概率论公理化的历史进程
高等概率论
高等概率论作业一，高等概率论的发展历程现代概率论的研究方向和研究方法已经获得了极大发展，特别是近几十年，概率论和其他学科逐渐交叉结合，形成了一些新的学科分支和增长点，并且在科学研究和实际应用中都取得了突出成果。
这些成果的取得，都源于概率论公理化体系的建立。
概率论的发展历史一般分为四个时期：（1）萌芽时期（1653年之前），以统计数据为主要手段，分析贸易、保险、赌博、占卜等人类实际生活领域中的一些问题。
（2）古典概率论时期（1654-1811年），用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。
（3）分析概率论时期（1812-1932），用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研究连续型随机变量为主。
（4）现代概率论时期（1933年至今），以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础，研究方向呈现多元化。
20世纪30年代以来，因为概率论公理化体系的建立以及科学研究中的一些实际问题的推动，概率论得到了快速的发展，不断取得理论上的新突破。
目前主要研究方向有极限理论、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。
（1）极限理论极限理论主要研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性相关的问题。
20世纪30年代以后，随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列等情形，以及研究收敛速度问题。
近年来，由于统计物理学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。
自1951年唐斯克提出不变原理（随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的中心课题，普罗霍洛夫及斯科罗霍德在这方面做出了最主要的贡献。
1964年斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。
近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致了一些新的结果。
（2）独立增量过程人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松运动，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。
概率论发展简史(修改)
概率论发展简史概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且是当代社会和人类日常生活所必需的知识之一。
正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。
你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。
甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。
因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的……。
”的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。
然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索：人们对于机会性游戏的研究思考。
一、机会性游戏所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏，如赌博等。
这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它几乎出现在世界各地的许多地方，如埃及、印度、中国等。
在玩骰子游戏的几千年的时间里，概率理论的某些思想可能早应该出现了。
但是一直没有迹象表明人们观察到赌博与数学之间的直接关系，甚至没有发现有人意识到骰子点数下落的频率的计算是可能的、有效的，或每一面会以相同的频率出现等这些最简单的概率思想的萌芽。
对于概率的思想出现得如此缓慢的现象，人们提出了许多解释的原因。
这些解释包括：可能是由于缺少完美平衡和“诚实”的骰子，因而阻碍了人们发现任何可察觉的规律；或者由于缺少适当的数学概念和符号而阻碍了数学的探索；还有一个更有力的原因可能是“随机”概念本身与时空观念相对：长期以来，人们一直认为：一系列的好运和坏运都是神授的。
人们相信上帝或众神以某种预先确定的计划指导着世俗的事件，所以随机不但是不可能的，甚至是不可想象的。
古希腊人似乎已得到这样的结论：精确和规律只存在于神的王国，而混沌和无规律则是人类世界的特征。
但是他们不愿使理想化的自然规律屈从于一个不完美的物理世界的事实，因而未能发展概率的思想。
概率论与数理统计发展简史
