北京市海淀教师进修学校附属实验学校2019-2020 学年度八年级第二学期数学期末练习
2019-2020学年海淀教师进修学校附属实验学校八年级(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年海淀教师进修学校附属实验学校八年级(下)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列式子不一定是二次根式的是()A. √aB. √b2+1C. √0D. √(a+b)22.若实数a使得关于x的分式方程2x+1+x−ax+1=−2的解为负数，且使得关于x的一次函数y=(a+1)x−a+3过第一、二、三象限，则符合条件的所有整数a的和为()A. 6B. 5C. 3D. 23.如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC//BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为()A. 83B. 73C. 2D. 534.一次函数y=kx+2(k≠0)的图象经过A(1,0)，则它的图象不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A. AB//CD，AD=BCB. ∠A=∠B，∠C=∠DC. AB=AD，CB=CDD. AO=OC，DO=OB6.某校要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加演讲比赛，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.08，乙的方差为0.02，丙的方差为0.01，你认为应该选()参加比赛．A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定7.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABOC是正方形，其中，点A在第二象限，点B，C在x轴、y轴上，若正方形ABOC的面积为36，则点A的坐标是()A. (6,−6)B. (−6,6)C. (−√6,√6)D. (√6,−√6)8.已知直线y=−x+6交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段OA上，将△PAB沿BP翻折，点A的对应点A′恰好落在y轴上，则PAOP的值为()A. √22B. 1C. √2D. √39.如图，在△ABC中，AB=AC=√3，∠BAC=120°，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，连接MN交BC于点D，连接AD，AN，则△ADN的周长为()A. 3+√2B. 3−√2C. 2−√3D. 2+√310.如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y(cm2)，已知y与t的函数关系的图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0<t≤5时，y=25t2；③直线NH的解析式为y=−25t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t=294秒，其中正确结论的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.使二次根式√5x−2有意义的x的取值范围是______ ．12.在平面直角坐标系中，将直线y=3x−2向上平移3个单位长度后，所得直线的关系式为______ ．13.若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______．14.菱形ABCD的边AB为5，对角线AC为8，则菱形ABCD的面积为______．15.如图，平行四边形钢板上有一圆洞，现需将该钢板(阴影部分)分成面积相等的两部分，如果限定只能用一条直线，能否做到：______(选填“能”或“不能”).若填“能”，请说明这条直线过哪两个点；若填“不能”，请简要说明理由：______．16.若y=kx−3的图象经过点P(1,3)和Q(3,m)，则m=______．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则∠A=____________°．18.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是如表数据：鸭的质量/千克0.51 1.52 2.53 3.5烤制时间/分钟406080100120140160设鸭的质量为x千克，烤制时间为t，估计当x=2.2千克时，t的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共46.0分）19. 已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．求证：点(a,b)，(c,d)和坐标原点O在同一直线上．20. 如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，连接CM、AN(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；(2)若∠CBD=30°，∠ABD=45°，AM=2.求平行四边形ABCD的周长．21. 我们把每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．如图，在所给的8×6方格纸中，点A，B均为格点，请画出符合要求的格点四边形．(1)在图1中画出一个以AB为边的矩形ABCD，且它的面积为整数．(2)在图2中画出一个以AB为对角线的菱形APBQ，且它的周长为整数．22. 为了深入贯彻党的十九大精神，我县某中学开展了十九大精神进校园知识气赛活动，特对本校部分学生(随机抽样)进行了一次相关知识的测试(成绩分为A，B，C，E五个组，x表示测试成绩)，通过对测试成绩的分析得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：A组：90≤x≤100B组：80≤x<90C组：70≤x<80D组：60≤x<70E组：x<60(1)参加调查测试的学生共有______人，扇形C的圆心角的度数是；______．(2)请将两幅统计图补充完整；(3)本次调查测试成绩的中位数落在哪个小组内，说明理由；(4)本次调查测试成绩在80分以上(含80分)为优秀，该中学共有3000人，请估计全校测试成绩为优秀的学生有多少人？23. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=30°．(1)AD是⊙O的切线吗？为什么？(2)若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径．24. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如果|x1−x2|+|y1−y2|=m，则称P1与P2互为“m−阳光点”．例如：点P1(−1,2)，P2(3,4)，由于m=|−1−3|+|2−4|=6，则称P1与P2互为“6−阳光点”．(1)在点A(2,2)、B(0,−4)、C(6,2)中，原点O的“4−阳光点”是______；在图1中画出所有原点O的“4−阳光点”所形成的图形．(2)如图2，已知点M(2,1)，①点N(0,n)是点M的“3−阳光点”，则n=______；②若直线y=2x+b上存在两个点M的“3−阳光点”，求b的取值范围．(3)已知点D(1,2)，E(3,2)，G(2,a)，S(1,a)，T(2,a+1)，若线段DE上存在点P，△GST上存在点Q，使得点P与点Q互为“5−阳光点”，直接写出a的取值范围．25. 已知：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，点F是线段OD的中点，连接EF．(1)如图1，若AB=2，∠CBD=30°，则线段EF的长为______ ．(2)如图2，设EF与AC的交点为P，连接AF．①求证：点P是线段EF的中点；②若AF=EF，矩形ABCD的形状有怎样的变化？并证明你的结论．26.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的BC边在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OB=a，OA=√3a，△ABC的面积为36√3．(1)求点A的坐标；(2)动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，求t为何值时，过O、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍；(3)设点D为AB的中点，连接CD，在x轴上是否存在点Q，使△DCQ是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：A．√a中a<0时式子无意义，不是二次根式；B、2+1中b2+1≥1，是二次根式；C、√0是二次根式；D.√(a+b)2是二次根式；故选：A．根据二次根式的定义逐一判断可得答案．本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式．2.答案：D解析：解：∵一次函数y=(a+1)x−a+3过第一、二、三象限，∴a+1>0且−a+3>0．∴−1<a<3．解分式方程2x+1+x−ax+1=−2得到：x=a−43且a−43≠−1．∵关于y的分式方程2x+1+x−ax+1=−2的解为负数，∴x=a−43<0且a−43≠−1．∴a<4且a≠1．综上所述，a的取值范围为−1<a<3且a≠1．∴整数a的值为：0，2，共有2个，∴0+2=2，故选：D．依据关于x的一次函数y=(a+1)x−a+3过第一、二、三象限，求得a的取值范围，依据关于y的分式方程2x+1+x−ax+1=−2的解为负数求得a的值，即可得到满足条件的整数a的个数，从而求得答案．此题考查了一次函数性质以及分式方程的解．