因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

因式分解的一般方法及考虑顺序：

1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.

2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法.

3、考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法.

一、运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1) a2—b2=(a+b)(a— b);

(2)a2坦ab+b2=(a 比)2;

(3) a3+ b3=(a+b)(a2—ab+b2)；

(4) a3—b3=(a— b)(a2+ab+b2).

下面再补充几个常用的公式：

(5) a2+ b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca=( a+b+ c)2;

3 I 3 3 / ■、/ 2.22 ■■、

(6) a + b +c — 3abc=(a+b+c)(a +b +c — ab— bc — ca)；

\ n ■ n /■、/ n — 1 n—2n — 3- 2 . n —2 . n — 1、[ r- , r , 、了一l 七

今

(7) a — b =(a— b)(a +a b+a b + - +ab +b )，其中n 为正整效;

(8)a n—b n=(a+b)(a n 1— a n 2b+a n 3b2—- +ab n 2— b n1),其中n 为偶数;

(9)a n+b n=(a+b)(a n 1—a n 2b+a n 3b2—? —ab n 2+b n1),其中n 为奇数.

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

例题1 分解因式:

(1) -2x5n1y n+4x3n1y n+2— 2x n1y n+4;

(2) x — 8y3—z3— 6xyz;

(3) a2+ b2+c2—2bc+2ca- 2ab;

7 5 2 2 5 7

(4) a — ab +ab — b .

例题2 分解因式：a3+ b3+c3- 3abc.

物惺页3 演日因乂佑+x"+x" + - - + x^+x+1 1/ J /tzi U yj用+ . 人丁人丁人丁丁人丁x丁I.

对应练习题分解因式:

2n n 1 2 1

(1) x x -y

9 4

(2) x10+x5 6- 2

5 4 3 2 2 5

(4) (x +x +x + x +x+1) —x

(3) x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4 x2 3 y2)

(5) 9(a- b)2+12(a2- b2)+4(a+ b)2

⑹(a- b)2- 4(a- b- 1)

— 3 _ ,

(7) (x+ y) +2xy(1 — x—y)— 1

二、分组分解法

（一）分组后能直接提公因式

例题1 分解因式：am an bm bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组可以

提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提^

例题2 分解因式：2ax 10ay 5by bx 对应练习题分解因式:

1、a 2 ab ac bc

2、xy x y 1 （二）分组后能直接运用公式

例题3 分解因式：x 2 y 2 ax ay

例题4 分解因式：a 2 2ab b 2 c 2

对应练习题分解因式：

3、x 2 x 9y 2 3y

4、x 2 y 2 z 2 2yz 综合练习题分解因式:

(3) x 2 6xy 9y 2 16a 2 8a 1

(4) a 2 6ab 12b 9b 2 4a 3 (1) x 22 x y xy

22 (2) ax bx bx ax a b

7) x 2 2xy xz

2 yz y (8) a 2 2a b 2 2b 2ab 1

(9) y(y 2) (m 1)(m 1) (10) (a c)(a c) b(b 2 a) 11) 43 a 2a b a 2(b 3a 2b 2

c) 2ab 3 b 2(a b 4.

c) c 2 (a b) 2abc 12 )

2 (13) (ax by) (ay 成)

2 3 (14) xyz(x 3、 3 3 z) yz 33 33 zx xy 42 (15) x 4 2ax 2

2 xa 32

(16) x 3x (a 2)x 2a (17) (x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)

三、十字相乘法

1、十字相乘法

（一）二次项系数为1 的二次三项式

直接利用公式

x (p q)x pq (x p)(x q)进仃分解. 特点：（1）二次项系数是1;

(2) 常数项是两个数的乘积；

(3) 一次项系数是常数项的两因数的和

例题1 分解因式：x3 5x 6

例题2 分解因式：x2 7x 6

对应练习题分解因式：

⑴ x2 14x 24 ⑵ a2 15a 36 (3) x2 4x 5

(4) x2 x 2 (5)y2 2y 15 ⑹ x2 10x

二次项系数不为1的二次三项式——ax2成c

条件：(1) a a1a2

(2) c c1c2

(3) b a1c2 a2q

分解结果：ax bx c= (a1x

例题3 分解因式：3x2 11x

对应练习题分解因式:

(1) 5x2 7x 6 (2) 3x2 7x 2

3 24

c〔)(a2x c2)

(3) 10x 17x 3 (4) 6y2 11y 10