概率论与数理统计发展简史在这里，我们将简略地回顾一下概率论与数理统计的发展史，包括发展过程中所经历的一些大事，以及对这门学科的创立和发展有特别重大影响的那些学者的贡献．17世纪，正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论．早在16世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意．数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性, 卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．据说，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验．促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了．不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”．因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”．在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论.荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作《论赌博中的计算》．在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形．18世纪是概率论的正式形成和发展时期．1713年，贝努利（Bernoulli）的名著《推想的艺术》发表．在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验+++-之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括．继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（Abraham de Moiver）于1781年发表了《机遇原理》．书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础．1706年法国数学家蒲丰（Comte de Buffon）的《偶然性的算术试验》完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究，他提出的“蒲丰问题”就是采取概率的方法来求圆周率π的尝试．通过贝努利和棣谟佛的努力，使数学方法有效地应用于概率研究之中，这就把概率论的特殊发展同数学的一般发展联系起来，使概率论一开始就成为数学的一个分支．概率论问世不久，就在应用方面发挥了重要的作用．牛痘在欧洲大规模接种之后，曾因副作用引起争议．这时贝努利的侄子丹尼尔•贝努利（Daniel Bernoulli）根据大量的统计资料，作出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一些人的恐惧和怀疑；欧拉（Euler）将概率论应用于人口统计和保险，写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》，《关于孤儿保险》等文章；泊松（Poisson）又将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了《打靶概率研究报告》．总之，概率论在18世纪确立后，就充分地反映了其广泛的实践意义．19世纪概率论朝着建立完整的理论体系和更广泛的应用方向发展．其中为之作出较大贡献的有：法国数学家拉普拉斯（Laplace），德国数学家高斯（Gauss），英国物理学家、数学家麦克斯韦（Maxwell），美国数学家、物理学家吉布斯（Gibbs）等．概率论的广泛应用，使它于18和19两个世纪成为热门学科，几乎所有的科学领域，包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题，这在一定程度上造成了“滥用”的情况，因此到19世纪后半期时，人们不得不重新对概率进行检查，为它奠定牢固的逻辑基础，使它成为一门强有力的学科．1917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系．1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构，从此，更现代意义上的完整的概率论臻于完成．相对于其它许多数学分支而言，数理统计是一个比较年轻的数学分支．多数人认为它的形成是在20世纪40年代克拉美（H.Carmer）的著作《统计学的数学方法》问世之时，它使得1945年以前的25年间英、美统计学家在统计学方面的工作与法、俄数学家在概率论方面的工作结合起来，从而形成数理统计这门学科．它是以对随机现象观测所取得的资料为出发点，以概率论为基础来研究随机现象的一门学科，它有很多分支，但其基本内容为采集样本和统计推断两大部分．发展到今天的现代数理统计学，又经历了各种历史变迁．统计的早期开端大约是在公元前１世纪初的人口普查计算中，这是统计性质的工作，但还不能算作是现代意义下的统计学．到了18世纪，统计才开始向一门独立的学科发展，用于描述表征一个状态的条件的一些特征，这是由于受到概率论的影响．高斯从描述天文观测的误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为估计方法，是近代数理统计学发展初期的重大事件，18世纪到19世纪初期的这些贡献，对社会发展有很大的影响．例如，用正态分布描述观测数据后来被广泛地用到生物学中，其应用是如此普遍，以至在19世纪相当长的时期内，包括高尔顿（Galton）在内的一些学者，认为这个分布可用于描述几乎是一切常见的数据．直到现在，有关正态分布的统计方法，仍占据着常用统计方法中很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在20世纪初以来，又经过了一些学者的发展，如今成了数理统计学中的主要方法．从高斯到20世纪初这一段时间，统计学理论发展不快，但仍有若干工作对后世产生了很大的影响．其中，如贝叶斯（Bayes）在1763年发表的《论有关机遇问题的求解》，提出了进行统计推断的方法论方面的一种见解，在这个时期中逐步发展成统计学中的贝叶斯学派（如今，这个学派的影响愈来愈大）．现在我们所理解的统计推断程序，最早的是贝叶斯方法，高斯和拉普拉斯应用贝叶斯定理讨论了参数的估计法，那时使用的符号和术语，至今仍然沿用．