新高考数学新题型2020
2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷(含解析)
2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷一、选择题1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}=()2.2−i1+2iA.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT ，有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →⋅AB →的取值范围是()A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6)8.若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x −1)≥0的x 的取值范围是()A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3]二、多选题9.已知曲线C ：mx 2+ny 2=1.()A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−m n xD.若m =0, n >0，则C 是两条直线10.如图是函数y =sin (ωx +φ)的部分图像，则sin (ωx +φ)=()A.sin (x +π3)B.sin (π3−2x)C.cos (2x +π6)D.cos (5π6−2x)11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A.a 2+b 2≥12B.2a−b >12C.log 2a +log 2b ≥−2D.√a +√b ≤212.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且P(X =i)=p i >0(i =1,2,⋯,n)，∑p i n i=1=1，定义X 的信息熵H (X )=−∑p i n i=1log 2p i ，则()A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着p i 的增大而增大C.若p i =1n (i =1,2,…,n )，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2,⋯,m)，则H (X )≤H (Y )三、填空题13.斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|=________.14.将数列{2n −1}与{3n −2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=3，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，5圆孔半径为1，则图中阴影部分的面积为________cm2.16.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60∘，以D1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.四、解答题17.在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，C=π，________？618.已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？，附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD 与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21.已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2,1).(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷一、选择题1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}【解答】解：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B={x|1≤x<4}.故选C.2.2−i1+2i=()A.1B.−1C.iD.−i【解答】解：2−i1+2i =(2−i)(1−2i) (1+2i)(1−2i)=2−4i−i−21+4=−5i5=−i.故选D.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种【解答】解：由题意可得，不同的安排方法共有C61⋅C52=60（种）.故选C.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘【解答】解：如图所示，AB为日晷晷针，∠AOC=40∘，由题意知，∠AOC+∠OAB=90∘，∠DAB+∠OAB=90∘，∴∠DAB=∠AOC=40∘，即晷针与点A处的水平面所成角为40∘.故选B.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%【解答】解：设喜欢足球为A，喜欢游泳为B，由题意知，P(A)=60%，P(B)=82%，P(A∪B)=96%，所以P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=60%+82%−96%=46%.故选C.6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT，有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【解答】解：3.28=1+r ⋅6得r =0.38，I(t)=e 0.38t ，e 0.38(t+x)=2⋅e 0.38t 得x =ln20.38≈1.8.故选B .7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →⋅AB →的取值范围是()A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6) 【解答】解：如图：设A(−1,√3)，P (x,y )，B (−2,0)，AP →=(x +1,y −√3)，AB →=(−1,−√3)，则：AP →⋅AB →=−x −√3y +2，令z =−x −√3y +2，由线性规则得，最优解为：C(−1,−√3)和F(1,√3)，代入得z =6或z =−2．