数学分析考研复习讲义5实数的完备性
数学《实数的完备性》讲义
第七章实数的完备性1. 教学框架与内容教学目标①掌握实数集完备性的基本定理内容．②掌握实数集完备性的基本定理等价性证明．③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.教学内容①实数完备性基本定理内容及其之间的相互等价性．②有界闭区间上连续函数性质的证明.2. 重点和难点①正确理解基本定理的含义及适用范围.②基本定理等价性证明.③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.3. 研究性学习选题● 完备性基本定理的应用, 以区间套定理和有限覆盖定理为例.小组进行一次交流：叙述实数完备性基本定理的应用.●举例用不同完备性定理证明同一命题, 体会不同完备性定理的奥妙之处. 进行一次研讨：举一例说明不同完备性定理的不同应用.4. 综合性选题, 写读书笔记■整理完备性定理等价性证明.■整理每个完备性定理适用范围.5. 评价方法◎课后作业，计10分.◎研究性学习布置的两个选题合计30分.●完备性基本定理的应用（计15分）●用不同完备性定理证明同一命题（计15分）◎读书笔记计60分.●完备性定理等价性证明总结（计30分）●完备性定理适用范围总结（计30分）§1 实数基本定理的陈述一、确界原理定理1 非空有上(下)界数集必有上(下)确界.二、单调有界原理定理2 单调有界数列必收敛.例 1 确界原理⇒单调有界原理.三、闭区间套定理1、 区间套设{[,]}n n a b 是一闭区间序列，若满足条件1) 对任意n ，有11[,][,]n n n n a b a b ++⊂，即11n n n n a a b b ++≤≤≤，2) lim 0n n n b a →∞-=，即n →∞时，区间长度趋于0， 则称该闭区间序列为一个(递缩)闭区间套，简称为区间套，区间套还可表示为1221n n a a a b b b ≤≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤≤.注 1 区间套{[,]}n n a b 涉及两个数列{},{}n n a b ，其中{}n a 递增，{}n b 递减且{}n a 有 上界1b , {}n b 有下界1a ，从而由单调有界原理{},{}n n a b 均收敛，不妨设n a a →，n b b →. 故a b ≤且由0n n a b -→有b a =.2、区间套定理定理3 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则存在唯一R ξ∈，使得n N ∀∈，[,]n n a b ξ∈，即区间套必有唯一的公共点.例 2 单调有界定理⇒区间套定理. (注意唯一性)注 2 若区间套{[,]}n n a b ，n n b a -→0，则应有何结论……推论 设ξ为区间套{[,]}n n a b 所确定的点，则对任给0ε>，存在N ，使得n N >时， [,](,)n n a b U ξε⊂.注 3 区间套定理中，区间套均为闭区间，而对开区间套未必成立，如11{(0,)}n n∞=. 例 设{(,)}n n a b 是一个严格开区间套，即1221n n a a a b b b <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<⋅⋅⋅<<,且lim 0n n n b a →∞-=，证明: 存在唯一的R ξ∈，使得(,)n n a b ξ∈,n N ∀∈.四、Cauchy 收敛准则1、基本列 (Cauchy 列)若数列{}n a 满足0ε∀>，存在N ∈N ，使得,m n N ≥时m n a a ε-<, 则称{}n a 为基本列或Cauchy 列.注 3 {}n a 为Cauchy 列0,,,,n p n N n N p a a εε+⇔∀>∃∈N >∀∈N -<.例 证明 1) 20.9sin0.90.90.9n n x =+为Cauchy 列 2) 22211112n a n=++⋅⋅⋅+为Cauchy 列. 例 不用Cauchy 准则证明:1) Cauchy 列必为有界列.2) 若Cauchy 列有收敛子列,则其本身必收敛.2、Cauchy 收敛准则定理 4 数列{}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列例3 区间套定理⇒Cauchy 收敛准则.1、聚点设S R ⊂为数集，ξ为定点(ξ可能属于S ，可能不属于S )，若ξ的任何 邻域内均含有S 的无穷多个点，则ξ称为S 的一个聚点.