(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(2)

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(完整版)北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析

第5课时平面向量的坐标表示及其运算1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为υ.能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底e1、e2时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,一对实数x,y,使得= ,因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标,记作.问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1)向量和的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= .即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)向量差的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= .即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)实数与向量的积的坐标运算:设λ∈R,a=(x,y),则λa=.即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.(4)的坐标表示:若A(x1,y1),B(x2,y2),则=-= .即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线?由向量的共线定理可知:若a,b(b≠0)共线,则存在唯一的实数使得.设a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0,则(x1,y1)=λ(x2,y2)=,得即两式相减消去λ得,这就是两个向量平行的条件.由于规定向量可与任一向量平行,所以在应用时可以去掉b≠0,即:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b 共线.若x2≠0,且y2≠0(也可写作x2y2≠0),则x1y2-x2y1=0可以写成(两向量平行的条件是相应坐标).1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用i、j表示为().A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=().A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)3.设a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=.4.(1)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,2a+3b.(2)设a,b,c的坐标分别是(1,-3),(-2,4),(0,5),求3a-b+c的坐标.平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中,向量a,b的位置如图所示,已知|a|=4,|b|=3,且∠AOx=45°,∠OAB=105°,分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.平行向量的坐标运算已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若AB∥CD,求x的值.在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位;(2)用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位;(3)用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.已知A、B、C的坐标分别为A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),求向量+2-的坐标.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?1.设向量=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().A.(5,12)B.(12,5)C.(2,1)D.(1,2)2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为().A.(,-)B.(,-)C.(-,)D.(-,)3.已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴正方向上,则向量2+3+的坐标为.4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标.(2013年·陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b,则实数m等于().A.-B.C.-或D.0考题变式(我来改编):答案第5课时平面向量的坐标表示及其运算知识体系梳理问题1:相互垂直垂直问题2:有且仅有xi+yj (x,y)a=(x,y)问题3:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2,y1-y2)(3)(λx,λy)(4)(x1-x2,y1-y2)问题4:a=λb(λx2,λy2)λx2λy2x1y2-x2y1=0零=成比例基础学习交流1.A a=(3,4)=3i+4j.2.C由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,得1×m=2×(-2)⇒m=-4,从而b=(-2,-4),那么2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8).3.2∵λa+b=(λ+2,2λ+3)与c=(-4,-7)共线,∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=0,解得λ=2.4.解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),2 a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(3+2+0,-9-4+5)=(5,-8).重点难点探究探究一:【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),∵∠AOx=45°,∴a1=|a|cos 45°=4×=2,a2=|a|sin 45°=4×=2,∴a=(2,2)=,∴A点的坐标为(2,2).将b的起点平移至原点,令b的终点为B',由题意可知∠B'Ox=120°,所以b1=|b|cos 120°=3×(-)=-,b2=|b|sin 120°=3×=,∴b=(-,).又∵b==-,∴=b+=(2-,2+).故a=(2,2),b=(-,),A点的坐标为(2,2),B点的坐标为(2-,2+).【小结】(1)相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要把始点不在原点的向量移到原点.(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.(3)若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与x轴正方向的夹角为θ,由三角函数的定义可知,x=|a|cos θ,y=|a|sin θ.要注意公式中的θ是向量a的方向与x轴正方向的夹角.探究二:【解析】设点C(x1,y1),D(x2,y2),由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),∵=,=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),则有和解得和∴点C、D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), =(-2,-4).【小结】求点的坐标时,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可.探究三:【解析】∵AB∥CD,∴∥,又∵=(x2,x+3),=(2x,x+1),∴x2(x+1)-2x(x+3)=0,解得x=-2或x=0或x=3.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确,错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序,需满足,反向才行.错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同,∥时,AB与CD可能平行也可能重合.于是,正确解答如下:=(x2,x+3),=(2x,x+1),∵在四边形ABCD中,AB∥CD,∴与平行且反向.于是解得x=-2.经检验,x=-2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量,不能在同一条直线上且反向平行.思维拓展应用应用一:设(1)(2)(3)中的向量分别为=a,=b,=c,并设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).(1)如图,因为∠POP'=45°,||=2,所以a==+=i+j,所以a=(,).(2)因为∠QOQ'=60°,||=3,所以b==+=-i+j,所以b=(-,).(3)因为∠ROR'=30°,||=4,所以c==+=2i-2j,所以c=(2,-2).应用二:A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),得=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),∴+2-=(-2,10)+2(-8,4)-(-10,14)=(-2,10)+(-16,8)-(-5,7)=(-18,18)-(-5,7)=(-13,11).应用三:(法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).∵(ka+b)∥(a-3b),∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b=(--3,-+2)=(-,)=-(10,-4)=-(a-3b).∴k=-,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),∴解得∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-(a-3b).∵λ=-<0,∴它们的方向相反.∴k=-,此时ka+b与a-3b平行,并且反向.基础智能检测1.D设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(3,7),=-=(x-3,y-7)=(-2,-5),∴解得2.A=(3,-4),所以||=5,这样同方向的单位向量是=(,-),选A.3.(3,4)如图,建立直角坐标系,有A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),即=(1,0),=(0,1),=(1,1),则有2+3+=(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).4.解:设顶点D的坐标为(x,y).∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y),由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴∴∴顶点D的坐标为(2,2).全新视角拓展C因为a=(1,m),b=(m,2),且a∥b,所以1·2=m·m⇒m=±,所以选C.思维导图构建xi+yj (x,y)(x1±x2,y1±y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)x1y2=x2y1。

(北师大版)高中数学-必修四-同步习题-第二章平面向量 2.7.1 点到直线的距离公式

§7向量应用举例7.1点到直线的距离公式课时过关·能力提升1.已知点(3,m)到直线x的距离等于则等于A或解析:d -故m或答案:D2.若且分别是直线和直线的方向向量则的值可以分别是A.2,1B.1,2C.-1,2D.-2,1解析:直线l1的一个法向量为n1=(a,b-a),直线l2的一个法向量为n2=(a,4b).又分别为直线l1,l2的方向向量,则a+2(b-a)=0,-2a+4b=0,即a=2b,令b=1,则a=2.答案:A3.若点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值是()A解析:|OP|min即为原点到直线的距离,故|OP|min-答案:B4.已知两条平行直线l1:12x+5y-3=0和l2:12x+5y+m=0的距离为1,则m=()A.10B.-16C.10或-16D.13解析:在l1上取点则M到l2的距离d解得m=10或-16.答案:C5.过点P(1,-3),且与向量m=(5,2)平行的直线方程为.解析:设M(x,y)是所求直线上任一点,则∥m.因为所以2(x-1)-5(y+3)=0,即2x-5y-17=0.答案:2x-5y-17=06.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.解析:由题意,得点P(4,a)到直线4x-3y-1=0----≤3即|15-3a|≤15 解得0≤a≤10.所以a∈[0,10].答案:[0,10]7.已知直线l1:x+2y+10=0,直线l2:5x+my=0,若l1⊥l2,则实数m=. 解析:分别取直线l1和l2的法向量m=(1,2)和n=(5,m),则m⊥n,所以m·n=0.所以1×5+2m=0,解得m=答案:8.已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m=.解析:由已知得直线的一个法向量为n=(m,1),其同向单位向量为n0在直线上任取一点P(0,-3),则依题意有·n0|=·n0|,---解得m或m=-6.答案:或9.已知直线l:mx+2y+6=0,向量(1-m,1)与l平行,则实数m的值为.解析:∵直线l的法向量n=(m,2)与向量(1-m,1)垂直,∴(m 2 · 1-m,1)=0,即m(1-m)+2=0,∴m=-1或m=2.答案:-1或210.用向量方法判断下列各组直线的位置关系.(1)l1:5x+4y=0,l2:5x+4y+1=0;(2)l1:3x+2y+1=0,l2:6x+4y+2=0;(3)l1:7x+y-2=0,l2:x-7y+1=0;(4)l1:4x-y+3=0,l2:3x+2y+1=0.分析利用两条直线的法向量间的关系来判断.解(1)分别取l1和l2的一个法向量m=(5,4)和n=(5,4),则m∥n,但点P(0,0)在l1上,不在l2上,故l1∥l2.(2)分别取l1和l2的一个法向量m=(3,2)和n=(6,4),则m∥n,且-在l1上,也在l2上,故l1与l2重合.(3)分别取l1和l2的一个法向量m=(7,1)和n=(1,-7),则m·n=1×7+1× -7)=0,所以m⊥n.故l1⊥l2.(4)分别取l1和l2的一个法向量m=(4,-1)和n=(3,2),则4×2-(-1 ×3≠0 且4×3+(-1 ×2≠0.所以m与n既不平行也不垂直.故l1和l2相交但不垂直.11.求经过点A(2,1),且与直线l:4x-3y+9=0平行的直线方程.解因为向量(4,-3)与直线l的方向向量垂直,所以向量n=(4,-3)与所求的直线的方向向量垂直.设P(x,y)为所求直线上的一动点,则点P在所求直线上,当且仅当n·所以4(x-2)+(-3)(y-1)=0.整理,得4x-3y-5=0.故所求的直线方程为4x-3y-5=0.★12.在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A的平分线所在直线的方程.解(方法一)向量从而∠A的平分线所在直线的一个方向向量为--则∠A的平分线所在直线的方程可设为将点A(4,1)的坐标代入,得m=整理得∠A的平分线所在直线的方程为7x+y-29=0.(方法二)设为∠A的平分线所在直线的的一个方向向量,则有··由方法一可得即7λ+μ=0,令λ=-1,得μ=7,则从而∠A的平分线所在直线的方程为---即7x+y-29=0.。

