平面向量的基本概念及线性运算一对一辅导讲义
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
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A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
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4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
第十六页，共27页。
【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
第六页，共27页。
5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
平面向量的概念及线性运算(优质课)教案
1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.教学过程：*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．BaA图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；图7－7ACBaba +bab图7－9ADCB（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =OA ，b =OB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA −=+−+=+=．即 OA OB −=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4） 一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=−=−a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ．aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量； （3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC −,CD DC =−； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出ADCB图7－5O（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=−.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－112．填空（向量如图所示）：（1）a ＋b =_____________ ,答案：→AC （2）b ＋c =_____________ ,答案：→BD （3）a ＋b ＋c =_____________ ．答案：→AD 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ； （2）OB ＋BC ＋CA ． 答案：（1）→AD （2）→OA例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ． 练习：1．填空：（1）AB AD −=_______________，答案：→DABbOaAba（1）（2）图7－14（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（2）BC BA −=______________，答案：→AC （3）OD OA −=______________．答案：→AD2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．解：AC =a+b ，BD =b-a,DB =a －b例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD . 解 ：AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ， 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．解：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）=3a -6b-4a-2b=4 b-a （2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）=-11b2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． 解：如图所示。
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点一.平面向量的有关概念１．向量：既有大小，又有方向的量．２．数量：只有大小，没有方向的量．３．有向线段的三要素：起点、方向、长度．４．零向量：长度为0的向量．５．单位向量：长度等于1个单位的向量．６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上７．相等向量：长度相等且方向相同的向量．８．相反向量：长度相等且方向相反的向量二．向量的表示法１．字母表示法：如：a，AB等２．几何表示法：用一条有向线段表示向量３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x，y），则（x，y）称为OA的坐标，记作：OA ＝（x，y）三．向量的运算１．向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．四．跟踪训练 １．=++++BO OC CA OB AO （ ）A ．AB B ．0C ．ACD ．BC２．给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .（3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是A.（1）B.（2）C.（1）与（3）D.（1）与（4）３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD的形状是A.矩形B.菱形C.正方形D.直角梯形４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是A.23BG BE =B.2CG GF =C.12DG AG = D.121332DA FC BC +=５．给出命题：（1）在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=.（2）在△ABC 中，若0AB AC <，则△ABC 是钝角三角形.（3）在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DA 的中点，则1()2FE AB DC =+. 以上命题中，正确的命题序号是 .。
数学一轮复习讲义第5章§5-1平面向量的概念及线性运算2023年新高考
§5.1 平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→ ＋A 2A 3—→ ＋A 3A 4—→ ＋…＋A n －1A n ———→ ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF → ＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA → ＋PB → ＋PC → ＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP → ＝13(AB→＋AC →)．4．若OA → ＝λOB → ＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ )(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB → 与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × )(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ )教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( )A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM → 与AN →不相等，则点M 与N 不重合D ．海拔、温度、角度都不是向量答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( )A.AB → ＋AC → ＝BC →B.AM → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝AM →C.AB → ＋BC → －AC → ＝0D.AB → －AD → －DC → ＝BC → 答案 B3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以Error!