八年级数学下册 18.1 勾股定理 (第2课时)勾股定理课件
4
5
用同样的方法，你能 否在数轴上画出表示1来自45，…
2
3
1 0 1 2 32 5 3 4
5
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分 别等于55cm，１０cm和6cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
2
A
0
1
2
C 3 4
13
试 一 试
1请你在作业纸上画图，在数轴上表示
13
的点
2请同学们归纳出如何在数轴上画出表示 的方法？ 3你能在数轴上表示
13 的点
17的点吗？试一试！
扩展
利用勾股定理作出长为 的线段.
2,
3,
5 ，…
5
用同样的方法，你能否 在数轴上画出表示 1 2
3 4
1 1
2
3
解:如图所示,延长AD,BC相交于点E, ∵∠A=60°,∠B=90°,
∴∠E=30°. 在Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=1, ∴CE=2.
3 22 DE= 2 CD2 = 1 = . CE
故S△CDE= DE= 3 = CD· ×1× .
1 2 1 2
3 2
在Rt△ABE中,∠ABE=90°,∠E=30°, ∴AE=2AB=2×2=4,
A
55cm
１０cm 6cm
A
B
解题思路：把握题意—— 找关键字词——连接相关 知识——建立数学模型 （建模）
48cm C 55cm
B
1.如图,以数轴上的单位线段长为边作一个正方形,以原点为圆 心,以正方形的对角线长为半径,画弧交数轴于点A,则A点表示的 数是（ ）
2. 在 △ ABC 中 ， AB=15 ， AC=13 ， 高 AD=12 ， 则 △ ABC 的 周 长 为 （ ）
1 1 ∴CD= AC= ×30=15(cm). 2 2
1 1 ∴S△ABC= AB· CD= ×20×15=150(cm2),故选D. 2 2
答案:D
……
作业：习题18 1第6 8 10 11 12
3 BE= 2 AB2 = 2 22 =2 . 4 AE
1 1 3 3 ∴S△ABE= AB· BE= ×2×2 =2 . 2 2
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=2 3 -
3 3 = 3 . 2 2
点拨:求不规则图形的面积,关键是用割补法将其转化为规则图形,然 后再求其面积.
2.如图,在△ABC中,∠A=150°,AB=20 cm,AC=30 cm,则△ABC的面积 等于( ).
A.450 cm2 C.330 cm2 B.300 cm2 D.150 cm2
解析:过点C作CD⊥AB,垂足为D, ∵∠BAC=150°, ∴∠DAC=30°. 在Rt△ACD中,∠DAC=30°,
（A）42
（C）42或32
（B）32
（D）30或35
3.（2009·湖州中考） 如图，已知Rt△ABC中， ∠ACB=Rt∠,AB=4,分别 以AC、BC为直径作半圆， 面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于________.
4.（2008·永州中考）一棵树因雪灾 于A处折断，如图所示，测得树梢触 地点B到树根C处的距离为4米， ∠ABC约为45°，树干AC垂直于地面， 那么此树在未折断之前的高度约为_____米（答案可保留根号）.
5.如图所示，公路MN和公路PQ在点P
处交汇，且∠QPN=30°，点A处有
一所中学，AP=160米，假设一 拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶， 周围100米以内会受到噪声的影响， 那么学校是否会受到噪声的影响？说明理由，若受影响，已知 拖拉机的速度为18千米/时，则学校受到影响的时间有多长？
1.构造特殊的直角三角形 【例1】 如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=9 0°,求四边形ABCD的面积.
