2013届高考数学(理)一轮复习课件：第五篇 平面向量专题二 高考三角函数与平面向量命题动向)
(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题， 通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考 查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．大题中的向 量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合． (3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角 形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等 变换的技能，深受命题者的青睐．主要解法是充分利用三角形 内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量 平行与垂直的充要条件，向量的数量积等．
2
π π π 11π －x 满足f － ＝f(0)，求函数f(x)在 ， 上的最大值和 24 2 3 4
最小值． a 解 f(x)＝asin xcos x－cos x＋sin x＝2sin 2x－cos 2x.
2 2
π 由f－3＝f(0)得－
高考命题特点 新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷 呈，奇花斗艳，其特点如下： (1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基 础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四 性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求 值、化简及比较大小)．有关向量的考查主要是向量的线性运 算以及向量的数量积等知识．
π 【示例2】►(2011· 浙江)已知函数f(x)＝Asin 3x＋φ ，x∈R，A＞
π 0,0＜φ＜ 2 ，y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象 的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)． (1)求f(x)的最小正周期及φ的值； 2π (2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝ ，求A的值． 3
)．
解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝
π 2 sin ωx＋φ＋4 ，由最
π 小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|＜ 2
π π 可得φ＝ ，所以f(x)＝ 2cos 2x在0，2单调递减． 4
答案 A
求最值
sin α＋cos α 整理得 ＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． cos α－sin α
π 因为α∈0，4，所以sin
2
α＋cos α≠0.
1 1 因此(cos α－sin α) ＝ ，即sin 2α＝ . 2 2
π π π π 0， ，得2α∈0， .所以2α＝ ，即α＝ . 由α∈ 4 2 6 12
解析
π π π 因为当x∈R时，f(x)≤ f6 恒成立，所以f 6 ＝sin 3＋φ
π π 5π ＝± 1，可得φ＝2kπ＋ 或φ＝2kπ－ .因为f 2 ＝sin(π＋φ)＝－sin 6 6
5π φ＞f(π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ＜0，所以φ＝2kπ－ ，所 6
【训练】 ________． 解析
(2011· 上海)函数y＝2sin
x－cos
x的最大值为
注意到y＝
5
2 1 sin x－ cos x ＝ 5sin(x－θ)．其中cos 5 5
2 1 θ＝ ，sin θ＝ ，因此函数y＝2sin x－cos x的最大值是 5. 5 5 答案 5
π 【示例5】►(2011· 天津)已知函数f(x)＝tan2x＋4.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
α π (2)设α∈0，4，若f2＝2cos
2α，求α的大小．
解
π π π kπ (1)由2x＋ 4 ≠ 2 ＋kπ，k∈Z，得x≠ 8 ＋ 2 ，k∈Z，所以f(x)
(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出 能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇 点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、 解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作 用．
高考动向透视
考查三角函数的概念及同角三角函数的 基本关系
高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角 函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变 形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的 值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性 问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数 的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧 是“平方法”，“齐次化切”等．
π kπ π 的定义域为x∈R|x≠8＋ 2 ，k∈Z，f(x)的最小正周期为 . 2
α (2)由f2 ＝2cos
π 2α，得tanα＋4＝2cos
2α，
π sinα＋4 ＝2(cos2α－sin2α)， π cosα＋4
)．
3 A. 3
3 5 3 6 B．－ C. D．－ 3 9 9
解析
π π β π π β β 对于cosα＋2＝cos 4＋α－4－2 ＝cos 4＋α cos 4－2
本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知 识．
求单调区间
高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现，有时也会 出现在大题的某一小问中，属中档题．对于形如y＝Asin(ωx＋ φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))，Aω≠0的单调区间的求法是：先考虑 A，ω的符号，再将ωx＋φ视为一个整体，利用y＝sin 区间，整体运算，解出x的范围即可． x的单调
π 【示例1】►(2011· 福建)若α∈ 0，2 ，且sin2α＋cos
1 2α＝ 4 ，则
tan α的值等于(
)．
2 3 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 1 解析 由二倍角公式可得sin α＋1－2sin α＝ ，即－sin2α＝－ 4
2 2
π 3 3 3 π 2 0， ，所以sin α＝ 2 4 ，sin α＝ 4 ，又因为α∈ 2 ，即α＝ 3 ，所
专题二
高考三角函数与平面向量命题动向 高考命题分析
纵观近年各省的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三 角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新 颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问 题的能力．在新课标高考试卷中一般有2～4题，分值约占全卷 的14%～20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导 高考复习无疑有十分重要的意义．现聚焦高考三角函数与平面 向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角 函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来 帮助和启示．
【示例3】►(2011· 安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实
π π 数，若f(x)≤ f6 对x∈R恒成立，且f 2 ＞f(π)，则f(x)的单调递
增区间是(
)．
π π A.kπ－3，kπ＋6(k∈Z) π B.kπ，kπ＋2(k∈Z) π 2π C.kπ＋6，kπ＋ 3 (k∈Z) π D.kπ－2，kπ(k∈Z)
2π 解 (1)由题意得，T＝ π ＝6. 3
π 因为P(1，A)在y＝Asin3x＋φ的图象上， π 所以sin3＋φ＝1.