注意根据题意求得使得关于x的分式方程有负数解，且关于x的一次函数y=(a+1)x−a+3的图象不经过第三象限的a的值是关键．3.答案：A解析：解：∵EF是△ODB的中位线，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC//BD，∴△AOC∽△BOD，∴AC：BD=OC：OD，即AC4=23，解得AC=83．故选：A．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．4.答案：C解析：解：把A点的坐标(1,0)代入y=kx+2得：k+2=0，解得：k=−2，即函数的解析式是y=−2x+2，所以函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．把A点的坐标(1,0)代入y=kx+2求出k，得出函数的解析式，再根据一次函数的性质得出即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．5.答案：D解析：解：A、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得答案．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．6.答案：C解析：解：∵甲的方差为0.08，乙的方差为0.02，丙的方差为0.01，∴S 甲2>S 乙2>S 丙2，∴应该选丙参加比赛； 故选：C ．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7.答案：B解析：解：∵正方形ABOC 的面积为36， ∴正方形ABOC 的边长为6， ∵A 在第二象限， ∴A(−6,6)． 故选：B ．根据正方形的面积确定其边长，再根据A 点所在象限确定其坐标．本题主要考查了正方形的性质以及坐标与图形性质，由正方形面积得出其边长是解答本题的关键．8.答案：C解析：解：如图，y =−x +6，令x =0，则y =6，令y =0，则x =6，故点A 、B 的坐标分别为(6,0)、(0,6)，则AB =6√2=A′B ， 设：PA =a =PA′，则OP =6−a ，OA′=6√2−6， 由勾股定理得：PA 2=OP 2+OA 2， 即(a)2=(6√2−6)2+(6−a)2， 解得：a =12−6√2，则PA =12−√2，OP =6√2−6，则PAOP =√2，故选：C ．设：PA =a =PA′，则OP =6−a ，OA′=6√2−6，由勾股定理得：PA 2=OP 2+OA 2，即可求解． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，关键在于在画图的基础上，利用勾股定理：PA 2=OP 2+OA 2，从而求出PA 、OP 线段的长度，进而求解． 9.答案：D解析：解：如图，由作图可知，MN 垂直平分线段AB ，∴AD =BD ， ∵AB =AC =√3，∠BAC =120°，∴∠B =30°，AE =BE =√32， ∴ED =12，BD =AD =2ED =1， Rt △AEN 中，AN =AB =√3，∴EN =√AN 2−AE 2=√(√3)2−(√32)2=32， ∴DN =EN −ED =32−12=1， ∴△ADN 的周长为AD +AN +DN =1+1+√3=2+√3．故选：D ．先根据作图可知：MN 是AB 的垂直平分线，则AD =BD ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠B =30°，依次利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得AD ，DN 的长，相加可得△ADN的周长．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．10.答案：B解析：解：①根据图(2)可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，∵点P 、Q 的运动的速度都是1cm/s ，∴BC =BE =5cm ，∴AD =BE =5(故①正确)；②如图1，过点P 作PF ⊥BC 于点F ，根据面积不变时△BPQ 的面积为10，可得AB =4，∵AD//BC ，∴∠AEB =∠PBF ，∴sin∠PBF =sin∠AEB =AB BE =45， ∴PF =PBsin∠PBF =45t ， ∴当0<t ≤5时，y =12BQ ⋅PF =12t ⋅45t =25t 2(故②正确)；③根据5−7秒面积不变，可得ED =2，当点P 运动到点C 时，面积变为0，此时点P 走过的路程为BE +ED +DC =11，故点H 的坐标为(11,0)，设直线NH 的解析式为y =kx +b ，将点H(11,0)，点N(7,10)代入可得：{11k +b =07k +b =10， 解得：{k =−52b =552． 故直线NH 的解析式为：y =−52t +552，(故③错误)；④当△ABE 与△QBP 相似时，点P 在DC 上，如图2所示：∵tan∠PBQ =tan∠ABE =34，∴PQ BQ =34，即11−t 5=34， 解得：t =294.(故④正确)；综上可得①②④正确，共3个．据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图(2)判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．11.答案：x≥25解析：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解：根据题意得：5x−2≥0，．解得x≥25．故答案为：x≥2512.答案：y=3x+1解析：解：将直线y=3x−2向上平移3个单位长度后，所得直线的关系式为y=3x−2+3=3x+1，故答案为：y=3x+1．根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．13.答案：√3解析：解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，×360°=60°，OA=OB，∴∠AOB=16∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：OM=√OA2−AM2=√3．故答案为：√3．根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．本题主要考查正多边形的性质，能求出OA、AM的长是解此题的关键．14.答案：24解析：解：连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BO=DO，CA⊥BD，∴AO=CO=12∵AB=5，∴BO=√AB2−AO2=3，∴BD=6，×6×8=24，∴菱形ABCD的面积为：12故答案为：24．AC=4，BO=DO，连接BD，交AC于O，根据菱形的两条对角线互相垂直且平分可得AO=CO=12CA⊥BD，然后利用勾股定理计算出BO的长，进而可得BD长，再利用菱形的面积公式进行计算即可．此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分．15.答案：能对角线的交点和圆心解析：解：作一条过圆心与平行四边形对角线交点的直线即把该图形平分，如下图故答案为：能；对角线的交点和圆心．由于圆和平行四边形是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，平行四边形的对角线的交点是它的对称中心，故作出一条过圆心与平行四边形对角线交点的直线即把该图形平分．本题利用了圆和平行四边形是中心对称图形的性质求解．16.答案：15解析：解：∵y=kx−3的图象经过点P(1,3)，∴3=k−3，解得：k=6，∴一次函数解析式为y=6x−3．∵y=kx−3的图象经过点Q(3,m)，∴m=6×3−3=15．故答案为：15．根据点P的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．17.答案：30解析：解：法一、在Rt△ABC中，∠A<∠B∵CM是斜边AB上的中线，∴CM=AM，∴∠A=∠ACM，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处设∠A=∠ACM=x度，∴∠A+∠ACM=∠CMB，∴∠CMB=2x，如果CD恰好与AB垂直在Rt△CMG中，∠MCG+∠CMB=90°即3x=90°x=30°则得到∠MCD =∠BCD =∠ACM =30°根据CM =MD ，得到∠D =∠MCD =30°=∠A∠A 等于30°．法二、∵CM 平分∠ACD ，∴∠ACM =∠MCD∵∠A +∠B =∠B +∠BCD =90°∴∠A =∠BCD∴∠BCD =∠DCM =∠MCA =30°∴∠A =30°18.答案：108解析：解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，由此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．设烤制时间为t 分钟，烤鸭的质量为x 千克，t 与x 的一次函数关系式为：t =kx +b ，{k +b =602k +b =100， 解得{k =40b =20， 所以t =40x +20．当x =2.2千克时，t =40×2.2+20=108．故答案为：108．观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，由此可判断烤制时间是烤鸭质量的一次函数，设烤制时间为t 分钟，烤鸭的质量为x 千克，t 与x 的一次函数关系式为：t =kx +b ，取(1,60)，(2,100)代入，运用待定系数法求出函数关系式，再将x =2.2千克代入即可求出烤制时间． 本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息． 19.答案：证明：设经过点O 和(a,b)的直线是y =kx ，则b =ak ，则k =b a ，设经过点O 和(c,d)的直线的解析式是：y =mx ，则d =cm ，解得：m =d c ，∵a，b，c，d四个数成比例，∴ab =cd，∴ba =dc，∴k=m，则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点(a,b)，(c,d)和坐标原点O在同一直线上．