极限与导数的概念
极限与函数的导数
极限与函数的导数在微积分学中，极限和函数的导数是两个基础概念。
极限可以用来描述函数在某一点附近的行为，而导数则表示函数在某一点的变化率。
本文将探讨极限与函数的导数之间的关系以及它们在实际应用中的意义。
一、极限的概念极限是描述函数在某一点附近值的性质的概念。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值是否会趋近于某个确定的值。
数学上，我们用极限符号“lim”来表示某个函数在某一点附近的极限。
例如，当x趋近于a时，函数f(x)的极限可以表示为lim(x→a)f(x)。
二、导数的定义函数的导数表示函数在某一点的变化率，也可以看作是函数图像的切线斜率。
数学上，我们用dy/dx或f'(x)来表示函数f(x)的导数。
导数的计算可以通过求出函数在某一点的极限来实现。
函数f(x)在x=a处的导数可以表示为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h或f'(a)。
三、极限与导数的关系极限与导数之间有着密切的关系。
实际上，函数在某一点处可导，意味着该点的极限存在。
换句话说，如果函数在某一点可以取导数，那么该点的极限也必然存在。
这一点可以通过导数定义中求极限的过程来理解。
四、导数的应用导数在实际应用中有着广泛的应用。
以下是导数在几个领域的具体应用：1. 科学和工程学中的模型建立：通过利用导数来描述变化率和曲线的斜率，我们可以建立各种科学和工程中的模型，例如物理学中的运动学模型、化学中的反应速率模型等。
2. 经济学中的边际效应：在经济学中，导数用于计算边际效应，即某一决策在单个单位变化时产生的额外效果。
例如，成本函数的导数可以用于计算每一单位产品的成本变化。
3. 优化问题：导数可以用于解决优化问题，例如在工程设计中最小化材料使用量的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的最小值或最大值点。
4. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要量。
通过求取位移函数的导数，我们可以得到速度和通过速度的导数得到加速度。
通过直观理解导数概念感悟极限思想
通过直观理解导数概念感悟极限思想导数和极限思想是微积分学中的两个基本概念，它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将通过直观理解导数概念和感悟极限思想，帮助读者更好地了解这两个概念及其相互关系。
让我们从导数的概念开始。
导数是一个函数在某一点上的变化率，它反映了函数在这一点附近的变化趋势。
简单来说，导数就是函数在某一点的斜率。
例如，一个物体在做直线运动，速度函数在某一时刻的导数就是该时刻物体的加速度。
导数的定义可以简单地理解为差商的极限。
假设有一个函数y = f(x)，在某一点x0处有一个增量Δx，随之产生一个增量Δy。
当Δx逐渐趋近于0时，差商Δy/Δx的极限值就是函数f(x)在点x0处的导数。
记作f'(x0)或df/dx(x0)。
导数有多种表示方法，其中最常用的是符号表示法和文字表示法。
符号表示法是指f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数；文字表示法则是“函数f(x)在点x0处的导数”。
接下来，我们再来了解一下极限思想。
极限是微积分学中的另一个基本概念，它反映了一个变量在某一过程中逐渐趋近于一个稳定状态的过程。
极限思想就是基于这种趋近过程所产生的一种数学思想。
极限的概念可以简单地理解为当一个变量无限趋近于某个值时，这个变量的值就叫做极限。
例如，当一个数列中的项数n无限增大时，数列的通项an无限趋近于某一个常数A，这个常数A就叫做数列的极限。
极限思想在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，物体在受到力的作用后会产生形变，当力的作用时间足够长时，物体的形变量会逐渐减小并趋近于零，这时物体的状态就被视为处于平衡状态。
这个平衡状态就是物体受到的力与物体产生的形变之间的极限关系。
同样，在经济学中，极限思想也被广泛应用于研究经济增长、物价变动等长期趋势。
