(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题

1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则

1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫

-+++- ⎪⎝⎭

的最小值为（）

A ．1

B ．3

C ．7

D ．3

2．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足

1AP AB AC --=，AP 的最小值为（）

A ．31-

B ．221-

C ．231-

D ．71-

3．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，1

a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（） A ．

+ B ．

- C ．3 D ．1

4．若平面向量与的夹角为，

，

，则向量的模为

（） A ．

B ．

C ．

D ．

5．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )

A ．3

B ．2

C ．

D ．

6．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则

2PM PN -的最大值为（）

A ．53+

B ．53-

C ．523+

D ．5

7．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（） A ．2

B ．2-

C ．

D ．32

8．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为43AC 的长为（）

A．

43B．

C．3 D．23

9．在ABC

∆中，D为BC边上一点，且AD BC

⊥，向量AB AC

+与向量AD共线，若10

AC =，2

BC=，0

GA GB GC

++=，则

=（）

A．3 B．5C．2 D．

10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6 min，则客船在静水中的速度为()

A．62km/h B．8 km/h

C．234km/h D．10 km/h

11．如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且3

BD DC

=，若

AD AB AC

λμ

=+，则

=（）

A．

B．

C．2 D．

12．设非零向量a与b的夹角是

，且a a b

=+，则

a tb

的最小值为（）A．

B．

C．

D．1

二、填空题

13．如图，已知四边形ABCD，AD CD

⊥，AC BC

⊥，E是AB的中点，1

CE=，若//

AD CE，则AC BD

⋅的最小值为___________.

14．设123,,e e e 为单位向量，且()3121

e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为

，则k 的值为__________． 15．已知向量(1,1,0)a →

=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→

是共面向量，则

x =__________．

16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==

⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设

(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则

等于． 17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 2

AB AC +,则实数m 的值为_____.

18．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，1

a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________

19．在ABC 中，22AB =26AC =

G 为ABC 的重心，则

AG BC ⋅=________．

20．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.

三、解答题

21．在ABCD 中，2AB =，23AC =AB 与AD 的夹角为3

π．（Ⅰ）求AD ；

（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值．

22．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，

//,,2

AD BC BAD π

∠=

BDA BC BD π

∠=

=．

（1）求AE BD ⋅；

（2）求AC 与BD 夹角的余弦值． 23．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为

，求()(2)a b a b -⋅+的值. 24．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+ （1）判断,a b 是否共线；（2）若//a c ，求x 的值 25．已知(2,0)a

=，||1b =．

（1）若a 与b 同向，求b ；

（2）若a 与b 的夹角为120，求a b +． 26．已知向量a 与向量b 的夹角为3

，且1a =，()

32a a b ⊥-. （1）求b ；

（2）若27a mb -=，求m .

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】

设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b

，

则1

cos 2

θ=，因为0θπ≤≤ 所以3

θ=

，

记a OA =，b OB =,

以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，

则()2,0A ，(B ，

所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，

()

(1)2x a xb x -+=-，

所以((1)2x a xb x -+=

，

表示点()

P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=

113

222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫

+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，

表示点()

P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭

两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫

-+++- ⎪⎝⎭

的最小值转化为

P 到,A Q 两点的距离和最小，

()

P x 在直线y =上，

()

2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，

PQ PA ∴+

的最小值为QR == 故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题

的关键是将向量的模转化为点()

P x 到()2,0A 、3

2Q ⎛

⎝⎭两点间的距离，考查了

运算求解能力.

2．C

解析：C 【分析】

计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】

222

2222cos

123

AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π

+=++⋅=++⋅=，

所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得

()()

231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.

当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.

