圆锥曲线的存在性问题

圆锥曲线中的存在性问题

一、基础知识

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题：

例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C

相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2

。 （1）求,a b 的值

（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由

解：（1）::3

c e a b c a =

=?=

则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时

:0l y x c x y c =-?--=

2

O l d -∴=

=

解得：1c =

a b ∴==椭圆方程为：22

132

x y +=

（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-

OP OA OB =+ 012

012

x x x y y y =+?∴?=+?

联立直线与椭圆方程：()22

1236

y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222

2316x k x +-=，整理可得：

()2

222326360k

x k x k +-+-=

2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232

k k

y y k x x k k k k +=+-=-=-++

22264,3232k k P k k ??

∴- ?++??

因为P 在椭圆上

2

2

222

642363232k k k k ????∴?+-= ? ?++????

()()()2

2

4

2

2

2

2

2

72486322432632k k k k k k ∴+=+?+=+

(

)2224632k k k ∴=+?=

当k =

):1l y x =-

，3,22P ?- ??

当k =

时，):1l y x =-

，3,22P ? ??

当斜率不存在时，可知:1l x = ，1,,1,33A B ???- ? ????，则()2,0P 不在椭圆上

∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ?- ??或):1l y x =-，322P ? ??

例2：过椭圆()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为

其左焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2

（1）求椭圆Γ的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点

,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =?=

2

c e c a ∴=

=?= 2221b a c ∴=-= 椭圆2

2:14

x y Γ+=

（2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

01r ∴<<

若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y

PQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴=

=?=+

0OP OQ OP OQ ⊥??= 即12120x x y y +=

联立方程：22

44

y kx m x y =+???+=?()222

148440k x kmx m +++-= 2121222844

,4141

km m x x x x k k -∴+=-=++

()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++

()222

22

44814141m km k km m k k -??=?++?-+ ?++??

222

544

41

m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立

将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=

()()225410r k ∴-+= 245

r ∴=

∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=

当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =

若:PQ x =,5555P Q ???- ? ?????

0OP OQ ∴?= :PQ x ∴=

若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：224

5

x y +=

例3：已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴两个端点为

,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形

（1）求椭圆的方程

（2）若,C D 分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明OM OP ?是定值

（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C

的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点。若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由

解：（1）四边形12F AF B 是边长为2的正方形

∴

可得：b c == 2224a b c ∴=+=

∴椭圆方程为22

142

x y +

= （2）由椭圆方程可得：()()2,0,2,0C D -，由MD CD ⊥可设()02,M y ，()11,P x y

()000224

CM y y k -∴=

=--

()0

:24

y CM y x ∴=

+，与椭圆方程联立可得： ()222

22200

00241114082224x y y x y x y y y x ?+=???

?+++-=? ?=+?

??? 由韦达定理可知：()2

2001122

014282818C y y x x x y y --=?=-++ 代入直线CM 可得：0

12

088

y y y =

+ ()2

0022

00288,88y y P y y ??

- ?∴- ?++??

()2

20000

22220000288482,,8888y y y y DP y y y y ??-?? ?∴=--=- ? ?++++?

??? 设(),0Q m

()02,MQ m y ∴=--

若以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，则0DP MQ ?=

()()2

002200482088

y y m y y y ∴-?-+-?=++

2020408

y m y ∴=+恒成立， 0m = 存在定点()0,0Q

例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ??

???在椭圆E 上，直线

0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切

（1）求椭圆E 的方程

（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切

10

25

O l d r -∴=

== 2a ∴= 将31,2P ??

???代入椭圆方程22214x y b +=

可得：b =∴椭圆方程为：22

143

x y +

= （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3

:12

PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：

()2

2

13412

y k x x y ?=-??+=??消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2

222218443412144144k k k k ∴?=-+-=+

()2122

12143

k AB x k +∴=-==

+

同理：

联立直线PQ 与椭圆方程：

()223123412y k x x y ?

=-+

??

?+=?

消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ?????=----+=++ ?????

PQ ∴== 因为四边形PABQ 的对角线互相平分

∴四边形PABQ 为平行四边形

AB PQ ∴= (

)2212143

k k +∴

=+ 解得：34

k =

∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分

例5：椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭

圆1C 上任意一点，且12PF PF ?的最大值的取值范围是22,3c c ????

，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围

（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得

11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由

解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -

()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=--

22212PF PF x y c ∴?=+-

由22221x y a b +=可得：222

22b y b x a

=-代入可得： 222

2

2

222

22212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ???=+-=-+-=+- ???

[],x a a ∈- ()

212

max

PF PF b ∴?=

22

22222222

2

2334c a c b c c a c c c a

?≤?

∴≤≤?≤-≤??≥??

21114222

e e ∴≤≤?≤≤ （2）当1

2

e =

时，可得：2,a c b == ∴双曲线方程为22

2213x y c c

-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>

当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==

13tan 13c BF A c ∴=

= 14BF A π∴∠= 因为12

BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠

所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑100

1100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c

∠=-=-

∠==-+ ()

()

0001012

2

2

2100

00222tan tan 21tan 1y y x c BF A

x c

BF A BF A

x c y

y x c ?

+∠+∴∠=

==

-∠+-??- ?+??