再如前面提到的高尔顿在回归方面的先驱性工作，也是这个时期中的主要发展，他在遗传研究中为了弄清父子两辈特征的相关关系，揭示了统计方法在生物学研究中的应用，他引进回归直线、相关系数的概念，创始了回归分析．数理统计学发展史上极重要的一个时期是从19世纪到二次大战结束．现在，多数人倾向于把现代数理统计学的起点和达到成熟定为这个时期的始末．这确是数理统计学蓬勃发展的一个时期，许多重要的基本观点、方法，统计学中主要的分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的．以费歇尔（R.A.Fisher）和皮尔逊（K.Pearson）为首的英国统计学派，在这个时期起了主导作用，特别是费歇尔．继高尔顿之后，皮尔逊进一步发展了回归与相关的理论，成功地创建了生物统计学，并得到了“总体”的概念，1891年之后，皮尔逊潜心研究区分物种时用的数据的分布理论，提出了“概率”和“相关”的概念．接着，又提出标准差、正态曲线、平均变差、均方根误差等一系列数理统计基本术语．皮尔逊致力于大样本理论的研究，他发现不少生物方面的数据有显著的偏态，不适合用正态分布去刻画，为此他提出了后来以他的名字命名的分布族，为估计这个分布族中的参数，他提出了“矩法”．为考察实际数据与这族分布的拟合分布优劣问题，他引进了著名“χ２检验法”，并在理论上研究了其性质．这个检验法是假设检验最早、最典型的方法，他在理论分布完全给定的情况下求出了检验统计量的极限分布．19 01年，他创办了《生物统计学》，使数理统计有了自己的阵地，这是２０世纪初叶数学的重大收获之一．1908年皮尔逊的学生戈赛特（Gosset）发现了Z的精确分布，创始了“精确样本理论”．他署名“Student”在《生物统计学》上发表文章，改进了皮尔逊的方法．他的发现不仅不再依靠近似计算，而且能用所谓小样本进行统计推断，并使统计学的对象由集团现象转变为随机现象．现“Student分布”已成为数理统计学中的常用工具，“Student氏”也是一个常见的术语．英国实验遗传学家兼统计学家费歇尔，是将数理统计作为一门数学学科的奠基者，他开创的试验设计法，凭借随机化的手段成功地把概率模型带进了实验领域，并建立了方差分析法来分析这种模型．费歇尔的试验设计，既把实践带入理论的视野内，又促进了实践的进展，从而大量地节省了人力、物力，试验设计这个主题，后来为众多数学家所发展．费歇尔还引进了显著性检验的概念，成为假设检验理论的先驱．他考察了估计的精度与样本所具有的信息之间的关系而得到信息量概念，他对测量数据中的信息，压缩数据而不损失信息，以及对一个模型的参数估计等贡献了完善的理论概念，他把一致性、有效性和充分性作为参数估计量应具备的基本性质．同时还在1912年提出了极大似然法，这是应用上最广的一种估计法．他在２０年代的工作，奠定了参数估计的理论基础．关于χ２检验，费歇尔1924年解决了理论分布包含有限个参数情况，基于此方法的列表检验，在应用上有重要意义．费歇尔在一般的统计思想方面也作出过重要的贡献，他提出的“信任推断法”，在统计学界引起了相当大的兴趣和争论，费歇尔给出了许多现代统计学的基础概念，思考方法十分直观，他造就了一个学派，在纯粹数学和应用数学方面都建树卓越．这个时期作出重要贡献的统计学家中，还应提到奈曼（J.Neyman）和皮尔逊（E.Pearson）．他们在从1928年开始的一系列重要工作中，发展了假设检验的系列理论．奈曼－皮尔逊假设检验理论提出和精确化了一些重要概念．该理论对后世也产生了巨大影响，它是现今统计教科书中不可缺少的一个组成部分，奈曼还创立了系统的置信区间估计理论，早在奈曼工作之前，区间估计就已是一种常用形式，奈曼从1934年开始的一系列工作，把区间估计理论置于柯尔莫哥洛夫概率论公理体系的基础之上，因而奠定了严格的理论基础，而且他还把求区间估计的问题表达为一种数学上的最优解问题，这个理论与奈曼－皮尔逊假设检验理论，对于数理统计形成为一门严格的数学分支起了重大作用．以费歇尔为代表人物的英国成为数理统计研究的中心时，美国在二战中发展亦快，有三个统计研究组在投弹问题上进行了9项研究，其中最有成效的哥伦比亚大学研究小组在理论和实践上都有重大建树，而最为著名的是首先系统地研究了“序贯分析”，它被称为“30年代最有威力”的统计思想．“序贯分析”系统理论的创始人是著名统计学家沃德（Wald）．他是原籍罗马尼亚的英国统计学家，他于1934年系统发展了早在20年代就受到注意的序贯分析法．沃德在统计方法中引进的“停止规则”的数学描述，是序贯分析的概念基础，并已证明是现代概率论与数理统计学中最富于成果的概念之一．从二战后到现在，是统计学发展的第三个时期，这是一个在前一段发展的基础上，随着生产和科技的普遍进步，而使这个学科得到飞速发展的一个时期，同时，也出现了不少有待解决的大问题．这一时期的发展可总结如下：一是在应用上愈来愈广泛，统计学的发展一开始就是应实际的要求，并与实际密切结合的．在二战前，已在生物、农业、医学、社会、经济等方面有不少应用，在工业和科技方面也有一些应用，而后一方面在战后得到了特别引人注目的进展．例如，归纳“统计质量管理”名目下的众多的统计方法，在大规模工业生产中的应用得到了很大的成功，目前已被认为是不可缺少的．统计学应用的广泛性，也可以从下述情况得到印证：统计学已成为高等学校中许多专业必修的内容；统计学专业的毕业生的人数，以及从事统计学的应用、教学和研究工作的人数的大幅度的增长；有关统计学的著作和期刊杂志的数量的显著增长．二是统计学理论也取得重大进展．理论上的成就，综合起来大致有两个主要方面：一个方面与沃德提出的“统计决策理论”，另一方面就是大样本理论．沃德是20世纪对统计学面貌的改观有重大影响的少数几个统计学家之一．1950年，他发表了题为《统计决策函数》的著作，正式提出了“统计决策理论”．沃德本来的想法，是要把统计学的各分支都统一在“人与大自然的博奕”这个模式下，以便作出统一处理．不过，往后的发展表明，他最初的设想并未取得很大的成功，但却有着两方面的重要影响：一是沃德把统计推断的后果与经济上的得失联系起来，这使统计方法更直接用到经济性决策的领域；二是沃德理论中所引进的许多概念和问题的新提法，丰富了以往的统计理论．