实数一对一辅导讲义

教学目标
1、了解平方根与立方根的概念和表示方法；
2、了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
3、知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

重点、难点
1、平方根与立方根的概念和求法。

2、了解无理数和实数的概念以及对无理数的认识。

考点及考试要求 掌握平方根，立方根以及实数的各种题型。

教 学 内 容
第一课时 实数知识梳理
1.立方根等于本身的数是 ;
2.如果,113a a -=-则=a .
3.64-的立方根是 , 3)4(- 的立方根是 .
4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根.
5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值.
6.比较大小：
（1）32.1 31.2， （2）3
32- 34
3-， （3）3 37 。

课前检测
1.实数的分类
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪
⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩
正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环.
无理数有三类：（1）开方开不尽的数；
（2）特定意义的数如π等；
（3）特定结构的数如0.1010010001等.
2. 平方根，立方根，n 次方根
（1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。

求这个数的平方根的运算叫做开平方，
a 叫做被开方数。

要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。

其中a 表示a 的正平方根
（又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。

②开平方与平方互为逆运算：
一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，；
2222
;? 0;0? a a a a a a a a a a ⎧⎧=⎪⎪>⎨
⎪-=-⎪⎪⎩
⎨⎧⎪=-⎪<⎪⎨-=⎪⎪⎩⎩
一个正数的平方的正平方根等于这个数当时一个正数的平方的负正平方根等于这个数的相反数；一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数
当时。

一个负数的平方的负平方根等于这个数 （2）若一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用3a 表示a 的立方根，读作“三次根号
a ”，a 叫做被开方数，3叫做根指数。

求一个数的立方根的运算叫做开立方。

要点：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。

（3）若一个数的n 次方等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，用n a 表示a 的n 次方根，读作“n 次根号a ”，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。

求一个数的n 次方根的运算叫做开n 次方。

要点：① 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正数的奇次方根只有一个；
② 零的任何次方根是零；
知识梳理
③ 负数没有偶次方根，只有奇次方根，且只有一个。

3． n 次方根
4． 用实数上的点表示实数
1）、实数与数轴上的点成一一对应的关系
2）、在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别是a 、b ，那么A 、B 两点的距离为： AB =||b a -。

3）、实数比较大小 5．实数的运算 1）、运算
2）、精确度和有效数字 6． 分数指数幂 1）、规定：
()()10;0m m n
m
n
n
n
m
a a
a a
a a
-
=≥=>
几点说明：
（1）上式中m 、n 为正整数，n>1
（2）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数 （3）整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂 2）、有理数指数幂有些列运算性质： 设为0,0.,a b p q >>有理数，那么 （1）;p q p q p q p q a a a a a a +-=÷=；
,
（2）()p q pq a a =；
（3）();()p
p
p
p
p p a a ab a b b b
==
第二课时 实数典型例题
例1. 下列实数中，无理数有哪些？
2， 17
2，37.0 -，14.3，35，0，⋅⋅⋅11121211211121.10，π，2)4(- 典型例题
O A
C
B …
…
有理数集合
无理数集合
解：无理数有：2，35，π
注：①带根号的数不一定是无理数，比如2)4(-，它其实是有理数4；
②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。

比如⋅⋅⋅11121211211121.10。

变1、把下列各数分别填写在相应的括号内．
033
52270.555270 3.1515515559() 3.14159265274
π----π-2-，，，，，，，，，，
无理数集合｛
｝； 有理数集合｛ ｝； 正实数集合｛ ｝； 分数集合｛ ｝； 负无理数集合｛ ｝．
变2、把下列各数分别填在相应的集合里：
,722
1415926.3，7，8-，32，6.0，0，36，
3
π
，⋅⋅⋅313113111.0
例2. 把无理数5在数轴上表示出来。

分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。

解：如图所示，,1,2==AB OA
由勾股定理可知：5=OB ,以原点O 为圆心，以OB 长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C ,则点C 就表示5。

例3. 化简：2(0)m m m -<． 答案：解：0m <，
2m m m ∴==-．
故2()22m m m m m m m m -=-=--==-．
变3、（1）求364-的绝对值和相反数；
（2）已知一个数的绝对值是3，求这个数。

例4. 计算：20042003(52)(52)-+．
答案：解：原式20032003(52)(52)(52)=--+
2003
2003
22
2003(52)(52)(52)(52)(5)2(52)15 2.
⎡⎤=--+⎣⎦
⎡⎤=--⎣⎦
=-=-×
例5. 已知3232x y =+=-，，求代数式22353x xy y -+的值． 答案：解：22223533()5x xy y x y xy -+=+-
2
223()253()653()11x y xy xy
x y xy xy x y xy ⎡⎤=+--⎣⎦=+--=+-，
又由已知可得(32)(32)23x y +=++-=，
(32)(32)321xy =+-=-=，
故原式23(23)1113361197=-=-=×××．
变4、计算下列各式的值：
（1）2)23(-+； （2）3233+
例6. 计算：21
2832(322)12
-+--
+×
；
答案：解：原式4423233222(21)8292=-+⨯---=-+-×××
122111-+=-；
变5、计算：
（1）2624-； （2）)23(3+；
（3）3253+-； （4）23)54
(198-+--。

第三课时 实数课堂检测
一、填空题：
1、正数a 的平方根表示为 ;
2、计算：=9
7
1
;=+22512 ; 3、若x 的平方根是5.0±，则x= ;256的平方根是 ; 4、-27的立方根与81的和是 ;x 的平方根是5±则x= ; 5、将327,14.3,,11π从小到大排列为 ; 6、使n 54-是一个正整数的绝对值最小的整数n= ; 7、计算=⨯4925 ;若
()a a -=-222
，则a 的取值范围是 ;
8、一个整数m 的立方根是a ，则m+1的立方根是 ;（用含a 的式子表示） 9、若a 、b 、c 是三角形的三边长，则
()=--2
c b a ;
课堂检测。