例如，在研究经济增长时，我们可以通过对历年经济增长率的观察，得出经济增长的长期趋势是逐渐趋缓的，这种趋缓的长期趋势就是极限思想的一个应用实例。
微积分的底层逻辑
微积分的底层逻辑微积分是数学中的一个重要分支，它研究的对象是连续变化的量与其变化规律。
微积分的底层逻辑可以总结为两个关键概念：极限和导数。
极限是微积分的基础，它描述了一个函数在某一点附近的行为。
在数学中，我们常用符号lim来表示极限。
当我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，即lim(x→a)f(x)=L，意味着当x无限接近a 时，f(x)趋近于L。
极限的概念可以揭示函数的局部特征，使我们可以更好地理解函数的性质。
导数是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数告诉我们函数的斜率，即函数在某一点的切线的斜率。
在数学中，我们用f'(x)或df/dx来表示函数f(x)的导数。
导数的计算可以通过极限来实现，即导数等于函数在某一点的极限。
导数的概念使我们能够研究函数的整体特征，比如函数的最值、凹凸性等。
利用极限和导数，微积分可以帮助我们解决各种问题。
例如，在物理学中，微积分可以用来描述物体的运动状态，计算速度和加速度；在经济学中，微积分可以用来分析供求关系和最优决策；在工程学中，微积分可以用来优化设计和分析系统的性能。
在微积分的学习中，我们需要掌握一些基本的计算技巧和定理。
例如，我们可以通过求导的方法计算函数的导数，应用导数的定理来求函数的最值；我们也可以通过积分的方法计算函数的面积和曲线的长度，应用积分的定理来求函数的原函数。
这些技巧和定理为我们解决实际问题提供了强大的工具。
除了基本的计算技巧和定理，微积分还有一些重要的概念和方法。
例如，微分方程是描述变化过程的方程，它在物理、生物、经济等领域都有着广泛的应用；级数是由一系列项组成的无穷和，可以用来近似计算函数的值或解决其他数学问题。
这些概念和方法扩展了微积分的应用范围，使其成为现代科学和工程领域不可或缺的工具。
微积分的底层逻辑是极限和导数，它们为我们理解和应用微积分提供了基础。
通过学习微积分，我们可以更好地理解自然界和社会现象的变化规律，解决实际问题，推动科学和技术的进步。
极限与导数的概念
极限与导数的概念
极限是数学中非常重要的概念之一。
在数学中，极限是指当自变量无限趋近于某个特定的值时，函数的取值也趋近于一个特定的常数，这个常数就是这个函数的极限。
极限概念是用来描述函数在某一点处的变化趋势的。
极限的符号表示为：
lim f(x) = L
x→a
其中，f(x)表示一个函数，L表示函数f(x)在x=a处的极限，x→a表示x趋近于a。
例如，当x→0时，函数f(x) = sin(x)/x的极限是1；当x→∞时，函数f(x) = 1/x 的极限是0。
导数是表示函数在某一点的变化率的量。
在数学中，导数用来表示函数在某一点的切线斜率。
导数的概念是微积分的核心概念之一，也是数学中最重要的工具之一。
导数的符号通常表示为f’(x)，表示函数f(x)在x处的导数。
导数的计算方法是求函数在这一点处的斜率。
例如，函数f(x) = x²在x=2处的导数为4。
导数可以表示函数的变化量，例如速度和加速度。
速度表示距离随时间的变化率，而加速度则表示速度随时间的变化率。
极限和导数的概念经常在数学中被用于求解各种问题，如寻找最大值和最小值，判断曲线的凹凸性质等。
通过对这两个概念的理解和应用，我们可以更加深入地了解数学的本质和应用。
第二章 导数与极限 1
及 lim f ( x) = A, 得出: A > 0.
x→x0
ˆ 例如 在N (0, δ )内有 f ( x ) =| x |> 0,
但 lim | x |= A = 0.
x→0
说明: 定理4, 说明 定理 5, 6及推论所论极限 在自变量 的其它变化 及推论所论极限, 在自变量x的其它变化 趋势的情形下, →∞, →−∞, 趋势的情形下 即: x→x0−, x→x0+, x→∞ x→+∞, x→−∞ → → →∞ → ∞ →−∞ 都有类似的结论。 都有类似的结论。
y
y=|x|
| x|−|0| x lim+ = lim+ = 1, x →0 x→0 x x−0 | x |−|0| 故 lim 不存在 x →0 x − 0
所以函数 f ( x ) =| x | 在 x = 0 处不可导.