π 又因为0＜φ＜2， π 所以φ＝6.
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)， π π 3π 由题意可知 x0＋ ＝ ，得x0＝4，所以Q(4，－A)，如图，连 3 6 2 2π 接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝ ，由余弦定理得cos∠PRQ＝ 3 RP2＋RQ2－PQ2 A2＋9＋A2－9＋4A2 1 ＝ ＝－ ，解得A2＝3.又A 2RP· RQ 2 2A· 9＋A2 ＞0，所以A＝ 3.
π 以tan α＝tan 3＝ 3，故选D. 答案 D
本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用．
考查三角函数的图象及其性质
三角函数的图象与性质主要包括：正弦(型)函数、余弦(型)函 数、正切(型)函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的 变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三 角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的 考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出 现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题 主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度 中等偏下．
本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角 函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质 等基础知识，考查基本运算能力．
π 1 π π 【训练】 (2011· 浙江)若0＜α＜ ，－ ＜β＜0，cos4＋α＝ ， 2 2 3 π β cos4－2＝ β 3 ，则cosα＋2＝( 3
利用三角恒等变换求三角函数值
三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基 础，在前几年的高考中单独命题的情况很少，但在今年的高考 中加强了对三角恒等变换的考查，大多是结合三角函数的图象 与性质，解三角形进行命题，但有的省份对三角恒等变换进行 了单独命题，由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力 度，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关 系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式．
π 11π π 所以f(x)在4， 24 上的最大值为f3＝2. π 又因为f4＝ 11π 3，f 24 ＝
2， 2.
π 11π 11π 故f(x)在4， 24 上的最小值为f 24 ＝
本小题主要考查基本三角函数公式，以及运用三角函数公式 对相关函数的解析式进行化简的能力，同时考查数形结合思 想．
【训练】 (2011· 新课标全国)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋
π φ)ω＞0，|φ|＜2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( π A．f(x)在0，2单调递减 π 3π B．f(x)在4， 4 单调递减 π C．f(x)在0，2单调递增 π 3π D．f(x)在4， 4 单调递增
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高考数学一轮复习 平面向量的应用02课件
解 ： 夹求a 角s= in( 为2 c 4θo s 12 , 2 b, 的与2 s 值i cn 的.2 c 夹o s 角2 ) 为=2 θc 2o ,s且 2(θc1o -sθ 2 2,=sin 2),.
因b = 为(2 αs i ∈n 2 (2 0,,2 πs )in ,β2 ∈c o (s π2 ,) 2= π2 )s,in 2(sin 2,cos 2).
[12 分] [14 分]
批阅笔记
(1)用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考 的热点．本题难度不大，属中档题．(2)本题的错误非常典型．造 成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三 角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而 使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认 为∠A 一定为直角，从而使解答不完整．(3)考生书写格式不规范， 不完整，也是失分的一个重要因素．
＝n 1 ，即 4m＋n＝1.
4
4
而C→ M＝O→ M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb，
C → B＝O → B－O → C＝b－1 4a＝－1 4a＋b，
b 1 a= 1 a + b . 因为
C，M，B
三点共线，所以m－4 1 －1 4
＝n，即
4 4 1
4m＋n＝1.
而C → M＝ O → M－O → C＝ (m－ 1 4)a＋ nb，
变式训练 4
△ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，设向量 m ＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)，若 m∥n，则角 B 的大小为________．
∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，又 ∵sina A＝sinb B＝sinc C，
因b = 为(2 αs i ∈n 2 (2 0,,2 πs )in ,β2 ∈c o (s π2 ,) 2= π2 )s,in 2(sin 2,cos 2).