解析：设经过点O和(a,b)的直线是y=kx，设经过点O和(c,d)的直线的解析式是：y=mx，证明k=m即可证得．本题考查了待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，理解证明的思路是关键．20.答案：(1)证明：∵AM⊥BD于点M，CN⊥BD于点N，∴∠AMN=∠CNM=90°，∴AM//CN(内错角相等，两直线平行)，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD，∴∠ABM=∠CDN，在△ABM与△DCN中，{∠ABM=CDN∠AMN=∠CFE=90°AB=CD，∴△ABM≌△CDN(AAS)，∴AM=CN，∴四边形AMCN是平行四边形；(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD=30°，∵AM⊥BD，∠ABM=45°，AM=2，∴AB=√2AM=2√2，AD=2AM=4，∴▱ABCD的周长=(2√2+4)×2=4√2+8．解析：(1)根据垂直，利用内错角相等两直线平行可得AM//CN，在根据平行四边形的性质证明△ABM 与△DCN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CN，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；(2)由四边形ABCD是平行四边形，得到AD//BC，推出∠ADB=∠CBD=30°，由于AM⊥BD，∠ABM= 45°，AM=2，得到AB=√2AM=2√2，AD=2AM=4，于是得到结论．本题考查了平行四边形的性质与判定，利用三角形全等证明得到AM=CN是证明的关键．21.答案：解：(1)平行四边形ABCD如图所示．(2)菱形APBQ如图所示．解析：(1)利用数形结合的思想解决问题即可；(2)构造边长为5的菱形即可．本题考查了作图−应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确的理解题意．22.答案：解：(1)参加调查测试的学生共有60÷15%=400人，扇形C的圆心角的度数是360°×80400= 72°，故答案为：400、72°；(2)A所占百分比为100400×100%=25%、C所占百分比为80400×100%=20%，B分组人数为400×30%=120人，统计图补充如下，(3)∵一共有400人，其中A组有100人，B组有120人，C组有80人，D组有60人，E组有40人．∴最中间的两个数在落在B组，∴中位数在B组．故答案为B组；(4)3000×(25%+30%)=1650人．答：估计全校测试成绩为优秀的学生有1650人．解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了中位数的定义．(1)根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C分组人数所占比例可得；(2)用总人数乘以B组所占百分比，求出B组人数完成条形图．根据频率=频数÷数据总数求出A、C 两组所占百分比，完成扇形图；(3)利用中位数的定义，就是大小处于中间位置的数即可作判断．(4)利用总人数乘以对应的百分比即可求解．23.答案：解：(1)AD是⊙O的切线，理由如下：连接OA，∵∠B=30°，∴∠O=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=60°，∵∠CAD=30°，∴∠OAD=90°，又∴点A在⊙O上，∴AD是⊙O的切线．(2)∵∠OAC=∠O=60°，∴∠OCA=60°，∴△AOC是等边三角形，∵OD⊥AB，∴OD垂直平分AB，∴AC=BC=5，∴OA=5，即⊙O的半径为5．解析：(1)理解OA，根据圆周角定理求出∠O，求出∠OAC，即可求出∠OAD=90°，根据切线的判定推出即可．(2)求出等边三角形OAC，求出AC，即可求出答案．本题考查了等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理，切线的判定的应用，题目比较好，是一道比较典型的题目．24.答案：A、B2或0解析：解：(1))∵|−1−0|+|2−0|=4，|0−0|+|−4−0|=4，|6−0|+|2−0|=8，∴原点O的“4−阳光点”是点A、点B．故答案为：A、B；所有原点O的“4−阳光点”所形成的图形是正方形，正方形四个顶点为(0,4)(4,0)(0,−4)(−4,0)，如图1中所示：(2)①如图2中，∵M(2,1)，∴点M的“3−阳光点”在图中正方形ABCD的边上，∴满足条件的点N的坐标为(0,2)或(0,0)，∴n=2或0，故答案为：0或2．②当直线y=2x+b经过点A(−1,1)时，b=3，当直线y=2x+b经过点C(5,1)时，b=−9，观察图象可知，满足条件的b的值为：−9<n<3(3)如图3中，以S，T，G为正方形的中心，对角线长为10，且对角线平行坐标轴，作正方形，观察图象可知，当这三个正方形与线段DE有交点时，线段DE上存在点P，△GST上存在点Q，使得点P与点Q互为“5−阳光点”，观察图象可知，满足条件的a的值为：−4≤a≤−1或5≤a≤7．(1)根据原点O的“4−阳光点”的定义，通过计算判断即可．作出对角线在坐标轴上，对角线长为8，对称中心为原点O的正方形即可．(2)①画出以M为正方形的中心，对角线长为6，且对角线平行坐标轴的正方形ABCD，这个正方形ABCD与y轴的交点即为点N，由此可得结论．②求出直线经过A，C两点时，b的值即可判断．(3)如图3中，以S，T，G为正方形的中心，对角线长为10，且对角线平行坐标轴，作正方形，观察图象可知，当这三个正方形与线段DE有交点时，线段DE上存在点P，△GST上存在点Q，使得点P与点Q互为“5−阳光点”，由此可得结论．本题属于一次函数综合题，考查了坐标与图形的变化，P1与P2互为“m−阳光点”的定义，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．25.答案：√3解析：(1)解：如图1，连接CF，∵四边形ABCD为矩形，∠CBD=30°，=2√3，∴OC=OD，∠BDC=60°，BC=CDtan∠CBD∴△OCD为等边三角形，∵点F是线段OD的中点，∴CF⊥OD，∵点E是BC边的中点，∴EF=12BC=√3，故答案为：√3；(2)①证明：如图2，取OB的中点G，连接EG，∵点E是BC边的中点，∴EG//OC，∴FPPE =FOOG，∵四边形ABCD为矩形，∴OB=OD，∵点F是线段OD的中点，∴OF=OG，∴FP=PE，即点P是线段EF的中点；②解：矩形ABCD是正方形，理由如下：过点F作FH⊥BC于H，连接OE、FC，∵OB=OC，点E是BC边的中点，∴OE⊥BC，∴OE//FH//CD，∵点F是线段OD的中点，∴点H是线段EC的中点，∴FE=FC，∵AF=FE，∴AF=CF，∵OA=OC，∴DA=DC，∴矩形ABCD为正方形．(1)连接CF，根据正切的定义求出BC，根据矩形的性质、等边三角形的判定定理得到CF⊥OD，根据直角三角形的性质解答即可；(2)①取OB的中点G，连接EG，根据三角形中位线定理得到EG//OC，根据平行线分线段成比例定理证明即可；②过点F作FH⊥BC于H，连接OE、FC，根据平行线分线段成比例定理得到点H是线段EC的中点，根据线段垂直平分线的判定定理得到DA=DC，根据正方形的判定定理证明结论．本题考查的是正方形的判定定理、矩形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握矩形的性质定理、正方形的判定定理是解题的关键．26.答案：解：(1)∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，∴CO=BO=a，∵S△ABC=12BC⋅OA=12×2a×√3a=36√3，∵a>0，∴a=6，∴OA=6√3，∴A(0,6√3)；(2)∵CO=BO=6，∴AB=AC=BC=12，①当P在AB上时，如图1，BP=t，AP=AB−BP=12−t，∵OP分△ABC周长为1：2，∴(BP+BO)：(AP+AC+OC)=1：2，∴(6+t)：(12−t+12+6)=1：2，解得t=6；②当P在AC上时，如图2，BA+AP=t，PC=24−t，则有(BO+BA+AP)：(PC+OC)=2：1，∴(6+t)：(24−t+6)=2：1，解得t=18，∴t=6秒或t=18秒时，OP所在直线分△ABC周长为1：2；(3)如图3，∵点D为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，∠BCD=30°，∵S△ABC=12BC⋅OA=12AB⋅CD，∴CD=OA=6√3，△DCQ是以CD为腰的等腰三角形，点Q在x轴上．分以下情况讨论：①如图3，当CQ=CD时，CQ=6√3，∵OC=6，∴Q1(6+6√3,0)， Q2(6−6√3,0)；②如图4，当DQ=DC时，∠DQB=∠DCQ=30°，又∵∠ABC=60°，∴∠QDB=∠ABC−∠DQC=60°−30°=30°，∴∠QDB=∠DQB，∴QB=BD=6，∴OQ=12，∴Q3(−12,0)，所以，在x轴上存在点Q，Q1(6+6√3,0)， Q2(6−6√3,0)，Q3(−12,0)使△DCQ是以CD为腰的等腰三角形．解析：(1)根据三角形ABC的面积求出a的值，得出点A的坐标；(2)分两种情况：①P在边AB上，②P在边AC上，分别根据过O、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，列式解出t的值即可；(3)满足△DCQ是以CD为腰的等腰三角形的情形有三种，正确画图，分别以D和C为圆心，以腰CD为半径画圆，分别与x轴相交，可得Q点有三个，根据腰长为6√3，可得对应Q的坐标．本题是三角形的综合题，考查了图形与坐标的特点，等腰三角形的判定和性质，三角形周长和面积的计算，等边三角形的性质，用运动时间和速度表示出线段的长，本题的2，3问容易丢解，解决本题的关键时分情况计算．。
北京市海淀区教师进修附属实验学校2019~2020学年高一第二学期期中考试数学试题(原卷版)
帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。
高一数学期中试卷
一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
1.下列各角中，与 角终边相同的角是（）
A. B. C. D.
2.下列各式化简后的结果为 的是（）
A. B.
C. D.
3.若角 的终边经过点 ，且 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
4.设向量 ， ，则 夹角等于（）
A. B. C. D.
5. 的值等于（）
A. B. C. D.
6. ， ， 的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7.如果先将函数 图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移 个单位长度，那么最后所得图象对应的函数解析式为（）
A. B.
C. D.
8.使 成立的 的一个变化区间是（）
A. B. C. D.
9.已知函数 的部分图象如图所示，那么函数 的解析式可以是（）
感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。
感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。
2019-2020学年北京市首都师大附中八年级下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市首都师大附中八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．7，8，92．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＞3B．x≥3C．x＞﹣3D．x≥﹣33．（3分）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）A．y＝3x+1B．y＝3x﹣1C．y＝x+1D．y＝x﹣14．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1的图象上的是（）A．（1，3）B．（﹣2，4）C．（3，5）D．（﹣1，0）6．（3分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差7．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一8．（3分）下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．60°10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）（3+）（3﹣）＝．12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：1，则∠C＝．13．（3分）直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为．14．（3分）已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两个点，则y1，y2的大小关系是y1y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）15．（3分）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE＝3，EC＝5，则线段CD的长是．16．（3分）对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为．17．（3分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）18．（3分）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b．其中正确的是．三、解答题（19-21题，每题6分；22-25题，每题7分，共46分）19．（6分）计算：（4﹣3）÷．20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF．21．（6分）某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八年级成绩分布如下：成绩x年级0≤x≤910≤x≤1920≤x≤2930≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七0000437420八1100046521（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：年级平均数中位数优秀率合格率七64.7m30%80%八63.367n90%根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是年级的学生（填“七”或“八”）；（3）可以推断出年级的竞赛成绩更好，理由是（至少从两个不同的角度说明）．22．（7分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．（1）求b，m的值；（2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a 的值．23．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．24．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝﹣3的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对y＝﹣3的图象与性质进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝3中自变量x的取值范围是（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣102345…y…﹣﹣﹣4﹣5﹣7m﹣1﹣2﹣﹣…求m的值；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．25．（7分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．7，8，9解：A、因为1+2＝3，不能构成三角形，故此选项错误；B、因为32+42＝52，是勾股数，故此选项正确；C、因为42+52≠62，不是勾股数，故此选项错误；D、因为72+82≠92，不是勾股数，故此选项错误；故选：B．2．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＞3B．x≥3C．x＞﹣3D．x≥﹣3解：根据题意得：x+3≥0，解得x≥﹣3．故自变量x的取值范围是x≥﹣3．故选：D．3．（3分）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）A．y＝3x+1B．y＝3x﹣1C．y＝x+1D．y＝x﹣1解：由“上加下减”的原则可知：将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后，其直线解析式为y＝3x﹣1．故选：B．4．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．解：A、＝2，正确；B、3﹣＝2，故此选项错误；C、2+，无法计算，故此选项错误；D、＝2，故此选项错误．故选：A．5．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1的图象上的是（）A．（1，3）B．（﹣2，4）C．（3，5）D．（﹣1，0）解：A、当x＝1时，y＝2x﹣1＝1，∴点（1，3）不在函数y＝2x﹣1的图象上；B、当x＝﹣2时，y＝2x﹣1＝﹣5，∴点（﹣2，4）不在函数y＝2x﹣1的图象上；C、当x＝3时，y＝2x﹣1＝5，∴点（3，5）在函数y＝2x﹣1的图象上；D、当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，∴点（﹣1，0）不在函数y＝2x﹣1的图象上．故选：C．6．（3分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，故选：A．7．（3分）一次函数y＝﹣x﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一解：∵一次函数y＝﹣x﹣1中的k＝﹣1＜0，∴该函数图象经过第二、四象限．又∵b＝﹣1＜0，∴该函数图象与y轴交于负半轴，∴该函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．故选：D．8．（3分）下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．9．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．60°解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝12，∴sin∠ACB＝＝＝，∴∠ACB＝30°，故选：A．10．（3分）如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．解：根据题意当点P由E向C运动时，△PAB的面积匀速增加，当P由C向D时，△PAB的面积保持不变，当P由D向F运动时，△PAB的面积匀速减小但不为0．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）（3+）（3﹣）＝7．解：原式＝32﹣（）2＝9﹣2＝7．故答案为7．12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：1，则∠C＝120°．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A：∠B＝2：1，∴∠B＝×180°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．13．（3分）直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为5cm．解：由勾股定理得，斜边长为：＝10，则斜边上的中线长为：×10＝5cm，故答案为：5cm．14．（3分）已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两个点，则y1，y2的大小关系是y1＞y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）解：当x＝﹣3时，y1＝﹣3×（﹣3）+1＝10；当x＝2时，y2＝﹣3×2+1＝﹣5．∵10＞﹣5，∴y1＞y2．故答案为：＞．15．（3分）如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE＝3，EC＝5，则线段CD的长是6．解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD，由折叠的性质可得：AB＝AF，BE＝FE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，设AB＝AF＝CD＝x，则AC＝x+4，∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，∴CD＝6，故答案为：6．16．（3分）对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为y ＝x+2或y＝﹣x+7．解：∵对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的图象上．当点（1，3）、（4，6）在一次函数y＝kx+b的图象上时，，解得：，∴此时一次函数的解析式为y＝x+2；当（1，6）、（4，3）在一次函数y＝kx+b的图象上时，，解得：，此时一次函数的解析式为y＝﹣x+7．故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+7．17．（3分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2＜S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）解：从整体上看，甲的10株麦苗比较集中，整齐，而乙的则显得分散，乙的离散程度较大，因此乙的方差也大，故答案为：＜18．（3分）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b．其中正确的是①③．