长沙市长郡中学2020届高三数学(文)第三次月考试卷附答案解析
A． 3
B．2,3, 4
C． 0,1, 2,3
D． 0,1, 2,3, 4
【答案】B
【解析】由 M ,求出 CU M ,即可求出 ðU M N 的值.
由题可得： CU M 3, 4 ，故 CU M N 2,3, 4 .
故选: B . 【点睛】本题考查并集和补集,难度容易.
2．若复数 z 的共轭复数 z 满足： 1 i z 2i ，则复数 z 在复平面上对应的点在（ ）
A．相离
B．相切
C．相交且过圆心 D．相交不过圆心
6．我国古代科学家祖冲之儿子祖恒在实践的基础上提出了体积Βιβλιοθήκη 算的原理：“幂势既同，则积不容异”
（“幂”是截面积.“势”是几何体的高）.意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它
们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则
4．某商品的销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据 ( xi，yi ) （
i＝1，2，，n ），用最小二乘法建立的回归方程为 y= 10x+200 ，则下列结论正确的是（ ）
A．y 与 x 具有正的线性相关关系
B．若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数，则 r＝－10
几何体的体积为（ ）
A．
B． 7 16
C． 4 3
D．
3 2
1
7．函数 f (x) x2 2x 2x 的部分图象大致为（
）
2 cos x
A．
B．
C．
D．
8．等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S7 S4 ，且 a1 0 ，则使得 Sk 0 的最小正整数 k =（ ）
因为圆心 1,1 到直线 x y 4 0 的距离为 11 4 2
12 12
2 2 ,所以直线与圆相离.故选: A .
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系,需熟记点到直线的距离公式,难度较易. 6．我国古代科学家祖冲之儿子祖恒在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异” （“幂”是截面积.“势”是几何体的高）.意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它 们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则 几何体的体积为（ ）
（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为 A，乙部门选出的员 工记为 B.假设所有员工睡眠的时间相互独立.求 A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间的概率.
3
19．如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是梯形， AB//CD, BC CD ，且 CD AC PA PC PB 2AB 2 ，O 为 AC 的中点.
A．9
B．10
C．11
D．12
9．已知奇函数
f
(x)
2 cos( x )(
0, 0
) 满足
f
4
x
f
4
x
，则
的取值可
能是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
10．执行如图所示的程序框图，若输出的值为 0 ，则判断框①中可以填入的条件是（ ）
A． n 9?
B． n 9?
C． n 9?
A,
B
两点.证明：以
AB
为直径的圆过椭圆
C
的右顶点 M .
21．已知函数
f
x
tex
1 ex
2,t R .
（1）当 t 4 时，求 f x 的单调区间与极值；
（2）当 t 0 时，若函数 g x ex f x tex x 1在 R 上有唯一零点，求 t 的值.
22．已知圆
C1
:
2 cos
长沙市长郡中学 2020 届高三第三次月考
数学（文）试卷
一、单选题
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4 ， M 0,1,2 ， N 2,3 ，则 ðU M N （ ）
A． 3
B．2,3, 4
C． 0,1, 2,3
D． 0,1, 2,3, 4
2．若复数 z 的共轭复数 z 满足： 1 i z 2i ，则复数 z 在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 【答案】C
B．第二象限
C．第三象限
【解析】由 1 i z 2i ,求出 z ,进而求出 z ,即可判断点所在位置.
D．第四象限
∵ 1 i z
2i
，∴
z
2i 1i
=
2i(1 i) (1 i)(1 i)
2(i 1) 2
1 i
，因此
z
1 i
，所以
z
在复平面上对
应的点 1, 1 在第三象限.故选: C .
1 a3
1 a n1 a n
，比较 Tn 与1的大小.
18．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工 60 人，为调查他们的睡眠情况，逦过分层抽样获得 12 名员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）
甲部门
6
7
8
乙部门
6
6.5
7
7.5
丙部门
5.5
6
6.5
7
8.5
（1）求该单位乙部门的员工人数； （2）若将每天睡眠时间不少于 7 小时视为睡眠充足，现从该单位任抽取 1 人，估计抽到的此人为睡眠 充足者的概率；
S4 ,利用等差数列的求和公式
Sn
na1
n n 1
2
d
,可求得
a1
5d
,又
a1
0
，所
以d
0,
将 Sk
0
化简为,
Sk
=
k
(k
2
11)
d
0 ,即可得出 k
11,进而求出最小正整数 k .
【详解】
∵等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S7 S4 ，
7
∴
7a1
76 2
d
4a1
43 2
d
A．
【答案】A
B． 7 16
C． 4 3
D．
3 2
6
【解析】根据题意可知几何体为一个圆锥和半个球体的组合体,利用锥体和球体的体积公式代入即可求
得.