贝叶斯统计学派的基本思想，源出于英国学者贝叶斯的一项工作，发表于他去世后的1763年后世的学者把它发展为一整套关于统计推断的系统理论．信奉这种理论的统计学者，就组成了贝叶斯学派．这个理论在两个方面与传统理论（即基于概率的频率解释的那个理论）有根本的区别：一是否定概率的频率的解释，这涉及到与此有关的大量统计概念，而提倡给概率以“主观上的相信程度”这样的解释；二是“先验分布”的使用，先验分布被理解为在抽样前对推断对象的知识的概括．按照贝叶斯学派的观点，样本的作用在于且仅在于对先验分布作修改，而过渡到“后验分布”――其中综合了先验分布中的信息与样本中包含的信息．近几十年来其信奉者愈来愈多，二者之间的争论，是战后时期统计学的一个重要特点．在这种争论中，提出了不少问题促使人们进行研究，其中有的是很根本性的．贝叶斯学派与沃德统计决策理论的联系在于：这二者的结合，产生“贝叶斯决策理论”，它构成了统计决策理论在实际应用上的主要内容．三是电子计算机的应用对统计学的影响．这主要在以下几个方面．首先，一些需要大量计算的统计方法，过去因计算工具不行而无法使用，有了计算机，这一切都不成问题．在战后，统计学应用愈来愈广泛，这在相当程度上要归公功于计算机，特别是对高维数据的情况．计算机的使用对统计学另一方面的影响是：按传统数理统计学理论，一个统计方法效果如何，甚至一个统计方法如何付诸实施，都有赖于决定某些统计量的分布，而这常常是极困难的．有了计算机，就提供了一个新的途径：模拟．为了把一个统计方法与其它方法比较，可以选择若干组在应用上有代表性的条件，在这些条件下，通过模拟去比较两个方法的性能如何，然后作出综合分析，这避开了理论上难以解决的难题，有极大的实用意义．。
概率论的起源
概率论的起源及公理化概率论起源于博奕问题。
15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。
1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答。
他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣。
惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生。
一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有P {|nm - p |<ε}>1-η(η为任意小的正数)， 其中m 为n 次试验中事件A 出现的次数。
伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献。
其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律。
特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。
正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A 的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A 的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例。
概率论的发展史
概率论的发展史摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。
它起源于十七世纪中叶，当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。
费马、帕斯卡、惠更斯对这个问题进行了首先的研究与讨论，科尔莫戈罗夫等数学家对它进行了公理化。
后来，由于社会和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，隶莫弗、拉普拉斯、高斯等著名数学家对这方面内容进行了研究。
发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。
关键词：概率论公理化随机现象赌博问题17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲数学家们开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。
在这一个世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓的概率论。
记得大数学家庞加莱说过：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。
”一、概率论的起源概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。
十分有趣的是，这样一门重要的数学分支，竟然起源于对赌博问题的研究。
1653年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623——1662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累。
为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。
问题是这样的——一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。
遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。
当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。
君命难违，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。