解：∵直线y1＝kx经过第一、三象限，∴k＞0，故①正确；∵y2＝﹣x+b与y轴交点在负半轴，∴b＜0，故②错误；∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，∴当x＞0时，y1＞0；故③正确；当x＜﹣2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象的下方，即kx＜﹣x+b，故④错误．故答案为①③．三、解答题（19-21题，每题6分；22-25题，每题7分，共46分）19．（6分）计算：（4﹣3）÷．解：原式＝4÷﹣3÷＝4﹣3．20．（6分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF．【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB＝180°，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，则四边形BFDE为矩形，∴BE＝DF．21．（6分）某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八年级成绩分布如下：成绩x年级0≤x≤910≤x≤1920≤x≤2930≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七0000437420八1100046521（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：年级平均数中位数优秀率合格率七64.7m30%80%八63.367n90%根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是八年级的学生（填“七”或“八”）；（3）可以推断出八年级的竞赛成绩更好，理由是从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好（至少从两个不同的角度说明）．解：（1）m＝（63+65）÷2＝64，n＝（5+2+1）÷20＝40%，答：m＝64，n＝40%．（2）因为平均数会受到极端值的影响，八年级有两个学生的成绩较差，使平均分较低，小军虽然高于平均成绩，仍可能排在后面，可以估计他是八年级学生，故答案为：八（3）八年级学生成绩较好，从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好．22．（7分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．（1）求b，m的值；（2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a 的值．解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上，∴b＝2×1+1＝3；∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上，∴3＝m+4，∴m＝﹣1．（2）当x＝a时，y C＝2a+1；当x＝a时，y D＝4﹣a．∵CD＝2，∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2，解得：a＝或a＝．∴a的值为或．23．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵BE＝AB，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝90°．∴▱BECD是矩形；（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．由（1）可知，FB＝FC＝FE，∴FG＝CE＝1，FG⊥BE，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠CBE＝∠DAB＝30°．∴BG＝．∴AB＝BE＝．∴AG＝，∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝24．（7分）有这样一个问题：探究函数y＝﹣3的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对y＝﹣3的图象与性质进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝3中自变量x的取值范围是x≠1（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣102345…y…﹣﹣﹣4﹣5﹣7m﹣1﹣2﹣﹣…求m的值；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝﹣3越来越靠近而永不相交．解：（1）由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1；（2）当x＝时，m＝﹣3＝4﹣3＝1，即m的值为1；（3）图象如图所示：（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝﹣3越来越靠近而永不相交，故答案为y＝﹣3．25．（7分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）解：（1）如图1中，结论：EF＝BE．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∵AE＝EC，∴BE＝AE＝EC，∵CM平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝90°，∵CF＝AE，∴EC＝CF，∴EF＝EC，∴EF＝BE．（2）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．理由：连接ED，DF．由正方形的对称性可知，BE＝DE，∠CBE＝∠CDE∵正方形ABCD，∴AB＝CD，∠BAC＝45°，∵点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，∴∠DCF＝45°，∴∠BAC＝∠DCF，由∵CF＝AE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，∴DE＝DF，又∵∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠CDF+∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形∴EF＝DE，∴EF＝DE．（3）如图3中，当点B，E，F在一条直线上时，∠图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF＝BE．CBE＝22.5°．理由：∵∠ECF＝∠EDF＝90°，∴E，C，F，D四点共圆，∴∠BFC＝∠CDE，∵∠ABE＝∠ADE，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CDE＝∠CBE，∴∠CBF＝∠CFB，∵∠FCG＝∠CBF+∠CFB＝45°，∴∠CBE＝22.5°．。
北大附中初中部2019-2020学年度第二学期八年级数学期末练习(pdf版,无答案)
二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）
11. 一次函数 y kx b k 0 的图象过点 0, 2 ，且 y 随 x 的增大而减小，请写出一个
符合条件的函数表达式：
．
12．已知 2 x (y 1)2 0 ，那么 y x 的值是 ．
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13．如图，在 ABCD 中，CH⊥AD 于点 H，CH 与 BD 的交点为 E.
宽 3dm 的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方
形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边
长为多少时，盒子的体积最大．
下面是探究过程，请补充完整：
（1）设小正方形的边长为 x dm，体积为 y dm3，根据长方体的体积公式得到 y 和 x 的关
系式：
；
（2）确定自变量 x 的取值范围是
A. 测量对角线是否互相平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角
D. 测量其中三个内角是否都为直角
6. 如图，□ABCD 中，AB=3，BC=5，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，则 CE 的长为
A．1
B．2
C．3
D．4
7.在平面直角坐标系中，一次函数 y1 k1x b1 与 y2 k2 x b2 的图象互相平行，如果这两
如果 1=70 ABC=32 ，那么 ADC=
°．
14.把直线 y 5x 2 向上平移 a 个单位后，与直线 y 2x 4 的交点在第一象限，则 a 的
取值范围是_____________．
15．已知 a 5 1 ，则代数式 a2 2a 7 的值为___________．
16．如图，每个小正方形的边长为 1，在△ABC 中，点 A，B，
精品解析：北京大学附属中学2019-2020学年八年级下学期期末数学试题(解析版)
x
m
0
2
y1
﹣3
0
t
y2
1
n
7
那么 m 的值是（ ）
A. ﹣1
B. ﹣2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】 【分析】 由一次函数 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 的图象互相平行，得出 k1=k2，设 k1=k2=a，将（m，-2）、（0，0）代入 y1=ax+b1， 得到 am=-2；将（m，1）、（0，n）、（2，7）代入 y2=ax+b2，解方程组即可求出 m 的值． 【详解】解：∵一次函数 y1＝k1x+b1 与 y2＝k2x+b2 的图象互相平行， ∴k1＝k2， 设 k1＝k2＝a，则 y1＝ax+b1，y2＝ax+b2． 将（m，﹣3）、（0，0）代入 y1＝ax+b1，得 am＝﹣3①； 将（m，1）、（0，n）、（2，7）代入 y2＝ax+b2， 得 am+n＝1②，2a+n＝7③， ①代入②，得 n＝4，
故选 B 【点睛】本题考核知识点：同类二次根式.解题关键点：理解同类二次根式的定义. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 4, 5, 6
B. 5, 12， 13
C. 2, 3, 4
D. 1， 2 ，3
【答案】B
【解析】 【分析】 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判 定即可． 【详解】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形； B、∵52+122=132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形； C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