【详解】
根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示上边是一个底面半径为 1.高也为 1 的圆锥.下边是半径
为1的半球，所以几何体的体积为V
1 12 1 1 4
，曲线
C2
:
x
y
2 cos sin
（
为参数）.
（1）化圆 C1 和曲线 C2 的方程为普通方程；
（2）过圆
C1
的圆心
C1
且倾斜角为
3
的直线
l
交曲线
C2
于
A,
B
两点.求圆心
C1
到
A,
B
两点的距离之
积.
4
解析
长沙市长郡中学 2020 届高三第三次月考
数学（文）试卷
一、单选题
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4 ， M 0,1,2 ， N 2,3 ，则 ðU M N （ ）
，解得
a1
5d
，又
a1
0
，所以
d
0
.
∴
Sk
ka1
k(k 1) 2
d
5kd
k(k 1) 2
d
k(k 11) 2
d
，
由 Sk 0 得 k 11，故使得 Sk 0 的最小正整数 k 12 .故选: D .
【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,需熟记公式,难度较易.
9．已知奇函数
f
(x)
2 cos( x )(
0, 0
) 满足
f
4
x
f
4
x
，则
f x 0 ,排除选项 A 即可得解.
【详解】
函数定义域为 R .因为 f (x) (x)2 (2x 2x ) x2 2x 2x f (x) ，
2 cos( x)
2 cos x
所以函数 f x 为偶函数，函数图象关于 y 轴对称，排除 C,D 选项.
当 x 0 时, x2 0 , 2x 2x 0 , 2 cos x 0 ,所以 f x 0 ,排除选项 A .故选: B .
D． n 9?
11．已知
f
x 是定义在
R
上的奇函数，对任意两个不相等的正数
x1, x2
都有
x2
f
x1 x1 f
x1 x2
x2
0，
记 a
f 40.2 40.2
,b
f 0.42 0.42
,c
f log0.2 4 ，则（
log0.2 4
）
A． c b a
B． a b c
sin
45
cos
30
sin
30
cos
45
2 2
3 1 22
2 2
2 4
6
.
法二：
sin195 sin 135 60 sin135cos 60 sin 60cos135
2 1 22
3 2
2 2
2 6 4
5
故选: A .
【点睛】
本题考查两角和的正弦公式,关键在于熟记公式,准确化简,难度较易.
A．第一象限
3． sin195 （
B．第二象限 ）
C．第三象限
D．第四象限
A． 2 6 4
B． 6 2 4
C． 2 3 4
D． 3 2 4
4．某商品的销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据 ( xi，yi ) （
专题03 命题形式变化及真假判定(解析版)
专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则 （1）否命题：“若，则” （2）逆命题：“若，则” （3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多个→至少个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且 且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定 ② 一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联p q p ⌝q ⌝q p q ⌝p ⌝p q ∨p q ∧p q ∨p q ∧p ⌝n 1n +,p q ,p q ⌝⌝p q p ⌝q ⌝p q p ⌝q ⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝∀⇔∃()p x ()p x ⇒⌝x M2、，，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、：与命题真假相反. 4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论． 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，p q ∨p q ∧p ⌝p M M M同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（ ）A ．000sin cos x R x x ∃∈-，B ．00cos 1x R x ∃∈≥，C ．()01ln x x x ∀∈+∞-≥，，D ．(0)tan 2x x x π∀∈>，，【答案】A【解析】因为sin cos )4x x x π-=-，其值域为[，所以A 项错误；因为cos [1,1]x ∈-，所以B 项正确；令()1ln =--f x x x ，11'()1x f x x x-=-=， 当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以函数()1ln =--f x x x 在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增， 所以()1ln =--f x x x 在1x =处取得最小值，且(1)0f =， 所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，所以C 项正确；借助于三角函数线，可知(0)tan 2x x x π∀∈>，，，所以D 项正确；故选：A.【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题【答案】C【解析】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题，故选：C.【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥. 故选：C.【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( ) A ．若＝，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则＝D ．若x <y ，则x 2<y 2【答案】A 【解析】由得x=y ，而由x 2=1得x=±1，由x=y ，不一定有意义，而x ＜y 得不到x 2＜y 2，故选A ．例6．【河南省名校联盟2020年高三三模】下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=，则0a =或0b =；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①中，当x =22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=，可以有a b ⊥，不一定要0a =或0b =，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2.故选：B.【专家解读】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中学2020届高三三模】下列命题错误的是( )A ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”B ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 【答案】A【解析】A 选项中命题的否定是：若0xy =，则x ，y 都不为零，故A 不正确；B 选项是一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出1x =，故D 正确， 故选：A.【专家解读】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.【精选精练】1．【2020届湖南长沙市第一中学高三三模】已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．2．【河南省开封市2020届高三二模】已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题， 故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 【专家解读】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．3．【黑龙江省大庆实验中学2020届高三三模】下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C【解析】对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C.【专家解读】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4．【吉林省长春市2020届高考数学二模】命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A【专家解读】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不重合的直线，命题p ：“若m α⊥，m n ⊥，则//n α”；命题q ：“若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】C【解析】命题p 中，若m α⊥，m n ⊥，则n 与α可能平行，也可能n ⊂α，故命题p 为假命题； 命题q 中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，m 与β的位置关系可能是m β⊂，//m β，也可能m 与β相交，故命题q 为假命题.因此p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧都是假命题，()p q ∨⌝为真命题.故选：C.【专家解读】本题主要考查判断复合命题的真假，涉及线面位置关系，属于基础题型. 6．【辽宁省沈阳二中2020届高三五模试题】已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 【专家解读】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.7．【2020届重庆市南开中学高三三模】已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B【专家解读】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题. 8．【黑龙江省哈尔滨三中2020届四模试题】下列命题错误的是（ ） A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题 B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件 【答案】B【解析】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确； 故选：B.【专家解读】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.9．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三三模】下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 C ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真 D ．命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤ 【答案】C【解析】对于A ，由逆否命题的概念可得命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；对于B ，若2a =，则函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数；若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则只需满足1a >；所以“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=” 的逆命题为“若()00f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，对函数()3f x x =，()00f '=，但0x =不是函数()f x 的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C 错误；对于D ，由全称命题的否定可知命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤，故D 正确. 