偏导数原理及相关计算
求偏导知识点总结
求偏导知识点总结1. 偏导数的定义偏导数的定义相对于函数的变量而言，是指在其他变量保持不变的情况下，函数对某一变量的变化率。
假设有一个由两个自变量 x 和 y 组成的函数 z=f(x,y)，在某个点（a,b）处的偏导数，表示对于 x 的变化率和对于 y 的变化率。
偏导数通常用∂z/∂x 表示对 x 的偏导数，用∂z/∂y 表示对 y 的偏导数。
2. 偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和应用偏导数。
（1）如果函数 z=f(x,y) 在某一点处可微分，那么在这一点处偏导数存在。
（2）偏导数的交换律：如果函数 f(x,y) 的偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y 都存在且连续，那么∂z/∂x 与∂z/∂y 的交换组合也存在，并且两者相等。
（3）混合偏导数：如果函数 f(x,y) 在某一点处具有偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y，那么这两个偏导数的混合偏导数∂^2z/(∂x∂y) 和∂^2z/(∂y∂x) 都存在，并且相等。
3. 偏导数的计算方法计算偏导数的方法和计算常规一元函数的导数有些不同。
对于二元函数 z=f(x,y)，求偏导数∂z/∂x 时，我们将 y 视为常数，对 x 求导；求偏导数∂z/∂y 时，我们将 x 视为常数，对y 求导。
例如，对于函数 z=x^2*y+sin(x)，求∂z/∂x 和∂z/∂y，分别视 y 和 x 为常数，计算出对 x 和对 y 的偏导数。
4. 偏导数的几何意义在二元函数的图像中，偏导数有一些很有趣的几何意义。
对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂x，可以理解为函数在 x 轴方向上的斜率，即函数在沿 x 方向的增加（或减小）时 z 的变化速率。
类似地，对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂y，可以理解为函数在 y 轴方向上的斜率。
在实际应用中，偏导数可以提供很多有用的信息。
例如，在经济学中，偏导数可以用来描述不同市场因素对价格的影响；在物理学中，偏导数可以用来描述多变量物理量的变化规律；在工程学中，偏导数可以用来解决多变量约束条件下的最优化问题。
偏导数的定义及其计算法
(x2 + y2 ≠ 0) 在点O(0,0)处；
(x2 + y2 = 0)
解 根据偏导数的定义，有
f x (0,0)
=
lim
Δx → 0
f
(0
+
Δx,0) Δx
−
f
(0,0)
=
lim
Δx ⋅ 0 (Δx + 0)2 + 02
−0
Δx→0
Δx
= lim 0 Δx→0 Δx
= lim 0 = 0
Δx→0
= tan β x
α
z
Ty
Tx 曲面z = f (x,y)
L
M
0
(x0 , y0 )
平面 x=x0.y.β二、高阶偏导数
一般说来，函数f(x,y)的偏导数
zx
=
∂f
(x, ∂x
y),
zy
=
∂f
(x, y) ∂y
还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y
的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x,y)的二阶偏
其中,点(x,y,z)是函数u = f (x, y, z)的定义域的内点.
从偏导数的定义可以清楚地知道，求多元函数的 偏导数，并不需要新的方法，求多元函数对哪个自变 量的偏导数，就是将其他自变量看成常量，而将多元 函数看成一元函数去求导，因此，一元函数的求导法 则和求导公式，对多元函数的偏导数仍然适用.