2019-2020学年北京市海淀外国语实验学校八年级(下)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市海淀外国语实验学校八年级（下）期末数学试卷一.选择题（每题3分，本大题共30分）1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A．3，4，5B．2，2，2C．2，5，6D．5，12，13 3．（3分）已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定4．（3分）图中，不是函数图象的是（）A．B．C．D．5．（3分）平行四边形所具有的性质是（）A．对角线相等B．邻边互相垂直C．每条对角线平分一组对角D．两组对边分别相等6．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）92959592方差 3.6 3.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3分）将正比例函数y＝2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x+2C．y＝2x﹣2D．y＝2x+18．（3分）在一次为某位身患重病的小朋友募捐过程中，某年级有50名师生通过微信平台奉献了爱心．小东对他们的捐款金额进行统计，并绘制了如图统计图．师生捐款金额的中位数和众数分别是（）A．20，20B．30，30C．30，20D．20，309．（3分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC 为（）A．75°B．60°C．55°D．45°10．（3分）点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0）．设△OP A的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（）A．B．C．D．二.填空题（每题3分，本大题共24分）11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是．12．（3分）如果＝0，那么xy的值为．13．（3分）请写出一个过点（0，1），且y随着x的增大而减小的一次函数解析式．14．（3分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为米．15．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＞x+b的解集是．16．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的面积为．17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为．18．（3分）在一节数学课上，老师布置了一个任务：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，用尺规作图作矩形ABCD．同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图2，他向同学们分享了作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，连接EF交AC于点O；②作射线BO，在BO上取点D，使OD＝OB；③连接AD，CD．则四边形ABCD就是所求作的矩形．老师说：“小亮的作法正确．”小亮的作图依据是．三.解答题（19-23题，每题6分，24、25题每题8分，本大题共46分）19．（6分）计算．（1）；（2）．20．（6分）老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．21．（6分）在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）23．（6分）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校700名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值是；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款为10元的学生人数．24．（8分）如图，在△ABD中，AB＝AD，将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE．（1）依题意补全图形；（2）判断∠DFC与∠BAE的大小关系并加以证明；（3）若∠BAD＝120°，AB＝2，取AD的中点G，连结EG，求EA+EG的最小值．25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）及两个图形W1和W2，若对于图形W1上任意一点P（x，y），在图形W2上总存在点P'（x'，y'），使得点P'是线段PM的中点，则称点P'是点P关于点M的关联点，图形W2是图形W1关于点M的关联图形，此时三个点的坐标满足x'＝，y'＝．（1）点P'（﹣2，2）是点P关于原点O的关联点，则点P的坐标是；（2）已知，点A（﹣4，1），B（﹣2，1），C（﹣2，﹣1），D（﹣4，﹣1）以及点M（3，0）①画出正方形ABCD关于点M的关联图形；②在y轴上是否存在点N，使得正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线y＝﹣x分成面积相等的两部分？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京市海淀外国语实验学校八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，本大题共30分）1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】化简得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、，本选项不合题意；B、，本选项不合题意；C、，本选项不合题意；D、不能化简，符号题意；故选：D．2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A．3，4，5B．2，2，2C．2，5，6D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．【解答】解：A，32+42＝25＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B，22+22＝8＝（2）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C，22+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．故选：C．3．（3分）已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定【分析】先根据一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣1判断出函数的增减性，再根据﹣1＜2进行解答即可．【解答】解：∵P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是y＝﹣x+1的图象上的两个点，∴y1＝1+1＝2，y2＝﹣2+1＝﹣1，∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故选：C．4．（3分）图中，不是函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义和函数图象可以判断哪个选项中的图象不是函数图象，本题得以解决．【解答】解：由函数的定义可知，对于每一个自变量的x的取值，都有唯一的y值与其对应，选项A中当x＝1时，有两个y值与其对应，故选项A中的图象不是函数图象，故选：A．5．（3分）平行四边形所具有的性质是（）A．对角线相等B．邻边互相垂直C．每条对角线平分一组对角D．两组对边分别相等【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案．【解答】解：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等．故选：D．6．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）92959592方差 3.6 3.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．【解答】解：∵3.6＜7.4＜8.1，∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，∵95＞92，∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．故选：B．7．（3分）将正比例函数y＝2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x+2C．y＝2x﹣2D．y＝2x+1【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．【解答】解：将正比例函数y＝2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝2x﹣2．故选：C．8．（3分）在一次为某位身患重病的小朋友募捐过程中，某年级有50名师生通过微信平台奉献了爱心．小东对他们的捐款金额进行统计，并绘制了如图统计图．师生捐款金额的中位数和众数分别是（）A．20，20B．30，30C．30，20D．20，30【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，进行判断即可．【解答】解：共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数，∴中位数是（30+30）÷2＝30；∵金额30元出现的次数最多，∴众数为30，故选：B．9．（3分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC 为（）A．75°B．60°C．55°D．45°【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．10．（3分）点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0）．设△OP A的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（）A．B．C．D．【分析】根据点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0），从而可以得到S关于x的函数关系式，从而可以解答本题．【解答】解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0），∴S＝＝2y＝2（6﹣x）＝﹣2x+12，0＜x＜6，∴0＜S＜12，故选：B．二.填空题（每题3分，本大题共24分）11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是x≥．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．12．（3分）如果＝0，那么xy的值为﹣6．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相乘即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，所以，xy＝3×（﹣2）＝﹣6．故答案为：﹣6．13．（3分）请写出一个过点（0，1），且y随着x的增大而减小的一次函数解析式y＝﹣x+1．【分析】由y随着x的增大而减小可得出k＜0，取k＝﹣1，再根据一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝1，此题得解．【解答】解：设该一次函数的解析式为y＝kx+b．∵y随着x的增大而减小，∴k＜0，取k＝﹣1．∵点（0，1）在一次函数图象上，∴b＝1．故答案为：y＝﹣x+1．14．（3分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为32米．【分析】可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且AB＝2DE，再根据DE的长度为16米，即可求出A、B两地之间的距离．【解答】解：∵D、E分别是CA，CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且AB＝2DE，∵DE＝16米，∴AB＝32米．故答案为：32．15．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＞x+b的解集是x＜3．【分析】观察函数图象得到当x＜3时，函数y＝kx+6的图象都在y＝x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．【解答】解：当x＜3时，kx+6＞x+b，即不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．故答案为：x＜3．16．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的面积为．【分析】连接AC与BD相交于点O，由菱形的性质和BD长度可求出AC的长，根据菱形的面积等于对角线成绩的一半即可得到问题答案．【解答】解：连接AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAO＝∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∵BD＝7，∴DO＝BD＝3.5，∴AO＝，∴AC＝2AO＝7，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝，故答案为：．17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为2．【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB即可得出答案．【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD＝∠ECB，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴AE＝DE＝AB＝2．故答案为：2．18．（3分）在一节数学课上，老师布置了一个任务：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，用尺规作图作矩形ABCD．