初一数学《应用一元一次方程——水箱变高了》知识点总结
北师版七年级上册数学作业课件 第五章 一元一次方程 应用一元一次方程——水箱变高了
2．有一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水， 把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则 小杯的高为( C ) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3．一个圆柱体，半径增加到原来的 3 倍，而高度为原来的13，则变化
后的圆柱体的体积是原来圆柱体体积的( )
16．图①是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成 如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体 积是___1_0_0_0_____cm3.
17．根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球水面升高__2__cm，放入一个大球水面升高__3__cm; (2)如果要使水面上升到50 cm，应放入大球、小球各多少个？ 解：设放入小球x个，则大球(10－x)个，根据题意，得2x＋3(10－x) ＝50－26，解得x＝6，则大球有4个，所以应放入大球、小球各4个、 6个．
14．已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯 的容量比为2∶3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4∶5，若甲桶内的 果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满多少个大纸 杯？
解：设乙桶内的果汁最多可装满 x 个大纸杯，则甲桶内的果汁最多可 装满45x 个大纸杯，由题意，得 120×2＝45x×3，解得 x＝100，则乙 桶内的果汁最多可装满 100 个大纸杯．
15．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14 m，其他三边用竹篱笆围 成，现有长为35 m的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比 宽多5 m；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2 m．你认为 谁的设计符合实际，按照他的设计，鸡Байду номын сангаас面积是多少？ 解：设宽为x m，依题意，得2x＋x＋5＝35，解得x＝10，10＋5＝15 ＞14，所以小王的设计不符合实际，舍去；2x＋x＋2＝35，x＝11， 11 ＋ 2 ＝ 13 ＜ 14 ， 所 以 小 赵 的 设 计 符 合 实 际 ， 面 积 为 11×13 ＝ 143(m2)．
北师大版数学七年级上册课件：5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 (共12张PPT)
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！
北师大版七年级上册数学《应用一元一次方程―水箱变高了》一元一次方程培优说课教学复习课件
x x+4
墙面 铁线
变式：小明若小明用10米铁线在墙边围成一个长方形
鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇1米宽的 门，那么，请问小明围成的鸡棚的长和宽又是多少呢？
（x-1）+x+（x+5）=10
门
x
墙面
铁线
课堂小结
第五章 一元一次方程
5.3 应用一元一次方程—— 水箱变高了
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
课件
情境导入
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积， 你知道他是如何测量的吗？
形状改变， 体积不变.
=
r h
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
获取新知
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的
长、宽各是多少？
长方形的周 长(或长与宽 的和)不变
解：设可以盛满 x 杯，由题意得 π×(62)2×10x＝π×(225)2×35， 解得 x≈60.8. 故可以盛满 60 杯．
8. 如图，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现 将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如 果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请 你说明理由．(容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm)
答：这一支牙膏能用25次．
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
例 中国古代有很多经典的数学题，例如《孙子算经》中有一道
题：“妇人洗碗在河滨，路人问她客几人？答曰不知客数目，六 十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无 余数，请君细算客几人？”这道题翻译成现代文就是：每两位客 人合用1只饭碗，三位合用1只汤碗，四位合用1只肉碗，共用65 只碗，问有多少客人？
应用一元一次方程——水箱变高了课件
学习目标
01
理解一元一次方程的概 念和建立方法。
02
掌握一元一次方程的求 解方法。
03
能够在实际问题中应用 一元一次方程解决水箱 变高问题。
04
培养学生的数学应用意 识和解决问题的能力。
02
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定 义
总结词
一元一次方程是只含有一个变量，且该变量的指数为1的方程。
习和巩固基础。
对未来学习的展望
希望老师能够提供更多实际问题的案 例，让我们更好地理解和应用一元一 次方程。
希望在学习中能够更加注重理论与实 践的结合，培养自己的综合能力。
希望能够加强数学建模的训练，提高 解决复杂问题的能力。
THANKS
感谢观看
底面积，t 是时间。
解一元一次方程
01
02
03
04
移项
合并同类项
化简
解出未知数
验证解的正确性
代入原方程
将解出的 h 值代入原方程进行验证。
比较解与实际
分析误差
如果解与实际不一致，分析误差来源， 可能是建立方程时忽略了一些因素， 或者解方程过程中出现了计算错误。
比较解出的 h 值与实际水箱高度变化 量是否一致。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0，其中 a ≠ 0。它包含一个未知数 x，并 且 x 的指数为1。
