利用单调有界准则的解题步骤
单调有界收敛准则
单调有界收敛准则概念介绍单调有界收敛准则是数学中序列收敛的一种方法。
序列是一组按照一定规则排列的数列，而收敛则是指一个序列的极限存在且有限。
单调有界收敛准则就是指一个序列是单调递增的且上界存在，那么这个序列就收敛。
定义设a n是一个序列，如果它是单调递增的，并且存在一个数b，使得a n<b（n=0，1，2…），则a n收敛，且极限为$\\mbox{sup}$a n。
同样地，如果一个序列是单调递减的，并且存在c，使得a n>c（n=0，1，2…），则a n收敛，且极限为$\\mbox{inf}$a n。
证明设a n是一个单调递增的序列，$b=\\mbox{sup}$a n，我们需要证明它是收敛的。
根据确界的定义，b是a n的上确界，即对于任意的$\\varepsilon>0$，存在一个n0，使得$a_{n_0}>b-\\varepsilon$。
因为a n是单调递增的，所以当n>n0时，有$a_n\\ge a_{n_0}>b-\\varepsilon$。
同时，由于b是a n的上确界，所以对于任意的n，都有$a_n \\le b$。
综上所述，对于任意的$\\varepsilon>0$，都存在一个n0，使得当n>n0时，$|a_n - b|<\\varepsilon$，故a n收敛，且极限为$\\mbox{sup}$a n。
同样地，若a n是单调递减的，并且存在$c=\\mbox{inf}$a n，则我们同样可以证明a n收敛，且极限为$\\mbox{inf}$a n。
应用范围单调有界收敛准则是判断序列收敛的一种简单有效的方法，常用于初等数学证明和分析中。
除此之外，该准则在实际中的应用也十分广泛，比如许多优化算法中都涉及到序列的收敛性。
唯一的不足是，它只适用于单调有界的序列，如果序列不单调或者无界，就无法使用该准则进行判断。
在这种情况下，我们需要使用其他的方法，如夹逼定理或柯西收敛准则等。
求极限的几种方法1
三、 利用左、 右极限求极限
求分段函数的极限, 主要是分段点处函数的极限 . 因为在非分段点处 , 函数的极限的计算方法与非分 段函数没有什么不同 . 分段函数在分段点处的极限存在的充要条件 : 当且仅当函数在分段点处的左、 右极限存在且相等时函 数在该点的极限存在 . 即当 x 0 是分段点时, 应分别求 lim f ( x ) 和 lim f ( x ) , 并判断在该点极限是否相等 . +
七、 利用某些恒等式求极限
1 1 1 1 + + + ,+ ). 1. 3 3. 5 5 . 7 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 1 1 ( 2 n + 1) - ( 2 n - 1) 1 1 1 解 设 x n= = # = ( ), ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 2 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 2 2n- 1 2 n+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 原式= lim [ ( 1- ) + - + - + ,+ ) ] = nlim ( 1)= . ny ] y] 2 3 3 5 5 7 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1 ) 2 n+ 1 2 1 1 1 1 例 10 求极限 lim ( cos 2 #cos 2 #cos 3 ######cos n ) . ny ] 2 2 2 例 9 求极限 nlim ( y]
1 1
sin x 2+ e x sin x lim ( ) = lim = 2- 1= 1. 4+ 4 - lim | x | x x y0 x y0 x y0 x x 1+ e 1+ e 故原式极限存在 , 且等于 1.