故选：C.【专家解读】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.10．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月模拟】已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】D【解析】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形， 如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【专家解读】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．11．【广东省肇庆市2020届高中毕业班第三次统一检测】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆ ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-，∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，MH ==，∴11122BCM S BC MH ∆=⨯⨯=⋅112210=≥=，当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确； 对于11//D C DC ，DC平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错； ③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为2266a ==⎝⎭．④对．故选C ． 【专家解读】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．12．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三三模】已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.【答案】()12,0-【解析】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题即230x ax a -->恒成立，则∆<0，即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【专家解读】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.13．【2020届湖南省永州市祁阳县高三二模】已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=， （1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题， 则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有20440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-， 所以实数m 的取值范围为2m <-.【专家解读】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.。
长郡中学2020届高三第三次适应性考试文数(三)答案
满足Y, —Y; <l条件的 “ 有效数据 “ 有： (2, 86 )、(3, 82)、(4, 78)、(6,
70)共有4个． 从6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有15 种，
抽取的2组销售数据都是 “ 有效数据 ＂ 的有CJ = 6种，
：．抽取的2组销售数据都是 “ 有效数据 ＂ 的概率为— 6 = — 2 .…………02分） 15 5
x = my+3 联立方程组{— x'+— y' =l ')自去X, 得(3m'+4)y'+18my -21�o,
16 12 Yi+Y2 =-3m182 +m 4 , Y心=-3m22 1+4· ....................................... (3分）
二二 严 ✓ s,.,OAB = ½xlOElxlYi—Y2 l= ½x3xlcYi
:.CB上PB, 则PC=石，
·: PD2 +DC2 =PC2, :.MDC为直角三角形. ......................................................... (8分）
:.
s心vc
=-xlx扛＝ 2
— 扛．...................................................... (9分） 2
1 2-n l
,
(E n N*) . ......................................................... (7分）
兀＝—1＋ —1 a, a2
+...
+—1 =l a
炎德英才大联考2020届长郡中学高三月考文数(答案)
$!,!解析设水龙头' 开& 小时!水龙头# 开( 小时!显然! ")&)!'!")()!'! 若水池不溢出水!则&2!()!"! 记+水池不溢出水,为事件'!则' 所占区域面积为
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湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷(三)
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,4A B C ===，则（）A ．AB =∅B ．A B C= C ．A C C= D ．A C B= 2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（）A ．34i-+B ．34i--C ．5D3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = 且()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A ．3B ．3-C ．3a- D ．a-r 4．已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π(0)2αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ()42ββ<<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △的面积为4，则B 点的纵坐标为（）A ．2-B ．C ．D ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为()0,,A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠C 的离心率是（）A ．B ．2C ．D ．4+二、多选题9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数=的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则（）A ．若1B P 与平面ABCD 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λμ=时，1//B P 面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2μλ=时，1A P DP +11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x =B ．A =4C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题12．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =.13．已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，若函数()2y f x =-有3个零点，则实数a 的取值范围是.14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则m =．四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.(1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠==，求sin B .16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，160A AC ∠=︒，AC BC ⊥，1A C AB ⊥，1AC =，12AA =.(1)求证：1A C ⊥平面ABC ；(2)直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值.17．人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.(1)当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；(2)当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.18．已知椭圆G22+22=1>>0的长轴是短轴的3倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,,A B 是椭圆左右顶点，过,A B 做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过,P Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K .(1)求椭圆的标准方程.(2)若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值.(3)求证：IK IA JKJB=19．对于函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为()f x 的不动点.已知0a ≥，且21()ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A .以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素.(1)若0a =，求A 的元素个数及max A ；(2)当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B .（i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足12a =，1()n n n f a a a +=，集合141,3nn k k C a =⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑，*N n ∈.求证：*N n ∀∈，4max 3n C =.。
平面解析几何试题 解析
平面解析几何1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+，所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =.故选A 。
2．（2020届河南省濮阳市高三模拟）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．B ．8C．D ．4【答案】C【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|==，故选C 。
3．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B【解析】由题意可得c=F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=8=，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=，故选B 。
2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数答案
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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
B
ABFP
轴的垂线交抛物线于点，记
P
，则的值为（
）
2
4
8
A.
