八年级数学上册第12章知识专题2_全等三角形的基本模型(人教版)

《小专题全等三角形的基本模型》
类型1 平移模型
针对训练
1.如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF，求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF
类型2 对称模型
针对训练
2.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE=DF吗？
3.我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB
（1）求证：∠ABD=∠CBD；
（2）设对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.请直接写出图中的所有全等三角形（△ABD≌△CBD除外）
4.某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC=BD，AB=CD，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，∴△ABO≌△DCO
你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程
【思考】你还能用其他解法解决此题吗？试试看
类型3 旋转模型
针对训练
5.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB∥CD，O是BD的中点
（1）求证：△ABO≌△CDO
（2）若BC=AC=4，BD=6，求△BOC的周长
6.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图1，已知在△ABC 中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP，则BQ CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图1的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP.之后，他将点P移到等腰△ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图2给出证明
类型4 一线三等角模型
针对训练
7.如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N
（1）求证：MN=AM+BN；
（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM >BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由
类型5 综合模型
针对训练
8.如图1，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF
（1）求证：△AFC≌△DEB
（2）如果将BD沿着AD边的方向平行移动至图2，3的位置时，其余条件不变，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由
参考答案
1.证明：（1）∵AD=BE，∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE.
在△ABC和△DEF
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF.∴AC∥DF
2.解：CE=DF.理由：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=∠BDA=90：
在Rt△ABC和Rt△BAD
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.∴AC=BD，∠CAB=∠DBA.
∵CE⊥AB，DF AB，∴∠AEC=∠BFD=90
在△ACE和△BDF
∴△ACE≌△BDF（AAS）.∴CE=DF
3.解：（1）证明：在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SSS）.∴∠ABD=∠CBD.
（2）△ABO≌△CBO，△OAD≌△OCD，△OAE≌△OCF，△EBO≌△FBO
4.解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边.正确的解答是：
连接BC，在△ABC和△DCB
∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠A=∠D.
在△AOB和△DOC
∴△AOB≌△DOC（AAS）
5.解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.
∵O是DB的中点，∴BO=DO.
在△ABO和△CDO
∴△ABO≌△CDO（AAS）.
（2）∵△ABO≌△CDO，∴AO=CO=AC=2.
∵BO=BD=3，∴△BOC的周长为BC+BO+OC=4+3+2=9
6.证明：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC，即∠QAB=∠PAC.
在△ABQ和△ACP
∴△ABQ≌△ACP（SAS）.∴BQ=CP
7.解：（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠BCN=90.
∵AM MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°.
∴∠BCN+∠CBN=90°.
∴∠ACM=∠CBN.
在△ACM和△CBN
∴△ACM≌△CBN（AAS）.∴MC=NB，MA =NC.
∵MN=MC+CN，∴MN=AM+BN.
（2）（1）中的结论不成立，结论为MN=AM-BN.理由：同（1）中证明可得△ACM ≌△CBN，∴CM=BN，AM=CN.∵MN=CN-CM，∴MN=AM -BN
8.解：（1）证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD.
∵DE∥AF∴∠A=∠D.
在△AFC和△DEB
∴△AFC≌△DEB（SAS）.
（2）在图2，3中结论依然成立证明：在图2中，∵DE∥AF，∴∠A=∠D.
在△AFC和△DEB中
∴△AFC≌△DEB（SAS）.
在图3中，∵AB=CD，∴AB-BC=CD-BC，即AC=BD.
∵AF∥DE，∴∠A=∠D.
在△AFC和△DEB
∴△AFC≌△DEB（SAS）。