4、若一个直角三角形两条边长是3和2， 那么第三条边长是多少？
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 13 的 点吗？
探究思路：把握题意——找 关键字词——连接相关知 识——建立数学模型（建模）
0
1
2
3
4
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 13 的 点吗？ L 解： B
18.1.2勾股定理
一 回顾交流，小测评估
1 已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ， ∠C＝ 90° ，则 a,b,c 三者之间的关系 是 。
2 矩形的一边长是5，对角线是13，则它 的面积是 。
3、若一个直角三角形两条直角边长是3 和2，那么第三条边长是多少？ 要注意分类讨论的
思想的应用噢！
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初中数学《勾股定理》课件
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你是怎样得到正方形c 的面积。
P
Q CR
P
Q CR
用了“补”的方法
用了“(1)你能求出正方形R的面积吗？
C A
（2）在图1-2中，正方 形A，B，C中各含有多 少个小方格？它们的面 积各是多少？
B
图1-1
C A
B
图1-2
（3）你能发现图1-1中 三个正方形A，B，C的 面积之间有什么关系吗？ 图1-2中呢？
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？
1、小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最 长的 吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
C A
B
C
图1-1 A
（1）你能用三角 形的边长表示正方 形的面积吗？
（2）你能发现直 角三角形三边长度 之间存在什么关系 吗？与同伴进行交 流。
B
直角三角形两直角边的
勾股定理课件(共19张PPT)人教版初中数学八年级下册
1
+2·
2
ab =
即：在Rt△ABC 中，∠C=90 °
c2 = a2 + b2
1 2
c +ab
2
伽
菲
尔
德
证
法
归纳小结
“赵爽弦图”通过图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证实
了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平
方和，等于斜边c的平方。
即：a2+b2 =c2
谢谢观看
哲学家、数学家、天文学家
新知探究
思考
图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？等腰
直角三角形的三边之间有什么关系？
A
B
a
b
c
C
图17.1-2
三个正方形A、
B、C的面积有
什么关系？
新知探究
探究
等腰直角三角形有上述性质，其他
直角三角形是否也有这个性质？
C
A
B
C'
图1
A'
B'
图17.1-3
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
了解勾股定理文化背景，体验勾股定理的探究过
程。
理解不同勾股定理的证明方法，能够分析
它们的异同。
能够用勾股定理解决直角三角形的相关学习
3
和解决生活中的实际问题。
情景导入
图17.1-1
毕达哥拉斯（Pythagoras,约前
数学：18.1勾股定理说课课件(人教新课标八年级下)
教学方法、教学手段的选择
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重 要学科，因此在教学中，不仅要使学生“知其 然”，而且还要使学生“知其所以然”。针对 八年级学生的认知结构和心理特征，本节课选 择“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般 的提出问题,引导学生自主探索，合作交流， 这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代 精神。基本的教学程序是“提出问题-实验操 作 -归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业” 六个方面。
学法指导
新课标明确提出要培养“可持续发展的
学生”，因此教师要有组织、有目的、 有针对性的引导学生并参入到学习活动 中，鼓励学生采用自主探索，合作交流 的研讨式学习方式，培养学生“动手”、 “动脑”、“动口”的习惯与能力，使 学生真正成为学习的主人。
教学程序设计
教学流程图
创 设 情 境 探 索 新 知 实 验 操 作 获 取 新 知 归 纳 验 证 完 善 新 知 问 题 解 决 应 用 新 知 课 堂 小 结 巩 固 新 知
2、再问：
当边长不为整数的直角三角形是否也存在这一结论 呢？投影例题：一个边长分别为1.5，3.6，3.9这种含有 小数的直角三角形，让学生计算。
3.6
3.9
1.5
归纳验证
对于定理的证明，是本堂课的难点，所以我采取 四人小组进行分组讨论，让学生尝试解决。学生讨论 时，我进行巡回指导。如果有些学生感到困难，可以 进行适当点拨, 在这一环节中，学生充分讨论，各抒己 见，充分暴露其思维过程。通过学生的互相讨论，激 发学生的思维活动，可以发现一些解题的方法。 学生代表上台展示拼图结果,对学生的不同解法用 实物投影仪展示出来，选一种方法用电脑显示详细解 题过程.