北师大版高一数学必修4第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。

A、-9B、-6C、9D、62．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。

A、B、C、D、3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。

A、（2，3）B、（1，2）C、（3，4）D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。

A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。

A、B、C、D、6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。

A、B、C、D、7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。

A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2(4)(b) -(a)b与不一定垂直。

其中真命题的个数是（）。

A、1B、2C、3D、49．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。

A、B、C、D、10．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是（）。

A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=212．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

2019新版高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量检测

第二章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列等式成立的是( )A .MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.a ·0=0C.(a ·b )c =a (b ·c )D.|a +b |≤|a |+|b |答案:D2.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B .PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C .PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0解析:由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得P 是边AC 的中点,从而PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.答案:B3.已知非零向量a ,b 满足向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2,则下列结论中一定成立的是() A.a=b B.|a|=|b|C.a ⊥bD.a ∥b解析:因为向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2,所以(a+b )⊥(a-b ),即(a+b )·(a-b )=0,所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.答案:B4.已知点A (1,2),B (2,-1),C (2,2),若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .5B .-5C .3D .-3解析:由已知,得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3). ∴BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,1)=(1,−2), AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,2)=(1,−1). ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+(−2)×(−1)=3. 答案:C5.设O ,A ,M ,B 为平面上四点,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且λ∈(1,2),则( ) A .点M 在线段AB 上B .点B 在线段AM 上C .点A 在线段BM 上D .O ,A ,M ,B 四点共线解析:由题意可知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴A ,M ,B 三点共线.又λ∈(1,2),∴|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,点B 在线段AM 上. 答案:B6.已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABC 是( )A .等边三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .钝角三角形解析:AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 故△ABC 为直角三角形.答案:C7.已知C 为△ABC 的一个内角,向量m =(2cos C-1,-2),n =(cos C ,cos C+1).若m ⊥n ,则角C=( )A .π6B.π3C .2π3D.5π6解析:由m ⊥n ,得(2cos C-1)·cos C-2(cos C+1)=0,即2cos 2C-3cos C-2=0,解得cos C=−12或cos C=2(不符合题意,舍去).∵C ∈(0,π),∴C =2π3. 答案:C8.下列说法中正确的个数为( )①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ; ②若a ·b <0,则a 与b 的夹角是钝角;③向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34)能作为平面内所有向量的一组基底;④若a ∥b ,则a 在b 方向上的投影为|a |.A .1B .2C .3D .4解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,①正确; 当|a |=|b |=1且a 与b 反向时,a ·b =-1<0,但a 与b 的夹角为180°,②不正确;因为e 1=4e 2,所以e 1∥e 2,所以向量e 1,e 2不能作为基底,③不正确;若a ∥b ,则a 与b 的夹角为0°或180°,所以a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ=±|a |,④不正确.故选A .答案:A9.已知O 是△ABC 外接圆的圆心.若3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则∠ACB=( ) A .π6B.π3C.5π6D.2π3解析:由O 是△ABC 外接圆的圆心,设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=R,由3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−17(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),平方可得R 2=149(9R2+30R2cos2∠ACB+25R 2),解得cos2∠ACB =12,故由题意得,∠ACB =π6. 答案:A10.已知k ∈Z ,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4).若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√10,则△ABC 是直角三角形的概率为( ) A .17B.27C.37D.47解析:由|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√10及k ∈Z ,知k ∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}. 若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)垂直, 则2k+4=0,解得k=-2;若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k −2,−3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)垂直, 则k (k-2)-3=0,解得k=-1或3;若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直, 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,(2,4)·(k-2,-3)=2k-4-12=0,即k=8,不符合题意,所以△ABC 是直角三角形的概率是37.答案:C11.若非零向量a ,b 满足|a |=2√23|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( )A .π4B.π2C.3π4D.π 解析:由(a -b )⊥(3a +2b )知(a -b )·(3a +2b )=0,即3|a |2-a ·b -2|b |2=0.设a 与b 的夹角为θ,所以3|a |2-|a ||b |cos θ-2|b |2=0,即3·(2√23|b |)2−2√23|b |2cos θ-2|b |2=0,整理,得cos θ=√22,故θ=π4. 答案:A12.如图,四边形ABCD 是正方形,延长CD 至点E ,使得DE=CD.若动点P 从点A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A ,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列判断中正确的是( )A.满足λ+μ=2的点P 必为BC 的中点B.满足λ+μ=1的点P 有且只有一个C.λ+μ的最大值为3D.λ+μ的最小值不存在解析:由题意可知,λ≥0,μ≥0,当λ=μ=0时,λ+μ的最小值为0,此时点P 与点A 重合,故D 错误;当λ=1,μ=1时,点P 也可以在点D 处,故A 错误;当λ=1,μ=0,λ+μ=1时,点P 在点B 处,当点P 在线段AD 的中点时,λ=μ=12,亦有λ+μ=1.所以B 错误.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设向量a =(x ,3),b =(2,1).若对任意的正数m ,n ,向量m a +n b 始终具有固定的方向,则x= . 解析:当a 与b 共线时,向量m a +n b 始终具有固定的方向,所以x=6.答案:6。