故AP →⋅AB →的取值范围是(−2,6).故选A .8.若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x −1)≥0的x 的取值范围是()A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3] 【解答】解：根据题意，函数图象大致如图：①当x=0时，xf(x−1)=0成立；②当x>0时，要使xf(x−1)≥0，即f(x−1)≥0，可得0≤x−1≤2或x−1≤−2，解得1≤x≤3；③当x<0时，要使xf(x−1)≥0，即f(x−1)≤0，可得x−1≥2或−2≤x−1≤0，解得−1≤x<0.综上，x的取值范围为[−1,0]∪[1,3].故选D.二、多选题已知曲线C：mx2+ny2=1.()A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnx D.若m=0, n>0，则C是两条直线【解答】解：A，mx2+ny2=1，即x 21 m +y21n=1，∵m>n>0，∴1m <1n，∴此时C是椭圆，且其焦点在y轴上，A选项正确；B，m=n>0时，x2+y2=1n，∴r=√nn，B选项错误；C，mn<0时，可推断出C是双曲线，且其渐近线方程为y=±√−1n1mx=±√−mnx，C选项正确；D，m=0时，C：ny2=1，∴y=±√1n，代表两条直线，D选项正确.故选ACD.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=()A.sin(x+π3) B.sin(π3−2x) C.cos(2x+π6) D.cos(5π6−2x)【解答】解：由函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，可知，T2=2π3−π6=π2，∴T=π，∴ω=2ππ=2，∴y=sin(2x+φ).将点(π6,0)代入得，0=sin(π3+φ)，∴π3+φ=(2k+1)π(k∈Z).A，当x=π6时，sin(x+π3)=sinπ2=1，不符合题意，故A选项错误；B，当k=0时，φ=2π3，y=sin(2x+2π3)=sin(2x−π3+π3+2π3)=sin(2x−π3+π)=−sin(2x−π3 )=sin(π3−2x)，故B选项正确；C，sin(2x+2π3)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)，故C正确；D，cos(5π6−2x)=cos(2x−5π6)=cos(2x−π2−π3)=sin(2x−π3 )=−sin(2x+2π3)，故D选项错误.故选BC.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a−b>12C.log2a+log2b≥−2D.√a+√b≤2【解答】解：A，∵a+b=1,则a2+b2+2ab=1，2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时取等号，∴1=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)，可得a 2+b 2≥12，故A 正确； B ，∵a −b =a −(1−a)=2a −1>−1，∴2a−b >2−1=12，故B 正确；C ，∵ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b 时取等号， ∴log 2a +log 2b =log 2(ab)≤log 214=−2，故C 错误；D ，∵a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b 时取等号，∴(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤2，即√a +√b ≤√2，则√a +√b ≤2，故D 正确.故选ABD .信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且P(X =i)=p i >0(i =1,2,⋯,n)，∑p i n i=1=1，定义X 的信息熵H (X )=−∑p i n i=1log 2p i ，则()A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着p i 的增大而增大C.若p i =1n (i =1,2,…,n )，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2,⋯,m)，则H (X )≤H (Y )【解答】解：A ，若n =1，则p 1=1，H (X )=−1×log 21=0，故A 正确；B ，若n =2，则H (X )=−[p 1log 2p 1+(1−p 1)log 2(1−p 1)].设f (p )=−[plog 2p +(1−p )log 2(1−p )]，则：f ′(p )=−[log 2p +p ⋅1p⋅ln2−log 2(1−p )+(1−p )−1(1−p )ln2]=−log 2p 1−p =log 21−p p ， 当0<p <12时，f ′(p )>0；当12<p <1时，f ′(p )<0，∴f (p )在(0,12)上单调递增，在(12,1)上单调递减，p 1=12时，H(X)取最大值，故B 错误；C ，若p i =1n (i =1,2，⋯，n ），则H (X )=−∑p i n i=1log 2p i =−n ⋅1n log 21n =log 2n ，所以H(x)随着n 的增大而增大，故C 正确；D ，若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，由P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2，⋯，m ）知：P (Y =1)=p 1+p 2m ；P (Y =2)=p 2+p 2m−1；P (Y =3)=p 3+p 2m−2；⋯⋯P (Y =m )=p m +p m+1;H (Y )=−[(p 1+p 2m )log 2(p 1+p 2m )+(p 2+p 2m−1)log 2(p 2+p 2m−1)+⋯+(p m +p m+1)log 2(p m +p m+1)]，H (X )=−[p 1log 2p 1+p 2log 2p 2+⋯+p 2m log 2p 2m ]=−[(p 1log 2p 1+p 2m log 2p 2m )+(p 2log 2p 2+p 2m−1log 2p 2m−1)+⋯+(p m log 2p m +p m+1log 2p m+1)]，∵(p 1+p 2m )log 2(p 1+p 2m )−p 1log 2p 1−p 2m log 2p 2m >0，⋯⋯(p m +p m+1)log 2(p m +p m+1)−p m log 2p m −p m+1log 2p m+1>0，所以H (X )>H (Y )，故D 错误．