北邮概率论与随机过程2009-2010期末试题B答案

北京邮电大学2009——2010学年第2 学期

3《概率论与随机过程》期末考试答案（B ）

考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。

一． 填空题（45分，每空3分）

.1 设两两独立的事件,,A B C 满足,()()()1/2ABC P A P B P C =∅==<，且

()9/16P A B C ⋃⋃=,求()P A = 1/4

2. 袋中有5个球，其中1个红球，每次从中任取1个球，取出后不放回，问前3次取到

红球的概率为3/5

3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由2

,y x y x ==围成。现向D 内

依次随机投掷质点，问第3次投掷的质点恰好第二次落在1D 内的概率是 4/27

4. 设随机变量X 的概率分布函数为2

2

,0,()0,0,x A Be x F x x -

⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩

，问B = -1

5． 随机变量k 在(5,5)-上服从均匀分布，即(5,5)k

U -，则方程

2

4420x kx k +++=有实根的概率为 7/10 6．设随机变量序列{,1,2,

}n X n =独立同分布于(3,3)-上的均匀分布，即(3,3)U -，

则11lim 0n i n i P X n →∞

=⎧⎫

<=⎨⎬⎩⎭

∑ 1/2

7. 已知随机变量(0,1)X N ,定义函数2

2

()x

u g x e

du -

-∞

=

⎰,求()Y g X =的密度函数

()Y f y =

1/()0,

Y y f y ⎧∈⎪=⎨

⎪⎩其他

8. 设随机变量(,)X Y 服从区域{(,):01,01}D x y x y =<<<<上的均匀分布,求

()D X Y += 1/6

9. 设X ～(3,4)N 满足{}{}P X C P X C >=≤，则C = 3

10. 设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没

有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为 0

11. 设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，

(0)0N =， 则2分钟收到3次呼叫的概率

3243

e λ

λ- 12. 设高斯过程{(),0}X t t ≤<+∞是平稳过程，均值为0，相关函数

2||1

(),9

X R e τττ-=-∞<<+∞，对于任意的t ，求()X t 的密度函数()f x =

292

x -

13. 设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求

103()E tX t dt ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

⎰ 1 14. 设{(),0}W t t ≤<+∞是参数为2

σ的维纳过程，令2()t Y t cW c ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，求自协方差函数(,)Y C s t = 2min(,)s t σ

15. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为42

1

()1336

X S ωωω=++，则其平均功率为 1/60

二．（10分）

设A,B 为两个随机事件，且111

(),(|),(|)432

P A P B A P A B ===,令 1,

,0,,A X A ⎧=⎨

⎩发生不发生 1,

,0,Y ⎧=⎨⎩B 发生B 不发生.

求(1) 二维随机变量(,)X Y 的分布律, (2) ,X Y 的相关系数, (3) 2

2

Z X Y =+的分布律。

解. (1) ()

()()(|)1/12,()1/6,(|)

P AB P AB P A P B A P B P A B ===

=

则(1,1)()1/12,(1,0)()1/6,(0,1)()1/12,

(0,0)()1()2/3,

P X Y P AB P X Y P AB P X Y P AB P X Y P AB P A B ====⎧⎪====⎪⎨====⎪⎪====-⋃=⎩

即

（3分） （2）()()1/4,()()1/6,()1/12E X P A E Y P B E XY =====

所以，22

22

22cov(,)()1/24,()1/4,()1/6,()3/16,()5/36,X Y E XY EXEY EX P A EY

P B DX EX EX

DY EY EY =-=⎧⎪====⎪⎨=-=⎪⎪=-=⎩

1/XY ρ=

= （3分）

（3）2

2

Z X Y =+的取值为0,1,2。

(0)(0,0)2/3,(1)(0,1)(1,0)1/4,(2)(1,1)1/12P Z P X Y P Z P X Y P X Y P Z P X Y =====⎧⎪

====+===⎨⎪=====⎩

故Z 的分布率为

三．（１5分）

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

(1)求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1)P X Y ≤≤. 解. (1)

,0

()(,)0,0x X xe x f x f x y dy x -+∞

-∞⎧>=

=⎨

≤⎩⎰

,

()(,)0,

y Y e y f y f x y dx y -+∞

-∞

⎧>=

=⎨

≤⎩⎰

(5分) (2)

当0y >，|(|)X Y f x y =,0(,)()0,y x e y x

f x y f y -⎧<<==⎨

⎩

其他，当0y ≤，不存在。(5分) （3）1

(1)1P Y e -≤=-,1

(1,1)12P X Y e -≤≤=-,

所以(1,1)2

(1|1)(1)1

P X Y e P X Y P Y e ≤≤-≤≤==≤- (5分)

四．（１5分）

设质点在1,2,3,4上做随机游动，假设只能在时刻n=1,2,…移动，且只能停留在1,2,3,4点上。当质点转移到2,3点时，它以1/3的概率向左，向右移动一个格或停留在原处，当质点移动到1点时，以概率1向右移动一个格，当质点移动到4点时，以概率1向左移动一个格。以n X 表示时刻n 质点所处的位置，0X 表示初始时刻0质点所处位置。 （1）证明{,0,1,...}n X n =为齐次马氏链，并写出一步转移概率矩阵,

, 0(,)0, x e y x

f x y -⎧<<=⎨

⎩其他