(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．1B ．3C ．7D ．32．已知向量,a b ，满足||1,||2a b ==，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤，则向量,a b 的夹角的取值范围是（）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（） A ．重心，外心，内心 B ．重心，外心，垂心 C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心4．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（） A ．312+ B ．312- C ．3 D ．15．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．326．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（）个．A ．2B ．4C ．6D ．07．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,222]+B ．[0,2]C ．[222,222]-+D ．[222,2]-8．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( ) A ．3-B ．12-C ．12D ．329．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定10．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（） A ．22B ．122+C ．222+D ．4211．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（）A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 12．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 14．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．15．不共线向量a ，b 满足||||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为________. 16．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，则AD AE ⋅的最大值为______．17．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.18．已知点()0,1A ，()3,2B ，向量()4,3AC =，则向量BC =______.19．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______.20．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12S S =______. 三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)A --，()2,3B ，(2,1)C --．（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）若存在y 轴上一点P 满足BC AP ⊥，求BPC ∠． 22．已知向量()()3,1,1,2AB AC =-=-. （1）求向量AB 与AC 的夹角θ；（2）若()()AB AC AB AC λ+⊥-，求实数λ的值. 23．已知123PP P 三个顶点的坐标分别为123(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )P P P ααββγγ，且1230OP OP OP ++=（O 为坐标原点）．（1）求12POP ∠的大小；（2）试判断123PP P 的形状．24．已知非零向量a ,b 满足1a =且()()12a b a b -⋅+=．（Ⅰ）若12a b ⋅=，求向量a ,b 的夹角；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求2a b -的值． 25．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 26．在ABC 中，G 为ABC 的重心，过G 点的直线分别交,AB AC 于,P Q 两点，且,AP h AB AQ k AC ==，（1）求11h k+的值；（2）设,APQ ABC S S △△分别表示,APQ ABC △△的面积，求APQ ABCS S的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b ，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=113,22222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．B解析：B 【分析】根据向量不等式得到7a b +≤，平方得到1a b ⋅≤，代入数据计算得到1cos 2α≤得到答案. 【详解】由||1a =，||2b =，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤ 可得：()()27a b c a b c a c b c +⋅≤+⋅≤⋅+⋅≤ 可得:()227a b +⋅≤,7a b +≤平方得到2227a b a b ++⋅≤，即1a b ⋅≤1cos 1,cos ,23a b a b παααπ⋅=⋅≤∴≤∴≤≤故选：B 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键.3．B解析：B 【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =． M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．4．B解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为312⎫⎪⎪⎝⎭，321⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得223124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以3⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为312⎫⎪⎪⎝⎭，321⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，因为()()0a c b c -⋅-=，所以3131,,02222x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22314x y ⎛+= ⎝⎭，表示以3,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为32，所以圆上的点到原点的距离的最小值为3122-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题5．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+，令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6．B解析：B 【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解．【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-，22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．7．D解析：D 【解析】如图所示：OA a =，OB b =，OC c =，OD a b =+ ∵()()0a c b c -⋅-≤，∴点C 在劣弧AB 上运动，a b c +-表示C 、D 两点间的距离CD ．CD 的最大值是BD ＝２，CD 最小值为OD 2222-=-.故选D8．B解析：B 【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π 【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos32AB BC π<>==- 【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.9．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较．【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．10．C解析：C 【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解．【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上，又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上，则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立，又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．11．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=，而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥ 故答案为：6. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.14．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()23,0C ，由中心坐标公式可得：0023200,3G ⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭，即223,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，据此有：223,33GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，423,33GC ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：2422203333339GB GC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．15．【解析】由垂直可知=0即又因为所以填（或）解析：3π【解析】由垂直可知()a a 2b -=0,即2||20a a b -⋅=,2||2a ab ⋅=,1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅,又因为,[0,]a b π<>∈ ,所以,3a b π<>=.填π3（或60︒）. 16．6【分析】先建立平面直角坐标系再表示出点的坐标接着表示出最后求求得最大值即可【详解】解：以点为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向建立平面直角坐标系如图则由图可知以为直径的圆的方程为：参数方向：因为解析：6 【分析】先建立平面直角坐标系，再表示出点E 的坐标，接着表示出AD ，AE ，最后求AD AE ⋅求得最大值即可. 【详解】解：以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，以AD 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则(0,0)A ，(0,2)D由图可知以CD 为直径的圆的方程为：22(1)(2)1x y -+-=，参数方向：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，因为E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，所以(1cos ,2sin )E θθ++，（0θπ≤≤），所以(0,2)AD =，(1cos ,2sin )AE θθ=++，则0(1cos )2(2sin )42sin AD AE θθθ⋅=⨯+++=+，当2πθ=时，AD AE ⋅取得最大值6.故答案为：6 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，是基础题17．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而min7MN==故答案为【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.18．【分析】根据向量的坐标运算即可求出【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算向量模的坐标公式属于基础题目【分析】根据向量的坐标运算即可求出．【详解】因为()0,1A ，()3,2B，所以()3,1AB =，()()()4,33,11,2BC AC AB =-=-=，21BC ==【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.19．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可. 【详解】因为0a b c d +++=，所以++=-a b c d ，所以()()22++=-a b cd ，所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ，因为2a =，3b =，4c =，4d =，所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分别取的中点则所以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在解析：16【分析】将230OA OB OC ++=化为()2OA OC OB OC +=-+，再构造向量()12OA OC +和()12OB OC +，得出比例关系，最后求解12.S S【详解】因为230OA OB OC ++=，所以()2OA OC OB OC +=-+，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则2OA OC OD +=，2OB OC OE +=. 所以2OD OE =-，即O ，D ，E 三点共线且2OD OE =.如图所示，则13OBC DBC S S ∆∆=，由于D 为AC 中点，所以12DBC ABC S S ∆∆=，所以16OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为：16【点睛】本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题.三、解答题21．（1）；（2）arccos 5．【分析】（1）计算AB AC +和AB AC -可得；（2）先求出P 点坐标，再求PB 和PC 的夹角即得．【详解】（1）由题意(3,5)AB =，(1,1)AC=-，(2,6)AB AC +===(4,4)AB AC-==所以所求对角线长为（2）设(0,)P y ，则由BC AP ⊥得3(1)(2)12(2)0(1)y ----⨯=-----，3y =-，即(0,3)P -，(2,6)PB =，(2,2)PC =-，cos 2PB PC BPC PB PC⋅∠=== 所以arccos 5BPC ∠=．【点睛】关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线长就是,AB AC 和与差的模．而求BPC ∠，可以算作是,PB PC 的夹角，也可以用两直线的夹角公式求解． 22．（1）4π；（2）23．【分析】（1）由向量的夹角公式计算可得答案；（2）由向量垂直的坐标表示可得答案．. 【详解】（1）因为向量()()3,1,1,2AB AC =-=-，所以31+12cos 2θ⨯-⨯-==，又0θπ≤≤，所以4πθ=.所以向量AB 与AC 的夹角4π；（2）因为向量()()3,1,1,2AB AC =-=-，所以()()4331+2AB AC AB AC λλλ+=--=--，，，，又()()AB AC AB AC λ+⊥-，则()()()431+3+20λλ⨯--⨯-=，解得23λ=，所以实数λ的值为23. 【点睛】方法点睛：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则//a b 12210x y x y ⇔-=，a ⊥b 1212+0y x x y ⇔=.23．（1）1223POP π∠=；（2）123PP P 是等边三角形．【分析】（1）根据1231OP OP OP ===和1230OP OP OP ++=可得1212OP OP ⋅=-，从而可求12POP ∠的大小.（2）结合（1）可求得231321||||||3PP P P PP ===，从而可得123PP P 是等边三角形. 【详解】解：（1）题意知1231OP OP OP === ∵123OP OP OP +=-， ∴()22123OP OP OP +=∴222121232OP OP OP OP OP +⋅+= ∴1221OP OP ⋅=-，即1212OP OP ⋅=-， ∴1212121cos 2OP OP POP OP OP ⋅∠==-⋅，∴[]120,POP π∠∈，∴1223POP π∠=．（2）∵1221PP OP OP =-， ∴22122122121||()23PP OP OP OP OP OP OP =-=-⋅+=同理：1323||||3PP P P == ∴123PP P 是等边三角形．【点睛】本题考查向量的夹角的计算以及三角形形状的判断，注意根据各向量的模长相等且为1对向量等式平方，从而得到夹角的大小，本题属于中档题.24．（Ⅰ）；（Ⅱ）1【解析】试题分析：（Ⅰ）本问充分考查学生对向量数量积的掌握，善于将已知条件进行转化，具有划归转化能力和方程思想．将()()12a b a b -⋅+=展开整理得到关于b 的一元二次方程，求出b ，在根据公式cos ,a b a b a b ⋅=⋅求出向量a ,b 的夹角的余弦值，在根据向量夹角的范围是，从而求出向量a ,b 的夹角；（Ⅱ）本题考查求向量模的方法，利用2a a =，()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+，再根据第（Ⅰ）问的条件及已知条件，即可求出的值．试题（Ⅰ）∵()()12a b a b -⋅+=∴22221||2a b a b -=-=又∵1a = ∴22b = ∴2cos ,2a b a b a b ⋅== ∴向量,a b 的夹角为4π．（Ⅱ）2222(2)441a b a b a a b b -=-=-⋅+=考点：1．向量的垂直；2．向量的数量积运算；3．求向量的模．25．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，22||(2)5|25b λλλ=+-==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）221(2)5a =+-=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．26．（1）3；（2）49. 【分析】（1）G 为ABC 的重心，可得1331AG AB AC =+，再由,,P G Q 三点共线，利用共线的充要条件可得(1)AG AP AQ λλ=+-，结合已知和向量的基本定理，即可求出,h k 关系；（2）由三角形面积公式可得APQ ABC S hk S =，利用（1）中结论，结合基本不等式，即可求出结论.【详解】（1）设BC 中点为D ，则,,A G D 三点共线，且211333AG AD AB AC ==+， ,,P G Q 三点共线，存在唯一的λ，使得(1)(1)AG AQ QP AP AQ hAB k AC λλλλλ=+=+-=+-，,AB AC 不共线，131(1)3h k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得31()1,31h h k h k k=+=+；（2）1||||sin 21||||sin 2APQ ABC AP AQ BACS hk S AB AC BAC ⋅⋅∠==⋅⋅∠ 114))911()((299k h h k h k h k =+++≥+=，当且仅当23h k ==时，等号成立. APQABC SS 的最小值为49. 【点睛】本题考查向量基本定理以及共线充要条件的应用，注意运用基本不等式求最值，属于中档题.。