故选AC .三、填空题斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=________.【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，抛物线的焦点为(1,0)，则直线方程为y=√3(x−1)，代入抛物线方程得3x2−10x+3=0，∴x1+x2=10，3.根据抛物线方程得定义可知|AB|=x1+1+x2+1=163.故答案为：163将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________.【解答】解：数列2n−1各项为：1，3，5，7，9，⋯数列3n−2各项为：1，4，7，10，13，⋯观察可知，{a n}是首项为1，公差为6的等差数列，数列{a n}的前n项和为3n2−2n.故答案为：3n2−2n.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与，直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35 BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1，则图中阴影部分的面积为________cm2.【解答】解：由已知得A到DG的距离与A到FG的距离相等，均为5. 作AM⊥GF于M，设AN⊥DG于N.则∠NGA=45∘.∵BH//DG，∴∠BHA=45∘.∵∠OAH=90∘，∴∠AOH=45∘.由tan∠ODC=35，设O到DG的距离为3t，则O到DE的距离为5t，∴{OAcos45∘+5t=7，OAsin45∘+3t=5,解得{t=1, OA=2√2.半圆之外阴影部分面积为：S1=2√2×2√2×12−45∘×π×(2√2)2360∘=4−π，阴影部分面积为：S=12(π⋅(2√2)2−π⋅12)+S1=5π2+4.故答案为：5π2+4.已知直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60∘，以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________.【解答】解：以C 1为原点，C 1B 1→，C 1C →所在直线分别为x 轴、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系O −xyz ，y 轴是平面A 1B 1C 1D 1内与C 1B 1互相垂直的直线，即D 1(1,−√3,0)， 设交线上的点的坐标是(x,0,z )，根据题意可得(x −1)2+3+z 2=5，化简得(x −1)2+z 2=2，所以球面与侧面BCC 1B 1的交线平面如图2所示，即交线长l =14⋅2√2π=√2π2. 故答案为：√2π2. 四、解答题在①ac =√3，②csinA =3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，C=π6，________？【解答】解：选①：∵sinA=√3sinB，C=π6，ac=√3，∴sin(56π−B)=√3sinB，∴12cosB+√32sinB=√3sinB，∴sin(π6−B)=0，∴B=π6.又∵C=π6，∴b=c.由正弦定理可得：a=√3b，又ab=√3解得a=√3, b=1，∴c=1，故满足条件存在△ABC；选②：sinA=√3sinB，C=π6，csinA=3. ∵csinA=3，∴asinC=3，∴a=6.由正弦定理可得：a=√3b，∴b=2√3，∴c2=a2+b2−2abcosC=36+12−24√3×√32=12，∴c=2√3，∴B=π6，A=23π，故满足条件存在△ABC；选③：c=√3b，sinA=√3sinB，C=π6，由①可知，B=π6，故△ABC为等腰三角形c=b，又c=√3b，矛盾.故不存在△ABC满足条件．已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.【解答】解：(1)由题意可知{a n}为等比数列，a2+a4=20，a3=8，+a3q=20，可得a3q得2q2−5q+2=0，(2q−1)(q−2)=0.∵q>1，∴q=2，∵a1×q2=a3，可得a1=2，∴{a n}的通项公式为：a n=2×2n−1=2n.(2)∵b m为{a n}在(0,m](m∈N∗)中的项的个数，当m=2k时，b m=k，当m∈[2k−1,2k)时，b m=k−1，其中k∈N+.可知S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b8+b9+⋯+b15)+(b16+b17+⋯+b31)+(b32+b33+⋯+b63)+(b64+b65+⋯+b100)=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？，附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】解：(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为：32+18+6+8=64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，=0.64.且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：(3)根据(2)的列联表得K2=100×(64×10−16×10)2≈7.484，80×20×74×26由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解答】(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，故BC⊥CD.又因为PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC，又由于PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC.因为在正方形ABCD中BC//AD，且AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，故BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PAD与平面PBC的交线为l，故BC//l.因此l⊥平面PDC.(2)解：由已知条件，P−ABCD底面为正方形，PD⊥底面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立D−xyz空间直角坐标系，如图所示：因为PD =AD =1，Q 在直线l 上，设Q (a,0,1)，其中a ∈R ，由题意得，D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)，则PB →=(1,1,−1)，DC →=(0,1,0)，DQ →=(a,0,1)，设平面QCD 法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅DC →=0，n →⋅DQ =0,得{y =0,ax +z =0, 令z =−a ，则平面QCD 的一个法向量为：n →=(1,0,−a )，设PB 与平面QCD 成角为θ，则sinθ=|cos <n →,PB →>|=|1+a|√3×√1+a 2 =1√3×√(1+a)21+a 2 =√33×√1+2a 1+a 2，①若a =0，则sinθ=√33， ②若a ≠0，则sinθ=√33×√1+21a+a ， a >0时， ∵1a +a ≥2×√1a ⋅a =2，当且仅当1a =a ，即a =1时，$``="$成立，∴sinθ≤√33×√1+22=√63. 当a <0时，sinθ<√33， ∴当a =1时，sinθ=√63取到最大值．综上所述，PB与平面QCD成角的正弦值的最大值为√63.已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.【解答】解：(1)当a=e时，f(x)=e x−lnx+1，f′(x)=e x−1x，∴k=f′(1)=e−1，f(1)=e+1，∴y−(e+1)=(e−1)(x−1)，即y=(e−1)x+2，∴在y轴上的截距为2，在x轴的截距为21−e，∴S=12×2×|21−e|=2e−1.(2)①当0<a<1时，f(1)=a+lna<1；②当a=1时，f(x)=e x−1−lnx，f′(x)=e x−1−1x，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，所以当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=1，从而f(x)≥1；③当a>1时，f(x)=ae x−1−lnx+lna≥e x−1−lnx≥1. 综上，a的取值范围是[1,+∞).已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2,1).(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.【解答】(1)解：由题设得4a 2+1b 2=1， a 2−b 2a 2=12，解得a 2=6，b 2=3. ∴C 的方程为x 26+y 23=1.(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为 y =kx +m ，代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0. 于是x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2.①由AM ⊥AN 知AM →⋅AN →=0，故(x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=0，可得 (k 2+1)x 1x 2+(km −k −2)(x 1+x 2)+(m −1)2+4=0， 将①代入上式可得(k 2+1)2m 2−61+2k 2−(km −k −2)4km 1+2k 2+(m −1)2+4=0，整理得(2k +3m +1)(2k +m −1)=0， 因为A(2,1)不在直线MN 上，所以2k +m −1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k(x −23)−13(k ≠1)， 所以直线MN 过点P(23,−13).若直线MN 与x 轴垂直，可得N(x 1,−y 1). 由AM →⋅AN →=0得(x 1−2)(x 1−2)+(y 1−1)(−y 1−1)=0.又x 126+y 123=1，可得3x 12−8x 1+4=0，解得x 1=2(舍去)，x 1=23， 此时直线MN 过点P(23,−13). 令Q 为AP 的中点，即Q(43,13). 若D 与P 不重合，则由题设知 AP 是Rt △ADP 的斜边，故|DQ|=12|AP|=2√23. 若D 与P 重合，则|DQ|=12|AP|. 综上，存在点Q(43,13)，使得|DQ|为定值.。
新高考(全国卷地区)数学考试试卷结构及题型变化(不分文理)
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
2020年海南省新高考数学试卷(新高考)含详细解析
2020年海南省新⾼考数学试卷⼀、选择题（本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求的）1．（5分）设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}2．（5分）（1+2i）（2+i）＝（）A．4+5i B．5i C．﹣5i D．2+3i3．（5分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+24．（5分）⽇晷是中国古代⽤来测定时间的仪器，利⽤与晷⾯垂直的晷针投射到晷⾯的影⼦来测定时间．把地球看成⼀个球（球⼼记为O），地球上⼀点A的纬度是指OA与地球⾚道所在平⾯所成⻆，点A处的⽔平⾯是指过点A且与OA垂直的平⾯．在点A处放置⼀个⽇晷，若晷⾯与⾚道所在平⾯平⾏，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的⽔平⾯所成⻆为（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（5分）某中学的学⽣积极参加体育锻炼，其中有96%的学⽣喜欢⾜球或游泳，60%的学⽣喜欢⾜球，82%的学⽣喜欢游泳，则该中学既喜欢⾜球⼜喜欢游泳的学⽣数占该校学⽣总数的⽐例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%6．