《高职应用数学》(教案)

《高职应用数学》教案

课程名称：高职应用数学

总学时：64

n a a a

a 个

(n 为正整数0a ≠)．

1

n a

= (0a ≠，n 为正整数）整数指数幂的运算法则：(0a ≠，0b ≠，n m n a a +=； (n a ；)n

n

n

b a b =； ．

a (a ∈R ，n *∈N )p p p

b a b =．

p q p N a a a +==log ()p q a a p q +=+=时，对数的运算法则：

已知直线l 经过点000()P x y ，，

且斜率为k ．设点()P x y ，为直线l 上不同于点0P 的任意一点，由斜率公式可得

00y y k x x -=-，

整理得

00()y y k x x -=-．

点000()P x y ，也满足上述方程．由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程．

2）直线的斜截式方程

设直线l 与x 轴交于点(0)A a ，，与y 轴交于点

(0)B b ，，则a 称为直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 称为直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）．

设直线l 与y 轴的交点为(0)B b ，，且直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为

(0)y b k x -=-，

即

y kx b =+．

3）直线的一般式方程

把形如0Ax By C ++=（A B ，不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程． 2、一元二次方程

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程．一元二次方程的一般形式为

20(0)ax bx c a ++=≠．

1）公式法

一般地，式子24b ac -称为一元二次方程20ax bx c ++=根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示，即24b ac ∆=-．

当0∆

时，方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的实数根可写为

0∆>，方242b ac

a

-0∆=，方2b a

-

； 0<，方程，，，0，并且||0，，，x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩

的几何意义为：数轴上表示实数x 的点到原点由绝对值的几何意义可知，不等式|

于3的所有点的集合；不等式||3x >表示的是数轴上到原点的距离大于3的所有点的集合．

不等式||3x <的解集为(33)-，；不等式||3x >的解集为(3)(3)，，-∞-+∞．

一般地，不等式||(0)x a a <>的解集为()a a -，；不等式||(0)x a a >>的解集是()()，，a a -∞-+∞．

2）ax b c +<或ax b c +>型不等式

对于||ax b c +<或||(0)ax b c c +>>型不等式，可以把ax b +看成一个整体，从而转化为||x a <或||(0)x a a >>型不等式来求解．

例如，求解不等式|23|1x -<时，可先设23m x =-，则不等式|23|1x -<化为

||1m <，

其解集为

11m -<<，即1231x -<-<．

根据不等式的性质，可以求出12x <<，即原不等式|23|1x -<的解集为(12)，． 3、区间的概念

1）有限区间

实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，例如，集合{}|32x x -<<可以用数轴上位于3-与2之间的一条线段（不包括端点）来表示．

由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点．不含端点的区间称为开区间，含有两个端点的区间称为闭区间．

集合{}|32x x -<<表示的就是开区间，记作(32)-，．集合{}

|32x x

-表示的就是闭区间，记作[32]-，．

只含左端点的区间称为右半开区间，例如，集合{}|32x x -<表示的区

间就是右半开区间，记作[32)-，；只含右端点的区间称为左半开区间，例如，

集合{}|32x x

-<表示的区间就是左半开区间，记作(32]-，．

综上所述，设a ，b 为任意实数，且a b <，则有

①开区间：{}|()x a x b a b <<⇔，数集区间； ②闭区间：{}|[]x a

x

b a b ⇔，数集区间；

③右半开区间：{}|[)x a x b a b <⇔，数集区间； ④左半开区间：{}|(]x a x b a b <⇔，数集区间．

以上的开区间、闭区间、右半开区间和左半开区间统称为有限区间． 2）无限区间

集合{}|3x x >可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表示，如图1-6所示．

由图可以看出，集合{}|3x x >所表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可以将其记作(3)，+∞，其中符号“+∞”读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，而并非某个具体的数．

同理，集合{}|5x x <表示的区间可记作(5)，-∞，其中符号“-∞”读作“负无穷大”．

类似地，集合{}|3x x

表示的区间记作[3)，+∞，是右半开区间；集合

{}|5x x 表示的区间记作(5]，-∞，是左半开区间．

设a ，b 为任意实数，且a b <，则有

（1）{}|()，数集区间x x a a >⇔+∞； （2）{}|()，数集区间x x b b <⇔-∞； （3）{}|[)≥，数集区间x x a a ⇔+∞； （4）{}|(]，数集区间x x

b b ⇔-∞；

（5）实数集R 如果用区间来表示，可以记作()，-∞+∞．

以上这5种区间统称为无限区间． 4、邻域的概念

设点a 与δ是两个实数，且0δ>，则称集合{||}x x a δ-<为点a 的δ邻域，记作()U a δ，，其中将a 称为邻域中心，将δ称为邻域半径．

有时还要用到去掉中心的邻域，即集合{0||}x x a δ<-<，称为点a 的δ去心邻域，记作o

()U a δ，．

5、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为

2()0ax bx c ++> 或 2()0ax bx c ++< (0)a ≠．