B.
C.6
D.
二、多项选择题(本题共小题，每小题分，共分)
4520
9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男
4
3
女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有
10
当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X，求X的数学期望.(精确到小数点后1
位)
9
4
9
4
11
k1
k1
k
k
9
10
1.80
2.05
，
参考数据：
，
10
5
10
5
k2
k2
11
9
4
11
9
4
k
k
k
k
9
10
10.79
13.32.
k
k
，
10
5
10
5
k2
k2
一、选择题(本题共小题，每题分，共分)
8540
n
2a12a13
n
a
n
n
n
C,D
19.在如图所示的圆柱OO
中，为圆O的直径，
AB
是AB
的两个三等分点，，，都是圆柱
EAFCGB
1
1
2
OO
1
的母线．
2
的
FO//
（1）求证：
平面ADE；
1
（2）设BC=1，已知直线
炎德英才大联考2020届长郡中学高三月考文数(答案)
文科数学参考答案长郡版!"!
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三#解答题
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【附加15套高考模拟试卷】湖南长沙长郡中学2020届高三下学期第三次调研数学(文)试卷含答案
湖南长沙长郡中学2020届高三下学期第三次调研数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A．12B．32C．34 D．642．定义在区间(),-∞+∞上的奇函数()f x为增函数；偶函数()g x在[)0,+∞上的图象与()f x 的图象重合．设0a b>>，给出下列不等式：①()()()()f b f ag a g b-->--②()()()()f b f ag a g b--<--③()()()()f a f bg b g a-->--④()()()()f a f bg b g a--<--其中成立的是 ( )A．①④ B．②④ C．①③ D．②③3．执行如图所示的程序框图，输出20172018S=，那么判断框内应填（）A．2017?k…B．2018?k…C．2017?k…D．2018?k…4．已知函数()sin()f x xωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）的零点构成一个公差为2π的等差数列，3(0)f=，则()f x的一个单调递增区间是A．5(,)1212ππ-B．(,)63ππ-C．5(,)1212ππ-D．7(,)1212ππ5．过抛物线22(0)y px p=>的焦点F作倾斜角为4π的直线l，若l与抛物线交于A，B两点，且AB的中点到抛物线准线的距离为4，则p的值为（）A．83 B ．1C ．2D ．36．若1tan 2θ=，则3sin 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．25-B ．25C ．35-D ．357．在直角坐标平面内，已知(2,0)A -，(2,0)B 以及动点C 是ABC ∆的三个顶点，且sin sin 2cos 0A B C -=，则动点C 的轨迹曲线Γ的离心率是（ ）A ．22B ．32 C ．2 D ．38．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+，将该数列按下列格式（第n 行有12n -个数）排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右第8个数字为（ ）.A ．142B ．270C ．526D ．10389．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．210．已知函数()()202f x sin x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，，的部分图象如图所示，其213AB =，把函f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（ ）A ．()2sin12g x x π=-B ．()22sin 123g x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．()2sin 36g x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ D ．()2cos 3g x x π=11．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，若对任意的(1,2)a ∈，关于x 的方程()0(0)f x a x m -=≤<总有两个不同的实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C b a a b -=>>的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且5PB BQ =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32 C ．3 D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
长沙市长郡中学2020届高三数学(文)第三次月考试卷附答案解析
长沙市长郡中学2020届高三第三次月考数学（文）试卷一、单选题 1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}012M =,,，{}2,3N =，则()U M N =U ð（ ）A ．{}3 B ．{}2,3,4C ．{}0,1,2,3 D ．{}0,1,2,3,42．若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．sin195︒=（ ） A ．264- B ．624- C ．243- D ．324- 4．某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据()i i x y ，（12i n L ＝，，，），用最小二乘法建立的回归方程为$=10+200y x -，则下列结论正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r ＝－C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 5．直线40x y --=与圆222220x y x y +---=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交不过圆心6．我国古代科学家祖冲之儿子祖恒在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积.“势”是几何体的高）.意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．πB ．716πC ．43π D ．32π7．函数()222()2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74S S =，且10a <，则使得0k S >的最小正整数k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．已知奇函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值可能是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1210．执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框①中可以填入的条件是（ ）A ．