八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版
八年级上册数学
【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（word 版
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，在平面直角坐标系中，点D （m ，m +8）在第二象限，点B （0，n ）在y 轴正半轴上，作DA ⊥x 轴，垂足为A ，已知OA 比OB 的值大2，四边形AOBD 的面积为12．
（1）求m 和n 的值．
（2）如图2，C 为AO 的中点，DC 与AB 相交于点E ，AF ⊥BD ，垂足为F ，求证：AF ＝DE ．
（3）如图3，点G 在射线AD 上，且GA ＝GB ，H 为GB 延长线上一点，作∠HAN 交y 轴于点N ，且∠HAN ＝∠HBO ，求NB ﹣HB 的值． 【答案】（1）4
2
m n =-??
=?（2）详见解析；（3）NB ﹣FB ＝4（是定值），即当点H 在GB 的
延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化． 【解析】 【分析】
（1）由点D ，点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12，可列方程组，解方程组即可； （2）由（1）可知，AD ＝OA ＝4，OB ＝2，并可求出AB ＝BD ＝25，利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ，并可得∠AEC ＝90°，利用三角形面积公式即可求证； （3）取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，证明△ABH ≌△CAN ，即可得到结论. 【详解】
解：（1）由题意()()218122
m n n m m --=??
?++-=??
解得4
2m n =-??=?
；
（2）如图2中，
由（1）可知，A （﹣4，0），B （0，2），D （﹣4，4），
∴AD
＝OA ＝4，OB ＝2，
∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25， ∵AC ＝OC ＝2， ∴AC ＝OB ，
∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ， ∴△DAC ≌△AOB （SAS ）， ∴∠ADC ＝∠BAO ， ∵∠ADC +∠ACD ＝90°， ∴∠EAC +∠ACE ＝90°， ∴∠AEC ＝90°， ∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ， ∴S △ADB ＝
12?AB ?AE ＝1
2
?BD ?AF ， ∵AB ＝BD ， ∴DE ＝AF ．
（3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，
∵AG ＝BG ， ∴∠GAB ＝∠GBA ， ∵G 为射线AD 上的一点， ∴AG ∥y 轴， ∴∠GAB ＝∠ABC ， ∴∠ACB ＝∠EBA ，
∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ， 即∠ABG ＝∠ACN ， ∵∠GAN ＝∠GBO ， ∴∠AGB ＝∠ANC ， 在△ABG 与△ACN 中，
ABH ACN
AHB ANC AB AC ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ）， ∴BF ＝CN ，
∴NB ﹣HB ＝NB ﹣CN ＝BC ＝2OB ，
∵OB＝2
∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），
即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．
【点睛】
本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5
Q
（厘米/秒）；（2）点P、Q
在AB边上相遇，即经过了80
3
秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得
△BPD≌△CQP；
②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；
（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x
秒，即可列出方程15
6220
2
x x，解方程即可得到结果.
【详解】
（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）
又∵PC ＝BC ﹣BP ＝16﹣6＝10（厘米） ∴PC ＝BD ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， 在△BPD 与△CQP 中，
BP CQ B C PC BD =??
∠=∠??=?
, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ）， ②因为V P ≠V Q ， 所以BP ≠CQ ， 又因为∠B ＝∠C ，
要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ， 故CQ ＝BD ＝10． 所以点P 、Q 的运动时间84
663
BP t
（秒）， 此时
107.5
43
Q
CQ V t
（厘米/秒）．
（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得15
62202
x x ， 解得x=
803
(秒) 此时P 运动了
80
61603
（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了80
3
秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】
此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
3．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；
(2)如图2，若点A 的坐标为()
-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以
B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不
变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=1
2
(EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】
（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；
（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-. （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1
2
(EM-ON). 【详解】
（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,
∴∠AQC=90°
,
∵ABC △为等腰直角三角形， ∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°, ∵∠QAC+∠ACQ=90°, ∴∠ACQ=∠BAO,
又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB, ∴AQC BOA ?(AAS), ∴CQ=AO,AQ=BO, ∵OA=2,OB=4, ∴CQ=2,AQ=4, ∴OQ=6, ∴C(-6,-2).
(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,
∴∠BPD=90°,
∵ABD △是等腰直角三角形， ∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°, ∴∠ABO=∠BDP ,
又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°, ∴AOB BPD ? ∴AO=BP ,
∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()
23,0-, ∴OA=3 ∴m+n=23
∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23 ∴整式2253m n +-3- （3）()1
2
EN EM ON =
- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.