O
x
10
求取整函数f(x)=[x]在整数点 0=n处的左极限和右极限 在整数点x 处的左极限和右极限 处的左极限和右极限. 例10. 求取整函数 在整数点
x→n x→n
11
C. 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f(x)在|x|≥a (a≥0)上有定义 如果存在常 上有定义, 定义 设函数 在 ≥ ≥ 上有定义 如果存在常 使对任意给定的正数ε 总存在正数 正数X, 数A, 使对任意给定的正数ε, 总存在正数 当 |x|>X, 有: |f(x)−A|<ε 成立 > − < 成立,
f ( x0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x0 < δ } = { x 0 < x − x0 < δ } U { x − δ < x − x0 < 0}
导数与函数的极限与无穷小
导数与函数的极限与无穷小在微积分中，导数和函数的极限以及无穷小是非常重要的概念。
导数被定义为函数在某一点处的斜率，而函数的极限则描述了函数在某一点的趋势。
而无穷小则是描述对于较小的变化，函数值趋于零的一种特性。
本文将探讨导数与函数的极限以及无穷小的关系和性质。
一、导数的定义与性质导数在微积分中扮演着至关重要的角色。
导数的定义可以表示为函数$f(x)$在某一点$x=a$处的斜率。
数学上可以写作：\[f'(a)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]其中，$f'$表示导数，$a$表示特定的点，$h$表示一个无穷小量，用以描述$x$的变化量。
导数具有以下几个性质：1. 若$f(x)$在点$a$处可导，则它在该点连续；2. 若$f(x)$在点$a$处连续，则它在该点可导；3. 若$f(x)$在点$a$处可导，则它在该点的导数即为该点的切线斜率；4. 若$f(x)$在点$a$处可导，则它在该点的导数是该点的线性近似。
二、函数的极限函数的极限可以被理解为当自变量趋近于某一特定值时，函数值的趋势。
数学上定义如下：\[\lim_{{x \to a}} f(x)=L\]其中，$L$表示某一实数，$a$表示特定的值，$x$表示自变量。
如果对于任意一个给定的正数$\varepsilon$，总可以找到某一正数$\delta$，使得当$|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$，那么就称函数$f(x)$在$x=a$处极限为$L$。
函数的极限有以下几个性质：1. 极限存在唯一，若极限存在，则极限值是唯一的；2. 有界性，若一个函数在某一点的极限存在，则在该点附近的函数值有界；3. 保号性，若函数在某一点的极限存在且不为零，则在该点附近的函数值同号。
三、无穷小与极限的关系无穷小是用来描述极限的一种特性，它是指当自变量趋近某一值时，函数值趋于零。
导数极限定义公式
导数极限定义公式导数是微积分中的一个重要概念，而极限则是理解导数的基础。
咱们今天就来好好聊聊导数极限定义公式。
记得我当年上高中的时候，有一次数学老师在课堂上讲导数极限定义公式，那场景我至今都忘不了。
老师在黑板上龙飞凤舞地写着各种式子，同学们都瞪大了眼睛盯着黑板，可脸上却写满了迷茫。
我当时也是一头雾水，心里想着：“这都是啥呀？怎么这么复杂！”咱们先来说说什么是导数。
导数简单来说，就是函数在某一点的变化率。
比如说，一辆汽车在行驶过程中，速度随时间的变化率就是加速度，而加速度就是速度这个函数的导数。
那导数极限定义公式到底是啥呢？假设我们有一个函数 f(x) ，在点x₀处的导数可以用极限来定义为：f'(x₀) = lim (Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx 。
这个公式看起来是不是有点让人头疼？别慌，咱们来一步步拆解。
先看分子 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] ，这其实就是函数在 x₀到 x₀ + Δx 这一小段的变化量。
而Δx 就是这一小段的长度。
当Δx 越来越小，接近于 0 的时候，这个变化量与长度的比值就越来越接近函数在 x₀处的瞬时变化率，也就是导数。
就拿一个简单的例子来说吧。
比如函数 f(x) = x²，我们来求它在 x = 1 处的导数。
f(1 + Δx) = (1 + Δx)² = 1 + 2Δx + (Δx)² ，f(1) = 1 。
所以[f(1 + Δx) - f(1)] = 1 + 2Δx + (Δx)² - 1 = 2Δx + (Δx)² 。
那么f'(1) = lim (Δx→0) [2Δx + (Δx)²] / Δx 。
分子分母同时除以Δx ，就得到lim (Δx→0) (2 + Δx) ，当Δx 趋近于0 时，结果就是 2 。
所以函数 f(x) = x²在 x = 1 处的导数就是 2 。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
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极限是微积分的基石一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。
n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。
”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。
二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞→lim注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1+n n ，…； （3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…； 注：几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞→q q nn2、当∞→x 时函数的极限（1） 画出函数xy 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim=+∞→xx一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞→)(lim也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数xy 