9?n ≥B ．9?n ≤C ．9?n >D ．9?n <11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()()()0.20.20.2022.240.4log ,,40.44log 4f f f a b c ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<12．设抛物线()2:20C ypx p => 的焦点为F ，点M 在C 上，5MF = ，若y 轴上存在点()0,2A ，使得·0AM AF =u u u u r u u u r ，则p 的值为 （ ）A ．2或8B ．2C ．8D ．4或8二、填空题13．函数()1x e f x x =+的图象在点()()0,0f 处的切线方程是_______________.14．已知向量a r 与br的夹角为120︒，3a =r，13a b +=r r ，则b =r .15．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为_______________.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足条件22211, cos Bcos 4b c a bc C +-===-，则ABC ∆的周长为______________.三、解答题 17．已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和122n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21321311111n n nT a a a a a a a a -=+++⋯+----，比较n T 与1的大小.18．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，逦过分层抽样获得12名员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时） 甲部门 6 7 8乙部门 6 6.5 7 7.5 丙部门 5.566.578.5（1）求该单位乙部门的员工人数；（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任抽取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A ，乙部门选出的员工记为B .假设所有员工睡眠的时间相互独立.求A 的睡眠时间不少于B 的睡眠时间的概率.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，//,AB CD BC CD ⊥，且22CD AC PA PC PB AB ======，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求点C 到平面PAD 的距离.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆C的四个顶点所围成的四边形的面积为4. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.证明：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M .21．已知函数()12,xxf x te t R e =--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t >时，若函数()()1x xg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.22．已知圆1:2cos C ρθ=-，曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化圆1C 和曲线2C 的方程为普通方程； （2）过圆1C 的圆心1C 且倾斜角为3π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点.求圆心1C 到,A B 两点的距离之积.解析长沙市长郡中学2020届高三第三次月考数学（文）试卷一、单选题 1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}012M =,,，{}2,3N =，则()U M N =U ð（ ）A ．{}3 B ．{}2,3,4C ．{}0,1,2,3 D ．{}0,1,2,3,4【答案】B【解析】由M ,求出U C M ,即可求出()UM N U ð的值.由题可得：{}3,4U C M =，故(){}2,3,4U C M N =U .故选:B .【点睛】本题考查并集和补集,难度容易. 2．若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由()12i z i -=,求出z ,进而求出z ,即可判断点所在位置.∵()12i z i -=，∴22(1)2(1)=11(1)(1)2ii i i z i i i i +-===-+--+，因此1i z =--，所以z 在复平面上对应的点()1,1--在第三象限.故选:C .【点睛】本题考查共轭复数和复数所对应的点,难度容易. 3．sin195︒=（ ） A ．264- B ．624- C ．243- D ．324- 【答案】A【解析】利用两角和的正弦公式, 将sin195︒化简,利用特殊角的三角函数值代入即可求得. 法一：()()sin195sin18015sin15sin 4530︒=︒+︒=-︒=-︒-︒()231226sin 45cos30sin 30cos 4522224⎛⎫-=-︒︒-︒︒=-⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 法二：()213226sin195sin 13560sin135cos 60sin 60cos13522224⎛⎫-︒=︒+︒=︒︒+︒︒=⋅+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭故选:A .【点睛】本题考查两角和的正弦公式,关键在于熟记公式,准确化简,难度较易.4．某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据()i i x y ，（12i n L ＝，，，），用最小二乘法建立的回归方程为$=10+200y x -，则下列结论正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r ＝－C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 【答案】D【解析】试题分析：y 与x具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误D 正确.B 项中-10是回归直线方程的斜率. 【考点】1.最小二乘法；2.线性相关性. 5．直线40x y --=与圆222220x y x y +---=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交不过圆心【答案】A【解析】利用圆心到直线的距离和半径的关系,即可判断出直线和圆的位置关系. 圆222220x y x y +---=,即22(1)(1)4x y -+-=,是一个以()1,1为圆心,2为半径的圆，因为圆心()1,1到直线40x y --=的距离为2211422211+--=>,所以直线与圆相离.故选:A .【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,需熟记点到直线的距离公式,难度较易.6．我国古代科学家祖冲之儿子祖恒在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积.“势”是几何体的高）.意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．