f (x, y0
y)
即
⎧z =
⎨ ⎩
y
=
f (x, y0
y０)
z Tx
L
M
0
曲面z = f (x,y)
平面 y =y0
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
偏导数abc法则
偏导数abc法则1. 引言在微积分中，偏导数是一种描述函数在某个点上沿着某个坐标轴方向的变化率的概念。
偏导数abc法则是一组规则，用于求解多元函数的偏导数。
本文将详细介绍偏导数abc法则的概念、原理和应用。
2. 偏导数的定义对于一个多元函数f(x1,x2,...,x n)，其在某个点(a1,a2,...,a n)处关于某个变量x i的偏导数定义如下：∂f ∂x i =limℎ→0f(a1,a2,...,a i+ℎ,...,a n)−f(a1,a2,...,a i,...,a n)ℎ其中∂f∂x i表示函数f关于变量x i的偏导数。
3. 偏导数abc法则3.1 基本思想偏导数abc法则是一种通过连续应用基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的求导法则来计算复杂多元函数的偏导数的方法。
它基于以下三个基本规则：常数法则、幂函数法则和和差法则。
3.2 常数法则对于一个常数c，它的偏导数为零：∂c∂x i=03.3 幂函数法则对于一个幂函数f(x)=x n，其中n是常数，它的偏导数为：∂f∂x i=n⋅x n−13.4 和差法则对于两个多元函数f(x)和g(x)，它们的和（或差）的偏导数等于各自的偏导数之和（或之差）：∂(f+g)∂x i =∂f∂x i+∂g∂x i3.5 乘积法则对于两个多元函数f(x)和g(x)，它们的乘积的偏导数可以通过以下公式计算：∂(f⋅g)∂x i =f⋅∂g∂x i+g⋅∂f∂x i3.6 商法则对于两个多元函数f(x)和g(x)，它们的商的偏导数可以通过以下公式计算：∂(fg)∂x i =g⋅∂f∂x i−f⋅∂g∂x ig24. 偏导数abc法则的应用偏导数abc法则在实际问题中有着广泛的应用，特别是在物理学、经济学、工程学等领域。
以下是一些常见的应用示例：4.1 最优化问题偏导数可以帮助我们求解最优化问题。
通过计算多元函数的偏导数，并令其等于零，可以找到函数取得极值（最大值或最小值）的点。
偏导数概念及其计算
偏导数概念及其计算
偏导数是求解多元函数的过程，它将多元函数的变化量分解出来，表
示与其中一个变量有关的导数，而忽略其他变量的影响。
比如，给定函数
f（x，y），对于其中一个变量x，我们可以定义偏导数f'x（x，y）表示
对于x变量而言，f的变化量，而忽略另一个变量y。
偏导数在求解函数的最值时很常用，是求解多元函数的最值、极值、
微分的重要方法，可以根据偏导数的值来判断该点是极值点还是普通点，
而无需关心其他变量的取值。
偏导数的计算：
（1）多元函数的偏导数
多元函数的偏导数定义为在所有的其他变量保持不变的情况，仅针对
一个变量的导数。
一般表示为：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
（2）多元函数的偏导数的计算方法
1）首先，根据函数求出所有变量的偏导数：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
f'_y(x,y)=∂f/∂y
2）若函数f(x,y)为非限制类型的多元函数，只需要求出变量x，y
的偏导数即可，求取其中其中一项变量的偏导数时，把其他变量看做常数，然后用一般微分法计算即可。
3）若函数f(x,y)为限制类型的多元函数，即该函数中存在不可加以变动的约束条件，此时，可以先求出该函数的全部变量的偏导数，然后根据拉格朗日乘数法求出未知偏导数。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
偏导数知识点总结
偏导数知识点总结一、偏导数的定义1.1 偏导数的定义在一元函数的导数中，我们知道函数在某一点上的导数是该点上切线的斜率，表示函数的变化速率。
而对于多元函数而言，其变量不再只有一个，而是有多个自变量。
因此，多元函数的变化速率也需要沿着各个自变量方向来进行分析。
这就引出了偏导数的概念。
设函数z=f(x,y)表示一个二元函数，如果z在点(x0,y0)处的偏导数存在，那么这个偏导数就表示函数z在点(x0,y0)处对自变量x或y的变化率。
1.2 偏导数的符号表示一般来说，对于函数z=f(x,y)而言，其偏导数有以下表示方法：∂f/∂x 表示f对x的偏导数∂f/∂y 表示f对y的偏导数其中，∂代表“偏”，表示“对于某一变量的偏导数”。
1.3 偏导数的几何意义对于二元函数z=f(x,y)而言，其偏导数在点(x0,y0)处有着直观的几何意义。
