期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义

期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：教学目标 1、复习相似三角形的性质； 2、复习解直角三角形的性质。

重点、难点相似三角形及解直角三角形的几何证明考点及考试要求 1、相似三角形2、解直角三角形3、相似三角形及解直角三角形的几何证明教 学 内 容第一课时 相似三角形及解直角三角形知识梳理1.梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM=2.1cm ，则MC= cm 。

(2) 如果95=AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。

2.若b a b +＝53，那么ba＝ 3．在的长为，则，，中，BC AB B C ABC Rt 73590=︒=∠︒=∠∆ 。

4.计算：.60cos 43)258(sin )21()1(032010o o -+-+⨯--π5.如图，的长求线段的角平分线，若是，，中，AD AC ABC AD B C ABC .33090=∆︒=∠︒=∠∆。

DCAB课前检测一、相似三角形相关知识点1. 相似三角形的性质 （1）相似图形与相似变换相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。

如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。

两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。

（2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

相似用符号“∽”来表示，读作相似于。

（3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。

注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序.全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2.相似三角形的引理及判定 （1）相似三角形的引理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）相似三角形的判定① 两角对应相等的两个三角形相似；② 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； ③ 三边对应成比例的两个三角形相似；④ 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

二、解直角三角形相关知识点1. 定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。

2. 理论依据（1） 三边关系：222c b a =+ （勾股定理） （2） 锐角关系：A+B= 90 （3） 边角关系：c b B =sin c a B =cos a b B =tan ba B =cot B A sin sin = sinB cosA = B A cot tan = B A tan cot =知识梳理1cos sin 22222=+=+ca b B B 3．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角。

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫俯角。

第二课时 相似三角形及解直角三角形考点题型一、相似三角形部分例1. 若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。

变式1 ：两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长是 。

例2. 如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AGAF； （2）△ADE 与△ABC 的周长之比； （3）△ADE 与△ABC 的面积之比. （1）∵∠BAC=∠DAE ，∠ADE=∠B ， ∴△BAC ∽△DAE ，又∵AG 、AF 分别是△BAC 和△DAE 的高， ∴35==AD AB AF AG ． （2）∵△BAC ∽△DAE ， ∴△ADE 与△ABC 的周长之比=53=AG AF ． （3）∵△BAC ∽△DAE ，考点题型ABCDE FG∴925)35()(22===AD AB S S DAE BAC变式2：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，21==AB AE AC AD 且∠AED=∠B ，则△AED 与△ABC 的面积比是（ ） A 、1：2 B 、1：3 C 、1：4 D 、4：9例3. 某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？解：设绿化区的的实际周长与面积分别是C ，S ，∵城市规划图的比例尺为1：4000，图中一个绿化区的周长为15cm ， ∴ 14000= 15C ，解得C=60000cm=600m ； ∵图中一个绿化区的面积为12cm 2，∴（ 14000）2= 12S ，解得S=192000000cm2=19200m 2． 故答案为：600m 、19200m 2．例4. 小明想测量电线杆的高，发现电线杆影子长为14+2 米 ，且此时测得1米杆子的影子长为2米，那电线杆的高是多少？答案：h321412+=，37+=h 米。

例5. 如图，已知在△ABC 中，CD=CE ，∠A=∠ECB ，试说明CD 2=AD ·BE 。

证明：∵CD=CE∴∠CDE=∠CEDABCDE 3 CABDE∵∠CDE+∠CDA=1800 ,∠CED+∠CEB=1800 ∴∠CDA=∠CEB ∵∠A=∠ECB ， ∴△ADC ∽△CEB ∴EBDCCE AD =∵CD=CE ∴CD 2=AD ·BE变式4：已知，如图，在等边△CDE 中，A 、B 分别是ED 、DE 的延长线上的点，且DE 2=AD ·EB ，求∠ACB 的度数。

二、解直角三角形部分题型1 三角函数1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA 的值为_______．变1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC=4，AC=3，则cosA 的值为______．变2．计算：12+8-+︒-︒cos60tan30（）题型2 解直角三角形1.如图，在矩形ABCD 中DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=a ，且cos α=35，AB=4，则AD的长为（ ）CABDEA．3 B.162016.. 335C D变3.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．•若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a+b的值为（）A．35 B．43 C．89 D．97题型3 解斜三角形1.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，•求△ABC的面积（结果可保留根号）．变4.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，•一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？题型4 应用举例1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），她测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮助她算出树高AB约为________米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）变5．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D•点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为______米．变6.如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D•点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．•如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．第三课时 相似三角形及解直角三角形复习检测1、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 在AC 边上，且AE ︰EC=1︰2，BE 交AD 于P ，则AP ︰PD 等于（ ）A ．1︰1B ．1︰2C ．2︰3D ．4︰3 2、如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ︰EF ︰FB 为（ ）A ．1︰2︰3B ．2︰1︰3C ．3︰2︰1D ．3︰1︰2 3、设a 、b 、c 分别是△ABC 的三边长，且，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）A ．∠B>2∠AB ．∠B=2∠AC ．∠B<2∠AD ．不确定 4、如图，D 、E 在BC 上，F 、G 分别在AC 、AB 上，且四边形DEFG 为正方形．如果S △CEF =S △AGF =1，S △BDG =3，那么S △ABC 等于（ ）（第4题） （第5题）A ．6B ．7C ．8D ．9 5、如图，△ABC 中，∠ABC=60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA ，且PA=8，PC=6，复习检测则PB＝_____________．6、如图，梯形ABCD中，AD//BC，两条对角线AC、BD相交于O．若S△AOD ︰S△COB=1︰9，那么S△BOC︰S△DOC＝___________．（第6题）（第7题）7、如图，在△ABC中，DE//FG//BC，GI//EF//AB．若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为_____________．8、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，，则AB的长为_____________．（第8题）（第9题）9、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点．若，则AD的长为______．10、如图，在△ABC中，∠BAC︰∠ABC︰∠ACB=4︰2︰1，AD是∠BAC的平分线，有如下三个结论：①BC︰AC︰AB=4︰2︰1；②AC=AD＋AB；③△DAC∽△ABC．其中正确的结论是_____________．（填序号）10题图 11题图11、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E．求证：BE=2EC．12、如图，P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP=BQ．过B点作BH⊥PC，垂足为H．证明：DH⊥HQ．13、如图，O为△ABC内任一点．求证：．14、如图，M为△ABC的BC边中点，一截线交AB、AM、AC分别于P、N、Q．求证：．15、如图，已知直角梯形ABCD中，上底AD=a，下底BC=c，直角腰AB=b，E、F是AB上两点且AF=BE，DE⊥EC．求证：tan∠ADF和tan∠ADE是一元二次方程ax2－bx＋c=0的两个根．16、某森林管理处雇佣两架农用直升飞机向森林喷洒药物，两飞机在同一地点出发，甲机沿北偏东45°方向以20千米/时的速度飞行，乙机沿南偏东30°方向以千米/时的速度飞行．3小时后，乙机发现有部分药品误放在甲机上，而此时，乙机只能沿北偏东15°的方向追赶甲机，则乙机该以怎样的速度飞行才能正好赶着甲机？。