因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】

结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：

a b a b a b -≤±≤+. 3．B

解析：B 【分析】

建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为

12⎫⎪⎪⎝⎭，21⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得2

124x y ⎛-+= ⎝⎭

，表示以

2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

为圆心，1

2为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求【详解】

解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为

122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,221⎛⎫-

⎪ ⎪⎝

⎭，设c 的坐标为(),x y ，因为()()0a c b c -⋅-=，

所以11,,02222x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2

124x y ⎛-+= ⎝

⎭，

表示以3,0⎛⎫ ⎪

⎪⎝⎭

为圆心，1

2为半径的圆，则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为3，所以圆上的点到原点的距离的最小值为31

2-，

故选：B

【点睛】

此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题

4．C

解析：C 【解析】

，，又

，

，则

，故选

5．D

解析：D 【分析】

以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则1

x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数

x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】

以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：

设(),P x y ，

∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，

∴2,x y βα==，即1

y x αβ==，

∴1

x y αβ+=+，令1

z x y =

+则12y x z =-+，其中z 为直线1

y x z =-+在y 轴上的截距，

由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为3

， ∴αβ+的最大值为32

．故选：D ．【点睛】

本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

6．A

解析：A 【分析】

根据条件可知22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，即可求出最大值. 【详解】

由1MN =可知，OMN 为等边三角形，则1cos602

OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=，由PM PO OM =+，PN PO ON =+，

得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，

()

24413OM ON OM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，

因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为5+

故选：A. 【点睛】

本题考查向量模的大小关系，属于中档题.

7．B

解析：B 【分析】

求出2a b -)

2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.

【详解】

由(3,0)a =，(0,1)b =-，

得2a b -)

，若(2)c a b -⊥，

则(2)?

0a b c -=，

0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】

利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用

12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.

8．B

解析：B 【分析】

设,,AB c AC b ==先化简2AB AC AB CD ⋅=⋅得3c b =，由ABC 的面积为16bc =，即得AC 的长.

【详解】

设,,AB c AC b ==

由题得2AB AC AB CD ⋅=⋅，

所以2()AB AC AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅，所以3,3cos cos0,332

AB AC AB AD c b c c b π

⋅=⋅∴⨯⨯⨯=⨯⨯∴=.

因为ABC 的面积为1sin 1623

b c bc π

⨯⨯⨯=∴=.

所以2

316,b b =∴=

所以3

AC =

故选：B 【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．B

解析：B 【解析】

取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==.因为0GA GB GC ++

=，所以G 为

ABC ∆的重心，则22

22() 2.32

BC GA GE AC ==-=

所以2

1,112, 5.2

AB CE CG CG

==+=∴

= 本题选择B 选项.

10．A

解析：A 【解析】

设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，

则船实际航行的速度

v v v =+静水，6

0.160t h =，由题意得100.1

AB v ≤=．把船在静水中的速度正交分解为

x y v v v 静=+， ∴0.6

60.1

y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1

x x BC

v v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴22

62x y

v v v 静=

设v v 静水＜，

＞＝θ，则tan 1y

v v θ==，∴2cos 2θ=．

此时22

272242410102

v v v v v v v +=+⋅+=

+⨯

+=≤静水静静水水＝，满足条件，故选A.

11．B

解析：B 【分析】

由向量的运算法则，化简得13

AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】

由向量的运算法则，

可得34=+=+AD AB BD AB BC 313

()444

AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13

,44

λμ==，从而求得13λμ=，

故选:B ．【点睛】

该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.

12．B

解析：B 【分析】

利用向量a 与b 的夹角是23π

，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b

+化成

只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】

对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图

a BA CD ==，

b BC =，a b BD +=,

23ABC π

∠=

，3

DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==，

a b a b ∴==+， 2

2222=

222a tb a tb a tb b

+++，

a b =，

244cos 223=

224a t a b t b a tb a tb b

π++++=

，

222

2222

244cos 4231244a t a b t b a t a

a t a t t

b a

π++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b

+的最小值为

. 故选：B. 【点睛】

本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b

+化成只含有t 为自变量的二

次函数形态，进而求最值.

二、填空题

13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表解析：1-

【分析】

令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2

CAD π

θ∠=

-，2

CAB π

θ∠=

-，

2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()

AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以

及二次函数的性质可得结果. 【详解】

令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ，所以BCE θ∠=，2

ACE CAD π

θ∠=∠=

-，

又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，

CAB π

θ∠=

-，

故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，

所以()

AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅

2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫

=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

214sin 12θ⎛

⎫=-- ⎪⎝

⎭，

当2

sin 2

θ=

时，AC BD ⋅取得最小值1-，故答案为：1-. 【点睛】

关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.