对于∂f/∂x来说，其表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处，对于x的变化率。
换句话说，就是当x在点(x0,y0)处做微小的增量Δx时，函数z在这一点的斜率。
这也为我们理解偏导数提供了直观的图形化方式。
二、偏导数的计算方法2.1 偏导数的计算步骤在计算偏导数时，需要按照以下步骤进行：（1）首先确定函数的变量和导数所对应的自变量。
（2）对于多元函数z=f(x,y)来说，在计算偏导数时，只需将其他自变量视为常数进行计算。
（3）分别对每一个自变量进行求偏导数，从而得出偏导数的值。
2.2 偏导数的计算规则在计算偏导数时，有以下几个基本的计算规则：（1）常数求导规则：对于常数c，其偏导数为0，即∂c/∂x=0，∂c/∂y=0。
（2）一元函数求导规则：对于多元函数f(x,y)=g(x)h(y)，其偏导数可用一元函数求导法则计算。
（3）和差积商的偏导数计算：对于以上引用的复合函数，其偏导数的计算可利用和差积商的法则计算，具体可参考一元函数的求导法则。
（4）高阶偏导数的计算：与一元函数的高阶导数一样，多元函数的高阶偏导数也可以递归地计算，即先求一阶偏导数，然后再计算其偏导数的偏导数，直至得出所求的高阶偏导数。
偏导数知识点总结方法
偏导数知识点总结方法一、偏导数的定义偏导数是多变量函数在某一点上的导数。
对于一个多变量函数f(x, y)，其在点(x0, y0)处的偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
其中，∂f/∂x表示在y固定的条件下，f对x的变化率；∂f/∂y表示在x固定的条件下，f对y的变化率。
在数学上，可以用以下的极限定义来表示偏导数：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
这样，我们就可以得到一个多变量函数在某一点上的偏导数值。
二、偏导数的性质偏导数具有一些特有的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和计算偏导数。
下面是一些偏导数的性质：1. 常数乘法法则：如果f(x, y)是一个多变量函数，k是一个常数，那么∂(kf)/∂x = k∂f/∂x，∂(kf)/∂y = k∂f/∂y。
2. 和差法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(f+g)/∂x = ∂f/∂x + ∂g/∂x，∂(f+g)/∂y = ∂f/∂y + ∂g/∂y。
3. 乘积法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(fg)/∂x = g∂f/∂x + f∂g/∂x，∂(fg)/∂y = g∂f/∂y + f∂g/∂y。
4. 商法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(f/g)/∂x = (g∂f/∂x - f∂g/∂x) /g^2，∂(f/g)/∂y = (g∂f/∂y - f∂g/∂y) / g^2。
5. 复合函数法则：如果z=f(x, y)，x=g(u, v)，y=h(u, v)，那么∂z/∂u = (∂z/∂x)(∂x/∂u) +(∂z/∂y)(∂y/∂u)，∂z/∂v = (∂z/∂x)(∂x/∂v) + (∂z/∂y)(∂y/∂v)。
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f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
2 z e x2y 2 x 2 2 z z x2y 4 e x2y 2e 2 y x y 3 2 z z ( ) 2 e x2y y x 2 x y x
3 z 的二阶偏导数及 . 2 y x z 2 e x2y y 2z 2 e x2y x y
x0 x
x0
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
称其为甲商品关于自身价格 p2的边际需求；
Q2 p1
Q2 Q1 Q1 的边际解释可与 的边际解释类似. p2 p1 p2
三、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
所以，曲线在1,1, 3 处的切线与 y 轴正向所成的倾角为 3 tanபைடு நூலகம் . 3 6
二. 经济函数的偏导数几何意义
设两种相关商品甲和乙的需求函数为：
Q1 f1 p1 , p2
Q2 f2 p1 , p2
p 其中 Q1 Q2 为甲，乙商品需求量， 1 p2 分别表示甲和乙
Tx
y0
Ty
o
y
Z f x0 , y
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的斜率.