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全等三角形的基本模型复习(正式经典)PPT课件

2021
10
模型四一线三垂直型模型解读：基本图形如下：此类图形通常告诉 BD⊥DE，AB⊥AC， CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE.（常用到同（等）角的余角相等）
2021
11
4．如图，AD⊥AB于A，BE⊥AB于B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE. 求证：AB＝AD＋BE.
2021
2021
3
1．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，求证：AB＝DE.
2021
4
解：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即 BC＝EF， ∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，在△ABC 与△DEF 中 ∠B＝∠DEF， BC＝EF， ∠ACB＝∠F， ∴△ABC≌△DEF(ASA) ∴AB＝DE
2021
8
3．如图，AB⊥CD于B，CF交AB于E，CE＝AD，BE＝BD.求证：CF⊥AD.
2021
9
解：∵AB⊥CD，∴∠EBC＝∠DBA＝90°.在 Rt△CEB 与 Rt△ADB 中 CBEE＝＝ABDD，，∴Rt△CEB≌Rt△ADB(HL)，∴∠C＝∠A，又∵∠C＋∠CEB＝ 90°，∠CEB＝∠AEF，∴∠A＋∠AEF＝90°，∴CF⊥AD
12
解：∵AD⊥AB，BE⊥AB，CD⊥CE，∴∠DAC＝∠CBE＝∠DCE＝90 °，又∵∠DCB＝∠D＋∠DAC＝∠DCE＋∠ECB，∴∠D＝∠ECB.在△ACD
与△BEC 中，∠∠AD＝＝∠∠BEC，B，∴△ACD≌△BEC(AAS)，∴AC＝BE，CB＝ DC＝CE，
AD，∴AB＝AC＋CB＝AD＋BE
2021
5
模型二翻折型模型解读：将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．

人教版八年级数学上册《12-2 三角形全等的判定(第1课时)》教学课件PPT初二优秀公开课

例2 已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE. 求证：∠BAC＝∠DAE.
分析：要证∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在三角形显然不全等，我们可以利用等式的性质将它转化为证∠BAD＝∠CAE；由已知的三组相等线段可证明 △ABD≌ △ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE.
探究新知
这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
探究新知
②三条边
已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm .它们一定全等吗？
3cm
4cm
6cm
6cm 4cm
4cm 6cm
3cm
3cm
探究新知
做一做先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′,使A′B′= AB ,B′C′
=BC, A′ C′ =AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全
D HC
课堂小结
边边边
内容
有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “SSS”)
应用
思路分析书写步骤
结合图形找隐含条件和现有条件，找准备条件
四步骤
注意
1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写 2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中
课后作业
作业内容
教材作业
从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
3.已知△ABC ≌ △DEF，找出其中相等的边与角.
A
D
B
①AB=DE
④ ∠A=∠D
C
E
② BC=EF
⑤ ∠B=∠E
F
③ CA=FD
⑥ ∠C=∠F
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．