北师大版必修四第二章平面向量综合检测题及答案解析

综合检测（二）（时间120分钟，满分150分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）a ，b ，c 满足 a / b ，且 a 丄c ，贝U c (a + 2b )=( )C. 2•.a 丄c ，-'a c = 0.又•••a//b ，二可设b = a 则 c (a + 2b ) = c(1 + 2 ?)a2.已知向量a = （1,0）与向量b = （—1,^/3）,则向量a 与b 的夹角是（）nA -6C.2n【答案】A. 2C-6'•'1= (1 + x,3)， u= (1 — x,1)， 1/u•••(1+ X)x 1-3X (1 — X) — 0,.・.x=2第二章平面向量1.若向量【解析】【答案】 D x k B1 . c o mn B.3【解析】cos〈a ，b 〉=器=T^•••0，b 〉 2n=3 .3.已知 a = (1,2)， b —(X ，1)，11= a + b, u= a — b,且1/ u 则x 的值为（）【解析】【答案】A4.已知|a| = 2|b|, |b|M 0,且关于x的方程x2+ |a|x + ab= 0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()n A. [0,6】n , B. [3, n> 0. C. [5,劭n ,D. [6, n【解析】|a|2— 4a b=a f — 4|a||b|cos〈a, b〉= 4|b|2— 8|b|2 cos〈a,b〉-cos a, b〉1W2，〈a, b〉€ [0, n .a,b〉【答案】5.已知|a| = 1, |b| = 6, a (b—a) = 2,则向量a与b的夹角是( )nA.6nB.4nC.nnD-22 2【解析】--a (b—a) = a b— a = 2,.・.|a||b|cos B—|a| = 2,1 n•••1x 6x cos — 1 = 2,.・.cos = 2，又0W 0W n 二=3,故选 C.【答案】 C6.已知OA= (2,2), 5B= (4,1)，在x轴上一点P使A P B P有最小值，则P点的坐标是( )A. (—3,0)B. (3,0)C. (2,0)D. (4,0)【解析】设P(x,0),.・.AP= (x—2,—2), BP= (x —4,— 1),A AP BP= (x—2)(x —4)+ 22 2=x —6x+ 10= (x—3) +1,当x= 3时，AP BP取最小值，此时P(3,0).【答案】 B7•若a,b是非零向量，且a丄b,|a|M |b|,则函数f(x)= (x a+ b) (x b—a)是( )A .一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C•二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数【解析】..a丄b,.・.a b= 0,•••f(x) = (x a + b) (x b—a) = x2(a b)+ (|b|2—|a|2)x—a b= (|bf—a|2)x,又|a|M|b|.•••f(x )是一次函数且为奇函数，故选A.【答案】 A> —> AB AC —> AB AC 18 已知非零向量AB与AC满足(=+=) BC = 0且===2则^ ABC |AB| AC| |AB| |AC|A .等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【解析】AB和钥分别是与AB, AC同向的两个单位向量.|AB| AC|AB AC AB AC f兰+号是/BAC角平分线上的一个向量，由+弋)BC = 0知该向|AB| |AC| |AB| |AC|AB AC 1量与边BC垂直，.・.ZABC是等腰三角形.由 f f = 2知/BAC= 60 : •••ZABC是|AB|| AC|等边三角形.【答案】 A9. (2013 湖北高考)已知点 A(— 1,1), B(1,2), C(-2,— 1), D(3,4),则向量 AB 在CD 方向上的投影为()A鉅C .-寥【解析】由已知得AB = (2,1), CD = (5,5),因此AB 在CD 方向上的投影为AB CD _ _鉅|CD| 5©2【答案】 A10•在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点'则-()D. 10【解析】--PA ^ CA — CP ,7 2 7 2 7 7 7 2 IPAl = CA — 2CP CA+CP .—7 —7 —7 —7 少 7 少 —7 —7 —7 Q •.•PB _ CB — CP ,・.|PB| _ CB — 2CP CB +CP .—7 2 —7 2 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 •••|PAr + |PBr_ (CA + CB ) — 2CP (CA + CB) + 2CP _ AB — 2CP 2CD + 2CP又AB 2= 16CP 2, CD = 2CP ,代入上式整理得 |FA|2+ |PB|2= 10|CPf ,故所求值为10.【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)C. 5 ,211.已知向量a= (2,1), ab= 10, l a + b| = 5 迄，则|b| 等于【解析】••l a+ b|a5 72,A(a + b)2a50,即a2+ b2+ 2a b a50, 又a|=V5, a b= 10,••5+|bf+ 2X 10a 50.解得|b| = 5.【答案】 5」「4si n a— 2cos a12•已知a a g), b a(sin a, cos a，且a// b•则5^5 + 3前 a【解析】••a//b,.・.3cos aa sin a,4sin a— 2cos a 4tan a— 2 4 X 3— 2 55cos a+ 3sin a 5+ 3tan a 5+ 3X 3 75【答案】513.(2013课标全国卷n )已知正方形ABCD的边长为2, E为CD的中点,贝UAE BDa【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0), B(2,0), D(0,2), E(1,2),••AE= (1,2), BDa (-2,2),••AE BD a 1X (-2) + 2X 2a2.【答案】 22 n14.已知e1, e2是夹角为~的两个单位向量，a a& —2e2, b a k e1 + e2,若a b a 0,则实数k的值为【解析】由题意a b = 0,即有(81 — 2e 2) (*01 + e 2)= 0•••k e 1+ (1 — 2k) 81 82— 2e 2= 0.又•••|e i |= |e 2|= 1,〈e i ,e 2>2 n•'•k— 2+ (1 — 2k) cos -3 = 0, 1 — 2k 5 • k — 2= ~2~，•-k =4.【答案】515. (2012 安徽高考)设向量 a = (1,2m), b = (m + 1,1), c = (2, m).若(a + c ) 丄 b,则 a i = .【解析】 a + c = (1,2m) + (2, m) = (3,3m).••(a + c)丄 b,•••(a + c ) b = (3,3m) (m + 1,1)= 6m + 3= 0,••a = (1,— 1), la , 12 + (-1丫【答案】迈三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分)(2013江苏高考)已知a = (cos a, sin a, b = (cos B, sin 9, 0< 3<a<n.(1)若 |a — b | = 72，求证：a 丄 b ；⑵设c = (0,1)，若a + b = c ,求a 9的值. 【解】（1）证明由题意得a — b l 2 = 2, 即(a — b )2= a 2 — 2a b + b 2 = 2. 又因为 a 2= b 2= laj |b |2 = 1,2n ~3所以 2-2a b = 2, 即卩 a b = 0,故 a 丄b.⑵因为 a + b = (cos a+ cos B, sin 计 sin f) = (0,1),Icos a+ cos 3= 0, 所以1 Isin a+ sin 3= 1,由此得，cos a= cos( — 3)，由 0v 3< n 得 0v n — 3^ n. a= n — 3代入 sin a+ sin 3= 1, 得 sin a= sin十“ 5 n n 所以 a=E, 3=6.【解】AC = OC — OA = (7,— 1 — m),BC = OC - 0B = (5- n ,— 2). ••A 、B 、C 三点共线，••• AC//BC ,•••—14+ (m + 1)(5 — n) = 0. 又OA 丄OB.--—■2n + m = 0.3由①②解得 m = 6, n = 3或m = 3, n =q.18.(本小题满分12分)已知a , b 是两个非零向量，当a +t b (t € R )的模取最小值时.(1)求t 的值; ⑵求证：b 丄(a + t b ).【解】 (1)(a + t b )2= a + kb |2+ 2a t b,|a + t b |最小，即 |a |2+ |t b |2+ 2a t b 最小,又0V a< n 故 17.(本小题满分 12分)平面内三点A 、B 、C 在一条直线上,0A =(— 2, m),0B = (n,1), 0C = (5, —1),且OA 丄OB ,求实数m 、n 的值.即 t 2|b |2 + [af + 2t|a ||b |cos 〈a , b 〉最小.|a |cos 〈 a , b 〉故当t =— 石时, |b||a +t b | 最小.2|a |cos 〈 a , b 〉 2(2)证明：b (a +1b ) = ab + t|b | ------------------ = ------ |a ||b |cos 〈 a,b 〉— |b|b | = |a ||b |cos |b|a ,b 〉一 |a ||b |cos 〈a , b 〉= 0,故 b 丄(a +1b ).19.（本小题满分13分）△ ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA +4OB + 5OC = 0. (1)求数量积 O A O B , O B OC , OC OA ； (2)求^ ABC 的面积.xKb 1. Com【解】 (1)V3OA + 4OB + 5OC = 0,••3OA + 4OB = 0-5OC , -— -—2 -— 2 即(3OA + 4OB) = (0- 5OC).—7 2 —7 —z —z 2 —7 2可得 9OA + 24OA OB + 16OB = 25OC . 又•••|OA|=|OB|=|OC| = 1,•••OA OB = 0.同理 OB OC =-5,OCOA =- 5.1 —— —— 1 —— —— (2)S Z ABC = S A OAB + Sz oBc + S ZOAC = 2|OA| | OB|sin ZAOB + 2|OB| |OC|sin /BOC + 2|OC| |OA|sin HOC. 又 |O A|= |OB|= |OC|=1.•'S^ABC^ 2(sin ZAOB+sin /BOC + sin ZAOC).由(1)OAOB= |0A| |OB|cos /AOB= cos ZAOB= 0得sin ZAOB= 1.T T T T 4OB OC= |OB| |OC| cos /BOC = cos /BOC=- 5,./ 3-sin /BOC=5,同理sin /AOC=5.5-S/yxBC = 5.20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(- 1,-2),B(2,3), C( - 2,- 1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC) 0C= 0,求t的值.【解】(1 )由题设知AB= (3,5), AC= (—1,1),则AB + AC= (2,6), AB- AC= (4,4).所以AB+ AC| = 2^10, AB-AC匸4寸2.故所求的两条对角线长分别为4迈，2>/10.X K b心m⑵由题设知OC= (-2,- 1), AB-tOC = (3+ 2t,5 +1).由(AB-tOC) OC= 0,得(3 + 2t,5 +1) (—2,- 1)= 0,从而5t=—11,所以t115.图121.(本小题满分13分)如图1,平面内有三个向量OA, OB, OC,其中O A与OB的夹角为120°, OA与OC的夹角为30°且|5A|=|OB匸1,|oC| = 2 羽若oC = QA+ QB（入空R）,求H卩的值.【解】法一：作CD //OB交直线OA于点D，作CE //OA交直线OB于点E,贝U OC = OD+ OE,由已知/OCD = /COE= 120 —30 = 90 ° 在Rt△)CD 中，OD = ^3。