πB ．716π C ．43π D ．32π 【答案】A【解析】根据题意可知几何体为一个圆锥和半个球体的组合体,利用锥体和球体的体积公式代入即可求得. 【详解】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示上边是一个底面半径为1.高也为1的圆锥.下边是半径为1的半球，所以几何体的体积为23114211132333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯=+=. 故选:A .【点睛】本题考查了三视图和几何体的体积,意在考查学生的空间想象能力和计算能力,难度较易. 7．函数()222()2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性定义可判断函数为偶函数, 排除,C D 选项,当0x ≠时,可判断得出，()0f x >,排除选项A 即可得解.【详解】函数定义域为R .因为()2222()(22)()()2cos()2cos x x x x x x f x f x x x--+-+-===+-+，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除,C D 选项.当0x ≠时,20x >,220x x -+>,2cos 0x +>,所以()0f x >,排除选项A .故选:B .【点睛】本题考查函数图象的辨识，可以从奇偶性,单调性,函数值符号,特殊值等入手,通过排除法求解,难度较易.8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74S S =，且10a <，则使得0k S >的最小正整数k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D 【解析】由于74S S =,利用等差数列的求和公式()112n n n S na d -=+,可求得15a d =-,又10a <，所以0d >, 将0k S >化简为,(11)=02k k k S d ->,即可得出11k >,进而求出最小正整数k . 【详解】 ∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，74S S =，∴1176437422a d a d ⨯⨯+=+，解得15a d =-，又10a <，所以0d >. ∴1(1)(1)(11)5222k k k k k k k S ka d kd d d ---=+=-+=，由0kS >得11k >，故使得0k S >的最小正整数12k =.故选:D .【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,需熟记公式,难度较易. 9．已知奇函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值可能是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】由()f x 是奇函数知2ϕπ=,可得()2sin f x x ω=-,由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 关于4x π=对称, 即可得出,24k k Z ππωπ=+∈,进而解得24,k k Z ω=+∈,根据选项即可的出答案.【详解】 由()f x 是奇函数得2ϕπ=，所以()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,24k k Z ππωπ=+∈，解得24,k k Z ω=+∈.所以当1k =时，得6ω=.故选:B .【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知cos()y A x ωϕ=+的奇偶性,对称轴时求ωϕ，的问题,难度较易.10．执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框①中可以填入的条件是（ ）A ．9?n ≥B ．9?n ≤C ．9?n >D ．9?n <【答案】D 【解析】由于()lglg lg 11nn n n =-++可知1lg1lg 2lg 2lg3lg lg(+1)S n n =+-+-++-L ,则1lg(+1)0S n =-=,求解出n 即可.【详解】由图可得:1lg1lg 2lg 2lg3lg lg(+1)S n n =+-+-++-L ，则1lg(+1)0S n =-=，所以9n =，因为此时需退出循环，所以填写：9n <. 故选:D .【点睛】本身考查算法和程序框图,难度较易. 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()()()0.20.20.2022.240.4log ,,40.44log 4f f f a b c ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】C【解析】构造()()f x g x x=,借助已知条件可判断出()g x 在区间()0,+?上单调递减,由()f x 在R上为奇函数,可知()gx 在R 上为偶函数,由()()()250.24,0.4,log 4a g b g c g ===,借助函数图象性质即可解得.【详解】不妨设:120x x >>，由题意得()()21120x fx x f x -<，即()()1212f x f x x x <，同理.当120x x <<时，有()()1212f x f x x x >， 据此可得函数()()f xg x x=在区间()0,+?上单调递减，且函数()g x 是偶函数，因此()()()()0.220.220.2240.44,0.440.4f g b f a g ====，()()()()0.250.20.25log 4log 4log 44log 4log f c g g g ===-=，因为2.25000.40.160.5log 414<<<<=<，所以()()()50.224log 40.4gg g <<，即a c b <<.故选:C . 【点睛】本题通过构造新函数,利用函数的单调性,奇偶性,比较函数值大小的问题,注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较,考查分析问题和解决问题的能力，难度一般. 12．设抛物线()2:20C ypx p => 的焦点为F ，点M 在C 上，5MF = ，若y 轴上存在点()0,2A ，使得·0AM AF =u u u u r u u u r，则p 的值为 （ ）A ．2或8B ．2C ．8D ．4或8【答案】A【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点(0,2)，设M (x ,y ),由抛物线性质|MF |=x +2p =5,可得x =5−2p， 因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为552222p p-+=， 由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即M (5−2p,4),代入抛物线方程得p 2−10p +16=0，所以p =2或p =8. 本题选择A 选项.二、填空题13．函数()1xe f x x =+的图象在点()()0,0f 处的切线方程是_______________.【答案】10y -=【解析】借助求导公式求出()y f x =',因为切线的斜率为()00f '=,0x =代入()1x ef x x =+求得切点,即可求出切线方程. 【详解】()()21xxe f x x '=+，∴()00f '=且()01f =，所以函数()1x e f x x =+的图象在()()0,0f 处的切线方程是10y -=.故答案为: 10y -=.【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点的切线方程的求法,难度容易.14．已知向量a r 与br的夹角为120︒，3a =r，13a b +=r r ，则b =r .