1=的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞→)(lim也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数xy 1=的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即 C C x =∞→lim例2：判断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→（3）21lim xx ∞→ （4）4lim ∞→x三、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，41，91，…，21n，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2)1(,,81,41,21nn---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…， 2、判断下列函数的极限：（1）xx 4.0lim +∞→ （2）xx 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41lim x x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）xx 45(lim -∞→（7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o==→∞→lim ,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析例1 求)3(lim 22x x x +→例2 求112lim 231++-→x x x x例3 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.例4 求133lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C ko kx x x x oo∈==→→)(01lim,lim *N k x C C kx x ∈==∞→∞→例5 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。
三、练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）)32(lim 21-→x x ； （2）)132(lim 22+-→x x x（3）)]3)(12[(lim 4+-→x x x ； （4）14312lim 221-++→x x x x（5）11lim 21+--→x x x （6）965lim 223-+-→x x x x （7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）52lim 32--∞→y y y y一、复习引入：函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→)()(lim 0x g x f x x ＿＿＿[]=→)().(lim 0x g x f x x ＿＿＿＿，=→)()(limx g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。
例如，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞→∞→∞→lim .lim ).(lim二.例题：例1.已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→例2.求下列极限： （1）)45(lim nn +∞→； （2）2)11(lim -∞→n n例3.求下列有限： （1）1312lim++∞→n n n （2）1lim 2-∞→n nn分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
例4.求下列极限： （1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n （2）)39312421(lim 11--∞→++++++++n n n 说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。
当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。
练习与作业：1.已知,2lim =∞→n n a 31lim -=∞→n n b ，求下列极限 （1）)32(lim n n n b a +∞→； （2）nnn n a b a -∞→lim3.求下列极限 （1）n n n 1lim+∞→； （2） 23lim -∞→n nn ；（3）2123lim n n n --∞→； （4）1325lim 22--∞→n n n n 。
4.求下列极限: (1). 22321limnn n ++++∞→ (2).11657lim -+∞→n nn (3). 91lim 2-+∞→n n n （4）)1412lim(22n n nn +-+∞→ （5）nn n 31913112141211lim ++++++++∞→ （6）.已知,2lim =∞→nn a 求nn n a n a n -+∞→limABCh第4题无穷等比数列各项的和1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________2、设AB 是长为1的一条线段，等分AB 得到分点A 1，再等分线段A 1B 得到分点A 2，如此无限继续下去，线段AA 1，A 1A 2，…，A n －1A n ，…的长度构成数列,21,,81,41,21n ① 可以看到，随着分点的增多，点A n 越来越接近点B ，由此可以猜想，当n 无穷大时，AA 1+A 1A 2+…+ A n －1A n 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广 1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为 qa S -=11)1(<q 例1、求无穷等比数列 0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和. 例2、将无限循环小数。