14．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以

【详解】两端平方得2221

k ke e =++⋅，又121122S e e sin θ=

=，得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,

所以120e e ⋅=，即2

k =

，又 0k >，所以k =.

15．-2【详解】由于不共线且和共面根据平面向量的基本定理有即即解得

解析：-2 【详解】

由于,a b 不共线，且和c 共面，根据平面向量的基本定理，有c ma nb =+，即

()(),1,2,,2x m n m n -=--，即122x m n m n =--⎧⎪

-=-⎨⎪=⎩，解得1,112m n x ===--=-.

16．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3

解析：【详解】方法一：

cos 2

OA OC AOC OA

⋅∠=

⋅, ① 又()

OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②

22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③

将②③代入①得：22323m n

=+，所以229m n =，

点C 在AOB ∠内，所以3m

=. 方法二：

以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，

则()(10,03A B ，

， , 设()31cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭

，

又()(()

1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=，

得()

31,=32m n λ⎫⎪⎪⎝

⎭，即 3

=132

m n

λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得

=. 故答案为：3.

17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：

311

【解析】

由

AN NC

=,得

AN AC

设BP=n BN,

所以AP AB BP AB

=+=+n BN =AB+n(AN AB

=(1-n)

AB nAC

+=m

AB AC

由1

,得m=1-n=

18．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆解析：2

【分析】

作向量OA a

=，OB b

=，OC c

=，根据已知条件可得出a与b的夹角为120︒，A，O，B，C四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.

【详解】

解：如下图，作向量OA a

=，OB b

=，OC c

=，

∴CA a c

=-，CB b c

=-，

1 a b

==，

cos,

2 a b a b a b

⋅=⋅⋅=-，

∴a与b的夹角为120︒，即120

AOB

∠=︒.

∴120

AOB

∠=︒.

又a c

-与b c

-的夹角为60︒，即CA与CB夹角为60︒，∴A，O，B，C四点共圆.

∴当OC为直径时c最大，

在AOB中，由余弦定理得：

222

2cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =.

∴AOB 的外接圆的直径为

2sin120AB

=︒

∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2.

∴c 的最大值为2.

故答案为：2. 【点睛】

本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.

19．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型

解析：6 【分析】

根据三角形重心的性质转化为()

AG AB AC =+，以及BC AC AB =-，再求数量积. 【详解】

如图，点D 是BC 的中点，

G 为ABC 的重心，∴()()

2211

3323

AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-，

所以()()

()

2211

AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=

+⋅-=- ()1

26863

故答案为：6 【点睛】

本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.

20．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详

解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题

解析：5

【分析】

用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值. 【详解】

O 为BC 的中点，()

AO AB AC ∴=

+， 3AO MO =，()

1136MO AO AB AC ∴=

=+，()

AM AO AB AC ==+， ()()

233

MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-

+=-， ()()

233

MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-

+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，

()(

)

()

2211

2252299

MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC

∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫

=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

. 故答案为：5

-. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

21．（Ⅰ）2AD =；（Ⅱ）0. 【分析】

（Ⅰ）设AB a =，AD b =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得AC a b =+，由

23AC =b 的方程，即可解得AD b =；

（Ⅱ）计算得出0AC BD ⋅=，可得出AC BD ⊥，进而可得出结果. 【详解】

（Ⅰ）设AB a =，AD b =，则AC a b =+，BD AD AB b a =-=-．

向量AB 与AD 的夹角为

3π，cos 3

a b a b b π

∴⋅=⋅=. (

)

2242AC a b a b

a a

b b b b ∴=+=

+=+⋅+=

++=

整理得2

280b b +-=，

0b ≥，解得2b =，即2AD =；

（Ⅱ）()()

0AC BD a b b a b a ⋅=+⋅-=-=，则AC BD ⊥，因此，AC 和BD 夹角的余弦值为0. 【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，同时也考查了平面向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题．

22．（1）0；（2）- 【分析】

（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出

,22

AE AB AD BD AD AB =

+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；

（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC =

===，由数量积公式得出

AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】

解：（1）因为//AD BC ，,,2

BAD BDA BC BD π

∠=∠=

所以BCD △为等边三角形，23

BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113

()(),2222

AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =

+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫

⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪

⎝⎭

（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ====

2(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-

设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BD

AC BD θ⋅=== 【点睛】

本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.