[12 分] [14 分]
批阅笔记
(1)用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考 的热点．本题难度不大，属中档题．(2)本题的错误非常典型．造 成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三 角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而 使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认 为∠A 一定为直角，从而使解答不完整．(3)考生书写格式不规范， 不完整，也是失分的一个重要因素．
＝n 1 ，即 4m＋n＝1.
4
4
而C→ M＝O→ M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb，
C → B＝O → B－O → C＝b－1 4a＝－1 4a＋b，
b 1 a= 1 a + b . 因为
C，M，B
三点共线，所以m－4 1 －1 4
＝n，即
4 4 1
4m＋n＝1.
而C → M＝ O → M－O → C＝ (m－ 1 4)a＋ nb，
变式训练 4
△ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，设向量 m ＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)，若 m∥n，则角 B 的大小为________．
∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，又 ∵sina A＝sinb B＝sinc C，
高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文
则cos∠MNP＝|NN→→MM|··N|→N→PP|＝
Hale Waihona Puke －6 5×25＝－35.
由∠MNP∈[0，π]，得sin∠MNP＝ 1－cos2∠MNP＝45.
2 值；最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析 式；先由x的范围，求得2x＋ π 的范围，把ωx＋φ看作一个整
6 体，再求得fx的值域.
第十一页，共36页。
【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R图象的一部分如图2-1.
第七页，共36页。
题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合 例2：(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R 其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象与x轴的交点中，相邻两 个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M23π，－2. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈1π2，π2时，求f(x)的值域．
对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值． 这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意：①三角函数与 而放松对整章知识系统而全面地复习． 平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题 型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
第三页，共36页。
题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1：(2012年广东)已知函数f(x)＝Acos4x＋π6
高考数学一轮总复习 专题2 三角函数与平面向量课件 理
2021/12/13
第三页，共二十九页。
[解析]
(1)函数f(x)＝sin2x＋
3sin
xcos
x＝1－c2os
2x＋
3 2 sin
2x＝sin2x－π6＋12，
f(x)的最小正周期为T＝22π＝π.
(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，
可得2x－π6∈－56π，2m－π6，
即有2m－π6≥π2，解得m≥π3，
2021/12/13
第二十页，共二十九页。
【例3】 (2018·湖南期末)已知a＝(5 3cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x) ＝a·b＋|b|2＋32. (1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心； (2)当x∈π6，π2时，求函数f(x)的值域； (3)该函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
2021/12/13
第五页，共二十九页。
解析：(1)由题设知f(x)＝121＋cos2x＋π6. 因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ，k∈Z. 即2x0＝kπ－π6，k∈Z.
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第六页，共二十九页。
所以g(x0)＝1＋12sin 2x0＝1＋12sinkπ－π6，k∈Z. 当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin－π6＝1－14＝34， 当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.
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第七页，共二十九页。
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝121＋cos2x＋π6＋1＋12sin 2x＝12cos2x＋π6＋sin 2x＋32
＝12
3 2 cos
2x＋12sin
高考理科数学第一轮总复习课件20三角函数与平面向量
所以sinα= 15，tanα=- 1, 5
17
8
所以原式=
sin (sin )
( tan ) cos ( cos )
=-tanα= 15 .
8
点评 (1) 应 用 诱 导 公 式 进 行 三 角 函 数 的
化简，重点是“函数名称”与“正负号” 的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符 号看象限”的口诀，解题思路是“化负角 为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为 锐角”，即“去负→脱周→化锐”三步.
例3 已知sin(π-θ)，cosθ是方程3x2-
2 x+m=0的两个根，且
2
<θ<π.
(1)求m与sinθ-cosθ的值；
(2)若f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3，求 f(cosθ-sinθ)的值.
分析（ 1 ） 由 根 与 系 数 的 关 系 得
sinθ+cosθ ， sinθ·cosθ 的 值 ， 再 根 据 “ sinθ+cosθ ， sinθ·cosθ,sinθ-cosθ” 中 “知一求二，知二求参”，配上公式正 确求值.
所以cosx=-
5
或cosx=
5
.