【答案】4【解析】试题分析：向量a r 与br的夹角为120︒，313a a b rr r ＝，＋＝，则3··cos1?202a b a b b ︒=-r r r r r ＝，222||2a b a a b b +⋅+r r r r r r ＋＝.所以21393b b =-+r r ，则1b r ＝－（舍去）或4b r＝.【考点】平面向量的数量积.15．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为_______________.【答案】2【解析】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接1C D ,直线1AC 与AD 所成角等于异面直线1AC 与BC 所成角,利用圆柱的轴截面11ABB A 是正方形,12C D AD =,从而可得结论.【详解】取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接1,C D AD ，则因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以//AD BC ，所以直线1AC 与AD 所成角等于异面直线1AC 与BC 所成角.因为1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点， 所以1C D ⊥圆柱下底面，所以1C DAD ⊥.因为圆柱的轴截面11ABB A 是正方形， 所以12C D AD =，所以直线1AC 与AD 所成角的正切值为2.所以异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足条件22211, cos Bcos 4b c a bc C +-===-，则ABC ∆的周长为______________.【答案】36+【解析】利用余弦定理求出角A ,利用两角和的余弦公式求出1sin sin 4B C =的值,结合正弦定理求出ABC ∆外接圆的半径R 与边长a ,再求出b c +即可.【详解】ABC ∆中，2221b c a bc +-==，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∴3A π=，∴23B C π+=，即1cos()cos cos sin sin 2B C B C B C +=-=-；又1cos cos 4B C =-.∴1111sin sin cos cos 2424B C B C =+=-+=，∴2214sin sin 414bc R B C R ==⨯=，解得1R =，其中R 为ABC ∆外接圆半径，∴2sin 21sin 33a R A π==⨯⨯=，∴2231b c +-=，解得224b c +=，∴222()24216b c b c bc +=++=+⨯=，∴6b c +=，∴ABC ∆的周长为36a b c ++=+.故答案为: 3 6.+【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.三、解答题 17．已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和122n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21321311111n n nT a a a a a a a a -=+++⋯+----，比较n T 与1的大小.【答案】（1）21nn a =+；（2）1n T <【解析】(1) 当1n =时，113;a S ==当2n ≥时,121nn n n a S S -=-=+,即可得出;(2) 由11111222n n n n n a a ++==--，可将n T 化简为12=1n nT -，即可与1比较大小. 【详解】（1）由题意知，当1n =时，2112123a S +=-== 当2n ≥时()112221221n n n n n n a S S n n +-=-=--+--=++；当1n =时也满足上式； 所以21nn a =+（2）因为11111222n n n n n a a ++==--，所以31212312111111111112221112222212n n n n n n T a a a a a a +-⨯=++⋯+=+++⋯+==-<---- 【点睛】本题考查n a 与n S 的关系在求数列通项公式中的运用,考查了数列的求和,难度较易.18．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，逦过分层抽样获得12名员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时） 甲部门 6 7 8 乙部门 6 6.5 7 7.5 丙部门 5.566.578.5（1）求该单位乙部门的员工人数；（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任抽取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A ，乙部门选出的员工记为B .假设所有员工睡眠的时间相互独立.求A 的睡眠时间不少于B 的睡眠时间的概率. 【答案】（1）20人；（2）12；（3）23【解析】(1)运用分层抽样的特点,计算即可求得;(2)从12人中抽取一人可得12种, 每天睡眠时间不少于7小时的共有6人,由古典概型的计算公式即可求得;(3)运用分类讨论思想,由古典概率的计算公式即可求出所得. 【详解】（1）由题意知，抽取的员工共12人，其中乙部门抽取4个. 故乙部门的员工人数为1242060÷=（或6020124⨯=）. （2）从该单位中任抽取1人，此人为睡眠充足者的概率约为从样本中抽取1人，抽到睡眠充足者的频率，故所求的概率约为2221122++=. （3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，共有3412⨯=种可能情况； 由题意知，若A 睡眠时间小时数为6，则B 的睡眠时间小时数为6，有1种情况； 若A 的睡眠时间小时数为7，则B 的睡眠时间小时数为6657，，，之一，有3种情况； 若A 的睡眠时间小时数为8，则B 的睡眠时间小时数为665775，，，，，之一，有4种情况；故所求的概率1342123P ++==.【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式,难度较易.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，//,AB CD BC CD ⊥，且22CD AC PA PC PB AB ======，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求点C 到平面PAD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2155【解析】(1)利用等边三角形三线合一性质和勾股定理得线线垂直,进而得线面垂直; (2)利用等体积法求点到面的距离. 【详解】 （1）因为2AC PA PC ===，所以PO AC ⊥，且3PO =，因为//AB CD ，BC CD ⊥，所以AB BC ⊥.连接OB ，则112OB AC AO CO ====，因为222314PO OB PB +=+==，所以PO OB ⊥， 又OB AC O =I，所以PO ⊥平面ABCD（2）设点C 到平面PAD 的距离为h ，易知12332ACD S ∆=⨯⨯= 取PD 的中点E ，连接,AE DO ，由1,2,AB AC AB BC ==⊥，知30ACB ∠=︒， 所以60ACD ∠=︒，又2AC CD ==，所以ACD ∆是等边三角形所以2=,AD AC AP ==3DO =.所以222610,6,4222DP AE DP DP AE AD ⎛⎫⎛⎫⊥==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以110156222ADP S ∆=⨯⨯=， 由C PAD P ACD V V --=得115133323h ⨯⨯=⨯⨯，解得2155h =.