一元一次方程的标准形式
总结词 详细描述
解一元一次方程的方法
总结词
详细描述
03
水箱变高的情境描述
水箱变高水源的补充
内部压力变化
03 物理或化学反应
05
实际应用与案例分析
水箱变高的实际应用
应用一元一次方程——水箱变高了ppt
如何解决这个问题
确定问题中的已知量和未知量
在解决实际问题中，我们需要明确已知条件和未知量，并通过方程求解未知 量。
选择适当的方法
根据问题的特点，我们需要选择合适的方法来建立方程，例如代数消元法、 加减消元法等。
一元一次方程的概念
1 2
定义
一元一次方程是一个只含有一个未知数，并且 未知数的次数为1的方程。
电路中的电流计算
总结词
电路中的电流计算可以用一元一次方程来解决。
详细描述
在电路中，电流通常可以用欧姆定律来计算，即I=U/R ，其中I是电流，U是电压，R是电阻。但是，如果电路 中存在其他元件，如电感、电容等，那么电路的分析就 变得复杂。在这种情况下，电路中的电流、电压和电阻 之间的关系可以用一元一次方程来表示，从而可以通过 类似水箱变高问题的求解方法来求解电路中的电流。
应用一元一次方程——水箱 变高了
xx年xx月xx日
目 录
• 问题引入 • 水箱变高的原理 • 应用一元一次方程解决实际问题 • 其他应用场景 • 总结与展望
01
问题引入
生活中的数学问题
计算银行利息
在储蓄或贷款时，我们需要计算利息，这涉及到一元一次方 程的应用。
制作蛋糕
在制作蛋糕时，我们需要根据食谱计算材料用量，其中涉及 到比例和一元一次方程。
立一元一次方程模型。
定义变量
设时间为t，水箱中水量为Q（t） 。
列出方程
根据水箱中水量与时间的关系，可 列出方程Q（t）= k × t^n，其中 k和n为常数。
计算水箱变高的时间
根据方程模型，已知水箱初始 水量间t。
将方程Q（t）= k × t^n变形 为Q0 = k × t^n，解得t = (Q/k)^(1/n)。
5.3 应用一元一次方程—水箱变高了
⑶根据等量关系,列出方程:
4 2
2
4
3.2 2
2
x. .
解得x= 6.25 .
因此,水箱的高变成了 6.25 m.
例题讲解
例 用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4 m,此时长方形的长、
宽各为多少米? (2)使得该长方形的长比宽多0.8 m,此时长方形的长、
气,龇牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个,晚上 四个,没想到猴子一听高兴得直打筋斗.
⑴猴子为什么高兴了？ ⑵事实又是怎样的呢?
⑶这其中有什么数学奥秘吗？
学习目标
1.会找出“形积问题”的等量关系; 2.会根据等量关系列出一元一次方程; 3.会利用方程解决实际问题.
合作研学
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱. 现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积, 需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的 前提下,水箱的高度将由原先的4 m变为多少米?
面积：3.8 × 6.2=23.56
围
成
正
方
面积：
形
4.2 ×5.8=24.36
同样长的铁丝围 成怎样的四边形面 积最大呢？
时
面
积
最
面积：
大
5×5 = 25
如何去解决生活中的实际问题? (1)物体锻压或液体更换容器题,体积(或容积)不变.
(2)固定长度,虽然围成的图形形状及面积不同,但 是应抓住图形的周长不变.
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为（x+1.6）米，
根据题意，得 x+x+1.6=20÷2
一元一次方程应用题水箱变高了题型
一、概述水箱变高了是一个常见的一元一次方程应用题，它涉及到数学在实际生活中的应用，对于学生来说具有一定的教育意义。
在解决这类问题时，需要运用一元一次方程的知识，通过设立未知数、建立方程式、解方程等步骤来求解问题。
本文将通过具体的例题分析，帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的方法。
二、问题描述某地区的一个水箱的水位原来是30米，后来升高了h米。
经过一段时间，水箱的水位降低到了原来的一半，那么水箱升高了多少米？三、问题分析1. 设定未知数：我们可以设未知数x表示水箱升高的高度。
2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。
3. 解方程求解：通过解方程来求解出水箱升高的高度x。
四、具体步骤1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。
2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。
3. 解方程求解：通过解方程求出x的值。
4. 检验答案：将得到的结果代入原方程中进行检验。
五、具体计算1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。
2. 建立方程式：30 + x = 2(30 + x - h)。
3. 解方程求解：通过解方程30 + x = 60 + 2x - 2h，得到x = 30 - 2h。
4. 检验答案：将x = 30 - 2h代入方程30 + x = 2(30 + x - h)中进行检验：30 + (30 - 2h) = 2 * [30 + (30 - 2h) - h]化简得到：30 + 30 - 2h = 60 + 60 - 4h - 2h化简得到：60 - 2h = 120 - 6h化简得到：4h = 60化简得到：h = 15六、问题解答根据计算，水箱升高了15米。
七、总结通过上述的步骤，我们成功地解决了水箱变高了的一元一次方程应用题。
在解决这类问题时，关键在于正确地建立方程式，然后通过解方程的方法求解未知数。
为了确保解答正确，还需要对得到的结果进行检验。
北师大版七年级上册数学《应用一元一次方程―水箱变高了》一元一次方程PPT课件
课程讲授
1 等积变形问题
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－ 2)]m.根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4. 所以铁丝的长为2πr＝8π(m)． 所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)， 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)． 因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2， 所以圆的面积大． 答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(m2).