10分钟
5、课堂小结
【教学课件】《勾股定理第2课时》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情境引入
我国古代数学著作《九章算术》 中的一个问题，原文是：今有方池一 丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴 岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？
你能用已学的知识解决上面的问题吗？
B
C
A
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1 从实际问题中抽象出几何图形；
勾
2 确定所求线段所在的直角三角形；
股
3 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
定
4 求得结果，解决实际问题.
理
的
应
思路：
转化
实际问题
数学问题
用
解决
构建
勾股定理
利用
直角三角形
数学的兴趣.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b， 斜边长为c，那么aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb²c².
b
c
a
设直角三角形的两条直角边长 分别为a和b，斜边长为c. (1) 已知a5，b12，则c 13 ； (2) 已知a6，c10，求b 8 .
18.1 勾股定理
第2课时
学习目标
1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题；
勾
股
2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应
定
理
用意识和分析能力；
的
3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的灵活应用；
勾股定理课件PPT
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽 菲 尔 德 证 法
c2 = a2 + b2
例1 小丁的妈妈买了一部34英寸 （86厘米）的电视机。小丁量了 电视机的屏幕后，发现屏幕只有 70厘米长和50厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了。你能解释这 是为什么吗？
我们通常所说的34英寸 解：∵702+502=7400 或86厘米的电视机，是指 862=7396 其荧屏对角线的长度
(1)a : b : c 5:12:13(2)A : B : C 2:3:5
提示：三角形的内角和等于1800
练一练
1、三角形三边长a、b、c满足条件 a : b : c 9 :12 :15, 则此三角形是( B )
A、锐角三角形 C、钝角三角形 B、直角三角形 D、等边三角形
Pa
R
P a
Q 3.猜想a、b、c 之间的关系？ 的边长为1. 4 9 P的面积 42 162 Q的面积 2⑵正方形A、B、C的 a +b =c 面积有什么关系？ R的面积 8 25
依据科学理论的证实
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三 角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积 等于小正方形的面积与4个三角形的面积和得： 两直 角边的平方和 等于斜边的平方
2002年世界数学家大会会徽
相传2500年前，毕达哥拉 斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某种 数量关系．
SP+SQ=SR P Q 图甲 图甲 图乙 1
R C
P的面积 Q的面积 R的面积
1 2
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形A、B、C的 面积各为多少？ 面积有什么关系？
伽 菲 尔 德 证 法
c2 = a2 + b2
例1 小丁的妈妈买了一部34英寸 （86厘米）的电视机。小丁量了 电视机的屏幕后，发现屏幕只有 70厘米长和50厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了。你能解释这 是为什么吗？
我们通常所说的34英寸 解：∵702+502=7400 或86厘米的电视机，是指 862=7396 其荧屏对角线的长度
(1)a : b : c 5:12:13(2)A : B : C 2:3:5
提示：三角形的内角和等于1800
练一练
1、三角形三边长a、b、c满足条件 a : b : c 9 :12 :15, 则此三角形是( B )
A、锐角三角形 C、钝角三角形 B、直角三角形 D、等边三角形
Pa
R
P a
Q 3.猜想a、b、c 之间的关系？ 的边长为1. 4 9 P的面积 42 162 Q的面积 2⑵正方形A、B、C的 a +b =c 面积有什么关系？ R的面积 8 25
依据科学理论的证实
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三 角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积 等于小正方形的面积与4个三角形的面积和得： 两直 角边的平方和 等于斜边的平方
2002年世界数学家大会会徽
相传2500年前，毕达哥拉 斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某种 数量关系．
SP+SQ=SR P Q 图甲 图甲 图乙 1
R C
P的面积 Q的面积 R的面积
1 2
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形A、B、C的 面积各为多少？ 面积有什么关系？
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
沪科版八年级下册数学-18.1勾股定理1——两点之间的距离公式-课件(共19张PPT)
x
平面内有一点A（3,4），如何求O，A之间的距 离|OA|？
|OB|=3 |AB|=4 |OA|=5
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,5) C （5，,2）
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x
B1
