抛物线及其标准方程练习题

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课时作业(十二)
[学业水平层次]
一、选择题
1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝－2x
B ．y 2＝2x
C ．x 2＝2y
D ．x 2＝－2y
【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B.
【答案】 B
;
2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2
9
＝1的右顶点为焦
点的抛物线的标准方程为( )
A ．y 2＝16x
B ．y 2＝－16x
C ．y 2＝8x
D ．y 2＝－8x
【解析】 因为双曲线x 216－y 2
9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的
焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x .
【答案】 A
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，
且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于
( )
C ．2
D ．23
|
【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近
线方程为y ＝b a x ，由b
a ＝2，即
b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝
c 2－a 2，所以
c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.
【答案】 B
4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2
9＝－1的两条渐近线所
围成的三角形的面积为( )
A ．3 3
B ．2 3
C ．2
【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±
3
3
x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积为33，故选A.
【答案】 A 二、填空题
5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． ·
【解析】 抛物线y 2
＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1
2＝5，解得x 1
＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.
【答案】 2
6．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；
设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝7
2
≠6，所以③
不满足；由于抛物线y 2
＝10x
的焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，0，过该焦点的直线方程
为y ＝k ⎝
⎛⎭⎪⎫
x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－
2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
7．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．
《
【解析】 化方程为标准方程形式为x 2
＝12y ，故p 2＝1
8
，开口向上，
∴准线方程为y ＝－1
8.
【答案】 y ＝－1
8
三、解答题
8．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 2
2＝1上的抛物线的标
准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，
则焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
m 2，0.
∵焦点在双曲线x 24－y 2
2
＝1上，
）
∴m 2
4×4
＝1，求得m ＝±4，
∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .
9．已知平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．
【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有
x －1
2
＋y 2＝|x |＋1.
两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.
∴y 2
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
4x x ≥0，0
x ＜0，
即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．
—
法二 由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，
由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．
[能力提升层次]
1．(2014·合肥高二月考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )
A ．2 2
B ．4 ＋1
【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点
F (1,0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所
求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|
12＋12＝22，故选A.
【答案】 A
2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )
D ．22
]
【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，
|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ⇒cos θ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)⇒m ＝21＋cos θ＝32
，△AOB 的
面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝1
2×1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋32×223＝322，故
选C.
【答案】 C
3．如图2­4­2是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.
图2­4­2
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．
/
则A (2，－2)，代入方程得p ＝1，
∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，
设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为26米． 【答案】 26
4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y
2b
2＝1(a >0，b >0)
的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫23
，－263是两条曲线的一个公共点． (1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．
"
【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫23，－263代入方程y 2＝2px ，
得p ＝2，
因此抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1,0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1,0)，
于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝2
3
，
因此a ＝1
3
.
又因为c ＝1，所以b 2
＝c 2
－a 2
＝8
9
，
于是，双曲线的方程为x 219－y 2
89＝1.。