例 1) 1{,}E n N n=∈有唯一聚点0. 2) [0,1)的聚点集为[0,1].3) [0,1)中的有理数的聚点集[0,1].4) 有限点集无聚点.2、聚点等价条件ξ为S 的聚点00,(,)S εξε⇔∀>≠∅(ξ的任何邻域内中有S 中异于ξ的点);⇔S 中存在异于ξ的点列{}n a ，n a ξ→;⇔S 中存在互不相同的点列{}n a ，n a ξ→.例 设S 为有上界集，sup S S ∉，则{},sup n n a S a S ∃⊂→.[sup S S ∉，则sup S 为S 的一个聚点]定理5 (Weierstrass定理)实数中任一有界无限点集S至少有一个聚点. 例 4区间套定理⇒聚点定理.推论有界数列必有收敛子列----致密性定理.六、致密性定理定理6有界数列必有收敛子列.例 5致密性定理⇒Cauchy收敛准则.七、(Heine Borel -)有限覆盖定理1、开覆盖设开区间族{(,),}G I a b λλλλ==∈∧(∧为一指标集)，设S 为一数集，若对任,x S λ∈∃∈∧，使x I λ∈，则称区间族G 覆盖了S ，或称区间族G 是数集S 的一个覆盖，记作(,)S a b λλλ∈∧⊂.若∧为有(无)限集，则称覆盖为有(无)限覆盖S .若∑为的∧子集，且{(,),}a b λλλ∈∑也覆盖S ，则称{(,),}a b λλλ∈∑为G 的一个子覆盖. 特别地，若∑是有限集, 则称为G 的一个有限子覆盖.例 1) {(,),(0,1)}22x x G x x x =-+∈覆盖了区间(0,1)，但其不能覆盖[0,1]？ 2) 若f 在(,)a b 上连续，则0ε∀>，对每一个(,)x a b ∈都存在正数 (,)0x x δδε=>，使得当'(,)(,)x x x x U x x x δδδ∈=-+有(')()f x f x ε-<， 从而开区间族{(,x G x x δ=-),(,)}x x a b δ+∈就为(,)a b 上的一个无限开覆盖.一般称(,)x I x x x x δδ∈⋃-+为I 上的一个自然覆盖.2、有限覆盖定理定理7 设G 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则可从G 中选中有限子覆盖来覆盖[,]a b .例 6 闭区间套定理⇒有限覆盖定理.§2 完备性定理等价性证明确界原理 ?⇐ Cauchy 收敛准则 ⇐ 致密性定理⇓ ⇑ ⇑单调有界定理 ⇒ 区间套定理 ⇒ 聚点定理⇓ ?⇑有限覆盖定理 ⇒例 7 Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理.例 8 有限覆盖定理⇒聚点定理.例 9 聚点定理⇒区间套定理.例 10 Cauchy 收敛准则 ⇒ 有界单调定理.实数完备性命题都可以用于确定某个具有某种性质的点.1、 单调有界定理与Cauchy 收敛准则通常用于判断数列的收敛性. (即收敛数列的极限点).2、 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点.3、 致密性定理是同聚点原理一般将数列过渡到子列(可要求子列具有某种收敛性).4、 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点性质(局部性质).方法是 假设I 具有某种性质P ，对分I ，得到两个子区间，可要求其一必须仍满足性质P ，如此可得到区间套{}n I 及公共点α，由α的任一邻域必包含某n I ，则得到的任一邻域具有性质P .5、 有限覆盖定理主要在于把局部性质扩展成整体性质。
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
实数的完备性
實數的完備性楊維哲實數的完備性在教學上是有些麻煩，這是相當「概念」的東西；今天講這個題目是因為這裡面有些要注意的小地方，提出來供大家參考。
在小時候我們學數系都從數手指頭開始，這就是自然數系，在自然數系N 之後，有正有理數系（分數），然後推廣到負數，因此有了整數全體，從整數再推廣就是所有的有理數，這要如何介紹呢？一開始先有自然數，然後有分數，分數就是因為除不盡而產生的，也可說是為了要解如5x=3 的方程式而產生，負數的出現是因為要解如x+7= 的方程式，亦即是要作2-7=-5 的運算，因為要使運算成為可能就必須慢慢地把數系擴展，不擴展就沒有辦法，這是發展整個數系的一個動機。
在運算上，從加減乘除一直做到有理數就完備了，因為加減乘除在有理數中都可以自由運算下去。