3
2
5
因为- <x<0，所以 sinx=- 4
2sin x cos x 2 tan x 1 3
4.(2010·东北模拟)tan300°+
cos(450 sin 750
)的值
为 2 3 .
原式=tan(360°-60°)+
=-tan60°+
cos(45 ) sin(30 )
2
=-
3+
2 1
高考数学一轮总复习 专题二 三角函数、平面向量综合题的解答课件 理
第一章 从实验(shíyàn)学
第四章 平面(píngmiàn)向量、数系的 扩充
与复数的引入 专题二 三角函数、平面(píngmiàn)向量综合问题的解答
第一页，共28页。
目录
ONTENTS
1 聚焦考向透析 2 学科能力提升
首页 尾页 上页 下页
第二页，共28页。
聚焦考向透析考向一 三角(sānjiǎo)恒等变换与化简求值
第八页，共28页。
聚焦考向考透向析二 三角函数(sānjiǎhánshù)图象性质的应用
例题(lìtí)精编
(2012·高考四川卷)函数
f(x)＝6cos2ω2x＋ 3sin ωx－3(ω＞0)
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象
的最高点 B，C 为图象与 x 轴的交点，
且△ABC 为正三角形．
3 ＝－5.
含有角 A，B，C 及正弦、余弦．
解题目标：(1)求 sin A；(2)在△ABC 中， B→A在B→C上投影．
关系探究：
(1)由三角形内角和定理得 A＋C＝
(1)求 sin A 的值；
π－B，即 sin(A＋C)＝sin B，
(2)若 a＝4 2，b＝5，求向量B→A在B→C
然后利用两角和的余弦公式求得
f(x)＝sinx－π6 ＋cosx－π3 ＝ 23sin x－12cos x＋12cos x＋ 23sin x
＝ 3sin x， g(x)＝2sin2x2＝1－cos x.
(1)由
f(α)＝3
5
3 得
sin
α＝35.
又 α 是第一象限角，所以 cos α＞0.
从而 g(α)＝1－cos α＝1－ 1－sin2α 41
且△ABC 为正三角形．
第四章 平面(píngmiàn)向量、数系的 扩充
与复数的引入 专题二 三角函数、平面(píngmiàn)向量综合问题的解答
第一页，共28页。
目录
ONTENTS
1 聚焦考向透析 2 学科能力提升
首页 尾页 上页 下页
第二页，共28页。
聚焦考向透析考向一 三角(sānjiǎo)恒等变换与化简求值
第八页，共28页。
聚焦考向考透向析二 三角函数(sānjiǎhánshù)图象性质的应用
例题(lìtí)精编
(2012·高考四川卷)函数
f(x)＝6cos2ω2x＋ 3sin ωx－3(ω＞0)
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象
的最高点 B，C 为图象与 x 轴的交点，
且△ABC 为正三角形．
3 ＝－5.
含有角 A，B，C 及正弦、余弦．
解题目标：(1)求 sin A；(2)在△ABC 中， B→A在B→C上投影．
关系探究：
(1)由三角形内角和定理得 A＋C＝
(1)求 sin A 的值；
π－B，即 sin(A＋C)＝sin B，
(2)若 a＝4 2，b＝5，求向量B→A在B→C
然后利用两角和的余弦公式求得
f(x)＝sinx－π6 ＋cosx－π3 ＝ 23sin x－12cos x＋12cos x＋ 23sin x
＝ 3sin x， g(x)＝2sin2x2＝1－cos x.
(1)由
f(α)＝3
5
3 得
sin
α＝35.
又 α 是第一象限角，所以 cos α＞0.
从而 g(α)＝1－cos α＝1－ 1－sin2α 41
且△ABC 为正三角形．
2013届高考数学一轮复习讲义：专题三-三角函数与平面向量的综合应用
主页
解 (1)由 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1， 得 f(x)＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6. 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
因为 f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上 为减函数，又 f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数 f(x)在区间 0，π2上的最大值为 2，最小值为－1. (2)由(1)，可知 f(x0)＝2sin2x0＋π6. 又因为 f(x0)＝65，所以 sin2x0＋π6＝35.
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
主页
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝12，∵0<B<π，∴B＝π3.∴0<A<23π. ∴π6<A2 ＋π6<π2，sinA2 ＋π6∈12，1.