由双曲线方程222213x y c c

-=，可得：22

20

033y x c =- ()()()()2

2

2222

2000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-

()()()

000

11000

2tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠=

=

=∠+--

112BAF BF A ∴∠=∠

结论得证

2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立

例6：如图，椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l

与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为

（1）求椭圆E 的方程

（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，

QA PA QB

PB

=

恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由

解：（1）2

c e a =

= ::a b c ∴= ∴椭圆方程为22

2212x y b b

+=

由直线l 被椭圆E 截得的线段长为

点

)

在椭圆上

22221

122b b b

+=?= 24a ∴= ∴椭圆方程为22

142

x y +

= （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =

1QA PA QB

PB

∴

=

=即QA QB =

Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y

当l 与x 轴垂直时，则((,0,A B

1,1PA PB ∴==+

00QA y QB y ==+

QA PA QB

PB

∴=?

=

可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=

()0,2Q ∴

下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立 若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，

()()1122,,,A x y B x y

联立方程可得：()222224

124201x y k x kx y kx ?+=?++-=?=+?

由

QA PA QB

PB

=

可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠

∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-?+=

()()1122,,,A x y B x y ∴

1212

22

,QA QB y y k k x x --∴=

= ()()()211221121212121212

22222QA QB x y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=

+==

① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，11221

1

y kx y kx =+?∴?=+?代入①可得：

()()()

()

211212121212

12

1122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+=

=

联立方程可得：()222224

124201

x y k x kx y kx ?+=?++-=?

=+? 121222

42

,1212k x x x x k k

∴+=-

=-++

222

24212120212QA QB k

k k k k k k ?-

+

++∴+=

=-

+

0QA QB k k ∴+=成立

QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：

QA PA QB

PB

=

例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ??

???

是C 上的一点，以AP

为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程

（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由

解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F c

AP 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥

0FA FP ∴?= ()4

,,,3

3b FA c b FP c ??=-=- ???

2

22

440033

33b b c c c c ??∴--+=?-+= ???

由4,33b P ??

???

在椭圆上，代入椭圆方程可得：

2

22

211611299

b a a b ?+?=?= 2

222240

1332b c c b c b c a ?-+=??==?

?+==?

∴椭圆方程为2

212

x y +=

（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ<

设直线:l y kx m =+

12M l M l d d --∴=

=

所以依题意：

()1222

12122

11

M l M l k km m d d k λλλλ--+++?=

=

=+ ①

因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：

()22222

21422022

y kx m

k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 由直线l 与椭圆相切可知()()()2

224421220km k m ?=-+-=

化简可得：2221m k =+，代入①可得：

()()2212122221212221

12111

k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=?++++=++

()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立

1211221

21

101λλλλλλλλ

=-?=-??

∴+=???=??

所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -

例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C （1）求点Q 的轨迹2C 的方程

（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON

的斜率之积等于1

4-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点

,A B 的坐标；若不存在，请说明理由

（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220

041x y +=

由椭圆方程可得：12,22F F ????

? ? ? ?????

12OQ PF PF =+ 且1002003

3,,,22PF x y PF x y ????=---=-- ? ? ? ?????

()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y y

y ?

=-?=-??∴??

?=-??=-??代入到22

0041x y +=可得： 2

214

x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y

2OT MN OM ON =++

()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++ 21

21

22x x x y y y =+?∴?

=+? 设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：21211

4

OM ON y y k k x x ?=

=- 121240x x y y ∴+=

考虑()()2

2

2221214242x y x x y y +=+++()()2222

11221212444416x y x y x x y y =+++++

,M N 是2C 上的点 22

112

2

2244

44

x y x y ?+=?∴?+=?? 22444420x y ∴+=+?=

即T 的轨迹方程为

221205x

y +=，由定义可知，T 到椭圆22

1205

x y +=焦点的距离和为定值

,A B ∴为椭圆的焦点 ())

,A B

∴

所以存在定点,A B

例9：

椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的焦点到直线30x y -=，离心率

，抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CD

λ

+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由

解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c

25

F l d c -∴=

=

?=

5

c e a a ∴=

=?=2221b a c ∴=-= 2

2:15x E y ∴+=

28y x ∴=

（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y

与椭圆联立方程：()()2222

22

25120205055y k x k x k x k x y ?=-??+-+-=?+=?? 22121222

20205

,1515k k x x x x k k

-∴+==++

)22

115k AB k

+∴==

+

直线与抛物线联立方程：()()22222

248408y k x k x k x k y x

?=-??-++=?=?? 234248

k x x k +∴+= CD 是焦点弦 ()

2342

814k CD x x k

+∴=++=

(

)

2

22222420181k

k AB CD k λλ++∴+=+==+

若

1AB CD λ+为常数，则204+= 5

λ∴=- 例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>的离心率为

3

l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E

为椭圆C 的右焦点时，弦AB （1）求椭圆C 的方程 （2）是否存在点E ，使得

22

11

EA EB

+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由

解：（1）依题意可得：c e a =

=::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径

22

b AB a ∴==a b ∴==22

162

x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。因为E 要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E 点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得

22

11EA EB +为定值。 解：（2）假设存在点E ，设()0,0E x

若直线AB 与x 轴重合，则())

,A B

00EA x EB x ∴=+=-