再下去的說法，大家都曉得。
「為什麼會出現R 是因為x2 =2 這個方程式在有理數系中沒有解，可見有理數系是不夠用的，所以出現了無理數」；當然也因為x2+1 在實數系中不夠解，所以出現了i ，因此我們可以擴展到複數系。
在從N 擴展到有理數系Q 是為了要使四則運算不受限制，解方程式是一個很重要的主題。
但由Q 再擴展下去是否還是為了解方程式的理由？我先強調這一點：無理數的出現，不只是為了代數上的動機，其實在數學上還有其他種種理由配合起來的。
在初中，你可能用純粹代數的理由來擴展數系，到了高中就不是了！到了高中，擴大數學的題材，研究種種的函數，如三角函數，指數、對數函數……等，這是一個主題：但在高中，還有一個重要的主題，即解析幾何，我的意思不是項武義、黃武雄的向量(Vector) 幾何，這不太合乎原來解析幾何的意思。
真正的解析幾何是笛卡爾與費馬所發明的座標幾何：用座標的方法來做幾何問題，所有幾何問題都用座標來解。
他們這個辦法與今天所談的題目有密切的關係，它是數與圖形的配合，就是代數與幾何結合在一起。
在平面解析幾何中用兩個數(x,y) 來表一點，立體解析幾何用三個數(x,y,z) 來代表一點，將來可以推廣到n 維空間，但最基本的還是在一維空間的圖形，即一直線上的座標化，因為兩維、三維……均可類推，這一維空間的情形牽涉很廣，如測量問題，即幾何與代數的聯繫，這非常重要，它與實數的完備性有密切的關係，在數學史上量長度與座標化是在直線上取0 為原點，1 為單位長，我們就可以在直線上點出2、3……還有「幾分之幾」。
实数的完备性
不存在 S,
使 1 . n
例：②设
I （0，1），S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }. n1
则开区间集S覆盖区间I，
x (0,1), 只要自然数m充分大，有
1 x m 1
即x ( 1 ,1) m1
定理7.3 （海涅—博雷尔（Heine-Borel)有限覆盖定理） 闭区间[a, b]的任一开覆盖H，必可从H中选 出有限个开区间覆盖[a, b]。
它是区间(a, b)的一个无限开覆盖。
又如：（0，2），（1，3）， ，（n 1, n 1）,
3
24
n n2
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
例：①设
I （0，1），S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }. n1 n
则开区间集S没有覆盖区间I，
1 (0,1), n
取 n min{ 1/ n,| xn1 |},则xn U ( ; n ) S，
且xn与x1，x2， xn1互异，
无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列 { xn },
且满足：|
xn
|
n
1， n
从而
lim
n
xn
.
证毕。
定理7.2 （魏尔斯特拉斯（weierstrass)聚点定理）
n 即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. {(1 1 )n }也是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e.
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套定 理、聚点定理和有限覆盖定理，
还将证明这六个基本定理的等价性。
一、 区间套定理与柯西收敛准则
数学分析第七章 实数的完备性
设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合,(即 H 的每一个 元素都是形如 (, )的开区间).若 S 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 H为 S的一个开覆盖,或简称H 覆盖 S .
若 H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 H 为 S 的一个
无限(有限)开覆盖.
例 开区间集
H = {(x - b - x , x + b - x) | x (a,b)}
五 作业
P168: 1, 3, 5, 6.
第七章 实数的完备性
§2 闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理
若函数 f 在闭区间 [a,b]上连续,则 f 在 [a,b] 上有界.