【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练2.3.2 平面向量基本定理 Word版含答案

课后训练1．已知向量a ＝e 1－2e 2， b ＝2e 1＋e 2．其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )．A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组 ①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为表示这个平行四边形所在平面的所有向量基底的是( )．A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 3．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD 为( )． A ．23b ＋13c B ．53c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA OB OC ++ ＝0，那么( )．A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ． 2AO OD =5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP 等于( )． A ．()AB AD λ+ ，λ∈(0,1)B ．()AB BC λ+ ，λ∈⎛ ⎝⎭C ．()AB AD λ- ，λ∈(0,1)D ．()AB AC λ- ，λ∈0,2⎛ ⎝⎭6．如图，在平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，满足OA OB = ＝1，OA 与OB 的夹角为120°，OC 与OA 的夹角为30°，OC =设OC mOA nOB =+ (m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( )．A ．2 3B ．6C ．10D ．15 7．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+ ，则λ＝__________．8．在△ABC 中，P 为BC 边上一点，且满足23BP PC = ． (1)用AB ，AC 为基底表示AP ； (2)用AB ，PC 为基底表示AP ．9．如图△OAB ，其中OA ＝a ，OB ＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且13OM = a ，12ON = b ，设AN 与BM 相交于P ，用向量a ，b 表示OP ．10．(1)设e 1，e 2是两个不共线的向量，试确定k 的值，使向量a ＝e 1＋k e 2(k ∈R )与向量b ＝－(e 2－2e 1)共线；(2)在ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，用a ，b 表示AF ．参考答案1答案：B2答案：C3答案：A4答案：A5答案：A6答案：D7答案：2 38答案：(1)2355 AP AB AC =+(2)32 AP AB PC =+9答案：1255 OP=+a b10答案：(1)1 2 -(2)2133 AF=+a b。

(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(答案解析)

一、选择题1．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（） A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)2．若向量a ，b 满足|a |=10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+，则实数t 的值为（） A ．67B ．47C ．27D ．594．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于( )A ．a b a b⋅ B ．2a b a⋅ C ．2a b b⋅ D ．a b a b⋅5．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则（）A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==7．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（）个．A ．2B ．4C ．6D ．08．如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点M （异于点O ）满足0i j OM OP OP ++=（其中1,8i j ≤≤，且i 、j N *∈），则满足以上条件的点M 的个数为（）A ．2B ．4C ．6D ．89．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（） A ．14B ．12C ．2D ．410．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（）A ．52B ．52-C ．4D ．4-11．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( ) A ．3 B ．12-C ．12D 312．ABC 是边长为23的正三角形，O 是ABC 的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+=（）A ．2B ．﹣2C ．634-D ．634-二、填空题13．已知平面向量a ，b 夹角为30，若2=a ，则12b a b +-的最小值为______． 14．向量,a b 满足(1,3),2,()(3)12a b a b a b ==+⋅-=，则a 在b 方向上的投影为__________．15．已知平面向量a ，b ，c 满足45a b ⋅=，4a b -=，1c a -=，则c 的取值范围为________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，14DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为______.18．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.19．已知点()0,1A ，()3,2B，向量()4,3AC =，则向量BC =______.20．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.三、解答题21．在直角坐标系xoy 中，单位圆O 的圆周上两动点A B 、满足60AOB ∠=︒（如图），C 坐标为()1,0，记COA α∠=（1）求点A 与点B 纵坐标差A B y y -的取值范围；（2）求AO CB ⋅的取值范围； 22．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 23．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程；（2）若D 在线段BC 上，且2ABDACDSS=，求AD .24．（1）已知平面向量a 、b 的夹角为3π，且1a =，2b =，求2a b +与b 的夹角；（2）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()1,c λ=，若()a b c +⊥，求λ的值. 25．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值；（2）求a 与a b +的夹角的余弦.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()1B -，)1C-，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以x 10y -<<，计算3AP AB y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=，可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C-,设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--，当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=，当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-，所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值. 2．C解析：C 【详解】由题意可得22(2)15b =-+=所以2cos ,252a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.3．C解析：C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可．【详解】如图，因为AD DC =，所以12AD AC =则12AM AD DM AC DM =+=+，因为M在BD上，不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC==-=-，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB=+=+-=-+，因为37AM AB t AC=+，所以37{1(1)2kk t=-=，解得27t=，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．B解析：B【解析】试题分析：BC OA⊥,即()200BC OC OC OB OC OC OB OC⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即220a a bλλ-⋅=，20,a baλλ⋅≠∴=．考点：平面向量的数量积的应用.5．B解析：B【分析】根据方程有实根得到24cos0a a bθ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x的方程20x a x a b++⋅=有实根240a a b∴∆=-⋅≥设a与b的夹角为θ，则24cos0a a bθ-≥又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.6．B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ，化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.7．B解析：B 【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解．【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-，22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-，22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．8．D解析：D 【分析】分点M 在x 、y 轴进行分类讨论，可得出点i P 、j P 关于坐标轴对称，由此可得出点M 的个数. 【详解】分以下两种情况讨论：①若点M 在x 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于x 轴对称，由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个；②若点M 在y 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于y 轴对称，由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个.综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8. 故选：D. 【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.9．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零，所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122b b bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得2114b =，所以2b =，故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题10．C解析：C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.11．B解析：B 【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π 【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos32AB BC π<>==- 【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.12．B解析：B 【分析】根据ABC 是边长为23的正三角形，O 是ABC 的中心，得到2,,,,120OA OB OC OA OB OA OC OB OC ======︒，然后利用平面向量的数量积运算求解. 【详解】因为ABC 是边长为23的正三角形，O 是ABC 的中心，所以2,,,,120OA OB OC OA OB OA OC OB OC ======︒，所以()()()24322OA OB OA OC OA OA OB OA OC OB OC +⋅+=+⋅+⋅+⋅=+⨯-=- 故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及三角形的知识，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先设则结合向量夹角为利用对称关系求得其最小值也可以建系利用向量的坐标去求解【详解】解析1：（对称）设则过作于点由于向量夹角为则故所以最小值为到的距离为即的最小值为故答案为：解法2：（建系）解析：3【分析】首先设a OA =，b OB =，则a b BA -=，结合向量a ，b 夹角为30，利用对称关系，求得其最小值，也可以建系，利用向量的坐标去求解. 【详解】解析1：（对称）设a OA =，b OB =，则a b BA -=，过B 作BH OA ⊥于点H ．由于向量a ，b 夹角为30，则12BH OB =，故12b a b BH AB BH A B '+-=+=+，所以最小值为A '到OA 的距离为3，即12b a b +-的最小值为3．解法2：（建系）设()2,0a=，则3,3b m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设0m >，则13233m b a bm +-=+=+ 令()3f x =+ 则()42x f x -'=+()0f x '=，解得1x =，即当1x =时，()min f x = 所以12b a b +-的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量模的和的最小值的求解，在解题的过程中，可以利用图形，从对称角度去分析，也可以建系，将其坐标化求解，属于中档题目.14．【解析】分析：先通过已知条件求出的值再求在方向上的投影详解：因为所以所以在方向上的投影为故答案为1点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积考查向量的投影意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运解析：【解析】分析：先通过已知条件求出cos α的值，再求a 在b 方向上的投影. 详解：因为()()312a b a b +⋅-=，所以2213212,124222cos 12,cos 2a b a b αα-+⋅=∴-+⨯⨯⨯=∴=. 所以a 在b 方向上的投影为1cos 2()12a α=⨯=，故答案为 1.点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积，考查向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) cos a θ叫做向量a 在b 上的“投影”，向量a 在向量b 上的投影cos a θ，它表示向量a 在向量b 上的投影对应的有向线段的数量．它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．15．【分析】结合已知条件画出图象由的几何意义求得的取值范围【详解】如图所示设设是线段的中点依题意可知由于所以即解得所以即所以根据向量模的几何意义可知点在以为圆心为半径的圆上所以所以即的取值范围为故答案为解析：[]4,10【分析】结合已知条件画出图象，由c 的几何意义求得c 的取值范围. 【详解】如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，设D 是线段AB 的中点.依题意可知4,1,2AB AC AD BD ====，由于45a b ⋅=所以45OA OB ⋅=，即()()()()222224544OA OB OA OB OD BA +---==222441644OD BAOD --==，解得7OD =.所以59OD AD OA OD AD =-≤≤+=, 即59OA ≤≤，所以418,6110OA OA ≤-≤≤+≤根据向量模的几何意义可知，点C 在以A 为圆心，1为半径的圆上，所以()()minmax11OA OC OA -≤≤+，所以410OC ≤≤，即c 的取值范围为[]4,10. 故答案为：[]4,10【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量模的几何意义，属于中档题.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,3),C(3,D(2,0)-，由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+，则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】由题可知据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数由对勾函数的性质推出在上的单调性求出最大值即可得解【详解】根据题意作出如下所示图形：∵∴又P和Q分别在线段和上∴解得设函数由对勾函数的性质可解析：54【分析】由题可知114CQ DCλ⎛⎫=-⎪⎝⎭，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，据平面向量的混合运算法则可化简得到117524AP BQλλ⋅=+-；设函数()117524fλλλ=+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质推出()fλ在1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调性，求出最大值即可得解.【详解】根据题意，作出如下所示图形：∵BP BCλ=，14DQ DCλ=，∴114CQ DQ DC DCλ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，又P和Q分别在线段BC和CD上，∴011014λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，解得1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.()()()114AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC DCλλ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2111144AB BC AB DC BC BC DCλλλλ⎛⎫⎛⎫=⋅+-⋅++-⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11117 22cos120121cos04121cos12054424λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯︒+-⨯⨯⨯︒+⨯+-⨯⨯⨯︒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()117524fλλλ=+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质可知，()f λ在1,410⎡⎢⎣⎭上单调递减，在,110⎛⎤⎥ ⎝⎦上单调递增， ∵114f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()514f =，∴()()max 514ff λ==，即AP BQ ⋅的最大值为54.故答案为：54. 【点睛】本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．18．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 19．【分析】根据向量的坐标运算即可求出【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算向量模的坐标公式属于基础题目【分析】根据向量的坐标运算即可求出．【详解】因为()0,1A ，()3,2B，所以()3,1AB =，()()()4,33,11,2BC AC AB =-=-=，21BC ==【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.20．【分析】根据向量的数量积的坐标运算求得结合向量的投影的概念即可求解【详解】由向量可得所以向量在方向上的投影数列为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算以及向量的投影的概念其中解答中熟【分析】根据向量的数量积的坐标运算，求得13,13a b a ⋅==，结合向量的投影的概念，即可求解. 【详解】由向量(2,3),(4,7)a b ==-，可得222(4)3713,23a b a ⋅=⨯-+⨯==+=，所以向量b 在a 方向上的投影数列为cos ,13a b b a b a⋅===【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.三、解答题21．（1）[ 1.1]A B y y -∈-;（2）31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据三角函数的定义写出点A 与点B 纵坐标，从而将A B y y -表示成关于α的三角函数；（2）写出向量数量积的坐标运算，即AO CB OA BC ⋅=⋅，再利用三角函数的有界性，即可得答案；【详解】由题意得：()sin ,sin60A B y y αα︒==-，∴A By y -()1sin sin 60sin sin cos 2ααααα︒⎛=--=-⋅- ⎝⎭1sin sin 223πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭02απ<，∴1sin 13πα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴[ 1.1]A B y y -∈-.（2）()()() (cos ,sin )1cos 60,sin 60AO CB OA BC αααα︒︒⋅=⋅=⋅----()()cos cos cos 60sin sin 60ααααα︒︒=-⋅--⋅-()221cos sin cos cos cos 2ααααααα=-+-⋅⋅ 1cos 2α=-，02απ≤<，3111cos 1cos 222αα∴-≤≤⇒-≤-≤，∴31,22AO CB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】根据三角函数的定义及三角恒等变换、三角函数的有界性是求解本题的关键. 22．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan 3x =，结合x 的范围可求得x 的值；（2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==，又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2；当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.23．（1）35y x =-；（2）55AD = 【分析】（1）求出线段BC 中点D 的坐标，利用斜率公式求得直线AD 的斜率，然后利用点斜式可得出直线AD 所在直线的方程；（2）由2ABDACDSS=可得2BD DC =，可得23AD AB BC =+，可计算出平面向量AD 的坐标，进而可求得AD 的值.【详解】（1）D 为BC 中点，()3,4D ∴，直线AD 的斜率14323k -==-，所以直线AD 所在的直线方程为：()433y x -=-，即AD 直线方程为35y x =-；（2）因为2ABDACD SS=，所以2BD DC =，则23BD BC =，又由()()225101,24,2,3333A B D D A AB B B C =+⎪⎛⎫==-+=+⎝⎭，所以5 333AD ⎛==⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积的倍数关系求向量的模，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）6π；（2）3λ=-. 【分析】（1）设2a b +与b 的夹角为θ，计算出()2a b b +⋅的值和2a b +的值，利用平面向量的数量积的运算求得cos θ，结合θ的取值范围可求得θ的值；（2）求得平面向量a b +的坐标，由()0a b c +⋅=，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数λ的值. 【详解】（1）设2a b +与b 的夹角为θ，由于1a =，2b =，且平面向量a 、b 的夹角为3π， ()22222cos63a b b a b b a b b π∴+⋅=⋅+=⋅+=，()22222224444cos233a b a b a a b b a a b b π+=+=+⋅+=+⋅+=，所以，()2cos 232a b b a b bθ+⋅===⨯+⋅，0θπ≤≤，因此，6πθ=；（2）平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()1,cλ=，()3,1a b ∴+=，()a b c +⊥，()30a b c λ∴+⋅=+=，解得3λ=-.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角，同时也考查可利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于中等题. 25．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦. 【详解】（1）313cos32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a ab a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =. 因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =，所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-，则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-，整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=，故310 CGCB.【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。

