球杆系统

实验一球杆系统简化模型的建立和稳定性分析

一、实验目的

1、理解球杆系统模型建立的基本步骤；

2、建立球杆系统的简化数学模型；

3、掌握控制系统稳定性分析的基本方法；

二、实验要求

1、建立球杆系统的数学模型；

2、分析的稳定性，并在matlab 中仿真验证；

三、实验设备

1、球杆系统；

2、计算机、matlab 平台；

四、实验原理

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。机理建模是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入——输出状态关系。实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入——输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

在导轨上移动的系统，是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面采用其中的牛顿——欧拉方法建立球杆的数学模型。球杆系统的机械部分包括底座、小球、横杆、减速皮带轮、支撑部分、马达等。如图1.1所示。

图1.1 球杆本体图

小球可以在横杆上自由的滚动，横杆的一端通过转轴固定，另一端可以上下转动，通过控制直流伺服电机的位置，带动皮带轮转动，通过传动机构就可以控制横杆的倾斜角。

直流伺服电机带有增量式编码器（1000P/R），可以检测电机的实际位置，在横杆上的凹槽内，有一线性的电阻传感器用于检测小球的实际位置。当带轮转动角度，横杆的转动角度为，当横杆偏离水平的平衡位置后，在重力作用下，小球开始沿横杆滚动。如下图1.2所示。

图1.2 球杆运动示意图

连线（连杆和同步带轮的连接点与齿轮中心的连线）和水平线的夹角为的角度存在一定的限制，在最小和最大的范围之间），连杆和齿轮的连接点与齿轮中心的距离为d ，横杆与支撑杆连接点的长度为L ，于是，横杆的倾斜角α和θ之间的有如下的数学关系：

d L

αθ=

角度θ和电机轴之间存在一个减速比4n =的同步带，控制器设计的任务是通过调整齿轮的角度θ，使得小球在某一位置平衡。

动力学分析小球运动，其重力、惯量、转角α、位移r 之间存在如下关系：

(

J

R 2

+m)r̈+mgsinα−2m 2

2sin ()0J m r mg mr R αα⎛⎫++-= ⎪⎝⎭

（1.1）

其中：

g 为重力加速度——9.82/m s m 为小球的质量0.11kg R 为小球的半径

J 为小球的转动惯量225

mR

r 为小球的在横杆上的位置 d 为齿轮半径45mm

L 为支撑横杆连接点的长度170mm

假设小球在横杆上的运动为滚动，且摩擦力可以忽略不计，α很小，则

sin αα≈ 0α≈

方程化简为：

2()mg

r J

m R

α=

+

（1.2）

2

5

1.8537

(

)mgd gd r J

L m L R θθθ⨯=-

=

=⨯+ （1.3） 其中，系统输出量r 是小球在平衡杆上的位置；输入量θ是转盘的转角； 五、实验内容及步骤

1、 根据微分方程求取传递函数：

当以θ为系统输入量时，位置r 和θ的传递函数为：

2() 1.853

()r s s s

θ= （1.4） 2、在 Matlab

中建立数学模型（2.4)式所对应的单位负反馈闭环系统的 Simulink 结构

如下图1.3所示：

图1.3 Simulink 仿真框图

仿真结果如下图1.4所示：

图1.4 仿真结果

闭环系统系统震荡，必须设计控制器使系统稳定。

六、实验记录

七、实验分析及思考题

影响系统稳定的因素是闭环系统的极点位置，闭环极点为【i，-i】，则系统震荡。测量系统稳定性的方法之一是加入大小合适的阶跃信号，根据其输出的阶跃响应分析系统的稳定性和其他性能。

思考题：

1、根据建模的过程，总结机理法建模的基本步骤；

1)根据系统运动的物理规律建立方程；

2)化简为微分方程；

3)根据小偏差线性化的理论化简为线性系统的传递函数；

2、实验结果分析、讨论和建议。

实验二 根轨迹法仿真及实物模拟仿真实验

2.1 根轨迹法仿真及实物模拟仿真实验

一、实验目的

1、会用根轨迹法设计球杆系统控制器；

2、设计并验证校正环节； 二、实验要求

1、根据给定的性能指标，根据根轨迹发法校正球杆系统，并验证之。

2、设球杆系统的开环传递函数为：02

1.8=3

s s 5（）G ，设计 PID 校正环节，使系统的性能指标达到：s t ≤3s ，p δ≤20%。

三、实验设备 1、球杆系统；

2、计算机matlab 平台； 四、实验原理

球杆系统的开环传递函数我们可以通过实验一得到，如下：

2() 1.853

()r s s s

θ= 该系统为双积分环节，绘制未校正系统的根轨迹图如下：

Matlab 语言如下：

num=[1.833]; den=[1 0 0]; rlocus(num,den); v=[-6 6 -6 6];

axis(v);

grid;

title(‘球杆系统开环系统根轨迹图’)

系统有两个位于原点的开环极点，根轨迹都在虚轴上。当根轨迹增益K由0到无穷大变化时，系统的闭环极点将向上、下移动，并一直处于震荡状态。

为不增加闭环系统阶次，通过增加开环零点以改变根轨迹形状，使校正后满足性能指标要求。当增加一个位于-1的开环零点，其根轨迹图如下：

clear all;close all;clc;

num=[1.853 1.853];

den=[1 0 0];rlocus(num,den); hold on;v=[-6 6 -6 6];axis(v);

grid;

title('球杆系统闭环系统根轨迹图');

其仿真框图如下：

可以看出该参数满足要求。

五、实验操作

程序如下图所示，Constant 2.8代表电机的转动速度是2.8脉冲/毫秒，不能随意改动。