解得Error!题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( )A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB → ＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB → ＝DC → ，所以|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．(2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD → ＝BC →B.AC → ＝BD →C.PE → ＝PF →D.EP → ＝PF →答案 D 教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案 ACD思维升华 平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与a 同方向的单位向量．跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( )A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a|a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a|a |与b|b |都是单位向量，所以只有当a|a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________．答案 2 023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023方向相同时，|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2 023|＝2 023；当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2 023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最小值为0.命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC → ＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB → ＋AD → B.AF → ＝13AB → ＋13AD → C.BF →＝－13AB → ＋23AD →D.CF →＝－16AB → －23AD → 答案 ABD解析 因为BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝－12AB → ＋AD → ，所以选项A 正确；因为AF → ＝12AE → ＝12(AB → ＋BE →)＝12(AB →＋23BC → )，而BC →＝－12AB → ＋AD → ，代入可得AF → ＝13AB → ＋13AD → ，所以选项B 正确；因为BF → ＝AF → －AB →，而AF → ＝13AB → ＋13AD → ，代入得BF →＝－23AB → ＋13AD → ，所以选项C 不正确；因为CF → ＝CD → ＋DA → ＋AF→＝－12AB → －AD → ＋AF → ，而AF → ＝13AB → ＋13AD →，代入得CF →＝－16AB → －23AD → ，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD → ＝14BC → ，平面内点E 满足BE → ＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM → ＝xAB → ＋yAD →，则x ＋y 等于( )A.52B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ，CE ＝2AD ，BM → ＝AM → －AB → ＝13AE → －AB→ ＝13(AB → ＋BE → )－AB→＝13(AB → ＋6AD → )－AB→＝－23AB → ＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO → ＝2OD → ，则OC →等于( )A.－13AB → ＋23AC →B.23AB → －13AC →C.13AB → －23AC →D.－23AB → ＋13AC→答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点，∴AD → ＝12(AB → ＋AC → )，∵AO → ＝2OD →，∴AO → ＝23AD → ＝13AB → ＋13AC → ，∴OC → ＝AC → －AO → ＝AC →－(13AB → ＋13AC →)＝－13AB → ＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN → ＝13AM → ，若AN → ＝λAB → ＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13 B.12C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN → ＝13AM → ＝13(AB → ＋BM →)＝13AB → ＋13×32BC →＝13AB → ＋12(AC → －AB → )＝－16AB → ＋12AC →，又AN → ＝λAB → ＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG → ＝a ，GC → ＝b ，则AB →等于( )A ．b －2aB.32a －12bC.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知12AB → ＋BG → ＝12GC → ，故AB → ＝GC → －2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD → ＝2DB → ，AE → ＝2EC → ，P 为线段DE 上的动点，若AP → ＝λAB→ ＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1 B.23 C.32 D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知，AE → ＝23AC → ，AD → ＝23AB →，设DP → ＝xDE →，所以AP → ＝AD → ＋DP → ＝AD → ＋xDE→ ＝AD → ＋x (AE → －AD → )＝xAE → ＋(1－x )AD→ ＝23xAC → ＋23(1－x )AB → ，所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB → ＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB → .∴AB → ，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA → ＋PB → ＋PC → ＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2 B ．3C ．4 D ．8答案 A解析 ∵PA → ＋PB → ＋PC → ＝2AB → ＝2(PB → －PA →)，∴3PA → ＝PB → －PC → ＝CB →，∴PA → ∥CB →，且两向量方向相同，∴S△ABCS △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________．答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ(23a －13b )，又a ，b 为两个不共线的非零向量，∴Error!解得Error!思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA → ＝λOB → ＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN → ＝a －2b ，PN → ＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( )A ．－1 B ．1 C.32 D ．2答案 B解析 由题意知，NQ → ＝PQ → －PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ，使得MN → ＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC → ＝λOA → ＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC → 与OD →共线，设OC → ＝mOD →，则m >1，因为OC → ＝λOA → ＋μOB → ，所以mOD → ＝λOA → ＋μOB → ，可得OD → ＝λm OA → ＋μm OB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( )A.AB → ＋BC → ＋CA → B.AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → C.OA → ＋OB → ＋BO → ＋CO → D.AB → －AC → ＋BD → －CD → 答案 AD解析 利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．