（5分）要安排3名学⽣到2个乡村做志愿者，每名学⽣只能选择去⼀个村，每个村⾥⾄少有⼀名志愿者，则不同的安排⽅法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种7．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x ﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]⼆、选择题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．（5分）我国新冠肺炎疫情进⼊常态化，各地有序推进复⼯复产，下⾯是某地连续11天复⼯复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复⼯指数和复产指数均逐⽇增加B．这11天期间，复产指数增量⼤于复⼯指数的增量C．第3天⾄第11天复⼯复产指数均超过80%D．第9天⾄第11天复产指数增量⼤于复⼯指数的增量10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线⽅程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．（5分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x+）B．sin（﹣2x）C．cos（2x+）D．cos（﹣2x）12．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤三、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13．（5分）已知正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的棱⻓为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A﹣NMD1的体积为．14．（5分）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．15．（5分）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．16．（5分）某中学开展劳动实习，学⽣加⼯制作零件，零件的截⾯如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆⼼，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂⾜为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的⾯积为cm2．四、解答题（本题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯问题中，若问题中的三⻆形存在，求c的值；若问题中的三⻆形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内⻆A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C ＝，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第⼀个解答计分．18．（12分）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．。
2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅰ卷 (含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(含答案解析)
展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
9．A
【分析】
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20．已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
21．已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
10．A
【分析】
由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
17．设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
18．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
2020年山东省新高考数学试卷(新高考)含解析
2020年⼭东省新⾼考数学试卷⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 2．（5分）＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）6名同学到甲、⼄、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，⼄场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排⽅法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4．（5分）⽇晷是中国古代⽤来测定时间的仪器，利⽤与晷⾯垂直的晷针投射到晷⾯的影⼦来测定时间．把地球看成⼀个球（球⼼记为O），地球上⼀点A的纬度是指OA与地球⾚道所在平⾯所成⻆，点A处的⽔平⾯是指过点A且与OA垂直的平⾯．在点A处放置⼀个⽇晷，若晷⾯与⾚道所在平⾯平⾏，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的⽔平⾯所成⻆为（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（5分）某中学的学⽣积极参加体育锻炼，其中有96%的学⽣喜欢⾜球或游泳，60%的学⽣喜欢⾜球，82%的学⽣喜欢游泳，则该中学既喜欢⾜球⼜喜欢游泳的学⽣数占该校学⽣总数的⽐例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%6．（5分）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天7．（5分）已知P是边⻓为2的正六边形ABCDEF内的⼀点，则•的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x ﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]⼆、选择题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