(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角2．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（）A ．10B ．210C ．10D ．203．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（） A ．12B ．14C ．34D ．324．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（） A ．22B ．2C ．3D ．25．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（） A ．4B ．37+C ．25D ．56．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．327．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（） A ．(21⎤⎦B ．(21⎤⎦ C ．221⎡⎤⎣⎦D ．)21,⎡+∞⎣8．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为43AC 的长为（）A ．43B ．433C ．3D ．239．已知向量13,2AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（） A ．3B ．32C ．4D ．4210．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,222]+B ．[0,2]C ．[222,222]-+D ．[222,2]-11．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h12．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（）A ．3⎡⎤⎣⎦B ．33⎣C ．3,3⎤⎦D ．[]0,3二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 15．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于． 17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 18．已知(2,1)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则b =__________19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅的取值范围为________．三、解答题21．如图，在菱形ABCD 中，1,22BE BC CF FD ==.（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若||6,60AB BAD =∠=︒，求AC EF ⋅. 22．已知()3,0a =，(1,3)b =．（Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？ 23．如图，在ABC 中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC 的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC →→→=+，其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.24．（1）已知向量()1,3a =，(),2b m =，()3,4c =，且()3a b c -⊥，求实数m 的值；（2）已知(3,2)a =，(2,1)b =-，若a b λ+与a b λ+平行，求实数λ的值 25．在ABCD 中，2AB =，23AC =AB 与AD 的夹角为3π．（Ⅰ）求AD ；（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值．26．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角，故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.2．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．3．A解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OAC AEC S S =△△，即可得解.【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+，所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线，所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A.本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据数量积的运算，2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a→，b →夹角为45︒, 2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得：||b →= 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.5．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b ++-++-≤=+=，当且仅当a b a b +=-，即a b ⊥时取等号，故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.6．D解析：D以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+，令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7．C解析：C法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.8．B解析：B 【分析】设,,AB c AC b ==先化简2AB AC AB CD ⋅=⋅得3c b =，由ABC 的面积为16bc =，即得AC 的长.【详解】设,,AB c AC b ==由题得2AB AC AB CD ⋅=⋅，所以2()AB AC AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅，所以3,3cos cos0,332cAB AC AB AD c b c c b π⋅=⋅∴⨯⨯⨯=⨯⨯∴=.因为ABC 的面积为1sin 1623b c bc π⨯⨯⨯=∴=.所以2316,b b =∴=所以AC = 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B解析：B 【分析】首先设出点A （0,0）、C （x ，y ）的坐标，由已知条件5AC =，3AB BC ⋅=列出关于x 、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量BC 的坐标形式，并表示出向量BC 的模，将以上列出的关于x 、y 的式子整体带入即可求得BC .【详解】设(0,0)A ,(),C x yBC AC AB =-()1,2x y ⎛ ⎝- =⎭1,22x y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 3AB BC ⋅=11,322x y ⎛⎛∴⋅-= ⎝⎭⎝⎭即38x y += （1）5AC =又2225x y ∴+= （2）(C x B ==将（1）（2）代入上式解得：25BC ==故选B 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C 的坐标然后再求解向量BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.10．D解析：D 【解析】如图所示：OA a =，OB b =，OC c =，OD a b =+ ∵()()0a c b c -⋅-≤，∴点C 在劣弧AB 上运动，a b c +-表示C 、D两点间的距离CD ．CD 的最大值是BD ＝２，CD 最小值为OD 2222-=-.故选D11．A解析：A 【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=．把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，0.8BC ==． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-=∴22x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv vθ==，∴cos 2θ=．此时222721010v v v v v v v +=+⋅+==≤静水静静水水＝，满足条件，故选A.12．D解析：D 【分析】把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围．【详解】∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1()2DE DA DB =+，点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，DE DF ⋅1()(1)2DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦ []122(1)24(1)3(1)2x x x x x =-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤．故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=，而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.15．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--，因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--，所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=，故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】方法一：3cos OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①2233m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内，所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,22OC λλλ⎛⎫=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭，又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=，得()31,=322m n λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即 3=2132m nλλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3mn=. 故答案为：3.17．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=，∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.18．【分析】根据向量垂直得数量积为0从而求得的值利用求模公式求得向量的模【详解】若则即求得故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法意在考查学生的数学运算的学科素养属中档题【分析】根据向量垂直得数量积为0，从而求得t 的值，利用求模公式求得向量的模. 【详解】(2,1)a =-，(1,)b t =，2a b -()3,2t =--，若(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=，即()620t ++=，求得8t故 b ==【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+.因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++，设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以113519k k λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】先将圆的方程化为参数方程设利用数量积运算结合三角函数的性质求解【详解】因为圆的方程所以其参数方程为：设所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函解析：[2,6]【分析】先将圆的方程化为参数方程2,42x cos R y θθθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，设(2,42)P θθ+，利用数量积运算结合三角函数的性质求解. 【详解】因为圆的方程22(4)2x y +-=，所以其参数方程为：2,42x cos R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设(2,42)P θθ，所以2cos (4)2sin()44πθθθ⋅=++=++OP OQ ，因为[]sin()1,14πθ+∈-，所以[2,6]⋅∈OP OQ . 故答案为：[2,6] 【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）1-；（2）9-. 【分析】（1）利用平面向量基本定理，取AB AD 、为基底，利用向量加减法可解；（2）把所有的向量用基底AB AD 、表示后，计算AC EF ⋅. 【详解】解：（1）因为1,22BE BC CF FD ==，所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=-，所以21,32x y =-=，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. （2）∵AC AB AD =+，∴2212121()23236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭ ∵ABCD 为菱形∴||=||6AD AB = ∴2211||||cos 66AC EF AB AB BAD ⋅=--∠. 11136369662=-⨯-⨯⨯=-，即9AC EF ⋅=-. 【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.22．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-．【分析】（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算；（Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解．【详解】（Ⅰ）由题意31033a b ⋅=⨯+⨯=；221(3)2b =+=．（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+，因为向量a 与k +a b 互相垂直，所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-．【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题． 23．（Ⅰ）32- ；（Ⅱ）1. 【分析】(I ）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算； (II ）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值. 【详解】（Ⅰ）()AB BC AB AC AB →→→→→⋅=⋅-213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-.（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，13(,)2C -. 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈，由AP x AB y AC →→→=+，得13(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-.所以cos ,sin 22y x y θθ=-=.所以cos sin 3x θθ=+，3y θ=，2211cos sin 2cos 2333xy θθθθθ+=+-211(2cos 2)3223θθ=-+ 21sin(2)363πθ=-+，因为2[0,]3πθ∈，72[,]666πππθ-∈-. 所以，当262ππθ-=，即3πθ=时，xy 的最大值为1.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．24．（1）1m =-；（2）1λ=±. 【分析】（1）先求()313,3a b m -=--，再根据向量垂直的坐标运算即可求得1m =-；（2）先计算()32,21a b λλλ+=+-，()23,2a b λλλ+=+-+，再根据向量共线的坐标运算求解即可得1λ=±. 【详解】解：（1）根据题意有：()()()31,33,213,3a b m m -=-=--，∵ ()3a b c -⊥，∴ ()()3313120a b c m -⋅=⨯--=，解得1m =-，所以实数m 的值为：1m =-.（2）根据题意：()()()3,22,132,21a b λλλλλ+=+-=+-，()()()3,22,23,2a b λλλλλ+=+-=+-+，∵ a b λ+与a b λ+平行，∴ ()()()()32223210λλλλ+-+-+-=，解得：1λ=±. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直与平行的坐标表示，考查运算能力，是基础题. 25．（Ⅰ）2AD =；（Ⅱ）0.【分析】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得AC a b =+，由23AC =b 的方程，即可解得AD b =；（Ⅱ）计算得出0AC BD ⋅=，可得出AC BD ⊥，进而可得出结果. 【详解】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，则AC a b =+，BD AD AB b a =-=-．向量AB 与AD 的夹角为3π，cos 3a b a b b π∴⋅=⋅=. ()22222242AC a b a ba ab b b b ∴=+=+=+⋅+=++=整理得2280b b +-=，0b ≥，解得2b =，即2AD =；（Ⅱ）()()220AC BD a b b a b a ⋅=+⋅-=-=，则AC BD ⊥，因此，AC 和BD 夹角的余弦值为0. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，同时也考查了平面向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题． 26．(1)()26f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴.(3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】 (1)()()2113322ωωωωωω=+-=+-f x sin x sin x cos x sin x sin xcos x ， 3122226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<，令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