有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例如, 设z f ( x, y)
解
xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
z f ( x, y ) Z f x, y 是曲线 0 y y0
在点 M0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率. x 0 f d x f ( x0 , y) x x0 y y0 y y y0 d y 是曲线
第二节
偏 导 数
1 偏导数概念及其计算 2 经济函数偏导数的几何意义 3 高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法
一元函数 y f (x)
二元函数 z f ( x, y ) 若在两个自变量中 x 是变化的,
y 是不变的(视为常数 y0 ） 则 z f ( x, y0 ) 是x 的一元
函数.函数关于这个自变量 x 的变化率就是二元函数对
偏导数 , 记为
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
f y ( x, y , z ) ?
| x0|0 0 f y (0,0). f x (0,0) lim x 0 x
问题 : 连续是否偏导数存在 ?
如 z x y 在(0,0)点连续但偏导数不存在.
x0 0 x z lim lim . x 0 x x x0 x
连续不一定偏导数存在,
偏导数存在也不一定连续
同理
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
偏导数的求法 :
求多元函数对哪个自变量的偏导数, 就将其它自变量看作常数, 用一元函数求 导法则及公式求偏导.
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
的价格.需求量 Q1 Q2 的偏导数为边际需求函数：
Q1 表示乙商品的价格 p2 保持不变的情况下， p1
甲商品的价格
p1
变化时，甲商品需求量Q1 的变化率，
称其为甲商品关于自身价格 p1 的边际需求；
Q1 表示乙商品的价格 p1 保持不变的情况下， p2
乙商品的价格
p2
变化时，甲商品需求量Q2 的变化率，
f y x (0,0) lim f y ( x, 0) f y (0, 0) x
x 0
x4 4x2 y 2 y 4 y , x2 y2 0 f x ( x, y ) ( x2 y 2 )2
x lim 1 x 0 x
二 者 不 等
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x 2 z 2z z z ( ) 2 f y y ( x, y ) ( ) f y x ( x, y ); y y y x y y x
解法2: z
x 2 6x 4 y 2
z x (1, 2) 2 z z x 1 1 3 y y y (1, 2)
z x y ( x 0, 且 x 1 ， ） 求证 例2. 设
x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z y x ln x y
2z
例3. 求 解:
的偏导数 .
2x x r x 2 x2 y 2 z 2 r
r z z r
z 1 x2 y 2 在点 1,1, 3 处的切线 例4: 求曲线 x 1 和 y 轴正向所构成的倾角. 解 所给的曲线是曲面 z 1 x 2 y 2 与平面 x 1 的交线。 该曲线在点 1,1, 3 处的切线关于 y 轴的斜率为 y z 3 2 2 y 2 y 1 y 2 y y 1 3 1,1, 3
例2. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
2
3 x r 1 3 x2 1 u 3 4 3 5 r x r r x2 r 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2 2 2 u u u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
x
x f z ( x, y, z ) ? (请自己写出)
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
例如, f ( x, y )
x2 y2 xy 2 , x2 y2 0 x y2
0,
x2 y2 0
0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 x , x2 y2 0 f y ( x, y ) ( x2 y 2 )2 0, x2 y2 0 f x (0, y ) f x (0, 0) y f x y (0,0) lim 1 lim y 0 y 0 y y
３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 连续，
例如,
xy , x2 y2 0 2 z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
x0 0 f ( x, 0) f (0, 0) 2 lim 0 lim x 0 x0 x x0 x
x 的偏导数.
定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x f 的偏导数，记为 ; z x ( x0 , y 0 ) ; x ( x0 , y 0 ) f1( x0 , y0 ) . f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 f ( x x x) f ( x0 ) x y 0 d f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
r2
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数 为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
n z ) n 1 x y
例1. 求函数 z e x 2 y
解:
z e x2y x