2．若a ，b 为非零向量，则“a|a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．3．设a ＝(AB → ＋CD → )＋(BC → ＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( )A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB → ＋CD → )＋(BC → ＋DA → )＝AC → ＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( )A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c C ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误；若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0，则a ，c 不一定平行，故B 错误；若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC → 与BD → 交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC → ＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC → ＝a ，BD →＝b ，∴AD → ＝AO → ＋OD → ＝12a ＋12b ，∴AE → ＝AD → －ED → ＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( )A ．向量AB → 与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数答案 A解析 A 项，AB → 与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF → ＝xAB → ＋34AD →，则x 等于( )A.34 B.23C.12D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点，所以AF → ＝12(AD →＋AE → )，而AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋12BC → ＝AB → ＋12AD → ，所以AF → ＝12(AD → ＋AE → )＝12(AD →＋AB → ＋12AD→ )＝12AB → ＋34AD →，又AF → ＝xAB → ＋34AD → ，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB → －3AD → ＝AC →，则下列结论正确的是( )A ．A ，B ，C ，D 四点共线B ．C ，B ，D 三点共线C ．|AC → |＝|DB →|D ．|BC → |＝3|DB → |答案 BD解析 因为4AB → －3AD → ＝AC → ，所以3AB → －3AD → ＝AC → －AB →，所以3DB → ＝BC →，因为DB → ，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC → |＝3|DB → |，所以B ，D 正确，A 错误；由4AB → －3AD → ＝AC →，得AC → ＝3AB → －3AD → ＋AB → ＝3DB → ＋AB → ，所以|AC → |≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB → ＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________.答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB → ＝kAC →，所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以Error!解得Error!10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD → ＝λAB → ，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG → ＝23AF → ＝13(AB → ＋AC → )，又AB → ＝1λAD → ，AC → ＝1μAE → ，∴AG → ＝13λAD → ＋13μAE → ，又G ，D ，E 三点共线，∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3.11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB → ＋OD → ＋CA →|＝________.答案 23解析 正六边形ABCDEF 中，EB → ＋OD → ＋CA → ＝EO → ＋DC → ＋OD → ＋CA → ＝ED → ＋DA → ＝EA →，在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2，∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝23，即|EB → ＋OD → ＋CA →|＝23.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC → ＝λAM → ＋μBD →，则λ＋μ＝________.答案 53解析 AC → ＝λ(AB → ＋12AD →)＋μ(AD → －AB → )＝(λ－μ)AB → ＋(λ2＋μ)AD →，又因为AC → ＝AB → ＋AD →，所以Error!解得Error!所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB → －PC → |－|PB → ＋PC → －2PA →|＝0，则△ABC不可能是( )A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB → －PC → |－|PB → ＋PC → －2PA →|＝0，所以|CB → |－|(PB → －PA → )＋(PC → －PA →)|＝0，即|CB → |＝|AB → ＋AC → |，所以|AB → －AC → |＝|AC → ＋AB → |，等式两边平方并化简得AC → ·AB →＝0，所以AC → ⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD → ＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________．答案 34 33解析 ∵B ，D ，C 三点共线，∴14＋λ＝1，解得λ＝34.如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN → ＝14AC → ，AM → ＝34AB → ，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，∴四边形AMDN 是菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3，∴AD ＝33.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB → ＋PB → ＋PC → ＝0，|AB → |＝|PB → |＝|PC → |＝2，则△ABC 的面积为( )A.3B ．23C ．33D ．43答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB → ＋PC → ＝2PD →.由AB → ＋PB → ＋PC →＝0，得AB → ＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB → ＝－2DM → ，则PD → ＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB → |＝|PB → |＝|PC →|＝2，所以|MC → |＝|BP → |＝2，则|AC →|＝4，且|BM → |＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝23.16．若2OA → ＋OB → ＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC＝________.答案 1∶6解析 若2OA → ＋OB → ＋3OC →＝0，设OA ′——→ ＝2OA → ，OC ′——→ ＝3OC →，可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ，则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ，由2x ＝3y ＝6z ，可得S △AOC ∶S △ABC ＝z ∶(x ＋y ＋z )＝1∶6.。