人教版八年级数学上册《12-2 三角形全等的判定(第2课时)》课堂教学课件PPT初中公开课

人教版数学八年级上册问题:如图有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出.你能想出办法来吗？导入新知ABCE D在平地上取一个可直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D 使CD=CA 连接BC 并延长至E 使CE=CB 连结ED ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离.为什么？导入新知3. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．1. 探索并正确理解三角形全等的判定定理“SAS ”.2. 会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题．素养目标1.回顾三角形全等的判定方法 1三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.在△ABC 和△ DEF 中∴ △ABC ≌△ DEF.（SSS ）AB=DE ，BC=EF ，CA=FD ，2.符号语言表达：ABCDE F知识点 1三角形全等的判定——“边角边”定理当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角×三边√两边一角？两角一边【思考】除了SSS 外,还有其他情况吗？能判定全等吗？已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？AB CAB C“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB ，A′C′＝AC ，∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ABC两边及其夹角能否判定两个三角形全等?做一做ABCA ′DEB ′C ′作法：（1）画∠DA'E=∠A ；（2）在射线A'D 上截取A'B'=AB,在射线A'E 上截取A'C'=AC ；（3）连接B'C '.思考:① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？②这两个三角形全等是满足哪三个条件？在△ABC 和△ DEF 中，∴　△ABC ≌△ DEF （SAS ）．u 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. （简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边”判定方法u 几何语言：AB = DE ，∠A =∠D ，AC =AF ，ABCDEF必须是两边“夹角”例1 如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD ，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？分析:△ ABD ≌△ CBD .边:角:边:AB=CB (已知)，∠ABD= ∠CBD (已知)，AB C D (SAS)BD=BD (公共边)，证明：在△ABD 和△ CBD 中，AB=CB (已知)，∠ABD= ∠CBD (已知)，∴ △ ABD ≌△CBD ( SAS).BD=BD (公共边)，利用“边角边”定理证明三角形全等探究新知素养考点 1已知:如图, AB=DB ,CB=EB ,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D .证明:∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴∠1+∠DBC ＝ ∠2+ ∠DBC (等式的性质)，即∠ABC ＝∠DBE. 在△ABC 和△DBE 中, AB ＝DB (已知)，∠ABC ＝∠DBE (已证)， CB ＝EB (已知)，∴△ABC ≌△DBE （SAS ）.∴ ∠A=∠D (全等三角形的对应角相等).1A 2C B D E 巩固练习例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么?A C ·E DB 证明：在△ABC 和△DEC 中，∴△ABC ≌△DEC （SAS ）.∴AB =DE .（全等三角形的对应边相等）AC = DC （已知），∠ACB =∠DCE （对顶角相等），CB=EC （已知），探究新知利用全等三角形测距离素养考点 2如图，两车从南北方向的路段AB 的A 端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C ，D 两地.此时C ，D 到B 的距离相等吗？为什么？提示：相等.根据边角边定理，△BAD ≌△BAC ，∴BD = BC.巩固练习如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC .固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD .这个实验说明了什么？B AC D △ABC 和△ABD 满足AB =AB ,AC =AD ,∠B=∠B ,但△ABC 与△ABD 不全等.SSA 能否判定两个三角形全等？想一想画△ABC 和△ABD ，使∠A =∠A =30°， AB =AB=5 cm ，BC =BD = 3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？A BMCD有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论画一画例3 下列条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( )A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EFB ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DFC ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DFD ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF解析：要判断能不能使△ABC ≌△DEF ，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C 的条件不符合，故选C.C易错点拨：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．素养考点 3三角形全等条件的识别如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE ＝DF，则图中全等的三角形有 (　)A．1对B．2对C．3对D．4对C巩固练习1.如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠BAE=∠DAC ．求证：∠C=∠E ．解：∵∠BAE=∠DAC ，∴∠BAE–∠CAE=∠DAC–∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，∵ ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠C=∠E ．AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE2.如图，已知线段AC ，BD 相交于点E ，AE=DE ，BE=CE ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ；（2）当AB =5时，求CD 的长．（1）证明：在△AEB 和△DEC 中，AE=DE ∠AEB=∠DEC BE=EC ，∴△AEB ≌△DEC （SAS ）．（2）解：∵△AEB ≌△DEC ，∴AB=CD ， ∵AB =5， ∴CD=5．1.在下列图中找出全等三角形进行连线.Ⅰر30º8 c m9c m Ⅵر30º8c m 8 c mⅣⅣ8 c m5 cmⅡ30ºر8c m5 c mⅤ30º8c m ر5 c mⅧ8 c m5c mر30º8c m9 cmⅦⅢر30º8c m 8 c mⅢ基础巩固题2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增D加的条件是( )A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBC证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠DAC ，在△ABC 和△ADC 中， ∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．AD=AB ∠BAC=∠DAC AC=AC (已知），(公共边），(已证），3.如图，已知AC平分∠BAD , AB=AD ．求证：△ABC ≌△ADC ．已知：如图，AB=AC , BD=CD ，E 为AD 上一点.求证： BE=CE .证明：∴ ∠BAD=∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC BD=CD AD=AD (已知），(公共边），(已知），∴ BE =CE .在△ABE 和△ACE 中，AB=AC ∠BAD=∠CAD AE =AE (已知），(公共边），(已证），∴△ABD ≌△ACD （SSS ）.∴△ABE ≌△ACE （SAS ）.能力提升题AB C D E如图，已知CA=CB , AD=BD , M ，N 分别是CA ，CB 的中点，求证：DM=DN .在△ABD 与△CBD 中证明:CA=CB ， (已知）AD=BD ，（已知）CD=CD ，（公共边）∴△ACD ≌△BCD （SSS ）连接CD ，如图所示；∴∠A=∠B 又∵M ，N 分别是CA ，CB 的中点，∴ AM=BN拓广探索题在△AMD 与△BND 中AM=BN ，(已证）∠A=∠B ，（已证）AD=BD ，（已知）∴△AMD ≌△BND.（SAS ）∴DM =DN.边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。