23．（1）(2,4)-；（2）5-. 【分析】

（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】

（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，

故(2,4)b =-；

（2）21(a =+= ∴

222221()(2)22||||cos

105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫

-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭

. 【点睛】

本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．

24．（1）,a b 不共线；（2）2

x = 【分析】

（1）根据平面向量共线定理判断．（2）由平面向量共线定理计算．【详解】

解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量，则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，

6342λλ

=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-， λ∴不存在，即a 与b 不平行.

（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =，即32m xn rm rn +=+，即132r x r

=⎧⎨

=⎩，解得2

3x =.

【点睛】

本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础．

25．（1）(1,0)b =；（2）3

(,2a b +=-或33(,2a b +=．【分析】

（1）先设(,)b x y =，再根据向量共线定理即可求解即可；

（2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．【详解】

解：（1）设(,)b x y =，由题意可得，存在实数0λ>，使得b a λ=，即(x ，)(2y λ=，0)(2λ=，0)，所以2x λ=，0y =，由||1b =可得241λ=，即1

2λ=

或12

λ=-（舍)，所以(1,0)b =，（2）设(,)b x y =，所以1

cos12021()12

a b a b =︒=⨯⨯-=-，又因为()()·

2,0,2a b x y x =⋅=，故21x =-即1

x =-，

因为||1b =，所以22

1x y +=，

故y =

当y =

，12x =-时，33(,2a b +=，

当y =12x =-时，3(,2a b +=-．

【点评】

本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档试题． 26．（1）3b =；（2）1

m =-或1m =. 【分析】

（1）本小题先求出3

a b ⋅=，再求3b =即可；（2）本小题先求出23210m m --=，再求解m .

【详解】

解：（1）∵()

3232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=

，∴13cos 322

a b a b b π⋅=⋅⋅==， ∴3b =.

（2）∵27a mb -=， ∴()

227244469a mb

a ma

b m b m m =-=-⋅+=-+，

整理得：23210m m --=，

(易错题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(4)

一、选择题 1．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（） A ． 12 B ． 14 C ． 34 D ． 32 2．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（） A ．1 B ．25 C ．5 D ．3 3．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点 E 位于线段OD 上，若3 4 OE EA ⋅= ，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ． 1 2或32 B ．1 C ．1或 1 2 D ． 32 4．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（） A ．4 B C ．D ．5 5．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（） A B ．1 C ．2 D ．22 6．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为AC 的长为（） A ． B ． 3 C ．3 D ．7．在ABC 中，D 是BC 的中点， E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（） A ．DB DC = B ．2AD DE = C ．2AB AC A D += D ．AB AC BC -= 8．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（） A ．2355a b + B ． 32 55a b + C ．2133 a b + D ．1233 a b + 9．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且 5AB CD ⋅=-，则BD 等于（）

北师大版高一数学必修4第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。 A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题： (1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是（）。 A、1 B、2 C、3 D、4

9．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。 A、B、C、D、 10．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是（）。 A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解 C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2 12．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量与b的夹角为θ，那么我们称×b为向量与b的“向量积”，×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=3, |b|=2, ·b=-2，则| ×b|=______。三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量= , 求向量b，使|b|=2| |，并且与b的夹角为。（10分） 16、已知平面上3个向量、b、的模均为1，它们相互之间的夹角均

2019新版高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量检测

第二章检测 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列等式成立的是( ) A .MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.a ·0=0 C.(a ·b )c =a (b ·c ) D.|a +b |≤|a |+|b | 答案:D 2.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +P B ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B .P C ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C .PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 解析:由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得P 是边AC 的中点,从而PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 答案:B 3.已知非零向量a ,b 满足向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2,则下列结论中一定成立的是( ) A.a=b B.|a|=|b| C.a ⊥b D.a ∥b 解析:因为向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2, 所以(a+b )⊥(a-b ), 即(a+b )·(a-b )=0, 所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.