证明: (应用有限覆盖定理证明)
由连续函数的局部有界性， x' [a,b],U(x';x' ),Mx' 0使得
f (x) M x' x U (x'; x' ) [a,b]. 考虑开区间集 H = {U (x'; x' ) x' [a,b]}, 显然H是[a,b]的一个无限开覆 但不能覆盖[a, b].
•2 定理7.3 (Heine-Borele 有限覆盖定理)
设H 为闭区间 [a,b] 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中可 选出有限个开区间来覆盖 [a,b] .
•定理的证明
用反证法 假设定理的结论不成立， 即不能用H中有限个
开区间来覆盖 [a,b]. 将[a,b]等分为两个子区间 ， 则其中至少有一个子区 间不能用H
说明:区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.
如{(0, 1 )},虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个, n
且 lim ( 1 - 0) = 0,但不存在属于所有开区间的公共点. n n
实数的完备性、列紧性与紧性
ba ba ，易知 lim ln lim bn a n lim n =0。 n n n n 2 2
那么由区间套定理知，存在实数 c ，满足
k 1
I k c 。
下面构造一个 X 中的序列 cn ，该序列收敛于 c 。
cn 定 义 如 下 ： 对 每 个
n n n
a b c。
下面证明 c 是所有区间的唯一公共点，即
k 1
I k c 。
k 1
由单调收敛定理知 sup an c inf bn ，所以 an c bn ，即 c
I k 。对于
任意正实数 ，存在正整数 N,使得 c aN c bN c ，所以任意不等于 c
n n
a A 和非负数 ,使得 a c 。存在正整数 N,使得 c xN c a ，由于 xN
是 A 的一个上界且 A 无最大值， xN a 不可能成立。所以， c 是 A 的上界。对 于任意正数 ，存在存在正整数 N，使得 c aN c ，所以任意小于 c 的实数不 是 A 的上界。综上， c 是集合 A 的上确界。 3.单调收敛定理: R 中的单调有界序列必收敛。 证明:用确界原理证明。 仅对单调递增的序列证明，单调递减序列的证明是类似的。 设 an 是单调递增的序列且上有界。由确界原理知 an 由上确界，设
I n an , bn ， 任 取 cn I n X 。 因 为 c I n ，
cn c bn an 。因为 lim bn an 0 ，所以对于任意正数 ，存在正整数 N，使
n
得 n>N 时， cn c bn an 。那么根据极限的定义， cn 收敛于 c 。 （或:用致密性定理:元素个数无限时，选出元素互不相同的序列，再选出收 敛子列，显然该子列就是集合的收敛的序列） （或:用聚点定理证明。元素个数无限时，用聚点定理得到聚点的存在性， 再构造一个收敛于聚点的序列） （或:用单调收敛定理证明。 选出单调子列， 马里兰大学 Fitzpatrick 所 著《高等微积分》的证法） 2.聚点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的有界无限子集存在聚点(极限点)。 证明:用列紧定理证明。 从集合中选出一个元素互不相同的序列(因为是无限集，所以可以做到)，由 列紧定理得到一个收敛的子序列，显然此序列的极限是集合的聚点。 （或：用有限覆盖定理证明。假设不存在聚点，那么每个点都是孤立点，那 么集合是闭集， 有限覆盖定理成立。每个孤立点都存在一个不包含任何其他点的 邻域，这些邻域的集合是一个开覆盖，而这个开覆盖显然不存在有限覆盖，因为 点和邻域是一对一的。那么这与有限覆盖定理矛盾，所以聚点必然存在。 ） 3.致密性定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的有界序列存在收敛的子序列。 证明：用聚点定理。 设 xn 是 R 的有界序列。设 xn 的象集是 X。 (1) X 是有限集。 显然此时存在一个数 a 对应了无穷个下标， 取出这些下标便得到一个收敛到 a 的常序列。 (2) X 是无限集。 因为 xn 是 R 的有界序列，集 X 显然是有界的。所以由聚点定理知，集 X 存 在聚点，设集 X 的一个聚点为 x 。根据聚点的定义，存在正整数 N1 ，使得
实数的完备性
第七章 实数的完备性§1 实数完备性的基本定理1． 验证 数集},2,11)1{(L =+−n n n有且只有两个聚点11−=ξ和12=ξ 解 因{1+}21n 是{(-1)n+n 1}的所有偶数项组成的子列,且,1)211(lim =+∞→nn 故12=ξ是数集},2,11)1{(L =+−n n n的一个聚点.由于}1211{−+−n 是原数集的所有奇数项组成的子列,且,1)1211(lim −=−+−∞→n n 因而11−=ξ也是原数集的聚点.下证该数集再无其它聚点. 时，有则当取001}21,21min{,1εϕϕεϕ>−+=±≠∀n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−=−−−为奇数为偶数为奇数，为偶数）（n n n n n n n n n n ,11.1111,1111ϕϕϕϕϕ.1200εε>−≥n故ϕ不是该数集的聚点.这就证明原数集只有两个聚点,即1+与1−. 2．证明:任何有限数集都没有聚点.证 设S 是有限数集,则对任一S R a 因,1,0=∃∈ε是有限数集,故领域),(0εa U 内至多 有S 中的有限个点,故a 不是S 的聚点,由a 的任意性知,S 无聚点.3．