人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点复习

A. ①④
B.①②
C.②③
D.③④
2．如图，ABD ≌ CDB ，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（）
A. ABD和CDB 的面积相等
A
D
B. ABD和CDB 的周长相等 C. A + ABD = C + CBD
B
C
D.DAD//BC 且 AD=BC
3．如图， ABC ≌ BAD ，A 和 B 以及 C 和 D 分别是对应点，如果
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
AB = DE 如图，在 ABC 和 DEF 中 BC = EF
AC =
【典型例题】
例1．如图， ABC ≌ ADC ，点 B 与点 D 是对应点， BAC = 26 ，且 B = 20 ， SABC = 1，求 CAD , D, ACD 的度数及 ACD 的面积．
数及 BC 的长．
E
F
A
BC
D
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11．如图，在 ABC与ABD 中，AC=BD，AD=BC，求证： ABC ≌ ABD
D A
C B
全等三角形（一）作业
1．如图， ABC ≌ CDA ，AC=7cm，AB=5cm.，则 AD 的长是（）
求证：（1） DE ⊥ AB ；（2）BD 平分 ABC （角平分线的相关证明及性质）
B
A E
D
C
【巩固练习】 1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的
形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形； ④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）

八年级数学人教版(上册)小专题(五)全等三角形的基本模型

类型 4 三垂直模型
在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两个直角三角形中的一组锐角相等，再加上任意一组对应边相等，易证两个直角三角形全等，常见的模型如下：
4.在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥MN 于点 D，BE⊥MN 于点 E.
(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，试问 DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？并加以证明.
②AE⊥BD．证明：②∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD． ∵∠CAE＋∠EAB＋∠ABC＝90°， ∴∠CBD＋∠EAB＋∠ABC＝90°
∴∠AFB＝90°.∴AE⊥BD．
(2)如图 2，当 α＝60°时，直接写出∠AFB 的度数为 60° . (3)如图 3，直接写出∠AFD 的度数为 180°－α (用含 α 的式子表示).
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC 的度数. 解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO＝∠OCB＝35°. ∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.
类型 2 对称模型
2.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD＝CD．证明：∵∠3＝∠4， ∴∠BEA＝∠BEC．又∵BE＝BE，∠1＝∠2， ∴△BAE≌△BCE(ASA). ∴AE＝CE. 又∵∠3＝∠4，ED＝ED，
解：结论 DE＝BD＋CE 成立. 证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α. ∴∠ABD＝∠CAE.
又∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA， ∴△ADB≌△CEA(AAS). ∴BD＝AE，AD＝CE. ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
第十二章全等三角形
小专题(五) 全等三角形的基本模型
类型 1 平移模型

人教版八年级数学上册教学：12-2 全等三角形的判定(SAS) (共11张)PPT课件

三角形全等的判定定理（SAS）
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:
(1) 三个角不能! (2) 三条边 SSS (3) 两边一角 ?
(4) 两角一边
继续探讨三角形全等的条件：两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
A
B
C
图一
图2-39
探究
在△ABC和△A’B’C’ 中,∠ABC=∠ A’B’C’ ,AB=A’B’, BC=B’C’ . (3)△ABC和△A’B’C’ 的位置关系如图2-40.
图2-40
探究
在△ABC和△A’B’C’ 中,∠ABC=∠ A’B’C’ ,AB=A’B’, BC=B’C’ .
(4)△ABC和△A’B’C’ 的位置关系如图2-41.
探究
在△ABC和△A’B’C’ 中,∠ABC=∠ A’B’C’ ,AB=A’B’, BC=B’C’ . (1)△ABC和△A’B’C’ 的位置关系如图2-38.
A’
B’
C’
图2-38
探究
在△ABC和△A’B’C’ 中,∠ABC=∠ A’B’C’ ,AB=A’B’, BC=B’C’ . (2)△ABC和△A’B’C’ 的位置关系如图2-39.
Байду номын сангаас证明：在△ACO和△BDO中, AO=BO, ∠AOC=∠BOD（对顶角相等）, CO=DO, ∴△ACO≌△BDO（SAS）.
图2-42
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
11
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，