∵OBM为等边三角形，
∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,
∵OE=OB,
∴OE=OM=BM,
∴∠3=∠EMO=15°,
∴∠BEM=30°,∠BME=45°,
∵OF⊥EB,
∴∠EOF=∠BME,
∴ENO BGM
,
∴BG=EN,
∵ON=MG,
∴∠2=∠3,
∴∠2=15°,
∴∠EBG=90°,
∴BG=1
2 EG,
∴EN=1
2 EG,
∵EG=EM-GM,
∴EN=1
2
(EM-GM),
∴EN=1
2
(EM-ON).
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.
4．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】
试题分析：（1）作DF∥BC 交AC 于F ，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC 是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF 是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF ，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD ，由AAS 证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论；
（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.
试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ， 则△ADF 为等边三角形 ∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ， ∠DEC+∠EDB=60°， ∠DCB+∠DCF=60° ， ∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ， 在△DEB 和△CDF 中，
120EBD DFC EDB DCF DE CD ，，
∠=∠=???
∠=∠??=?
∴△DEB ≌△CDF ， ∴BD=DF ，
∴BE=AD .
(2). EB=AD 成立；
理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示： 同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ， 又∵∠DBE=∠DFC=60°， ∴△DBE ≌△CFD （AAS ）， ∴EB=DF ， ∴EB=AD.
点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
5．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【解析】
【分析】
(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，
∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB=120o， ∴CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60o（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC ，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60o，
∴∠MCO=90o-60o =30o，∠NCO=90o-60o =30o， ∴∠MCN=30o+30o=60o， ∴∠MCN=∠DCE ，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ， ∴∠MCF=∠NCG ， 在△MCF 和△NCG 中，
CMF CNG CM CN
MCF NCG ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△MCF ≌△NCG （ASA ），
∴CF=CG （全等三角形对应边相等）； 【点睛】
本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．
6．综合实践
如图①，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=?=⊥⊥，垂足分别为点D E 、，
2.5, 1.7AD cm DE cm =
=．
（1）求BE 的长；
（2）将CE 所在直线旋转到ABC ?的外部，如图②，猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）如图③，将图①中的条件改为：在ABC ?中，,AC BC D C E =、、三点在同一直线上，并且BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角．猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)0.8cm; (2)DE=AD+BE;
(3)DE=AD+BE ，证明见解析． 【解析】 【分析】
(1)本小题只要先证明ACD CBE ?，得到AD CE =，CD BE =，再根据
2.5, 1.7AD cm DE cm ==，CD CE DE =-，易求出BE 的值；
(2)先证明ACD CBE ?，得到AD CE =，CD BE =，由图②ED=EC+CD ，等量代换易得到AD DE BE 、、之间的关系；
（３）本题先证明EBC DCA ∠=∠，然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ?，从而得到,BE CD EC AD ==，再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系． 【详解】
解：(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥ ∴90ADC E ?∠=∠= ∴90ACD DAC ?∠+∠= ∵90ACB ?∠= ∴90ACD BCE ?∠+∠= ∴ACD BCE ∠=∠
在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE
AC BC ??∠=∠=?
∠=∠??=?
∴ACD CBE ? ∴,AD CE CD BE ==
又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==， 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =
(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥ ∴90ADC E ?∠=∠= ∴90ACD DAC ?∠+∠= ∴90ACB ?∠= ∴90ACD BCE ?∠+∠=
∴ACD BCE ∠=∠
在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE AC BC ??∠=∠=?
∠=∠??=?
∴ACD CBE ? ∴,AD CE CD BE == 又∵ED EC CD =+ ∴ED AD BE =+
(3)∵BEC ADC BCA α∠=∠=∠= ∴180BCE ACD a ?∠+∠=-
180BCE BCE a ?∠+∠=-
∴ACD BCE ∠=∠
在ACD 与CBE △中， ADC E a ACD BCE AC BC ∠=∠=??
∠=∠??=?
∴ACD CBE ? ∴,AD CE CD BE == 又∵ED EC CD =+ ∴ED AD BE =+ 【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．
7．已知：在ABC ?中，,90AB AC BAC =∠=?，PQ 为过点A 的一条直线，分别过
B C 、两点作,BM PQ CN PQ ⊥⊥，垂足分别为M N 、.