平面上两点A（1,2），B（5,5），如何计算这两点之间的距离|AB|？
|AC|=|xA-xC|=|1-5|=4
两点之间的距离公式
两点间距离公式及应用（复习导入）
A
B
-2 -1 0 1 2 3
|AB|=|-2-3|=|-5|=5
两点间距离公式及应用（复习导入）
C
D
x1
-2 -1 0 1 2 3
x2
|CD|=|x1-x2|
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
|AB|=|5-1|=4
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,2)
|BC|= |yB-yC|=|5-2|=3
|AB|=5
两点间距离公式及应用（授新）
平面上任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如何计算AB两点之间的距离|AB|
y
A(x1,y1)
|BC|=|x2-x1|
C(x1,y2)
B(x2,y2)
0
A1
x
平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
|AC|=|y2-y1|
两点间距离公式及应用（作业）
1、P62思考 2、P63.3
两点间距离公式及应用（拓展延伸）
1、在平面内，已知A（1，-1），B（b，3），且AB=5，求b 2、已知A（1，1），B（3，-1），C（3，y），且△ABC为等腰三角形， 求y
八年级数学勾股定理2
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
18.1 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a 2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b c
2
2；
勾股定理的证明
证明方法1：数方格
（1）观察图1-1
正方形A中含有 小方格，即A的面积是
16 个
A
B
图1-1
C
16 个单位面积。
正方形B的面积是
9 个单位面积。
2 2 2
25
24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=25, BC=24, A 求AC的长呢？
7 24 C
在直角三角形中，已知两边可以求第三边
例2
已知等边三角形ABC的边长是6cm，
A
(1)求高AD的长；(2)S△ABC 解：(1) ∵△ABC是等边三角形，AD是高
1 BD BC 3 2
2 2
B
2
D
C
在Rt△ABD中 , 根据勾股定理
AD AB BD
我的勾股定理(第2课时)课件
c2=a2 + b2 a2=c2 － b2
c a 2 b2
a c 2 b2
c
2
b
b2 =c2 －a2
b c a
2
a
课前检测
情1.如图1所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°， 境引入
根据以下条件求边长
若a=8,b=6,则c=
若b= 12 c= 13, 则a=
；
c b
.
a
若a= 3 ,c= 7, 则b=
第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理 第2课时
回 顾
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2
B a
几何语言： c ∵在Rt△ABC中 ∠C=90° ∴a2+b2=c2
∟ b
A
C
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
作业：70页7,8,10
尝试应用
1、求出下列直角三角形中未知的边．
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一 共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘 G A 米）
B
E
C
F
D
当堂达标
1．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B 到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面， 那么此树在未折断之前的高度约为 长为 ____cm 米
2.已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，则第三边
第1题图
当堂达标
3. 有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形
盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为
沪科版八年级数学下册课件.1勾股定理(24张)
c
2
a
=2ab+b2-2ab+a2
c a
b
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
新知探究
方法二 大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为c2 + 2ab.
∵ (a+b)2 = c2 + 2ab
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
论中正确的是( A )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
解析: 由题意得到四个完全一样的直角 三角板围成的四边形为正方形, 其边长为c, 里面的小四边形也为正方形, 边长为b-a, 则 有c2=ab×2+(b-a)2, 整理得c2=a2+b2. 故选A.
解析: 如图所示, 大正方形的面积是 (a+b)2, 另一种计算方法是4× 1 ab+c2,
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即(a+b)2=4× 1 ab+c2, 化简得 a2+b2=c2.
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课堂小测
2. 操作: 剪若干个大小形状完全相同的直角三角形, 三边长分别记为a, b, c. 如图(1)所示, 分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的 形状, 图(2)中的两个小正方形的面积S2, S3与图(3)中小正方形的面积S1有 什么关系? 你能得到a, b, c之间有什么关系?