北京市西城区中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习

北京市西城区重点示范中学20XX年3月九年级数学中考复习《相似》、《解直角三角形》复习建议及练习一、20XX年北京考试说明（一）图形的性质1. 相似三角形：A. 了解相似三角形的性质定理与判定定理；B. 能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题。

2. 锐角三角函数及解直角三角形A. 理解锐角三角函数(sinA，cosA．tanA)的概念；知道30°、45°、60°角的三角函数值，理解（20XX年是“了解”）解直角三角形的概念；B. 能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关知识解决一些（20XX年是“某些”）简单的实际问题；C．运用直角三角形的有关内容解决有关问题。

（二）图形的变化3. 图形的相似：A. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；B. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（20XX年新增）；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。

（三）图形与坐标4. 坐标与图形运动：A. 在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；了解将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似；B. 在平面直角坐标系中，能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标；C. 运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题。

二、复习建议1．按照考试说明的要求进行全面复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A 级知识点适当安排、不漏过、不随意拔高难度；2．B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；3．注重方程思想在相似、解直角三角形中的使用；4．教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，熟练的应用几何中定义、定理、公式来解题；5. 逆向思维是寻求几何证明思路的有效途径之一；6. 去模式化，重知识，重思想；7. 重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导。

8. 课时安排：相似 约2课时 解直角三角形 约2课时三、具体内容相似三角形的性质与判定落实一： 能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题落实二： 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 落实三： 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题落实四： 能利用位似变换将一个图形放大或缩小，并能写出以位似中心为原点的位似变化前后点的坐标变化例1. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并 延长与BA 的延长线交于点F ，若2AE ED ，则FAFB的值是________.例2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点（DE >CE ）， 连接AE ，并过点E 作AE 的垂线交BC 于点F ,若AB =9,BF =7, 求DE 长.例3. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米，则旗杆的高度为 米．例4. 如图，点A 的坐标为（3，2），点B 的坐标为（3，0）．作CABDE F如下操作：①以点A 为旋转中心，将△ABO 顺时针方向旋转90°，得到△AB 1O 1；②以点O 为位似中心，将△ABO 放大，得到△A 2B 2O ，使相似比为1∶2，且点A 2在第三象限． （1）在图中画出△AB 1O 1和△A 2B 2O ；（2）请直接写出点A 2的坐标：__________．例5. （ZFX / P70例4）已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=12,点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点C 、D 重合），AE 的垂直平分线FP 分别交AD 、AE 、BC 于点F 、H 、G ，交AB的延长线于点P. （1）设DE=m (0＜m ＜12)，试用含m 的代数式表示HG FH的值；（2）在（1）的条件下，当21=HG FH 时，求BP 的长.例6. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0o <<α90o ），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE . 求证：∠CBE=30°.练习：1. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=2. 如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE=4，CD=6，则AE 的长为3. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 的长为20m ，C 为AB 的一个黄金分割点（AC <BC ），则AC 的长为_______.（结果精确到0.1m ）4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线H GF E D CBAPECOB 上，且QO=OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．则点P 的坐标为 ．5. （ZFX / P69例2）已知：如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 与点P ，Q. （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）； （2）求BP:PQ:QR 的值.6.（ZFX / P69例3）已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3cm,BC=7cm ,∠B=60°,P 为下底BC 上一点（不与B 、C 重合）. 连接AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B(1) 你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2) 当点P 在底边BC 上自点B 向C 移动过程中，是否存在一点P ，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由.7. 在矩形ABCD 中，DC=2，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF ．（1）求证：△DEC ∽△FDC ；（2）当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度．8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上） （1）若△CEF 与△ABC 相似．①当AC=BC=2时，AD 的长为 ； ②当AC=3，BC=4时，AD 的长为 ； （2）当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？ 请说明理由．9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A （﹣2，4），B （﹣2，1），C （﹣5，2）． （1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1．E PDCBA（2）将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2．（3）求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比，即：= （不写解答过程，直接写出结果）．相似的综合应用1. 在平面直角坐标系x O y 中，反比例函数xmy =的图像过点()6,1A ．（1） 求反比例函数的表达式； （2）过点A 的直线与反比例函数xmy =图像的另一个交点为B ，与x 轴交于点P ，若PB AP 2=，求点P 的坐标．2. 在矩形ABCD 中，边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处（如图1）．图1 图2（1）如图2，设折痕与边BC 交于点O ，连接,OP 、OA ．已知△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）动点M 在线段AP 上（不与点P 、A 重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连接MN 、 PB ，交于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E ． ①在图1中画出图形；②在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？请你说明理由．PA BPA O3. 如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=21秒时，则OP= ，S△ABP= ；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E。

试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3．4. 已知：如图，AB为⊙O的直径，G为AB上一点，过G作弦ABCE⊥，在上取一点D，分别作直线EDCD、，交直线AB于点MF、，分别连结OE，CO，CM.(1)若G为OA的中点.①∠COA= °，∠FDM= °；②FD OM DM CO⋅=⋅求证：.(2)如图，若G为半径OB上任意一点(不与点O、B重合)，过G作弦ABCE⊥，点D 在上，仍作直线EDCD、，分别交直线AB于点MF、，分别连结OE，CO，CM.①依题意补全图形；②此时仍有FD·OM=DM·CO成立.请写出证明FD·OM=DM·CO的思路.（不写出证明过程．．．．．．．）5．已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE .（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系； （2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；解直角三角形落实一：锐角三角函数的定义例1：（1）. 在Rt △ABC 中，90C ∠=o，2AB BC =，那么sin A 的值为________.（2）在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =1，那么AB 的长为________. （3）在△ABC 中，∠C =90°，cos A =1715，求sin A 、tan A 的值. （4）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点.若BC=8，2cos 3D =，则AB 的长为( ).A ．3B ．163C ．5D ．12（5）已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 、E 都在小正方形的顶点上，求tan ∠ADC 的值.（6）（ZFX P74例(5)）如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，图2备用图图1BCA其坐标是（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是， 则sin α的值为_________.落实二：特殊角的三角函数值 例2：（1）. 如果A ∠是锐角，且sin A =21，那么=∠A __________゜ （2） 计算：1. 10)81(45sin 218)3(---+-o π2. 2sin 260°·tan45°+cos30°·tan 30°3. 24cos45tan60(1)︒+-4. ()1012sin 6020152-⎛⎫-+︒-- ⎪⎝⎭5. ︒-︒+︒+︒60tan 345tan 60cos 245sin 2落实三：解直角三角形，能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形 例3：如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =45°，AC =32， 求AB 的长.例4：如图，在四边形ABCD 中，∠C=120º，∠B=75º， CD=4，BC=232-，cosA=53. 求AD 的长. 例5：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点E ，904530BAC CED DCE DE ∠=︒∠=︒∠=︒=，，，BE =．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．例6：（ZFX / P75例5）在⊿ABC 中，∠A=30°，BC=3，AB=33，求∠BCA 的度数和AC 的长。