2020年新高考(全国卷地区)数学考试试卷结构及题型变化
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
2020新高考数学试卷结构和题型变化!
新高考数学考试试卷及试卷结构说明新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
每小题12分，共60分。
题型题量分值单项选择题8 40多项选择题 4 20 填空题 4 20解答题 6 70 单项选择题考点分析：2020新高考全国Ⅰ卷（全国Ⅱ卷[1]）1 集合的基本运算2 复数的基本运算3 统计与概率-排列组合4 日晷模型-立体几何5 统计与概率-概率基本公式（积事件）6 疫情模型-指数与对数函数7 平面向量与平面几何8 函数与导数-函数的性质多项选择题考点分析：2020新高考全国Ⅰ卷（全国Ⅱ卷[2]）9 解析几何-双曲线的简单性质10 三角函数-三角函数的图像11 不等式-基本不等式的应用12 信息熵-对数运算及不等式的基本性质新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
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2020年 4 月17 日高中数学作业学校:_________ 姓名：________ 班级：________ 考号：________一、多选题1 ．下列说法正确的是（）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B．某地气象局预报： 5 月 9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D．在回归直线方程y? 0.1x 10中，当解释变量x每增加 1 个单位时，预报变量y?增加 0.1 个单位【答案】 CD【解析】【分析】对 A, 根据分层抽样的意义辨析即可 .对 B, 根据概率的含义辨析即可 .对 C, 根据回归模型的性质辨析即可 .对 D, 根据线性回归方程的实际意义分析即可.【详解】对 A,分层抽样为根据样本特征按比例抽取 ,从匀速传递的产品生产流水线上 , 质检员每 10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测不满足.故 A 错误.对 B, 降水概率为90%,但仍然有10%的概率不下雨 ,故 B 错误 .对 C, 在回归分析模型中 , 残差平方和越小 , 说明模型的拟合效果越好正确 . 对 D, 回归直线方程y? 0.1x 10中x的系数为 0.1,故当解释变量x 每增加 1个单位时 ,预报变量y?增加 0.1 个单位正确 .故选： CD【点睛】本题主要考查了概率统计中分层抽样、概率与回归直线的基本概念与性质 .属于基础题 .222．关于函数f （x） cos2x sin2x 1，下列说法正确的是（）B ．函数 f (x)以 为周期且在区间 , 单调递增2 4 2C ．函数 f (x) 是偶函数且在区间 , 单调递减42D ．将 f(x) 的图像向右平移 1个单位得到 g(x) | cos(2 x 1)| 1 【答案】 AB 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式， 然后根据余弦函数的性质和绝对值的性质逐一判断 即可 . 详解】f (x) cos 2x sin 2x 1 cos2x 1.kk k当 x (k Z)时， f ( ) cos2 1 cosk 1 2 ，所以函数 f(x)在 kx (k Z)处取得最大值，故本选项是正确的；2当 x , 时， 2x , ，所以 f(x) cos2x 1 cos2x 1，故函数是单 4 2 2调递增函数，因此本选项是正确的；C ： f( x) cos[2( x)] 1 cos2x +1=f ( x) ，所以函数是偶函数，由上分析，函数在区间 4,2单调递减是不正确的，故本选项是错误的；D ：将 f (x) 的图像向右平移 1个单位得到 g(x) |cos[2(x 1)]| 1 cos(2x2) 1，故本选项是错误 , 故选： AB 【点睛】本题考查了余弦型函数的性质，考查了二倍角的余弦公式，考查了绝对值的性质，A ．函数 f (x) 以 为周期且在 xk2(k Z) 处取得最大值A ： f(x ) cos2( x ) 1 cos2x 1f(x) ，所以函数 f (x) 的周期为B ： f(x )cos 2( x ) 1 cos2x 2 2f (x) ，所以函数f(x) 的周期为 . 1考查4xa x当且仅当 x 2时, 等号成立； 当 x 1时, f (x) x 22ax 9 为二次函数 , 要想在 x 1处取最小 , 则对称轴要满足 x a 1,且 f (1) 4 a , 即 1 2a 9 a 4, 解得 a 2, 故选 :BCD 【点睛】本题考查分段函数的最值问题 , 处理时应对每段函数进行分类讨论 , 找到每段的最小值 4．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C:y 22px (p 0) 的焦点为 F ，准线为 l.设 l与 x 轴的交点为 K ，P 为 C 上异于 O 的任意一点， P 在 l 上的射影为 E ，于点 M ， 则( )答案】 ABD了余弦的诱导公式3．已知函数 f (x) 2x 22ax 9,x 14，若 f (x) 的最小值为 f (1)，则实数 a 的值可 xa,x 1 x以是( ) A ． 1 B ．2C ．3D ．4解析】 分析】当 x 1时 ,利用均值定理可知 x min 4 a ,当 x 1时,若 f(1) 为最小值 ,需使得对称轴满足 x a 1,且由分段函数 , f(1)4 a ,进而求解即可 详解】当 x 1, f (x)4 a , EPF 的外角 平分线交 x 轴于点 Q ，过 Q 作 QN PE 交 EP 的延长线于 N ，作 QM PF 交线段 PFA ．