第12章+全等三角形知识点总结+20223-2024学年人教版数学八年级上册+

第12章全等三角形思维导图12.1全等三角形【知识点】1.能够完全重合的两个图形叫做全等形，全等形的形状相同，大小相同2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角4.两个三角形全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC△△A′B′C′.在用符号表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（用语言叙述的两个全等三角形的顶点不一定是对应顶点）5.全等三角形的对应边相等，对应角相等6.寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．（7）根据表达式找对应角、对应边时，可根据字母的顺序来确定对应关系．12.2全等三角形的判定【知识点】（一）全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”（三角形的稳定性）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”6.【延伸】（1）有两边及第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等（2）有一条直角边及斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等（3）全等三角形对应边上的高相等（二）利用SSS 作一个角等于已知角如图（1）所示，已知∠AOB ，要求作一个角∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB作法：（1）如图（1），以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB【题型】（一）直角三角形全等的判定（二）作一个角等于已知角（三）三角形全等的判定证明题 1. （2021重庆）如图，点B,F,C,E 共线，∠B=∠E ，BF=EC ，添加一个条件，不能判定△ABC△△DEF 的是（）A.AB=DEB.△A=△DC.AC=DFD.AC//FD答案：C2.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD△△ABC，则还需要添加的一个条件是__________.答案：AD=AC（∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE）3.（2021吉林）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.答案：△ACD≌△ABE(ASA)4.（2021云南）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC=BD，AC与BD相交于点E.求证：∠DAC=△CBD答案：△ADC≌△BCD(SSS)5.（2021陕西）如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.答案：△EDB≌△ABC(SAS)6.（2021福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE△AC，DF△AB，垂足分别为E，F，且DE=DF，CE=BF.求证：∠B=∠C.答案：△DEC ≌△DFB(SAS)7.（2020吉林）如图，在△ABC 中，AB>AC ，点D 在边AB 上，且BD=CA ，过点D 作DE//AC ，并截取DE=AB ，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE.求证：△DEB△△ABC.答案：△DEB ≌△ABC(SAS)12.3角的平分线的性质【知识链接：11.1三角形的角平分线】1）定义：三角形的一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个叫的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线2）一个三角形有3条角平分线，它们都在三角形内部，且交于一点（一）角平分线的画法（依据SSS ）（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N（2）分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C（3）画射线OC ，射线OC 即为∠AOB 的角平分线（二）角平分线的性质1.角平分线上的点到角的两边的距离相等【延伸性质】AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，交AD于点G，则AD垂直平分EF2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等【证明三角形三条角平分线交于一点】设AD，BE交于一点O，作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB则OG=OI=OH（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）因为OG=OH所以O点也在∠C的平分线上（到角的两边距离相等的点在角平分线上），即在CF 上，也就是AD，BE，CF交于一点4.三角形的两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等5.到三角形三边所在直线距离相等的点有4个【题型】（一）运用角平分线的性质证明线段相等。

最新人教版数学八年级上册第十二章-全等三角形(含答案)

第十二章 --全等三角形一、基本概念1.全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；（3）能够完全重合的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的表示两个三角形全等用“≌”符号表示；例如：△ABC与△DEF全等，那么我们可以表示为：△ABC≌△DEF。

3.全等三角形的基本性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等4.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）例：在如图所示的三角形中，AB=AC,AD是△ABC的中线，求证△ABD≌△ACD.AB D C（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）例：如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一点C不经过池塘可以直接到达点A和B。

连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A，B的距离。

为什么？（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C。

求证AD=AE.AD EB C（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E，BC=EF.求证△ABC≌△DEF（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）例：如图，AC⊥BC，BD⊥AD,垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.5.角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到角两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