故点C 到平面PAD 的距离为2155. 【点睛】本题考查空间线面垂直的证明和点到面的距离的计算,难度一般.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆C的四个顶点所围成的四边形的面积为4. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.证明：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M .【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析【解析】(1)利用性质建立方程组,求出椭圆的方程;(2)将求证以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M ,转化为证明=0MA MB ⋅u u u r u u u r ,由直线l 过点6,05⎛⎫⎪⎝⎭且斜率不为零可设直线6:5l x ty =+与椭圆方程联立消x ,化为一元二次方程，利用根与系数的关系,证明=0MA MB ⋅u u u r u u u r即可. 【详解】 （1）由题意知，3,242c ab a ==，所以1,1,22b b a a ===，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=，（2）由题设直线6:5l x ty =+，()()1112,,,,(2,0)A x y B x y M 联立直线方程和椭圆方程得()22126440525t y ty ++-=.()()12122212640,,54254t y y y y t t -∆>+==-++ 所以()()()()212121212162214525MA MB x x y y t y y t y y ⋅=--+=+-++u u u r u u u r()()()()2222222264148166464481664025*********t t t t t t t t +--+++=-++==+++，所以MA MB ⊥u u u r u u u r ，所以点M 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点M .【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线和椭圆的综合应用,应强化直线和椭圆联立得出一元二次方程之后的运算能力,重视根与系数的关系,难度较难. 21．已知函数()12,xx f x te t R e=--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t>时，若函数()()1x xg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.【答案】（1）单调递增区间(),ln 2-∞-，单调递减区间()ln 2,-+∞；极大值6-，无极小值；（2）1【解析】(1)依题意4t=-可知()142x xf x e e =---,则()()12121()4xxx xxe ef x e e e +-'=-+=,利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果. (2)当0t>时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--,利用导数的方法可得()g x 的单调区间, ()g x 的极小值是()ln g t -，只要()ln 0g t -=，即1ln 10t t-+=时,能满足题意;构造函数()1ln 1t F t t=-+在()0,+?上单调递增,从而确定=1t 时有唯一的零点.【详解】（1）当4t =-时，()142xx f x e e =---.则()()12121()4x xx x x e e f x e e e+-'=-+=， 令()0f x ¢=，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(),ln 2-∞-，单调递减区间是()ln 2,-+∞，∴()f x 的极大值是1(ln 2)42262f -=-⨯--=-，无极小值（2）当0t>时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--，则()()2g ()2(2)1121x x xx x te t e te e '=--=-++，令()0g x ¢=，得ln x t =-，∴()g x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，∴()gx 的极小值是()ln g t -，∴只要()ln 0g t -=，即可满足函数在R 上有唯一零点∴()n 0ln 1l 1t g t t=-+=-， 令()1ln 1t F t t =-+，则211()0F t t t'=+>.∴()F t 在()0,+?上单调递增，∵()01F =，∴t 的值是1. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,综合考查导数在函数中的运用,难度困难.22．已知圆1:2cos C ρθ=-，曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化圆1C 和曲线2C 的方程为普通方程； （2）过圆1C 的圆心1C 且倾斜角为3π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点.求圆心1C 到,A B 两点的距离之积.【答案】（1）1C ：22(1)1x y ++=，2C ：2214xy +=；（2）1213【解析】(1)圆1:2cos C ρθ=-,即22cos ρρθ=-，利用互化公式可得圆1C 的普通方程, 曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,利用平方关系可得曲线2C 的普通方程; (2)由(1)可知：()11,0C -，则直线l 的参数方程为：11232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2214x y +=，有21330,4t t --=，圆心1C 到,A B 两点的距离之积为12t t .【详解】（1）圆1C 的普通方程为：22(1)1x y ++=，曲线2C 的普通方程为：2214xy +=.（2）由（1）可知：()11,0C -，则直线l 的参数方程为：11232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2214x y +=，有212131230,413t t t t =--=-，所以圆心1C 到,A B 两点的距离之积为121213t t = 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程, 参数方程化成普通方程,利用直线的参数方程求距离问题,难度一般.23． 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1118a b ab++≥； (2)11(1)(1)9a b ++≥.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）1的代换，将不等式左边化为齐次：()2a b a b a b a b ab+++++,再根据基本不等式求最小值为8，证得结论（2）左边展开得1111a b ab+++，再根据（1）得证 试题解析：证明：(1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴＋＋＝＋＋＝2＝2＝2＋4 ≥4＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝时，等号成立)，∴＋＋≥8.(2)∵＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.∴≥9.。