| PE | |PF |B ． |PF | |QF |C ． |PN | |MF |D ． | PN | | KF |解析】【分析】根据抛物线的定义进行推理判断．【详解】由抛物线的定义，PE PF ， A 正确；∵ PN // QF ，PQ是FPN的平分线，∴ FQP NPQ FPQ ，∴ | PF | |QF |， B 正确；若|PN| |MF|，由PQ是外角平分线，QN PE，QM PF得QM QN，从而有PM PN ，于是有PM FM ，这样就有QP QF ，PFQ 为等边三角形，FPQ 60 ，也即有FPE 60 ，这只是在特殊位置才有可能，因此 C 错误；连接EF ，由A、B知PE QF ，又PE / /QF ，EPQF是平行四边形，∴ EF PQ，显然EK QN ，∴ KF PN ，D 正确．【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，掌握抛物线的定义是解题基础．、解答题5．已知函数f (x) 3 cos(2 x - ) 2sin xcosx .I ）求f （x）的最小正周期；II ）求证：当x [ , ] 时，f x44答案】（ 1）T 2）见解析解析】试题分（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角函数的最小值 . 试题解析 : （Ⅰ）所以 f x 的最小正周期 T（Ⅱ）因为 x ，445所以 2x .636所以 sin 2xsin 13 62所以当 x 4, 4时， f x【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的y Asin ωx φ 的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意 函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值 . 6．已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 1 1， S n 1 a n 1 n 2 ． （ 1）求数列 a n 的通项公式；（2）设 b n log 2a n 1，求数列 a n b n 的前 n 项和 T n ． 【答案】（ 1） a n = 2n-1（2）T n n 1 2n1【解析】 【分析】（1）根据 S n 与 a n 的关系得出数列 a n 为等比数列，即可得出数列 a n 的通项公式；（ 2）利用错位相减法求解即可 . 【详解】解：（1）当 n 2时， S 1 a 2 1，即 a 2 a 1 1 2 ； 当 n 2 时， S n 1 a n 1①， S n a n 1 1②f x sin 2x 3，最后根据公式 T求周期；（Ⅱ）先求 2x 的范围再求fx3 cos2x 3sin2x sin2x 12sin2x 23cos2x sin 2x3a3 a 4a2即 L 2 ，又 2a 2 a 3a1∴数列 a n 为等比数列，公比为 2，首项为 1n 1 n1∴ a n 1 2 2 （2） 由（ 1）可得 a n 1 2n， b n lo g 2n 22 n ，a nb n n 2n 1，∴ Tn 1 202 213 22L n2n11③2T n1 21232 223 23L n12n1n2n④③ ④得T n1222L 2n 1n 2n 1 12nn 2n1 n 2n1 ，1 2∴T nn1 2n1 ．点睛】本题主要考查了利用 S n 与 a n 的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题7．如图，在正三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， AB 2 ， AA 1 2，由顶点 B 沿棱柱侧面经1）三棱柱的侧面展开科的对角线长； 2）该最短路线的长及 A 1M的值； AM3）平面 C 1MB 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小答案】（ 1） 2 10 ；（2）最短路线的长为 2 5，此时 A 1M1；（3） 45 AMS nSn 1a n 1 a n ，即 a nan 1an 1 an ，∴a过棱 AA 1到顶点 C 1 的最短路线与棱 AA 1 的交点记为 M ，求：【分析】（ 1）易知正三棱柱ABC A1 B1C1的侧面展开图是长为 6,宽为 2的矩形 ,进而求解即可；（ 2）画出展开图 , 点B 运动到点D 的位置 ,由展开图可知DC1 为最短路径 ,进而求解即可；（3）连接DB,则DB是平面C1MB 与平面ABC的交线 ,由VDCB的性质可得CB DB ,再由平面CBB1C1 平面ABC,平面CBB1C1 平面ABC BC ,可进一步得到C1B DB ,则C1BC 是平面C1MB 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角） , 进而求解即可【详解】（ 1）正三棱柱ABC A1B1C1的侧面展开图是长为 6, 宽为 2的矩形 , 其对角线长为622240 2 10（2）如图 ,将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120 使其与侧面AA1C1C在同一平面上 ,点B 运动到点D的位置 ,连接DC1交AA1于M ,则DC1是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1 到顶点C1 的最短路线 ,DC1DC2CC12422220 2 5 ,DMA A1MC1, MAD MA1C1 , DA A1C1, ∴VDMA VC1MA1 , ∴ AM A1M ,故A1M 1,1 1 1AM即最短路线的长为 2 5, 此时A1M1AM3）如图 ,连接DB,则DB是平面C1MB 与平面ABC的交线,在VDCB 中 , DBC CBA ABD 60 30 90 ,∴ CB DB .又∵平面CBB1C1 平面ABC ,平面CBB1C1 平面ABC BC, DB 平面ABC,∴ DB 平面CBB1C1 , ∴ C1B DB,∴ C1BC是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角） ,∵侧面CBB1C1 是正方形 , ∴ C1BC 45 ,故平面C1MB 与平面ABC 所成的二面角（锐角）为45 .【点睛】本题考查由棱柱展开图求距离最小值 ,考查直接法求二面角 ,考查空间想象能力8．