[4 分]
(2)解 |b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋
16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β)
＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，
最大值为 32，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
[9 分]
(3)证明 由 tan αtan β＝16，得 sin αsin β＝16cos αcos β，
主页
三角函数式的化简求值问题
例 1 已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最 小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求 cos 2x0 的值．
解 (1)由 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1， 得 f(x)＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6. 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
因为 f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上 为减函数，又 f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数 f(x)在区间 0，π2上的最大值为 2，最小值为－1. (2)由(1)，可知 f(x0)＝2sin2x0＋π6. 又因为 f(x0)＝65，所以 sin2x0＋π6＝35.
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
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∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝12，∵0<B<π，∴B＝π3.∴0<A<23π. ∴π6<A2 ＋π6<π2，sinA2 ＋π6∈12，1.
[4 分]
(2)解 |b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋
16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β)
＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，
最大值为 32，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
[9 分]
(3)证明 由 tan αtan β＝16，得 sin αsin β＝16cos αcos β，
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三角函数式的化简求值问题
例 1 已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最 小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求 cos 2x0 的值．
高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件理
在[－π ＋2k
π 2
＋2kπ
(k∈Z)上
单调性
单调递增； 在π2 ＋2kπ ，
3π 2
＋2kπ
(k∈Z)
π ，2kπ ] (k∈Z)上单调 递增；在[2k π ，π ＋2k π ](k∈Z)上 单调递减
在－π2 ＋kπ ，
π 2
＋kπ
(k∈Z)
上单调递增
上单调递减
对称性
对称中心：
(kπ ，0) (k∈Z)； 对称轴：x＝
π 2
＋kπ
(k∈Z)
对称中心：
π
2
＋kπ，0
对称中心：
(k∈Z)； 对称轴：x ＝kπ
kπ
2
，0
(k∈Z)
(k∈Z)
2.三角函数的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ (k∈Z)时为奇函数；
(2)已知图象求函数 y＝Asinωx＋φ(A＞0，ω＞0)的解析式时，
常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点 求 A；由函数的周期确定 ω；确定 φ 常根据“五点法”中的 五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图 象的升降找准第一个零点的位置.
【训练 1】 (2017·连、徐、宿模拟)若函数 f (x)＝2sin(2x＋
第1讲 三角函数的图象与性质
高考定位 高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关 知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答 题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.
真题感悟 1.(2013·江苏卷)函数 y＝3sin2x＋π4 的最小正周期为________.
高考数学一轮总复习 专题二 三角函数与平面向量课件
(2)求
f(x)在区间
0,
π 2
上的最大值和最小值．
解：(1)因为 f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x ＋cos2x＝ 2sin2x＋π4＋1.
所以 f(x)的最小正周期为 T＝22π＝π. (2)由(1)得计算结果，f(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 x∈0，π2 时，2x＋π4∈π4，54π.
(2)方法一，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA.
而 a＝ 7，b＝2，A＝π3， 得 7＝4＋c2－2c，即 c2－2c－3＝0.
Hale Waihona Puke 因为 c>0，所以 c＝3.
故△ABC
面积为12bcsinA＝3
2
3 .
方法二，由正弦定理，得 7π＝si2nB. sin3
从而 sinB＝
21 7.
又由
a>b
知，A>B，所以
cosB＝2
7
7 .
故 sinC＝sin(A＋B)＝sinB＋π3
＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝3 1421，
所以△ABC
面积为12absinC＝3
sinA＝
1100，cosA＝3
10 10 .
因为 a＝3，B＝π4，由正弦定理知，b＝3 5.
又 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2 5 5，
所以 S△ABC＝12absinC＝12×3×3 5×2 5 5＝9.
