。通过反证法证明。例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。 假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。通过反证法推导出与已知 条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。 4.几何法 几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。例如，要证明 a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。通过建立
几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。例如，可以将两个正方形 的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。 5.代数方法 代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二 次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。 以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用 范围和优势。在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法 可以更高效地解决问题。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用 不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用． 1 利用构造法证明不等式 “所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”) 52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想 方法常有以下几种形式： 1.1 构造函数证明不等式 构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式． 1.1.1 利用判别式 在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法． 例1 设R z y x ∈,,，证明0)(32 2 ≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令2 2 2 33)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2 2 2 2 )(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=?知0≤?，所以0)(≥x f ． 故0)(322 ≥+++++z y x z y xy x 恒成立． 对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2 )(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤?，从而即可得出所需证的不等式． 例2 设+ ∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证 614141414<+++++++d c b a )18](2[P ． 证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2
证明不等式的13种方法
证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1． 排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知,,0a b c ≥，且 1a b c ++=，求证： () 222 29 1.a b c abc +++≥ 证明：不妨设a b c ≤≤，则1 03 a ≤≤ ，从而有940a -<，于是 () 222 29a b c abc +++ ()222 2 2 2 2 2 2 22()(94)22(1)(94) 2122(1)(94) 2131 1. 4 a b c bc a b c a a a a a a a a a =+++-+?? ≥+-+- ??? -?? =+-+- ??? =+-≥ 2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理. 例2 设,,a b c R + ∈，试证： 2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++. 证明： 令a b α=+，,b c c a βγ=+=+，则0,αβγ++=于是
()()()()2222 2 2 2 2 2 42()22(), a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b c a b b c c a a b c αβγαβγαβγ??++ ?+++?? ++++++= + + +++=+++++++ + +++≥++ 所以 2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++. 说明：本题可以加强为：设,,a b c R + ∈，试证： () 2222 ()22a b c a b c a c a b b c c a a b c ++-++≥++++++. 3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3 设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2 2 22 2 2 2 22 1.16 x y y z z x x y z +++≤ 证明：不妨设x y z ≥≥，则22y x ≤222,z yz y z yz ≤≤，于是 2 2 2 2 2 2 22x y y z z x x y z +++ 22222 2 22(), x y x z x yz x yz x y z ≤+++=+ （这里转化为齐次了！） 而 1 ()24 x y z x y z ++??+≤= ???， 故有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.16 x y y z z x x y z +++≤ 等号在1 ,02 x y z == =时取得. 4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例4 已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 35 ≤.
证明不等式的八种方法
利用导数证明不等式的八种方法 构造函数法---1研究其单调性 2 极值、最值与0的关系 张红娟学习所得 2012.10.18 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明
不等式证明常用方法
不等式证明常用方法 不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景，与生产实践联系十分密切；因此，无论普通高考，还是对口高考，不等式,历年都是考试的重点、热点,甚至难点。下面就不等式的证明，介绍几种常见方法，如有不对，敬请同行、同学们斧正. 一、作差法 例1、对于任意实数x ,求证：x x 232>+. 证明：∵x x 232-+=2)1(2+-x 0> ∴x x 232>+. 评注:1.作差法步骤:作差—变形—判断与0的关系—结论. 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用. 二、作商法 例2、设a ,b 均是正实数，求证：a b b a b a b a ≥. 证明：首先，由条件0>b a b a ,0>a b b a ， 其次， b a a b b a b a b a b a -=)(， ⑴当0>≥b a 时， 1≥b a ，0≥-b a ，∴1)(≥-b a b a . ⑵当0>>a b 时，10<-b a b a . 综合⑴、⑵：1)(≥-b a b a ，∴a b b a b a b a ≥. 评注:1.作商法步骤:作商—变形—判断与1的关系—结论. 2.作差法是通法，运用较广；作商法，要注意条件，不等式两边必须是正数。作商法常用于证幂、指数形式的不等式。 三、综合法 例3、设a ,b ,c 均是正实数,求证： c b a c ab b ca a bc ++≥++ 证明：∵a ,b ,c 均是正实数,∴a bc ,b ca ,c ab 也均是正实数. ∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a +≥+≥+≥
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的证明： 一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法 方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。 使用此法作差后主要变形形式的处理： ○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。 ○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。 ○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。 总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。 2．作商比较法 方法：要证A>B,常分以下三种情况： 若B>0，只需证明 1A B >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明 1A B <。 （3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证： b a m b m a >++