设)},{(n n b a 是一严格开区间套,即1221b b b a a a n n <<<<<<<<L L L , 且.0)(lim =−∞→n n n a b 证明存在唯一一点ξ,有L ,2,1,=<<n b a n n ξ证 作闭区间列]},{[n n y x , 其中L ,2,1,2,211=+=+=++n b b y a a x n n n n n n ，由于),(,11N n b y b a x a n n n n n n ∈∀<<<<++ 故有(1) ))(,(],[),(11N n b a y x b a n n n n n n ∈∀⊂⊂++，从而L ,2,1],,[],[11=⊂++n y x y x n n n n(2) )(0N n a b x y n n n n ∈∀−<−<从而由]},{[.0)(lim ,0)(lim n n n n n n n n y x x y a b 所以得=−=−∞→∞→为闭区间套.由区间套定理知,存在一点).,2,1()1().,2,1](,[L L =<<=∈n b a n y x n n n n ξξ有由满足条件),2,1(L =<<n b a n n ξ的点ξ的唯一性的证明与区间套定理的证明相同.4．试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
实数完备性的证明第一部分 七个定理的证明1.单调有界定理→区间套定理证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n limna = r ，同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b =r ' ，由∞→n lim （nna b-）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
下面证明唯一性。
用反证法。
如果不然。
则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令221'r r r +=显然2'1r r r <<⇒A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。
唯一性得证。
定理证完。
2.区间套定理→确界定理证明：由数集A 非空，知∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ，b ]，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a+是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a+]；如果211b a+不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a+二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，便得区间套[na ，nb ]。
其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
由区间套定理可得，∃唯一的 ∞=∈1],[n n nb ar ，使∞→n lim n a =∞→n limn b = r 。
A x ∈∀，由≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r是A 的上界。
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二
实数基本定理
1 基本定理
定理 1（Dedekind 确界定理）任何非空数集 E ，若它有上界，则必有上确界；若有下界， 则必有下确界． 定理 2（单调有界定理）单调有界数列必收敛． 当 m, n > N 定理 3 （Cauchy 收敛准则） 数列 {x n } 收敛的充要条件是：∀ε > 0 ，∃N > 0 ， 时，有 x m − x n < ε ． 定理 4（Bolzano-Weierstrass 致密性定理）有界数列必有收敛子列． 定理 5（Weierstrass 聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点． 定理 6（Cantor 区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点． 定理 7（Heine-Borel 有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖． 说明： 定理 1~6 属于同一类型， 它们都指出： 在一定条件下， 便有某一种 “点” 的存在． 这 种点分别是：确界（点） 、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点．定理 7 属于另一类型，它 是前六个定理的逆否形式，不论用前 6 个定理来分别证明定理 7，还是用定理 7 分别证明前 6 个定理，都可用反证法来证明，而前 6 个定理都可以直接推出．
有且仅有一个成立； （2）传递性：若 x < y ， y < z ，则 x < z ； （3）与“+”相容性：若 x < y ，则 ∀z ∈ R ，有 x + z < y + z ； （4）与“· ”相容性：若 x < y ， z > 0 ，则 x ⋅ z < y ⋅ z ． 公理 3（阿基米德（Archimedes）公理） ∀x > 0 ， y > 0 ， ∃n ∈ N ，使得 nx ≥ y ． 公理 4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界． 由此可定义： 定义 3 实数空间是这样的集合 R ，在其上定义了“+” 、 “· ”运算，以及序关系“<” ，满 足上述四组公理， R 中的元素称为实数．
1 ， x n ∈ [α n , β n ] ．可见以无限不循环小数定义无 → 0（n → ∞） 10 n