北师大版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示同步练习(精品试题)

平面向量的基本定理及坐标表示1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( ) A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【解析】由题意得a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．【答案】 C2．(2013·安庆模拟)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P ∩Q＝( )A．{(1,1)} B．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}【解析】由题意得a ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)， b ＝(1,1)＋n(－1,1)＝(1－n,1＋n)，由(1，m)＝(1－n,1＋n)得⎩⎨⎧ 1＝1－n ，m ＝1＋n ；解得⎩⎨⎧n ＝0，m ＝1.∴P ∩Q ＝{(1,1)}．【答案】 A3．(2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c ＝(3,4)，由(a ＋λb)∥c 得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.【答案】 B4．△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若p＝(a＋c，b)与q＝(b－a，c－a)是共线向量，则角C 为________．【解析】∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，∴C＝60°.【答案】60°5．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(0，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．【解析】由题意得AB→＝(－3,1)，AC→＝(2－m,1－m)，若A、B、C能构成三角形，则AB→、AC→不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠5 4 .【答案】m≠5 4课时作业【考点排查表】一、选择题1．(2012·广东高考)若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→＝( )A．(－2，－4) B．(3,4)C．(6,10) D．(－6，－10)【解析】BC→＝BA→－CA→＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．【答案】 A2．(2012·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为( )A．－1 B．1C．－2 D．2【解析】∵a与b共线，∴m2＝1.当m＝1时，a，b共向；当m＝－1jf ，a，b 反向．【答案】 A3．已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，用a 和b 来表示c ，正确的表述是( )A ．c ＝5a －3bB ．c ＝a －2bC ．c ＝2a －bD ．c ＝2a ＋b【解析】令c ＝ma ＋nb ，∴(7，－4)＝m(3，－2)＋n(－2,1)，∴⎩⎨⎧ 3m －2n ＝7，－2m ＋n ＝－4，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2，∴c ＝a －2b. 【答案】 B4．(2013·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】 ∵a ＋b ＝(3,1＋x)，4b －2a ＝(6,4x －2)，又a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)＝6(1＋x)，解得x ＝2.【答案】 D5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且m＝(3b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，则cos A的值等于( )A.22B．－22C.33D．－33【解析】∵m∥n，∴(3b－c)cos A＝acos C，∴(3sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，即3sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，易知sin B≠0，∴cos A＝3 3 .【答案】 C6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足|C A→＋C B→|＝|C A→－C B→|，则C点的轨迹方程是( )A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＝0C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．3x－2y－11＝0【解析】由|C A→＋C B→|＝|C A→－C B→|知C A→⊥C B→，所以C点的轨迹是以A、B为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于5，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5.【答案】 C二、填空题7．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB→同向的单位向量是________．【解析】∵A(4,1)，B(7，－3)，AB→＝(3，－4)，∴与AB→同向的单位向量为AB→|AB→|＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫35，－45.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35，－45 8．(2013·衡水模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝________.【解析】 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)＝4故ab ＝2a ＋2b ，即1a ＋1b ＝12.【答案】 129．(2012·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.【解析】由B ，H ，C 三点共线，BH →＝mBC →， ∴AH→－AB →＝m(AC →－AB →)， ∴AH→＝(1－m)AB →＋mAC →， ∴AM →＝1－m 2AB →＋m 2AC →.又AM→＝λAB →＋μAC →. 所以λ＋μ＝12m ＋12(1－m)＝12.【答案】 12三、解答题10．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc)∥(2b －c)，求实数k.【解】 (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以⎩⎨⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，∵(a ＋kc)∥(2b －a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k ＝－1613. 11.如图，已知点A(1,0)、B(0,2)、C(－1，－2)，求以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．【解】以A 、B 、C 为顶点的平行四边形可以有三种情况：①▱ABCD ；②▱ADBC ；③▱ABDC.设D 的坐标为(x ，y)，①若是▱ABCD ，则由AB→＝DC →得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y)，即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y)，∴⎩⎨⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，∴x ＝0，y ＝－4.∴D 点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D 1)．②若是▱ADBC ，由CB→＝AD →得 (0,2)－(－1，－2)＝(x ，y)－(1,0)，即(1,4)＝(x －1，y)，解得x ＝2，y ＝4.∴D 点的坐标为(2,4)(如图中所示的D 2)．③若是▱ABDC ，则由AB→＝CD →得(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.∴D点的坐标为(－2,0)(如上图中所示的D3)，∴以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．12．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP→＝OA→＋tAB→，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．【解】(1)∵OA→＝(1,2)，AB→＝(3,3)，∴OP→＝OA→＋tOB→＝(1＋3t,2＋3t)．∴P(1＋3t,2＋3t)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－2 3；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎨⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＜0.解得t ＜－23. (2)若四边形OABP 成为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎨⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．四、选做题13．已知向量m ＝(3sin x ，cos x)，n ＝(cos x ，cos x)，p ＝(23，1)(x ≠k π＋π2，k ∈Z)． (1)若m ∥p ，求sin x ·cos x 的值；(2)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角θ的取值集合为M.当x ∈M 时，求函数f(x)＝m ·n 的值域．【解】(1)∵m∥p，∴3sin x＝23cos x，tan x＝2，∴sin x·cos x＝sin x·cos xsin2x＋cos2x＝tan x1＋tan2x＝25.(2)f(x)＝m·n＝3sin xcos x＋cos2x＝32sin 2x＋12(1＋cos 2x)＝12＋sin(2x＋π6)．在△ABC中，cos θ＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥ac2ac＝12，∴0＜θ≤π3，即M＝{θ|0＜θ≤π3 }，∴0＜x≤π3，则π6＜2x＋π6≤5π6，∴12≤sin(2x＋π6)≤1，于是1≤f(x)≤3 2 .3 2]．故函数f(x)的值域为[1，。