这下可把他难住了。
所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。
概率论发展简史
一、概率论发展简史1(20世纪以前的概率论概率论起源于博弈问题。
15-16世纪，意大利数学家帕乔利(L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亚(N.Tartaglia,1499-1557)和卡尔丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。
1657年，荷兰数学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。
而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布?伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。
他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，法国数学家棣莫弗(A.deMoivre,1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。
之后法国数学家蒲丰(C.de Buffon,1707-1788)提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。
另外，拉普拉斯、高斯和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)等对概率论做出了进一步奠基性工作。
特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。
泊松则推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。
19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。
他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理。
切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。
19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。
概率论与数理统计概率历史介绍
一、概率定义的发展与分析1.古典定义的历史脉络古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比．2.古典定义的简单分析古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题．“应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评．3.统计定义的历史脉络概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布•伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”．事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯•米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．4.统计定义的简单分析虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法．而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广．但是从数学理论上讲，统计定义是有问题的．在古典概率的场合，事件概率有一个不依赖于频率的定义——它根本不用诉诸于试验，这样才有一个频率与概率是否接近的问题，其研究导致伯努利大数定律．在统计定义的场合这是一个悖论：你如不从承认大数定律出发，概率就无法定义，因而谈不上频率与概率接近的问题；但是你如承认大数定律，以便可以定义概率，那大数定律就是你的前提，而不是一再需要证明的论断了．5.公理化定义的历史脉络正因为古典定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题，所以到了19世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察．1900年，38岁的希尔伯特（1862—1943）在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题，这就是著名的希尔伯特23个问题中的第6个问题．这引导了一批数学家投入这方面的工作．在概率公理化的研究道路上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（1903—1987）成绩最为卓著，1933年，他在《概率论基础》中运用集合论和测度论表示概率论的方法赋予了概率论严密性．6.公理化定义的简单分析为什么直到20世纪才实现了概率论的公理化，这是因为20世纪初才完成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论，而这都是概率论公理化体系建立的基础．柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率概念，形成了概率论的公理化体系，他的公理体系既概括了古典定义、统计定义的基本特性，又避免了各自的局限．例如，公理中有一条，是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来，在这个前提下，大数定律就成为一个需要证明且可以得到证明的论断，这就避免了“4”中统计定义的数学理论上的问题；而公理中关于“概率存在”的规定又有其实际背景，这就是概率的古典定义和统计定义．