理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理， 即承认它是正确的． 历史上引进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有 理数列的基本序列法． 戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集 A, B ．如 果折断处是有理点， 那么它不在左子集， 就在右子集， 这样分割就确定了一个有理数， 即 A的 最大数或 B 的最小数．如果 A 中没有最大数， B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上 的一个“空隙” ，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学 系沈燮昌编写的《数学分析》 ，高等教育出版社，1986 年） ． 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近
Байду номын сангаас
x < y，x = y ，x > y
②
从古至今，数学的发展大致经历了五个时期： （1）萌芽时期（公元前 600 年以前） ； （2）初等数学时期（公元前 600 年到 17 世纪中叶） ：欧氏几何、算术、初等代数、三角等； （3）变量数学时期（17 世纪中叶到 19 世纪 20 年代） ：微积分的建立、解析几何、运动观点等； （4）近代数学时期（19 世纪 20 年代到 20 世纪 40 年代） ； （日前大学中的主要数学课程） （5）现代数学时期（20 世纪 40 年代以来） ：显著特点：计算机的广泛应用． 191
第五讲
I 一 基本概念与主要结果 实数空间
1 无理数的定义
实数的完备性
人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后 可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定 由于开方与不可公度问题 ① 发现了无理数， 义．事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分．为了让实数与数轴上 的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法． 方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限 不循环小数定义为无理数． 取其 n 位小数的不足近似值 α n 与过剩近似值 β n ，α n 与 β n 均为 一个无限不循环小数 x ， 有理数，且 β n − α n =
毕达哥拉斯（公元前约 580~约 500） ：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收 300 门徒组织了一个“联 盟” ，后称之为“毕达哥拉斯学派” ，宣扬神秘宗教和唯心主义．在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神 秘化，认为“万物皆数” ，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序” ，这里的数指的是自然然及自然数之比， 即“有理数” ，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以 1 为直角 边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数 学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决． 190
（4）两个特殊元素 0 与 1： ∀x ∈ R ，有
x + 0 = x ， x ⋅1 = x ；
”的逆元 x −1 （此时 x ≠ 0 ） ，有 （5）每个 x ∈ R ，关于“+”的逆元 − x ，关于“·
x + (− x ) = 0 ， x ⋅ x −1 = 1
公理 2（全序公理）与“+” 、 “· ”运算相容的全序公理 （1） ∀x, y ∈ R ，下列三种关系
n→∞
（2）
将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类．有理数 a 可表为基本列的极限，如 常数列 {a}n =1 ．这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理
∞
数时，称之为无理数． 此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性， 称这种性质为完备性．
2
实数空间的定义
公理 1 （域公理） ∀x, y , z ∈ R ，有 （1）交换律： x + y = y + x ， x ⋅ y = y ⋅ x ； （2）结合律： ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ，
(x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) ； （3）分配律： x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z ；
①
代数学中是十分有用的，影响深远 ② ． 定义 1 有理数列 {x n } 称为是基本列，若 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ，当 m, n > N 时，有
xm − xn < ε
定义 2
（1）
′ } 称为是等价的，若 两个有理数基本序列 {x n } 和 {x n
′)= 0 lim ( x n − x n