同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图2，他向同学们分享了作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，连接EF交AC于点O；②作射线BO，在BO上取点D，使OD＝OB；③连接AD，CD．则四边形ABCD就是所求作的矩形．老师说：“小亮的作法正确．”小亮的作图依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【分析】直击雷雨线段垂直平分线的性质以及平行四边形和矩形的判定方法分别分析得出答案．【解答】解：作①的理由：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，作②的理由：对角线互相平分的四边形是平行四边形，作③的理由：有一个角是直角的平行四边形是矩形．故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形三.解答题（19-23题，每题6分，24、25题每题8分，本大题共46分）19．（6分）计算．（1）；（2）．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算．【解答】解：（1）原式＝2+4﹣﹣2＝+2；（2）原式＝3﹣+4＝3﹣4+4＝3．20．（6分）老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断△ACD是直角三角形．这块这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．【解答】解：连接AC，如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝3米，BC＝4米，∴AC＝5米，∵CD＝12米，DA＝13米，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（米2）．21．（6分）在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（2）联立方程，解方程即可．【解答】（1）解：设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点代入得，解得，∴直线解析式为y＝﹣2x+3，将x＝0代入得y＝3，∴与y轴交于点（0，3），将y0代入得x＝，∴与x轴交于点（，0），∴S＝×3×＝．（2）解得，∴点C的坐标是（2，﹣1）．22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE＝ 3.5cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；②求出△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，根据菱形的判定推出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝3，∴BM＝1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵AE＝3.5，∴DE＝1.5＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝5，AE＝2，∴DE＝3，∵CD＝3，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：2．23．（6分）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校700名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：（Ⅰ）本次随机抽样调查的学生人数为50，图①中m的值是32；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款为10元的学生人数．【分析】（1）用5元学生数除以5元学生占抽样调查学生数的百分比求解即可．（2）利用平均数，众数和中位数的定义求解．（3）该校总人数乘捐款为10元的学生的百分比．【解答】解：（1）本次随机抽样调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），1﹣24%﹣20%﹣16%﹣8%＝32%，所以m＝32，故答案为：50，32．（2）本次调查获取的样本数据的平均数：（4×5+10×16+15×12+20×10+30×8）÷50＝16（元），求本次调查获取的样本数据的众数是10，本次调查获取的样本数据的中位数是15．（3）该校本次活动捐款为10元的学生人数为：700×32%＝224（人）．24．（8分）如图，在△ABD中，AB＝AD，将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE．（1）依题意补全图形；（2）判断∠DFC与∠BAE的大小关系并加以证明；（3）若∠BAD＝120°，AB＝2，取AD的中点G，连结EG，求EA+EG的最小值．【分析】（1）将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE，据此画图即可；（2）根据△ABE≌△CBE（SAS），可得∠BAE＝∠BCE．再根据AD∥BC，可得∠DFC ＝∠BCE，进而得出∠DFC＝∠BAE；（3）连接CG，AC，根据EC+EG≥CG可知，CG长就是EA+EG的最小值，根据△ACD 为边长为2的等边三角形，G为AD的中点，运用勾股定理即可得出CG＝，进而得到EA+EG的最小值．【解答】解：（1）如图所示：（2）判断：∠DFC＝∠BAE．证明：∵将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．∴BC＝BA＝DA＝CD．∴四边形ABCD为菱形．∴∠ABD＝∠CBD，AD∥BC．又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE．∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠BCE．∴∠DFC＝∠BAE．（3）如图，连接CG，AC．由轴对称的性质可知，EA＝EC，∴EA+EG＝EC+EG，根据EC+EG≥CG可知，CG长就是EA+EG的最小值．∵∠BAD＝120°，四边形ABCD为菱形，∴∠CAD＝60°．∴△ACD为边长为2的等边三角形．又∵G为AD的中点，∴DG＝1，∴Rt△CDG中，由勾股定理可得CG＝，∴EA+EG的最小值为．25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）及两个图形W1和W2，若对于图形W1上任意一点P（x，y），在图形W2上总存在点P'（x'，y'），使得点P'是线段PM的中点，则称点P'是点P关于点M的关联点，图形W2是图形W1关于点M的关联图形，此时三个点的坐标满足x'＝，y'＝．（1）点P'（﹣2，2）是点P关于原点O的关联点，则点P的坐标是（﹣4，4）；（2）已知，点A（﹣4，1），B（﹣2，1），C（﹣2，﹣1），D（﹣4，﹣1）以及点M（3，0）①画出正方形ABCD关于点M的关联图形；②在y轴上是否存在点N，使得正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线y＝﹣x 分成面积相等的两部分？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由点P'（﹣2，2）是点P关于原点O的关联点，可得点P'是线段PO的中点，继而求得答案；（2）①连接AM，并取中点A′，同理，画出B′、C′、D′；继而求得正方形ABCD 关于点M的关联图形；②首先设N（0，n），易得关联图形的中心Q落在直线y＝﹣x上，然后由正方形ABCD 的中心为E（﹣3，0），求得＝﹣，继而求得答案．【解答】解：（1）∵点P'（﹣2，2）是点P关于原点O的关联点，∴点P'是线段PO的中点，∴点P的坐标是（﹣4，4）；故答案为：（﹣4，4）；（2）①如图1，连接AM，并取中点A′；同理，画出B′、C′、D′；∴正方形A′B′C′D′为所求作．②如图2，设N（0，n）．∵正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线y＝﹣x分成面积相等的两部分，∴关联图形的中心Q落在直线y＝﹣x上，∵正方形ABCD的中心为E（﹣3，0），∴Q（，），∴代入得：＝﹣，解得：n＝3．。
2019-2020学年北京市海淀区八年级下学期期末数学试卷
2019-2020学年北京市海淀区八年级下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A. x2+9=0B. −2x2=0C. x2−3=0D. (x−2)2=02.如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P，且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为()A. 5B. 8C. 10D. 123.如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为()A. √17B. 2√2C. √15D. 44.下列各关系式中，y不是x的函数的是()A. y=3−2xB. y=x2−5C. y=9xD. y2=x+65.甲、乙两队参加中国汉字听写大会比赛，两队各10人，比赛成绩总分10分)统计如表：甲89710710910109乙871089101091010根据表格中的信息，判断下列结论正确的是()A. 甲队成绩的中位数是9.5分B. 乙队成绩的众数是10分C. 甲队的成绩比较稳定D. 乙队的平均成绩是9分6. 已知一元二次方程x2−2x+a=0，用配方法解该方程，则配方后的方程是()A. (x−1)2=a−1B. (x−1)2=1−aC. (x−1)2=a2+1D. (x−1)2=1+a7. 若一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象经过点(1,2)，且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是()A. y=2x+4B. y=3x−1C. y=−3x+1D. y=−2x+48. 如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AE=2，∠BAE=30°，则对角线AC的长为()A. 2B. 2√2C. √6D. 2√39. 下列各点中，在函数图象上的点是A. (2,4)B. (−1,2)C. (−2,−1)D. (−2,−2)10. 九年级某班在一次考试中对某道单选题的答题情况如图所示：根据以上统计图，下列判断中错误的是()A. 选A的人有8人B. 选B的人有4人C. 选C的人有26人D. 该班共有50人参加考试二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 如图，▱ABCD的周长为20，对角线AC与BD交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多2，则AB=______．12. 在某中学举行的演讲比赛中，八年级5名参赛选手的成绩如表所示，你根据表中提供的数据，计算出这5名选手成绩的方差______．选手1号2号3号4号5号平均成绩得分9095■89889113.若关于x的方程x2−3x+c−2=0的一个根是1，则另一个根是______．14.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则斜边的长为______．15.要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)计划安排28场比赛应请多少个球队参加比赛？设邀请x个队参加比赛则列方程为______．16.如图，在菱形ABCD中，tanA=4，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，3的值为______．使AB的对应线段EF经过顶点D，延长NF交DC于点H，当EF⊥AD时，DHHC三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17.(1)x2−6x−2=0；(2)x(x−3)=5x−16；(3)(3x−4)2−(x+5)2=0．18.如图，直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象与x轴交于点A(−4,0)，直线PB是一次函数y=−2x+m(m>n)的图象与x轴交于点B(3,0)．(1)求m、n的值；(2)求△APB的面积．19.如图，点O是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F，若DB=2，AD=1，AB=√5．(1)求证：当旋转角为90°，四边形AFED是平行四边形；(2)当旋转角为45°时，判断四边形AECF的形状，并说明理由．