答案:B 4.已知点A (1,2),B (2,-1),C (2,2),若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .5 B .-5 C .3 D .-3 解析:由已知,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3). ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,1)=(1,−2), AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,2)=(1,−1). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+(−2)×(−1)=3. 答案:C 5.设O ,A ,M ,B 为平面上四点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且λ∈(1,2),则( ) A .点M 在线段AB 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线解析:由题意可知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴A ,M ,B 三点共线. 又λ∈(1,2), ∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,点B 在线段AM 上. 答案:B 6.已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABC 是( )

(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题 1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则 1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫ -+++- ⎪⎝⎭ 的最小值为（） A ．1 B ．3 C ．7 D ．3 2．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足 1AP AB AC --=，AP 的最小值为（） A ．31- B ．221- C ．231- D ．71- 3．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，1 2 a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（） A ． 31 + B ． 31 - C ．3 D ．1 4．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（） A ． B ． C ． D ． 5．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( ) A ．3 B ．2 C ． 52 D ． 32 6．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则 2PM PN -的最大值为（） A ．53+ B ．53- C ．523+ D ．5 7．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（） A ．2 B ．2- C ． 32 D ．32 - 8．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为43AC 的长为（）

高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)

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【必修4】第二章平面向量 2.1 练习 1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）. 2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？ 3、指出图中各向量的长度. 4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？ 2.2.1 练习 1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。

2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +. 3、根据图示填空：（1）________;=+d a （2）.________ =+b c 4、根据图示填空: （1）________;=+b a （2）________;=+d c （3)________;=++d b a （4）.________ =++e d c

新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)

第1课时平面向量的实际背景及基础概念一、选择题 1.下列各量中不是向量的是（ A.浮力 B .风速 C.位移 D. 2.下列命题正确的是（ A.向量AB 与BA 是两平行向量 B.若a 、b 都是单位向量，则 a=b C.若=，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四 D. 3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（ A. 与AC 共线 B. 与CB 共线 C. 与相等 D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（ (1)|a |=|b |?a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ? a =b ； (3) a =b ?a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ? a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题： 5.物理学中的作用力和反作用力是模且方向的共线向量. 6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 . 7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= . 8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 . 三、解答题： 9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模. 10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}. 第10题图 A B

(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)

一、选择题 1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且 (),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（） ①当0x =时，[]2,3y ∈ ②当P 是线段CE 的中点时，1 2x =-，52 y = ③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（） A ． B ． C ． D ． 3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（） A ．30 B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点 E 位于线段OD 上，若3 4 OE EA ⋅= ，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ． 1 2或32 B ．1 C ．1或 1 2 D ． 32 5．已知1a ，2a ，1b ，2b ，( )* k b k ⋅⋅⋅∈N 是平面内两两互不相等的向量，1 2 1a a -=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1 3 BC ，则AM ·MN ＝（） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2

高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量a 与b 的夹角是120?，且5a =， 4b =，则 a b ?=（）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 2．已知向量312BA ?? = ???? ， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π 3 3.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则() 2a b a +?＝（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 4．已知向量，若，则实数m 的值为（） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( ) A. 1e ＋2e B. 21e －2e C. －21e ＋2e D. 21e ＋2e 6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，() 1,3a =， 1b =，则a b +=（） A. 2 B. D. 4

8．已知向量a 与b 的夹角是120?，且5a =， 4b =，则 a b ?=（）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 9.已知向量( )()() 3,1,0,1,,3a b c k = =-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（） D. 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若?3AB AF =，则 ?AE BF 的值为（） A. 0 B. 8 C. 4- D. 4 12．已知ABC ?是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则() PA PB PC ?+的最小值为（） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83 - 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________． 14.已知单位向量a ， b 满足() 1 ?232 a a b -= ，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ?的值为__________； DE DB ?的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （2 3,4m m +）