平面向量的概念、运算及坐标表示(讲义及
平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义）➢ 知识点睛一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有，又有 的量叫做向量．−−→表示：a ， AB−−→模：向量 AB 的叫做向量的模，记作 ．2. 几个特殊的向量：零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算1（几何意义）加法 减法 数乘定义求两个向量和的运算向量a 加上向量b 的， 即 a +(-b )=a -b实数与向量的 积是一个向量，记作λa法则法则法则λa = λ a当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a的方向；当λ=0 时，λa =0运算律 交换律：λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )=a +b =结合律： a -b =a +(-b )(a +b )+c =λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b三、向量相关定理1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使．扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．−−→−−→① PA =λPB ；−−→−−→−−→②对平面任一点O，OP =OA+t AB ；−−→−−→−−→③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）．2.平面向量基本定理（1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ．四、向量的坐标表示及运算1.坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ．2.坐标运算设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法−−→设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB= ．（2）向量位置关系与坐标a∥b ⇔ ⇔ ．➢精讲精练1.下列四个命题：①若a = 0 ，则a 为零向量；②若a =b ，则−−→−−→ a=b 或a=-b；③若a∥b，则a =b ；④若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D 四点共线．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.根据图示填空：（1）a+b= ；（2）c-a= ；（3）a+b+d= ；（4）f-a-b= ；（5）c+d+e= ；（6）g-c-d= ．3.若a，b 为非零向量，且a +b =a +b ，则（）A.a∥b，且a 与b 方向相同B.a=bC．a=-bD．a，b 无论什么关系均可−−→−−→−−→4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA + CD + EF =（）−−→−−→−−→A．0 B．BE C．AD D．CF−−→−−→−−→5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则a +b +c =（）A．0 B．3 C． 2 D．2 2−−→−−→−−→−−→6.平面上有A，B，C 三点，设m= AB +BC ，n= AB -BC ，若m，n 的长度恰好相等，则有（）A．A，B，C 三点必在同一直线上B．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形−−→ −−→ −−→7. 已知AB =a+5b，BC =-2a+8b，CD =3(a-b)，则（）A．A，B，D 三点共线B．A，B，C 三点共线C．B，C，D 三点共线D．A，C，D 三点共线8.在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，−−→−−→−−→若AN =λ AB +μ AC ，则λ+μ的值为（）A.12 B.13C.14D．1−−→9.如图，平面内有三个向量OA−−→，OB−−→，OC−−→，其中OA−−→与OB 的−−→−−→−−→−−→夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA =OB = 1，−−→ OC = 2−−→，若OC−−→=λOA −−→+μOB ，则λ+μ的值为．3λ λ λ +λ 10.已知 D ，E 分别是△ABC 的边 AB ，BC 上的点，且 AD = 1AB ，2 BE = 2BC ．若 −−→−−→ −−→ λ （ ， 为实数），则3 的值为 DE = ．1 AB +λ2AC 1 2 1 2−−→ 11.如图，在△ABC 中，1 −−→ −−→ −−→ −−→ ， ，若 =a ，−−→−−→BD = DC 2AE =3 ED AB AC =b ，则 BE =（）A ． 1 a + 1 bB ． - 1 a + 1 b3 3 24 C ． 1 a + 1 bD ． - 1 a + 1 b2 43 3−−→1 −−→ −−→ 1 −−→ 12.如图，在△AOB 中， OC = OA ，OD 4 = OB ，AD 与 BC 2−−→相交于点 M ，设 OA −−→OM =．−−→=a ， OB=b ，若以 a ，b 为基底，则13. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A ，B ，C 的坐标分别为 (-2，1)，(-1，3)，(3，4)，则顶点 D 的坐标是．14. 若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c=（）A．3a+b B．3a-bC．-a+3b D．a+3b15. 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λ=．μ16. 已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，若a∥b，则2a+3b=（）A．(-5，-10) B．(-4，-8)C．(-3，-6) D．(-2，-4)17. 已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若a+b 与c 共线，则m = ．【参考答案】➢知识点睛一、平面向量的基本概念−−→1. 大小，方向，长度，AB二、平面向量的线性运算加法：三角形，平行四边形，b+a，a+(b+c)减法：相反向量数乘：相同，相反，(λμ)a，λa+μa，λa+λb，-(λa)，λa-λb三、向量相关定理1. b=λa2. （1）不共线；（2）λ1e1+λ2e2四、向量的坐标表示及运算1. (x，y)2. (x1+x2，y1+y2)，(x1-x2，y1-y2)，(λx1，λy1)（1）(x2-x1，y2-y1)（2）b=λa，x2 =y2 =λ（x ，y ≠ 0 ）x1y1➢精讲精练1. B2. （1）c；（2）b；（3）f；（4）d；（5）g；（6）e3. A4. D5. D6. C7. A8. A9. 610. 1211. B12. 1 a +3 b7 713. (2，2)14. B15. 416. B17. -11 1。
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教学目标1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量；2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法；3、平面向量的线性运算。