二、灵活运用定理1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找相等的可能性。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）三、常见考法（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等（2）利用判定公理来证明两个三角形全等练习题1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2015•贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 4．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+25．（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．（2015•杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如右，则说明∠CAD=∠DAB 的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．（2015•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC8．（2015•奉贤区二模）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．∠B=45°B．∠BAC=90°C．BD=AC D．AB=AC 9．（2015•西安模拟）如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（）A．4对B．3对C．2对D．1对10．（2015春•泰山区期末）如图，△A BC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．（2015春•沙坪坝区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．12．（2015春•张家港市期末）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ABCDEC，连结AD，若∠1=20°，则∠B的度数是．13．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD=30°，则∠A=°．14．（2015春•万州区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°，则∠CAE=．15．（2015•黔东南州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）16．（2014秋•曹县期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．17．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE 的度数是度．18．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=度．19．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．20．如图，在△A BC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三．解答题（共7小题）21．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB 延长线上一点．（1）求∠EBG的度数．（2）求CE的长．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系请证明你的结论．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．24．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．25．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，连接AC，在AC的延长线上找一点D，使得DC=AC，连接BC，在BC的延长线上找一点E，使得EC=BC，测出DE=60m，试问池塘的宽AB为多少请说明理由．练习题参考答案一．选择题（共10小题）1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 二．填空题（共10小题）11．4 12．70°13．30 14．30°15．AB=CD 16．AC=DE 17．60 18．90 19． 20．4三．解答题（共7小题）21．解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴∠EBA=∠C=42°，∴∠EBG=180°﹣42°=138°；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AC=AB=9，AE=AD=6，∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3．22．证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD，∴∠B=∠EAC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵CE⊥AE，∴∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，∵AD⊥BC，AE∥BC，∴AD⊥AE，又∵CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，∵AB=AC，∴AB=DE．∵AB=AC，∴BD=DC，∵四边形ADCE是矩形，∴AE∥CD，AE=DC，∴AE∥BD，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB=DE．23．证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．24．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=CE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+E B=AF+2EB．25．解：AB=60米．理由如下：∵在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=60（米），则池塘的宽AB为60米．。

中学人教版八年级数学上册12.2全等三角形的判定-直角三角形全等的斜边直角边定理教案

中学人教版八年级数学上册12.2全等三角形的判定-直角三角形全等的斜边直角边定理教案
一、教学内容
本节教学内容选自中学人教版八年级数学上册第12章12.2节，主要围绕全等三角形的判定，特别是直角三角形全等的斜边直角边定理（HL）展开。具体内容包括：
1.理解全等角形的基本概念；
2.掌握直角三角形全等的斜边直角边定理（HL）；
五、教学反思
在本次全等三角形判定的教学中，我发现学生们对于斜边直角边定理（HL）的理解和应用存在一些挑战。在课堂上，我尝试了多种教学方法，希望能够帮助学生更好地掌握这一知识点。
首先，通过引入日常生活中的实际问题，我发现学生们对于全等三角形的概念产生了浓厚的兴趣。他们开始意识到，原来数学知识与我们的生活息息相关。然而，在理论介绍环节，我发现部分学生对于全等三角形的判定条件还不够熟悉，尤其是在斜边直角边定理（HL）的应用上。
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.培养学生逻辑推理与数学抽象能力，通过全等三角形判定方法的探讨，理解并掌握直角三角形全等的斜边直角边定理（HL），提高学生运用数学语言进行表达和逻辑推理的能力；
2.培养学生直观想象与空间观念，通过实际操作和观察，使学生能够直观地感知直角三角形全等的性质，形成对几何图形的深入认识；
在讲授过程中，我尽量用简单的语言和直观的图形来解释斜边直角边定理（HL）。同时，通过案例分析，让学生们看到这个定理在实际问题中的应用。但我也发现，对于一些学生来说，这个定理仍然难以消化。因此，在接下来的实践活动中，我让学生们分组讨论，并进行了实验操作，希望他们能通过亲身体验来加深理解。
在小组讨论环节，我观察到学生们积极参与，热烈讨论。他们提出的问题和观点让我意识到，学生们在理解全等三角形判定方法上还存在一些误区。于是，我及时给予了引导和启发，帮助他们澄清概念，解决问题。在成果分享环节，我鼓励学生们大胆表达自己的观点，这对于提高他们的自信心和表达能力非常有帮助。