20.如图，在△ACD中，∠ACD=90°，AC=b，CD=a，AD=c，点B在CD的延长线上(1)求证：关于x的一元二次方程ax2+√2cx+b=0必有实数根；(2)当b=3，CB=5时．将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连接BE，则当a的值为多少时，线段BE的长最短，最短长度是多少？21.已知：△ABC是边长为3的等边三角形，以BC为底边作一个顶角为120°等腰△BDC.点M、点N分别是AB边与AC边上的点，并且满足∠MDN=60°．(1)如图1，当点D在△ABC外部时，求证：BM+CN=MN；(2)在(1)的条件下求△AMN的周长；(3)当点D在△ABC内部时，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出△AMN的周长．22.某校在校内为见义勇为基金会开展了一次捐款活动，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，绘制了如下统计图1和统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：(1)直接写出样本中学生捐款金额的众数和中位数，及统计图1中“15元”部分扇形圆心角的度数；(2)求本次被调查学生的人均捐款金额；(3)若随机调查该校一名学生，估计该生捐款金额不低于20元的概率．23.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB=AM，点E为BM的中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．(1)若BM=4，MC=3，AC=√38，求AM的长度；(2)若∠ACB=45°，求证：AN+AF=√2EF．24.如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(0,24)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B的坐标为(18,6)．(1)求直线l1，l2对应的函数表达式；(2)点C为线段OB上一动点(点C不与点O，B重合)，作CD//y轴交直线l2于点D，设点C的纵坐标为a，求点D的坐标(用含a的代数式表示)25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AC的中点，点P为AB边上的动点(P不与A重合)，AP=t(t>0)，t，连结DP并延长至点E，使得PE= PH⊥AC于点H，则PH=35PD，作点E关于AB的对称点F，连结FH(1)用t的代数式表示DH的长；(2)求证：DF//AB；(3)若△DFH为等腰三角形，求t(0<t≤5)的值．(提示：以∠A为较小锐角的直角三角形的三边比为3：4：5)。
北京市海淀区教师进修学校附中2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
【详解】
过点A作AE垂直于BC于点E，
∵∠ABE=30°，
∴AE=AB•sin30°= AB，
∴S平行四边形ABCD=BC•AB= S矩形ABCD，
故面积变为原来的一半，周长不变；
故选：A．
【点睛】
考查平行四边形的性质及矩形的性质问题，能够熟练掌握两者之间的联系及区别．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
21．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y 元．具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题：
7．如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为 、 、 ，则 、 、 的关系是（ ）
A． + = B． C． D．
8．同一直角坐标系中，一次函数 与正比例函数 的图象如图所示，则满足 的x取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其最小内角为30°，则下面说法正确的是( )
11．x＞2
【解析】
【分析】
根据分式有意义和二次根式有意义的条件求解.
【详解】
解：根据题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为x＞2．
【点睛】
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2019—2020 学年度第二学期期末练习
初二数学
一、选择题：（每题3 分，共30 分） 1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．
2．一次函数y =5x +1的图象不经过下列哪个象限（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．如图，平地上A 、B 两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C ，并分别找到AC 和BC 的中点M 、N ，测量得MN =8米，则A 、B 两点间的距离为（ ）
A ．4 米
B ．24米
C ．16米
D ．48米
4. 已知一次函数y =-2x +1图象上两点A (-2,y 1)、B (1,y 2)，则y 1与y 2的大小关系是（ ）
A ．y 1 <y 2
B ．y 1 >y 2
C ．y 1 =y 2
D ．无法比较大小
5．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（
）
A. 两组对边分别平行
B.一组对边平行且另一组对边相等
C. 两组邻边相等
D. 对角线互相垂直
6．甲、乙、丙、丁四位选手各10 次射击成绩的平均数和方差的数值如下表：
选手 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.2 9.2 方差
0.035
0.015
0.025
0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（
）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
考生
须知
1．本卷共6 页，包括三个大题，26 小题，满分为100 分。
练习时间90 分钟。
2．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
3．考试结束后，将答题纸交回。
1
3
7．周长为8cm 的正方形对角线的长是（ ）
8．同一平面直角坐标系中，一次函数y =x +1与y =ax +3的图象如图所示，则满足x +1>ax +3的x 取值范围是（ ）
A ．x > 1
B ．x <1
C ．x <-2
D ．x >-2
9．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则下列说法错误的是（
）
A ．∠C=90°
B ．c 2 =2a 2
C ．a =b
D ．a 2 =b 2 -c 2
A B C D
二、填空题：（每题3 分，共24 分）
11．函数y =
2x -1中自变量x 的取值范围是 ．
12．若直线y =-5x 沿y 轴向上平移3个单位，则平移后直线的解析式为 ． 13．已知直角三角形的两边分别为6、8，则第三边为
．
14．已知菱形两条对角线的长分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．
15．如图，在□ABCD 中，B C =7，A B =4，B E
平分∠ABC
交
AD 于点E ，则DE 的长为 .
16．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（1，3），（3，3），若直线y =kx
与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为
．
17．如图，在□ABCD 中，AC ⊥CD ，E 为AD 中点，若CE =5，AC =8则CD =
．
第15题 第16题 第17题
18．甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s （米）与时间t （秒）之间的
函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：
10．如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，动点E 从点A 出发，以1cm/秒
的速度沿折线AB —BC 的路径运动，到点C 停止运动．过点E 作 EF ∥BD ，EF 与边AD （或边CD ）交于点F ，EF 的长度y （cm ） 与点E 的运动时间x （秒）的函数图象大致是（
）
32 21
2
12 24
○1乙队率先到达终点；
○2甲队比乙队多走了126米；
○3在47.8秒时，两队所走路程相等；
○4从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢.
所以正确判断的序号是．
三、解答题：（共46 分）
19．（8 分）计算：（1）÷-⨯+．
（2）一次函数图象过点A（0，-4）
，B（3，2）
，求一次函数的表达式．
20．
（5 分）如图，□ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：AE=CF．
3 21.（5 分）如图，在四边形ACDB 中，∠ABD=120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB=4，CD =5
，
求该四边形的面积.
（6 分）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度.为了解A ，B 两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20 段话，其中每段话都含100 个文字（不计标点符号）.在
保持相同
语
速的条件下，他
用标准普
通
话
朗读每段话来测
（1）收集数据 两种软件每次识别正确的字数记录如下：
（2）整理、描述数据 根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：
（3）分析数据 两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
平均数 众数 中位数 方差
A 84.7
84.5
88.91 B
83.7
96
184.01
（4）得出结论 根据以上信息，判断 种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下： （至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．
23．（5 分）如图，在□ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED 是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF. 若∠ABC=60°，CE=2，求BF的长．
（5 分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，
B 两点，AB=5，OA∶OB =3∶4.
（1）求直线l 的解析式.
（2）点P 是坐标轴上的点，点Q 是第一象限内的点.若以A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形，请在坐标系中标出点Q（需有必要的画图痕迹），并写出点Q的坐标.
（6 分）已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合）
，BD是对角线，延长AB 到点F，使BF = AE，过点E 作BD 的垂线，垂足为M，连接AM，CF．
（1）根据题意补全图形，并证明MB=ME；
（2）①用等式表示线段AM 与CF的数量关系，并证明；
②用等式表示线段AM，BM，DM 之间的数量关系(直接写出即可) ．
（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0)，B(t+2，0) ，C(n，1)，若射线OC上存在点P，使得△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，就称点P 为线段AB 关于射线OC 的等腰点．
(1)如图，t=0，
①若n=0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；
②若n<0，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n 的取值范围；
(2) 若n= 3 ，且射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，则t 的取值范
3
围是．。