解析：用作差比较法 ∵ ) () ()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-= ++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b - a > 0 ∴ 0) () (>+-m b b a b m 即： b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2 a b a b a b ab +> 解析：用作商比较法 ∵ () 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b b ab -++--- - -+??=== ??? 又∵a>b>0,() 2 2 1,01 2a b a b a b a a b a b b a b ab -+-??∴>>∴> ? ?? ∴> 例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。 解析：法1：用作差比较法 [][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+-- x x x a a +--=11l o g )1(l o g 2 ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-< x x ∴011log )1(log 2>+--x x x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 法2：用作商比较法 2 111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log x x x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(l o g 121x x --=+ ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法 一、比较法 （1）差值比较法 要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。 ①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体； ②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段； ③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 【例一】 求证：2 33x x +> 证明： ()() () 2 2 2 2 33223333 x x x x +-=-+ - + 2 333 0244x ? ?=-+≥ > ?? ? 2 33x x ∴+> (2)商值比较法 已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式； ③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。 应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 【例二】 已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥ 证明： =
∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1; 当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1. ∴ ≥1, 即a b b a a b a b ≥ 二、综合法 利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。重点：基本不等式 【例三】 已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc . 证明： 2 2 2a b ab +≥ ，2 2 2a c ac +≥，2 2 2c b bc +≥ ()2 2 2a b c abc ∴+≥，()2 2 2b a c abc +≥，()2 2 2c a b abc +≥ ∴a (c 2+b 2 )+b (a 2 +c 2 )+c (a 2 +b 2 )≥6abc . 又因为a ,b ,c 是不全等的正数 所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc . 三、分析法 分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明A-B 的逻辑关系为：B-B1-B2- B3 … Bn -A ，书写的模式是：为了证明命题B 成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A 为真，而已知A 为真，故B 必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 【例四】 求证：6 372+ < + 证明:
不等式几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用 不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学概括 法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单一性、凹凸性等方法．本文将对此中一些典型证法给 出系统的概括与总结，并以例题的形式展现这些方法的应用． 1利用结构法证明不等式 “所谓结构思想方法就是指在解决数学识题的过程中，为达成从条件向结论的转变，利用数学 问题的特别性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的详细方法．利用结构思想方法不是直 接解决原问题，而是结构与原问题有关或等价的新问题．”[1](P52)在证明不等式的问题中，结构思想 方法常有以下几种形式： 1.1结构函数证明不等式 结构函数指依据所给不等式的特色，奇妙地结构合适的函数，而后利用一元二次函数的鉴别式 或函数的有界性、单一性、奇偶性等来证明不等式． 利用鉴别式 在含有两个或两个以上字母的不等式中，若依据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能 经过等价形式转变成一元二次函数的，都可考虑使用鉴别式法． 例1 设x,y,zR，证明x2 xy y2 3z(x yz)0成立． 解令f(x) x2 (y 3z)x y2 3yz 3z2为x的二次函数． 由(y 3z)2 4(y2 3yz 3z2) 3(y z)2知0，所以f(x)0． 故x2 xy y2 3z(x y z)0恒成立． 对于某些不等式，若能依据题设条件和结论，联合鉴别式的结构特色，经过结构二项平方和函 数f(x)=(a1xb1)2＋(a2x－b2)2＋＋(a n x b n)2，由f(x) 0得出0，从而即可得出所需证的不等式． 例2 设a,b,c,d R ，且a b c d 1，求证 4a 1 4b 1 4c 14d 1 6[2](P18)． 证明令f(x)=( 4a 1x－1)2＋( 4b 1x 1)2＋( 4c 1x1)2＋(4d1x1)2
证明函数不等式的六种方法
证明函数不等式的六种方法 在高中数学中，函数的不等式是一个重要的主题。证明函数不等式是一个基本的技能，它可以帮助学生更好地理解函数的性质并提高数学思维能力。下面我们介绍六种证明函数不等式的方法。 1. 代数法 这种方法是最常用的方法之一。我们可以将不等式两边的函数展开，并进行简单的代数计算，以确定不等式的正确性。 例如，我们要证明： f(x) > g(x) 其中 f(x) = x^2 + 2x + 1 g(x) = x^2 + x 我们可以将f(x)和g(x)展开，然后将它们相减，得到： f(x) - g(x) = x + 1 因此， f(x) > g(x) 当且仅当 x > -1 2. 消元法 这种方法通常适用于含有多个变量的不等式。我们可以将其中一个变量消去，从而使不等式简化。 例如，我们要证明： f(x, y) > g(x, y) 其中
f(x, y) = x^2 + y^2 g(x, y) = x^2 - y^2 我们可以将y消去，得到： f(x, y) - g(x, y) = 2y^2 因此， f(x, y) > g(x, y) 当且仅当 y ≠ 0 3. 极限法 这种方法通常适用于连续函数的不等式。我们可以将不等式两边取极限，以确定不等式的正确性。 例如，我们要证明： f(x) > g(x) 其中 f(x) = x^2 + 2x + 1 g(x) = x^2 + x 我们可以将f(x)和g(x)的极限计算出来，得到： lim (f(x)) = +∞ x→+∞ lim (g(x)) = +∞ x→+∞ 因此， f(x) > g(x) 当 x → +∞ 4. 导数法
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全 1.推导法： 推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。常用的 推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。其中，数学归纳法是一种常见 的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。 （1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。 （2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时， 不等式成立。 通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不 等式。 2.数学运算法： 数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入 新的限制条件。 3.几何法： 几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。几何法常用于证 明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式 定理等。通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。 4.广义的带参数的方法：
广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取 值范围来证明不等式的成立。这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不 等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。 5.分情况讨论法： 分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。通过逐个讨论每种情况，可以得出要 证明的不等式的证明。 6.反证法： 反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛 盾的结论，从而证明不等式的成立。反证法常用于证明不等式的唯一性和 存在性。 7.递推法： 递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐 步逼近要证明的不等式。通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。 以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合 使用。在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理， 同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。希望这些方法能 对你在不等式证明中起到一定的帮助。