题型 3 三角函数和平面向量 三角函数与平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题 中的一种重要题型，已成为热点．而广东高考仅在2007年、2009 年中考查了三角与平面向量的结合，也只是用“平面向量”来 包装，其实质还是考查三角函数的图象和性质．这不是因为平 面向量不重要，而是平面向量常常与解析几何、平面几何、数 列、方程、不等式等相结合，早已成为各类考试中的新热点． 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方 面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、 求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、 减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．
2013高考数学(理)专题2 三角函数、平面向量与解三角形
专题二
三角函数、平面向量 与解三角形
第6讲 三角恒等变换与三 角函数第7讲 解三角形 第8讲 平面向量及向量的 应用
专题二
三角函数、平面向 量与解三角形
第6讲 三角恒等变换与三角 函数
第6讲 │ 云览高考
[云览高考]
考例(难度) 2008宁夏、海南 卷7(B)，2009宁 夏、海南卷5(A) 考点1 三角恒等 选择(4) 变换 2010课程标准卷 9(B)，2011课程 标准卷5(A) 2008宁夏、海南 卷1(A)，2009宁 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题 夏、海南卷 考点2 三角函数 选择(3) 14(B) 的图象与解析 考点统计
第6讲│ 要点热点探究
[规范评析] 三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求 值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公 式计算即可．本例(1)从整体上求解，实际上也可以直接求出 tanα，tanβ的值，再代入和角正切公式求解；本例(2)的主要 问题是使用同角三角函数关系和降幂公式，在开方时符号的 选取，其基本原则是依据角所在的象限确定三角函数值的符 号．
第6讲│ 要点热点探究
► 探究点二 三角函数的图象与解析式 例2 (1)[2012· 浙江卷] 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
图2－6－1
第6讲│ 要点热点探究
π (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<2 的部分图象如图
(2)由题意，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为4， 2π π 所以 ＝4，解得ω＝ (ω>0)．因为函数f(x)为奇函数，所以φ |ω| 2 π π ＝kπ＋ (k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝ .因为△EFG是边长为2 2 2 3 的等边三角形，所以点E的纵坐标是2× ＝ 3 .故A＝ 3 2 (A>0)．所以 π π f(x)＝ 3cos2x＋2 .所以f(1)＝ 3cosπ＝－ 3.故选D.
三角函数、平面向量 与解三角形
第6讲 三角恒等变换与三 角函数第7讲 解三角形 第8讲 平面向量及向量的 应用
专题二
三角函数、平面向 量与解三角形
第6讲 三角恒等变换与三角 函数
第6讲 │ 云览高考
[云览高考]
考例(难度) 2008宁夏、海南 卷7(B)，2009宁 夏、海南卷5(A) 考点1 三角恒等 选择(4) 变换 2010课程标准卷 9(B)，2011课程 标准卷5(A) 2008宁夏、海南 卷1(A)，2009宁 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题 夏、海南卷 考点2 三角函数 选择(3) 14(B) 的图象与解析 考点统计
第6讲│ 要点热点探究
[规范评析] 三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求 值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公 式计算即可．本例(1)从整体上求解，实际上也可以直接求出 tanα，tanβ的值，再代入和角正切公式求解；本例(2)的主要 问题是使用同角三角函数关系和降幂公式，在开方时符号的 选取，其基本原则是依据角所在的象限确定三角函数值的符 号．
第6讲│ 要点热点探究
► 探究点二 三角函数的图象与解析式 例2 (1)[2012· 浙江卷] 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
图2－6－1
第6讲│ 要点热点探究
π (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<2 的部分图象如图
(2)由题意，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为4， 2π π 所以 ＝4，解得ω＝ (ω>0)．因为函数f(x)为奇函数，所以φ |ω| 2 π π ＝kπ＋ (k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝ .因为△EFG是边长为2 2 2 3 的等边三角形，所以点E的纵坐标是2× ＝ 3 .故A＝ 3 2 (A>0)．所以 π π f(x)＝ 3cos2x＋2 .所以f(1)＝ 3cosπ＝－ 3.故选D.
高三数学高考第一轮复习课件：平面向量
第33讲 │ 知识要点
第33讲 │ 双基固化 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 能力提升 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 规律总结 规律总结
第32讲 │ 解斜三角形及应用举例
第32讲 解斜三角形及应用举例
第32讲 │ 编读互动 编读互动
第32讲 │ 知识要点 知识要点
第五单元 │ 考点解读
（６）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点 和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
（７）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解 斜三角形．
第五单元 │ 复习策略
复习策略
１．向量具有的几何形式和代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．本 单元内容为新增知识点，在近几年的考试中所占分值比例正逐 年加大，分值在１６～１７分，较多情况是２小１大（一选择 一填空，解答题中一部分）或１小２大（选择或填空，解答题 以向量为背景或叙述形式）． ２．本单元主要命题方式及考点： （１）主要考查向量的性质和运算法则以及基本运算技 能．要求掌握和、差、数乘和向量的数量积的运算法则，理解 其直观的几何意义．
第28讲 │ 双基固化
第28讲 │ 双基固化