某学校共有教职工 900 人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示 . 已知在全体教职工中随机抽取 1 名 ,抽到第二批次中女教职工的概率是 0.16 .（ 1）求的值；（ 2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54 名做培训效果的调查 , 问应在第三批次中抽取教职工多少名？（ 3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率 .4【答案】（ 1）144（2）12（3）9【解析】第一问中利用等概率抽样求解样本容量．可知由,解得54 名做培训效果的调查第二问中，由于用分层抽样的方法在全体教职工中抽取因此先求第三批的人数，然后按比例抽样得到第三批中抽取的人数 第三问中，结合古典概型概率公式求解得到． 解: (1)由,解得. ⋯⋯⋯⋯⋯3分(2) 第三批次的人数为 , 设应在第三批次中抽取 m 名，则 ，解得 m 12. ∴ 应在第三批次中抽取 12 名 .⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( 3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为 A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对 (y,z) ，由( 2)知 y z 200,( y,z N,y 96,z 96) ，则基本事件总数有：，共 9 个，而事件 A 包含的基本事件有： (101,99), (102,98),(103,97),(104,96) 共 4 个，4∴ P(A) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分129229．已知椭圆 E: x2 y2 1(a b 0)的左右焦点分别为 F 1,F 2，M 是椭圆短轴的一ab个顶点，且 MF 1F 2 是面积为 1的等腰直角三角形 . ( 1)求椭圆 E 的标准方程；2)已知直线 l ：x my t 0与椭圆 E 交于不同的 A ，B 两点，若椭圆 E 上存在点P ，使得四边形 OAPB 恰好为平行四边形， 求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积的最小 值.解析】 分析】2xy 211)根据等腰直角三角形可得b c 1,a2 ，然后写出椭圆 E 的标准方程； 答案】 1) 2x 22y 21(2)2)由题意可设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y 1，根据韦达定理和四边形2x my t1OAPB恰好为平行四边形可得点 P 的坐标，将其代入椭圆方程可得 4t 2m22，再利用面积公式和基本不等式可得最小值 详解】 1)由已知得 F 1( c,0), F 2(c,0) ，设 M(0,b). Q MF 1F2 是面积为 1 的等腰直角三角形， b c 1,a 22∴椭圆 E 的方程为 x 2 y 22）由题意可设 Ax 1,y1 ， B x 2,y2 .2 x2 y 联立 2x my 1整理得 t2mty t2 0，则 t 20.根据韦达定理得 y 1 y2 2mtm 2 2t 22y 1y 2 m 2 2 因为四边形 OAPB恰好为平行四边形，所以 uu ur OP uuu r OAuuurOB . 所以y P y12mty 2 m 2 2 ，x P x 1 x2my 1 t my 2 t m4ty 1 y 2 2tm 2 2 因为点 P 在椭圆 C 上， 16t2所以 4m 2t 2整理得 在直线 224 m 2 2 t 2m 2 2 l ： x my 2 m 221 ，即 4t2 m 2中， 由于直线 令 x 0，得 ym t，令 y 所以三角形面积为 1S 12|t |当且仅当 m 2 2， t 21时，2 21， m 22 l 与坐标轴围成三角形，则 0，得 xt .0， 0.1 m 228 |m|取等号，此时所以直线 l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为1218 |m| |m 2|24 0.22点睛】 本题考查了求椭圆的标准方程， 考查了直线与椭圆的交点问题， 考查了三角形的面积公 式，考查了基本不等式求最小值，考查了运算求解能力，属于中档题110．已知函数 f x 4 log a 1 x , a 0,a 1 的反函数 f 1x 的图象经过点2P 5, 1 ，函数 g(x) b x , b R 为奇函数 .2x 1( 1) 求函数 f x 的解析式； ( 2) 求函数 F x g x 2x2的零点；11( 3) 设 g x 的反函数为 g x ，若关于 x 的不等式 k g x f x 在区间1,0 上恒成立，求正实数 k 的取值范围 .答案】 (1) f x 4 log 2 1 x ；(2) x log 4 3；(3) 0,4 解析】 分析】详解】2(1) 由题意， f x 过点 ( 1,5) ，即 f 1 4 log a 25， 解得 所以 f4 log 2 1 x .(2)Q 为 R 上的奇函数 (1)根据原函数与反函数的关系可知， 函数 f x 过点 1,5，代入求解 a 值，即可 . (2) 由题意可知 g 0 0 ，解得 b 1，从而确定 F x22x 12x1，令 F x 0，即2x 1 2x2，即 4x3 ，解方程，即可 .(3)由题意可知， 1x log 21 x,x 1,1 ，则不等式 k 1x变形为k 4 log 2 2，令 t 1 x,t 0,1 ，则 k 4 1xlog 24 ，令y 4 log 2t 44 ，根据函数的单调性，可知 y tlog 244 t4 ，从而求解正实数 k 的取值范围 .∴g22x 1b 02 b 1 0 ，解得b 1，即g x201gx 2x21F x 0 ，即xx2x1 2x1x22x12x1x 2 x2x1 4x4x3 ，解得x log43.(3) 由(2)可知g x1x log2 11 x22xx,x1x1,1即k 1xgxlog2log 2 11x x1x 21 x 2log21log2 1x令t x,t0,1log2t4t 4t4 log2 t4t令y log2 ，t 0,1Q y log2 在t0,1单调递减∴y log2 log21 414若关于x 的不等式f x 在区间1,0 上恒成立 ,则k又Q k 为正实数∴ k (0,4] . 点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.。