重点、难点教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法教学难点：平面向量的线性运算考点及考试要求考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算教学内容第一课时平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理1、下列说法正确的是（）A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小.2、下列各量中不是向量的是（）A、浮力B、风速C、位移D、密度3、设O是正方形ABCD的中心，则向量,,,AO BO OC OD是（）A、相等的向量B、平行的向量C、有相同起点的向量D、模相等的向量4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB的长度与向量BA的长度相等；（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个课前检测5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（ ）A 、|a |＝|b |⇒a ＝bB 、|a |＞|b |⇒a ＞bC 、a ＝b ⇒a ∥bD 、｜a ｜＝0⇒a ＝07、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形， （1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量； （4）找出图中与EC 相等的向量.1、向量的物理背景及概念1）、向量的物理背景：位移是既有大小，又有方向的量； 力是既有大小，又有方向；2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量 3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量 2、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；知识梳理ABECD A(起点)B（终点）a③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.4.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的．．．．．．起．点无关．．．.8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无．．．．．．．．．关）．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.9.实数与向量相乘的意义 10. 实数与向量相乘的运算律①②③11.平面向量定理：如果向量a与向量b 平行，那么存在唯一实数m ，使a m b =。
单位向量：长度为1的向量，叫单位向量。
（设e 为单位向量，则1||=e ）※单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同12.向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 如b a 23+，b a 2-、)5(3b a +等，都是向量的线性运算.向量的线性组合：如果.,b a 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，则b y a x +叫做.,b a 线性组合.如.,b a 两个不平行的向量，向量,23b a OE +=，这时就说OE 可由.,b a 的线性组合表示.13.向量的合成与分解：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分 解，用画图的方法可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量第二课时 平面向量的基本概念及线性运算典型例题一、对向量概念的理解例1、给出下列命题：①向量AB 和向量BA 的长度相等；○2方向不相同的两个向量一定不平行；○3向量就是有 向线段；○4向量0=0；○5向量AB 大于向量CD 。
其中正确的个数是（ B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3变1、下列命题：○1向量可以比较大小；○2向量的模可以比较大小；○3若a b =，则一定有|a |=|b |，且a 与b 方向相同；○4对于一个向量，只要不改变它的大小和方向， 是可以任意平行移动的。
其中正确的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4典型例题例2、判断下列命题是否正确：⑴若a //b ，则a 与b 的方向相同或相反；(错误)⑵四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB =DC ，反之也成立；（正确） ⑶|a |=|b |，a ，b 不一定平行，//a b ，|a |不一定等于|b |；（正确） ⑷共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
（错误）变2、把平面内所有的单位向量的起点移到同一个点，则各向量的终点组成的图形是把平行于直线L 的所有的向量的起点平移到直线L 上的点P ，则各向量的终点组成的图形是___________。
例3、给出下列六个命题：○1两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；○2若|a |=|b |，则a =b ；○3若AB =DC ，则四边形ABCD 是平行四边形； ○4平行四边形ABCD 中，一定有AB =DC ；○5若m n =，n k =，则m k =；○6若//a b ， //b c ,则//a c 。
其中不正确的是命题个数是（ A ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5变3、下列说法中错误的是（ ） （A ） 零向量是没有方向的； （B ） 零向量的长度为0；（C ） 零向量与任一向量平行； （D ） 零向量的方向是任意的。
二、相等向量与平行向量的作法与求法例4、设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA 、OB 、OC 相等的向量。
解：与OA 相等的向量：EF CB DO ,, 与OB 相等的向量:FA DC EO ,, 与OC 相等的向量：ED AB FO ,,变4、如下图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O且平行于AB 的线段，（1） 写出图中的各组共线向量；AB C D E F O（2）写出图中的各组同向向量；（3）写出图中的各对反向向量；（4）写出图中的相等向量；三、实数与向量的意义以及运算律题目1.2.计算：(4)四、用一个向量表示另一个向量3.4.已知点D、E在ABC的边AB 与AC上，DE∥BC，5AD=3DB，试用向量BC表示向量DE5.平行向量吗？EDC BA6. 用单位向量e 表示下列向量：五、向量的合成与分解1. 如图，点M 是三角形ABC 的边AB 的中点，设b CB a CA ==,，试用b a ,的线性组合表示向量CM .2. 如图，已知O 为△ABC 内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且13AD AB =，DE ∥BC,设,OB b OC c ==，试用b 、c 的线性组合表示向量DE 。
3. 如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，射线AM 与BC 相交于点E.设a AB =，b AD =，分别求向量AM 、AN 、AE 关于.,b a 的分解式.OEDCBA MBEDC A N第三课时 平面向量的基本概念及线性运算课堂检测1.下列命题中正确的是 （ ） A 若a =b ， 则a ＝b B 若a ＞b ，则a ＞b C 若a =b ，则a b D 若a =1 ，则a =12.下列说法正确的有 （ ）Ⅰ 零向量比任何向量都小 Ⅱ零向量的方向是任意的 Ⅲ零向量与任一向量共线 Ⅳ 零向量只能与零向量共线A 0个B 1个C 2个D 3个3.平行四边形ABCD 中，AB = DC ，则相等的向量是（ ） A AD 与CB B OB 与OD C AC 与BD D AO 与OC4.已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量中含有相等向量的是（ ）A OB CD FE CB ，，， B AB CD FA DE ，，， C FE AB CB OF ，，， D AF AB OC OD ，，， 5.设O 是正方形的中心，则向量 AO BO OC ，，是 （ ） A 有相同起点的向量 B 有相同终点的向量 C 相等的向量 D 模相等的向量 6.若向量 a 与向量b 不相等，则 a 与b 一定（ ）A 不共线B 长度不相等C 不都是单位向量D 不都是零向量7.若a =2 ，b =a ，则b =_____b 的方向与a ____。
若b = -a ，则b =_______，b 的方向与a _________ 8.下列命题中，正确的是( )A ．|a | = |b | ⇒ a = bB ．|a | = | b |且 a // b ⇒ a =b课堂检测C ． a =b ⇒ a //bD ．|a | = 0 ⇒ a= 09.已知一个单位向量e，设a 、b 是非零向量，则下列等式中正确的是：（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 10.若 且 ，则四边形ABCD 的形状为（ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形11.若向量 =4、 =6，则 的最小值是 ，的最大值是 。
12.如图，点M 是△CAB 的边AB 的中点，设 b B C ,a A C == ， 试用a 、b 的线性组合表示向量M C 。