课程讲授
1 等积变形问题
问题1：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那 么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2) 中相比，又有什么变化？
xm
课程讲授
1 等积变形问题
例题讲解
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆， 已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两 根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的 等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本 题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的 边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
情境导入
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积， 你知道他是如何测量的吗？
形状改变， 体积不变.
=
r h
思考铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的
长、宽各是多少？
长方形的周 长(或长与宽 的和)不变
课程讲授
1 等积变形问题
5.3应用一元一次方程水箱变高了课件北师大版数学七年级上册
5x 52 (2518)
解得：x 35
答：每颗钢珠的体积是35立方厘米
知识讲解
2.图形的等长变化
前后的周长相等
例 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. m，此时长方形的长、宽各是多少？
在这个过程中什么 没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
知识讲解
xm
围成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+0.8) m
知识讲解
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为 （x）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
xm
解得 x
(x+0.8) 此时长方形的长为m，宽为m，面积为2.m9
×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 ×
(m2).
（2）形状、面积发生了变化，周长不变.
其相等关系是变化前图形的周长＝变化后图形的周长.
（3）形状、体积不同.根据题意找出体积之间的关 系，即为相等关系.
随堂训练
1．墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示 (单位：cm)．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳钉 成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各 为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方
课堂小结
审 设
应用一元
列
一次方程
解
检
答
通过审题找出等量关系. 设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 依据找到的等量关系，列出方程. 求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. 注意单位名称.
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)，
应用一元一次方程水箱变高了定义
应用一元一次方程水箱变高了定义一元一次方程是初中数学中的重要内容，它是直线的数学表达方式。
在实际生活中，我们常常会遇到与一元一次方程相关的问题。
水箱变高了定义问题，就是一个典型的应用一元一次方程的例子。
水箱变高了定义问题是指：如果一个正方形底面、高度为H的水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变？让我们来看一下水箱变高了定义问题的数学表达式。
假设原来水箱的底面边长为x，底面积即为x*x，高度为H。
那么水箱的容积V=底面积*高度=x*x*H。
现在，如果将水箱的底面变成2x，那么水箱的容积为V'=底面积*高度=2x*2x*H=4x^2*H。
在这个过程中，我们可以发现，水箱的高度发生了变化，由原来的H 变成了H/4。
根据这个过程，我们可以得到水箱变高了定义的一元一次方程：H/4 - H = -3H。
也就是说，水箱的高度减去原来的高度等于-3乘以原来的高度。
这就是这个问题的数学表达方式。
接下来，让我们来探讨一下这个问题，或者说一元一次方程在实际生活中的应用。
在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程来计算这个问题。
假设原来水箱的高度为10米，根据上面的一元一次方程，如果水箱的底面变成原来的4倍，那么水箱的高度会变成多少呢？我们可以通过代入原来的高度H=10进行计算，H/4 - H = -3H，得到H=-30。
这就意味着，如果将水箱的底面变成原来的4倍，水箱的高度会变成-30米。
在实际生活中，这是不可能的，因此我们需要对这个问题进行重新审视。
从数学的角度来看，这个问题其实是一个反比例关系。
也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。
这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线性关系。
要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法进行分析和计算。
通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。
在实际应用中，我们经常会遇到类似的问题。
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初一数学《应用一元一次方程——水箱变高了》知识
点总结
知识点总结
1. 这类应用题中所涉及的公式
（1）长方形的周长=2（长+宽）
（2）长方形的面积=长×宽
（3）长方体的体积=长×宽×高
（4）正方体的体积=边长×边长×边长
（5）圆的周长=2πr
（6）圆的面积=πr2
（7）圆柱的体积=底面积×高=πr2h
2. 形积变化问题
（1）形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为变化前后体积相
等.
（2）形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为变化前后
周长相等.
（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关
系作为等量关系.
3.例题讲解
例1某农民准备利用一 面旧墙围一 长方形鸡舍， 他编好了 6米竹篙
笆,考虑三种方案.
（1）要使长比宽多0.6米，此时长方形的长和宽及面积各是多少?
（2）要使长比宽多0.3米，此时长方形的长和宽及面积各是多少?
（3）要伸长和宽相等，此时长方形的边长是多少米?
解：如图所示，设长方形的宽为x米
（1） 根据题意，得x+x+(x+0.6)=6,
解得x=1.8,1.8+0.6= 2.4.1.8x2.4=4.32.
这时长方形的长是2.4米，宽1.8米，面积是4.3方米.
（2） 根据题意，得x+x+(x+0.3)=6，解得x=1.9,1.9+0.3=
2.2.1.9x2.2=4.18.
这时长方形的长是2.2米，宽是1.8米，面积是4.18平方米.
（3） 根据题意，得 3x=6,
x=2,
2x2=4.
这时长方形的边长是2米，面积是4平方米.
说明:当材料一定时，三种方案所围成的面积不同，其中第一种方案面积
较大，值得选择，这是一个解方程探究最优方案的问题.
图文导学