所以，我们说，概率论公理体系的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，至此，概率论才真正成为了严格的数学分支．二、关于概率定义教学的几点思考对于概率的定义，教科书是先给出古典定义，然后再给出统计定义．这与历史上概率定义的发展相吻合，从“简单到复杂”．在教学中，我们不仅要明了这种顺序的设计意图，而且还要抓住不同定义的特点和思想，以引导学生更好地理解概率．1.古典定义的教学定位在前面的分析中，我们说“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提．正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”．因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点．“等可能”是无法确切证明的，往往是一种感觉，但是这种感觉是有其实际背景的，例如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻．因此，“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件．2.统计定义的教学定位从直观上讲，统计定义是非常容易接受的，但是它的内涵是非常深刻的，涉及到大数定律．在初中阶段，我们不可能让学生接触其严格的形式和证明．因此，统计定义定位在其合理性和必要性是比较恰当的．如何让学生体会其合理性和必要性？罗老师的课堂教学比较好地实现了这两点．从教学顺序来看，罗老师将“掷硬币”作为归纳统计定义的例子，“掷硬币”可以用古典定义求概率，所以概率值是明确的，而通过试验的方法计算得到的频率就可以和这个明确的概率值相比较，如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性”这一事实，从而感受到“用频率估计概率”的合理性；罗老师将“掷图钉”作为统计定义的应用，“掷图钉”不能用古典定义求概率，由此能让学生体会到学习统计定义计算事件概率的必要性．从教学手段来看，罗老师主要采用了“学生试验”的方法，学生的亲自试验在这节课所起的作用是无可代替的：“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；“亲自试验”能够让学生感受到频率的随机性和稳定性等特点．所以，像概率与统计的学习，学生应该有更多的主动权和试验权，在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法．3. 概率与统计教学的背后：专业素养的提升在课题研讨时，教师们表现出这样一些困惑：随着试验次数的增加，频率就越来越稳定？频率估计概率，一定要大量试验？实验次数多少合适？事实上，这些问题涉及的就是概率与统计的专业素养．对于大多数教师而言，概率与统计相对而言比较陌生，这是很自然的，因为在教师自身接受的数学专业学习中，概率与统计就是一个弱项．但是，既然要向学生教授概率与统计，那么还是需要有“一桶水”的．就像上面的问题，翻阅任何一本《概率论与数理统计》，都可以给我们知识上的答案，而翻阅一下相关的科普读物或史料，就可以给我们思想方法上的答案．举个例子：伯努利大数定律：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p()，则对任意的，有．狄莫弗-拉普拉斯极限定理：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p()，则．伯努利大数定律只是告诉我们，当n趋于无穷时，频率依概率收敛于概率p．伯努利的想法是：只要n充分大，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小．值得赞赏的是，他利用了“依概率收敛”而不是更直观的p，因为频率是随着试验结果变化的，在n次试验中，事件A出现n次也是有可能的，此时p就不成立了．伯努利不仅证明了上述大数定律，而且还想知道：若想要把一个概率通过频率而确定到一定的精确度，要做多少次观察才行．这时，伯努利大数定律无能为力，但是狄莫弗-拉普拉斯极限定理给出了解答：．（*）例如研究课中掷硬币的问题，若要保证有95%的把握使正面向上的频率与其概率0.5之差落在0.1的范围内，那要抛掷多少次？根据（*）式，可以估计出．三、概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。
概率论与数理统计简史
概率论与数理统计简史概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学分支。
其历史悠久，应用广泛，发展迅速。
概率论起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。
数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：“现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局﹝a < s﹞，而赌徒B赢b局﹝b < s﹞时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”于是他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠更斯﹝1629-1695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，惠更斯写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望﹝mathematical expectation﹞这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。