(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)(3)

一、选择题 1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足 1AP AB AC --=，AP 的最小值为（） A 1 B ．1 C ．1- D 1 2．过点()3,1P 的直线l 与函数21 ()26 x f x x -= -的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（） A B ．210 C ．10 D ．20 3．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（） A ．1 B ．2 C ．5 D ．3 4．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（） A ．2± B ．2 C ． D 5．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则（） A ．11,3 a c == B ．21,3 a c == C ．12,3 a c == D ．22,3 a c == 6．已知两个非零向量a ，b 的夹角为 23 π ，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．[)2,0- C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．[)1,0- 7．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（） A ． 13 B ．3- C ． 3 D ． 3 8．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,2] C ．22,222]-+ D ．[222,2]- 9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（） A ．0 B ．4， C ．16，0 D ．4，0

北师大版2019年高中数学第二章平面向量2.1向量的加法学案必修4(含答案)

2．1 向量的加法内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．知识点1 向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算． (2)三角形法则： ①作图：已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC → 叫作a 与b 的和，记作a ＋b ； ②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量． (3)平行四边形法则： ①作图：已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则向量AC → 叫作a 与b 的和，表示为a ＋b ＝AC → ； ②几何意义：平行四边形对角线所在的向量．【预习评价】 1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD → ，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形答案 D 2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA → ＝( ) A.BC → B.DA → C.AB → D.AC → 答案 A

知识点2 向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．特别地：对于零向量与任一向量a 的和有0＋a ＝a ＋0＝a . 【预习评价】 1．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB → D.AB →＋BC →＝AC → 答案 C 2.AO →＋BD →＋OB → 等于________．答案 AD → 题型一向量加法法则的应用【例1】 (1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ； (2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b . 解 (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB → ＝a ＋b . (2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC → ＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC → ＝a ＋b . 规律方法用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．【训练1】已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .

高中数学平面向量及其应用4平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理素养作业北师大版必修第二册

第二章 4.1 A 组·素养自测一、选择题 1．e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底,下列四组向量中,不能作为一组基底的是( B ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1 C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1 D ．e 2和e 1＋e 2 [解析] 3e 1－2e 2与4e 2－6e 1是共线向量,不能作为一组基底． 2.如图所示,|OA →|＝|OB →|＝1,|OC |＝3,∠AOB ＝60°,OB ⊥OC ,设OC →＝xOA →＋yOB → ,则( B ) A ．x ＝－2,y ＝－1 B ．x ＝－2,y ＝1 C ．x ＝2,y ＝－1 D ．x ＝2,y ＝1 [解析] 解法1：过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ,连接BC (图略)．由|OB →|＝1,|OC → |＝3,∠AOB ＝60°,OB ⊥OC ,知∠COD ＝30°.在Rt △OCD 中,可得OD ＝2CD ＝2,则OC →＝OD →＋OB →＝－2OA →＋OB →. ∴x ＝－2,y ＝1．解法2：画图知x <0且y >0,所以选B ． 3．在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB → ( A ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14 AC → D ．14AB →＋34 AC → [解析] EB →＝EA →＋AB → ＝－12AD →＋AB →＝－12×12(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14 AC →. 4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM → 成立,则m ＝( B ) A ．2 B ．3

北师大版高中数学必修四：第一、二章综合测试题(含答案)

阶段性测试题三(第一、二章综合测试题) 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．) 1．下列各式中，不能化简为AD → 的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC → B ．(AD →＋MB →)＋(B C →＋CM → ) C ．MB →＋AD →－BM → D ．OC →－OA →＋CD → [答案] C [解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD → ； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD → . C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD → ； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD → ，故选C. 2．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c ) B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2 C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60° D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D [解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b |2 ＝|a |2－2|a||b |·cos＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则＝60°，∴D 正确． 3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B [解析] 扇形的面积S ＝12lR ＝1 2 ×4×1＝2. 4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A ．第三象限的角比第二象限的角大