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一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．1B ．3C ．7D ．32．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（）A ．31-B ．221-C ．231-D ．71-3．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（） A ．31+ B ．31- C ．3 D ．14．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（） A ．B ．C ．D ．5．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．326．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN -的最大值为（）A ．53+B ．53-C ．523+D ．57．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（） A ．2B ．2-C ．32D ．32-8．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为43AC 的长为（）A．43B．433C．3 D．239．在ABC∆中，D为BC边上一点，且AD BC⊥，向量AB AC+与向量AD共线，若10AC =，2BC=，0GA GB GC++=，则ABCG=（）A．3 B．5C．2 D．10210．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．62km/h B．8 km/hC．234km/h D．10 km/h11．如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且3BD DC=，若AD AB ACλμ=+，则λμ=（）A．12B．13C．2 D．2312．设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．33B．32C．12D．1二、填空题13．如图，已知四边形ABCD，AD CD⊥，AC BC⊥，E是AB的中点，1CE=，若//AD CE，则AC BD⋅的最小值为___________.14．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 15．已知向量(1,1,0)a →=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→是共面向量，则x =__________．16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于． 17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.18．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，12a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________19．在ABC 中，22AB =26AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．20．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.三、解答题21．在ABCD 中，2AB =，23AC =AB 与AD 的夹角为3π．（Ⅰ）求AD ；（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值．22．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，//,,2AD BC BAD π∠=,3BDA BC BD π∠==．（1）求AE BD ⋅；（2）求AC 与BD 夹角的余弦值． 23．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 24．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+ （1）判断,a b 是否共线；（2）若//a c ，求x 的值 25．已知(2,0)a=，||1b =．（1）若a 与b 同向，求b ；（2）若a 与b 的夹角为120，求a b +． 26．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．C解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 3．B解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为12⎫⎪⎪⎝⎭，21⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得22124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,02222x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以3,0⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为3，所以圆上的点到原点的距离的最小值为312-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题4．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选5．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+，令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6．A解析：A 【分析】根据条件可知22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，即可求出最大值. 【详解】由1MN =可知，OMN 为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=，由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ON OM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为5+故选：A. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，属于中档题.7．B解析：B 【分析】求出2a b -)2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.8．B解析：B 【分析】设,,AB c AC b ==先化简2AB AC AB CD ⋅=⋅得3c b =，由ABC 的面积为16bc =，即得AC 的长.【详解】设,,AB c AC b ==由题得2AB AC AB CD ⋅=⋅，所以2()AB AC AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅，所以3,3cos cos0,332cAB AC AB AD c b c c b π⋅=⋅∴⨯⨯⨯=⨯⨯∴=.因为ABC 的面积为1sin 1623b c bc π⨯⨯⨯=∴=.所以2316,b b =∴=所以3AC =.故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==.因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以22101,112, 5.2AB CE CG CG==+=∴== 本题选择B 选项.10．A解析：A 【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=．把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝，满足条件，故选A.11．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,23ABC π∠=，3DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==，a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb bbbπ++++=，22222222244cos 4231244a t a b t b a t aa t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.二、填空题13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ，所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-，故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.14．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以【详解】两端平方得222114k ke e =++⋅，又121122S e e sin θ==，得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=，即234k =，又 0k >，所以k =.15．-2【详解】由于不共线且和共面根据平面向量的基本定理有即即解得解析：-2 【详解】由于,a b 不共线，且和c 共面，根据平面向量的基本定理，有c ma nb =+，即()(),1,2,,2x m n m n -=--，即122x m n m n =--⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得1,112m n x ===--=-.16．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】方法一：3cos 2OA OC AOC OAOC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内，所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭，又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=，得()31,=32m n λ⎫⎪⎪⎝⎭，即 3=132m nλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3mn=. 故答案为：3.17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC=,得14AN AC=.设BP=n BN,所以AP AB BP AB=+=+n BN =AB+n(AN AB-)=(1-n)14AB nAC+=m211AB AC+.由14n=211,得m=1-n=311.18．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆解析：2【分析】作向量OA a=，OB b=，OC c=，根据已知条件可得出a与b的夹角为120︒，A，O，B，C四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.【详解】解：如下图，作向量OA a=，OB b=，OC c=，∴CA a c=-，CB b c=-，1 a b==，1cos,2 a b a b a b⋅=⋅⋅=-，∴a与b的夹角为120︒，即120AOB∠=︒.∴120AOB∠=︒.又a c-与b c-的夹角为60︒，即CA与CB夹角为60︒，∴A，O，B，C四点共圆.∴当OC为直径时c最大，在AOB中，由余弦定理得：2222cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =.∴AOB 的外接圆的直径为2sin120AB=︒.∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2.∴c 的最大值为2.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.19．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型解析：6 【分析】根据三角形重心的性质转化为()13AG AB AC =+，以及BC AC AB =-，再求数量积. 【详解】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-，所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：6 【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.20．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题解析：53-【分析】用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值. 【详解】O 为BC 的中点，()12AO AB AC ∴=+， 3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）2AD =；（Ⅱ）0. 【分析】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得AC a b =+，由23AC =b 的方程，即可解得AD b =；（Ⅱ）计算得出0AC BD ⋅=，可得出AC BD ⊥，进而可得出结果. 【详解】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，则AC a b =+，BD AD AB b a =-=-．向量AB 与AD 的夹角为3π，cos 3a b a b b π∴⋅=⋅=. ()22222242AC a b a ba ab b b b ∴=+=+=+⋅+=++=整理得2280b b +-=，0b ≥，解得2b =，即2AD =；（Ⅱ）()()220AC BD a b b a b a ⋅=+⋅-=-=，则AC BD ⊥，因此，AC 和BD 夹角的余弦值为0. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，同时也考查了平面向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题．22．（1）0；（2）- 【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠==所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪⎝⎭（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ====222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BDAC BD θ⋅=== 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.23．（1）(2,4)-；（2）5-. 【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+= ∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．24．（1）,a b 不共线；（2）23x = 【分析】（1）根据平面向量共线定理判断．（2）由平面向量共线定理计算．【详解】解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量，则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，6342λλ=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-， λ∴不存在，即a 与b 不平行.（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =，即32m xn rm rn +=+，即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础．25．（1）(1,0)b =；（2）3(,2a b +=-或33(,2a b +=．【分析】（1）先设(,)b x y =，再根据向量共线定理即可求解即可；（2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．【详解】解：（1）设(,)b x y =，由题意可得，存在实数0λ>，使得b a λ=，即(x ，)(2y λ=，0)(2λ=，0)，所以2x λ=，0y =，由||1b =可得241λ=，即12λ=或12λ=-（舍)，所以(1,0)b =，（2）设(,)b x y =，所以1·cos12021()12a b a b =︒=⨯⨯-=-，又因为()()·2,0,2a b x y x =⋅=，故21x =-即12x =-，因为||1b =，所以221x y +=，故y =当y =，12x =-时，33(,2a b +=，当y =12x =-时，3(,2a b +=-．【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档试题． 26．（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【分析】（1）本小题先求出32a b ⋅=，再求3b =即可；（2）本小题先求出23210m m --=，再求解m .【详解】解：（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==， ∴3b =.（2）∵27a mb -=， ∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m=-或1m=.【点睛】本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.。