使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各·伯努利﹝1654-1705﹞。
他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有趋稳定的趋势”。
这一定理在他死后的1713年，发表在他的遗著《猜度术》中。
到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗─拉普拉斯定理”。
这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。
而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。
另外，他又和数学家高斯，勒让德等建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。
另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。
他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。
概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。
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概率论公理化的历史进程英才学院计算机科学与技术专业班级：1240004班姓名：马恒钊学号：7120310417引言：概率论是从赌博问题的研究中诞生的，经历了比较漫长的公理化进程，从这之后概率论才变成了一门真正的科学。
因此公理化在概率论的发展史中有着重要的地位。
关键字：贝特朗悖论公理化柯尔莫戈洛夫一、产生与挑战——贝特朗悖论概率论在17 世纪中叶由研究赌博问题而诞生。
到了19世纪, 由于获得新的研究动机以及分析方法的引入, 使得概率论获得了重要进展。
可是在发展过程中, 概率论没能演绎成一门逻辑上完美的数学学科, 它的基础存在着缺陷。
这是因为19世纪的分析本身就没有严格化, 以它为研究工具的概率论的严格化就可想而知了。
虽然, 后来分析的基础严密了, 但概率论公理化所必须的测度论还未发明, 故不严密是难以避免的。
在这种情况下, 出现了“贝特朗悖论”等问题，对概率论的基础提出了挑战。
贝特朗( Bertrand)悖论是概率论中的一个著名问题, 其问题是: 在圆内任作一弦, 求其长超过圆内接正三角形边长的概率(如图1)。
此问题可以有三种不同的解答:1) 作一条铅直的直径, 再作垂直于此直径的弦。
弦长可以由它与直径的交点唯一确定。
当弦交直径于1 /4点与3 /4点之间, 其长才大于内接正三角形边长(如图2)。
设交点落在直径上哪一点是等可能的, 则所求概率为1 /22) 固定弦的一端到正三角形的一个顶点, 弦长可以由弦的另一端点的位置唯一确定。
当弦的另一端点落在圆弧上AB之间时, 其长才合乎要求(如图3)。
设弦的另一端落在圆周上哪一点是等可能的, 则所求概率为1/3。
3) 弦可以由中点唯一确定。
当弦的中点落在半径为大圆半径一半的同心圆内时, 其长才合乎要求(如图4)。
设中点位于圆内哪一点是等可能的, 则所求概率为1/4。
此问题从三个不同的角度来考虑, 做出三种不同的答案。
这严重违背了常理。
这就是贝特朗悖论。
二、问题的源头——人们对概率的各种解释为了解决上述问题，历史上出现了对概率的各种认识, 既有实体概率——概率局限于实在的物质世界, 也有主观概率——反映了人们对某些事物的一种信任程度, 是对事物的不确定性的一种主观判断[ 3] 。
前一种有以拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)为代表提出的古典定义: 事件的概率等于有利于事件的结果数与所有可能的结果数之比。
然而, 这种定义讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形。
若随机试验中的基本事件有无穷多个, 且每个基本事件发生是等可能的, 这时就不能使用古典概率, 于是产生了几何概率。
随着人们遇到问题的复杂程度的增加等可能性逐渐暴露出它的弱点, 特别是对于同一事件, 可以从不同的等可能性角度算出不同的概率, 从而产生了种种悖论。
另一方面, 随着经验的积累, 人们逐渐认识到,在做大量重复试验时, 随着试验次数的增加, 一个事件出现的频率会集中在该事件的概率, 这就是概率的频率定义。
当试验次数n充分大时, 频率fn (A ) 越来越接近于概率P (A )。
“频率fn (A ) 越来越接近于P (A )”的含义是指“随着n 的增大, ( | fn (A ) -P (A ) | ) 发生的可能性越来越小。
或者说, 随着n的增大, 事件{ | f n (A ) - P (A ) | } 发生的概率趋向于0。
我们可以看出: 一方面“频率接近于概率”表明概率是一个客观存在, 并且频率可以作为概率的近似值; 另一方面, 频率接近于概率的含义本身却又需要通过“概率趋于0”来描述。
上述这些问题使得一些人对当时的概率论中的一些概念和方法产生了怀疑。
于是, 人们不得不探讨解决的办法, 而解决的办法就是完善概率论自身的理论基础。
于是, 1900 年希尔伯特( David Hilbert,1862—1943)在巴黎国际数学家大会上所作的著名的报告中的第6问题, 就呼吁把概率论公理化。
由此, 概率论公理化成为当时数学及整个自然科学的最迫切的问题之一。
三、解决的尝试——最初的公理化理论20世纪初, 许多数学家尝试解决这个问题。
最早对概率论严格化进行尝试的是俄国数学家伯恩斯坦。
1927 年伯恩斯坦《概率论》第一版出版, 书中给出了一个详细的概率论公理体系。