（1）如图①所示，当PQ 与BC 边有交点时，求证：MN CN BM =-；
（2）如图②所示，当PQ 与BC 边不相交时，请写出线段BM CN 、和MN 之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）MN BM CN =+（或BM MN CN =-或
CN MN BM =-），理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件先证AMB CNA ≌??，得到,AM CN BM AN ==，即可证得
MN CN BM =-；（2）由（1）知AMB CNA ≌??，得到,AM CN BM AN ==，即可
确定MN BM CN =+. 【详解】
证明：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥， ∴∠AMB=∠CAN=90?, ∵∠BAC=90?， ∴∠CAN+∠ACN=90?，
∠CAN+∠BAM=90?（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠） ∴BAM ACN ∠=∠， 在AMB ?和CNA ?中，
∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴()AMB CNA AAS ≌??， ∴,AM CN BM AN ==， ∵MN AM AN =-， ∴MN CN BM =-.
（2）MN BM CN =+（或BM MN CN =-或CN MN BM =-）. 理由：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥， ∴∠AMB=∠CAN=90?, ∵∠BAC=90?， ∴∠CAN+∠ACN=90?，
∠CAN+∠BAM=90?（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠）, ∴BAM ACN ∠=∠， 在AMB ?和CNA ?中，
∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴()AMB CNA AAS ≌??， ∴,AM CN BM AN ==， ∴MN AN AM BM CN =+=+. 【点睛】
此题考察三角形全等的应用，正确确定全等三角形是解题关键，由此得到对应相等的线
、和MN之间的关系式.
段，确定它们之间的和差关系得到BM CN
8．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO ＝∠ECO ， ∵∠EOC ＝∠AOB ， ∴∠CEO ＝∠BAO ＝70°， 即∠BEC ＝70°． （3）解：如图2中，
∵∠CAB ＝∠EAD ＝120°， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴∠BAD ＝∠ACE ，BD ＝EC ＝4， 同理可证∠BEC ＝∠BAC ＝120°， ∴∠FEC ＝60°， ∵CF ⊥EF ， ∴∠F ＝90°， ∴∠FCE ＝30°，
∴EF ＝
1
2EC ＝2. 【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，ABC ?是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线
BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形
DEF ?，连接CF .
（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点
D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；
（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；
（3）如图3， 当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想
CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解. 【解析】 【分析】
(1)由ABC ?是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ?是等边三角形，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论；
(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论； (3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论. 【详解】
（1）∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.
∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =??
∠=∠??=?
， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF EG =；
（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2， ∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.
∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =??
∠=∠??=?
， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)，
∴CF GE
=，
∴CD CG CE GE CE CF
==+=+
（3）CF=CD+CE，理由如下：
过点D作DG∥AB交BC于点G，如图3，
∵ABC
?是等边三角形，//
DG AB，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴CDG
?是等边三角形，
∴DG=DC=GC.
∵DEF
?是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在? GDE和? CDF中，
∵
DE DF
GDE CDF
DG DC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴? GDE?? CDF(SAS)，
∴CF GE
==GC+CE=CD+CE.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；
（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．
（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；
（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；
（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.
【详解】
（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝4．
∴t＝4÷1＝4（秒），
故t的值为4．
（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，
∵点A 关于x 轴的对称点为A ′， ∴PA ＝PA '， 又AP ＝PB ， ∴PA ＝PA '＝PB ，
∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ， 又∵∠PAB +∠PBA ＝90°， ∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA ' ＝180()PAB PBA ∠∠?-+
180=?-90° =90°，
∴∠AA 'B ＝45°， 即∠OA 'B ＝45°；
（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等， ①如图3，若△ABP ≌△MBP ，
则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ， ∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ， ∴△AOP ≌△MDP （AAS ）， ∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3， ∴M 的坐标为：（6，-4）．
②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点
F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，
∴∠BAP ＝∠MPB=45?，PA PB = ∵139023∠+∠=?=∠+∠， ∴12∠=∠ ∴Rt
AOP Rt PGB ?
∴34BG OP PG AO ====， ∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴 ∴四边形BGOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-= 347BF OG OP PG ==+=+=
在Rt
ABF 和Rt PME 中
∠BAF ＝45?+1∠，∠MPE ＝45?+2∠， ∴∠BAF ＝∠MPE ∵AB PM =
∴Rt ABF Rt PME ?
∴71ME BF PE AF ====， ∴M 的坐标为：（4，7），
③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点
F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45?，PA PB = ∵139023∠+∠=?=∠+∠， ∴12∠=∠ ∴Rt
AOP Rt PEB ?
∴34BE OP PE AO ====， ∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴 ∴四边形BEOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-= 347BF OE OP PE ==+=+=
在Rt
ABF 和Rt PMD 中