他假定了一个我们在自然科学中进行推理所依据的基本方案, 即根据以往的经验, 我们断言, 只要给定的条件集合实现, 属于已知类的事件A 就必然发生, 这和任何其他因素都无关。
然而, 一般而言一个事件不可能绝对出现。
人们不能完全确切地预言真实现象的行为。
只有当条件集合α不太大, 而且易于观测时, 把α和A联系起来的规律才有实际意义。
如果这个条件不成立, 事件A就叫做随机事件。
然后, 他试着引进一个简单点的条件集合β来代替α, 它(至少在理论上) 可以重复实现无限多次, 当β存在时, 给定试验中事件 A 以一个明确的概率发生, 而且这个概率可以用数值表示。
如果也定义了事件B 的概率, 那么下面3个关系必有一个成立:P (A ) = P (B ); P (A ) > P (B ); P (A ) < P (B )。
然后, 伯恩斯坦引进了3个公理: ①概率的可比较性公理; ②不相容事件公理;③事件组合公理。
前两个公理考虑了条件集合β固定的情况。
第三个公理把条件α下A 的概率与不同的条件集合β下同一事件的概率联系起来。
伯恩斯坦就在这3个公理的基础之上构造了概率论的整个大厦。
正像柯尔莫戈洛夫所指出的, 第一个系统的概率论公理化体系是伯恩斯坦给出的, 他建立的基础是, 根据随机事件的概率对事件做定性比较的思想。
在定性比较这一思想中概率的数值似乎是推导而来的, 而不是一个基本概念。
因此, 伯恩斯坦的工作并没有真正解决问题。
上面已经提到, 概率概念是公理化概率论的基础, 人们对此有着不同的理解。
当时出现了许多对这些认识的评论, 其中最著名的是米泽斯( R. V on Mises, 1883—1953)的工作。
他的主要工作是概率论的频率定义和统计定义的公理化, 他在《概率、统计和真理》( 1928)一书中建立了频率的极限理论。
他明确强调, 概率概念只有在大量现象存在时才有意义。
米泽斯的频率理论中最根本的概念是“集体”概念。
集体是由相似的事件或过程组成的无限序列K, 每个事件确定一个给定的有限维空间R 的某个点。
他把一事件的概率定义为该事件在独立重复随机试验中出现的频率的极限, 并把此极限的存在性作为他的第一条公理。
他的第二条公理是, 对随机选取的子试验序列, 事件出现的频率的极限也存在并且极限值相等。
严格说来, 第二条公理没有明确的数学含义。
因此, 这种所谓公理化在数学上是不可取的。
虽然, 频率定义在直观上易于理解, 易为实际工作者和物理学家所接受, 便于在实际工作中应用。
但是, 像某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率, 米泽斯理论是无法定义的。
因此, 他们的公理理论都是不尽如人意的。
四、公理化的建立从20世纪20年代开始, 概率论的研究类型在很大程度上是由集合论和函数论的思想所决定的。
通过对概率论基本概念——事件与概率的仔细分析, 可以发现事件的运算与集合的运算完全类似, 概率与测度有相同的性质。
这成为建立概率论逻辑基础的正确道路。
在这方面的研究最卓著的是柯尔莫戈洛夫[ 7] 。
概率论中一个十分重要的定律就是大数定律。
自第一个大数定律建立起, 数学家们对它进行了深入的研究, 这些研究实质上是对大数定律条件的推广, 即扩大了满足定律的随机变量序列的范围, 其科学价值在于发现了大数定律的一般条件, 而这揭示了平均值的统计稳定性, 即随机的规律性。
其中, 马尔科夫(A. A. Mapkob, 1856—1922) 在这方面的工作值得称赞, 他削弱了中心极限定理与大数定律的条件限制, 把随机变量互相独立的情况推广到变量相关的情况, 把相关随机变量引入概率论研究[ 8 ] 。
马尔科夫推广了大数定律的适用性, 但他没有得到这个问题的明确解答。
只有通过函数论的方法和概念, 才能建立大数定律适用性的充分必要条件。
1926年, 柯尔莫戈洛夫得到了这些条件，他解决了概率论的一个中心问题—(弱) 大数定律。
法国数学家博雷尔(E. Borel, 1871—1956) 于1909年得到强大数定律: 设m 是事件A 在n 次试验中出现的次数, 在每次试验中事件A 出现的概率均为p, 则有他解决的是p =1/2时伯努利概型的情况。
在所有这些研究中, 与度量函数论的相似之处起了重要的作用, 特别是弱大数定律类似于测度中的收敛概念, 强大数定律类似于处处收敛。
正是由于对大数定律的深入研究, 使得概率与测度论的联系愈来愈明显, 从而度量函数的思想越来越深入地渗透到概率论中。
从20世纪20 年代中期开始, 柯尔莫戈洛夫开始从事这些新思想的明确阐述。
1933年, 柯尔莫戈洛夫以德文出版了他的经典性著作《概率论基础》, 这可以说是概率论的一个里程碑。
他建立了在测度论基础上的概率论的公理化体系,奠定了近代概率论的基础。
这本书中建立起了集合测度与事件概率的类比, 积分与数学期望的类比, 函数正交性与随机变量独立性的类比等等。
这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征[ 9] 。
这一公理体系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系, 并用这些规定来表明概率的运算法则。
它们是从客观实际中抽象出来的, 既概括了概率的古典定义、几何定义及频率定义的基本特征, 又避免了各自的局限性和含混之处。
这样, 概率论就从半物理性质的科学变成严格的数学分支, 和所有其他数学分支一样建立在同样的逻辑基础之上，完成了公理化的历史进程。
参考文献：1、《概率论公理化源头初探》程小红，杨静《西北大学学报(自然科学版)》2007年12月, 第37卷第6期2、《贝特朗悖论与概率论的公理化》冯变英，王平《运城学院学报》2008年4月第26卷，第2期3、SHEYNIN O. Bertrands work on probability[ J]. Archives for History of the Exact Science, 1994, 48: 155—199。