数学分析中求极限的几种重要方法
数学分析中求极限的几种重要方法作者：杨淑荣来源：《中国科教创新导刊》2013年第11期摘要：极限是数学分析的重要内容，是高等数学的理论基础和研究工具，学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用。
由于极限的计算题目类型多变，而极限的求取方法也种类繁多，因此，针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大。
本文通过总结归纳数学分析中求极限的几种重要方法，并且通过例子进行具体的说明，为高等数学初学者提供了一定的指导和帮助。
关键词：数学分析极限高等数学中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）04（b）-0022-02极限是高等数学中数学分析部分的重要基础，数学分析中的许多重要概念如连续、导数、微分、积分和级数收敛等均要通过极限概念来描述。
在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿于数学分析的全部内容，因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键环节。
数学分析中求极限的方法繁多，不拘一格，但并不集中。
本文在综合了大量文献和资料的基础上，以数学分析中的理论为基础，参考已有的方法和概念，通过典型例题进行归纳和总结，进行了简单的归类，从利用定义求极限、利用法则求极限、利用公式求极限、利用性质求极限以及其他方法几个方面着手，具体介绍了包括四则运算法、洛必则法则法等几种重要的求极限方法。
希望在求极限方法的正确和灵活运用上，对读者有所助益。
1 利用定义求极限极限的概念可细分为函数的极限和数列的极限。
2 利用法则求极限2.1 四则运算法则法2.2 两个准则法本文简单介绍两个准则，分别为夹逼准则和单调有界准则，常用于数列极限的求解。
（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，且极限唯一。
利用单调有界准则求极限过程中，首先需要证明数列的单调性和有界性，然后要证明数列极限的存在，最后根据数列的通项递推公式以及极限的唯一性来求极限。
2.3 洛比达法则法3 利用公式求极限3.1 两个重要极限公式法（1）极限及其变换，常用于包含三角函数的“”型未定式。
函数极限单侧极限的单调有界定理(老黄学高数第99讲)
第99讲 函数单侧极限的
单调有界定理
设f为定义在U⁰+(x0)上的单调有界函数，
则右极限
f(x)存在.
证：若f在U⁰+(x0)上递增且有界， 由确界原理，可设inf f(x)=A, x∈U⁰+(x0). ∀ε>0,由下确界定义知有x’∈U⁰+(x0)，使得f(x’)<A+ε. 取δ=x’-x0>0，由f递增知对一切x∈(x0,x’)=U⁰+(x0;δ)， 有f(x)≤f(x’)<A+ε. 又A≤f(x)，∴A-ε<f(x)<A+ε，
1、设f为定义在[a,+∞)上的递增(减)函数，证明： f(x)存在的充要条件是f在[a, +∞)上有上(下)界.
当f递减时，若f在[a, +∞)上有下界，则
f在[a, +∞)上有下确界，设B=inf f(x)，(x∈[a, +∞))， 对∀ε>0，有x0∈[a, +∞)，使 当x>x0时，有B-ε<f(x)≤f(x0)<B+ε ， ∴ f(x)=B.
2、证明： 证：记f(x)= ,取x1,x2∈(0, +∞)且x1<x2，则
f(x)递减，
又当x>0时， >0，所以f(x)有下界， ∀ε>0, ∃x0= ∈(0, +∞)，使得 ∴inf f(x)=0 (x∈(0, +∞)). 由单调有界定理知，
2、证明：
已证
取x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2，则
∴ f(x)=B.得证！
设f为定义在U⁰+(x0)上的单调有界函数，
则右极限
单调性求极限方法总结(论文)
0 引言单调性是函数和数列的一个重要性质,在求函数和数列的极限问题中有着重要的应用.因此,对单调性方法的研究和归纳就显得非常重要.本文主要从微分法、归纳法、使用重要不等式法、差比法、比商法五个角度研究数列和函数的单调性证法，进而利用单调有界函数（或数列）必存在极限原理来求极限，并且就几个具有特殊形式的极限问题在形式上进行了推广，得到新的命题及推论，并利用单调性证法对其进行加以证明。
1利用微分法证明单调性求极限例1 证明：()'lim n fx →∞存在，并求极限值。
证明：（1）证明()'lim n f x →∞存在。
事实上，因为()f x 在()0,+∞上可导且单增，所以()'0f x ≥，即()'f x 有下界。
设()f x 在()0,+∞上单调递增且为有界的连续函数，又()f x 在()0,+∞内有二阶导数，且()"0f x <又因为()()"'0f x f x <⇒递减，综上知()'lim n f x →∞存在，设为L（2）求L 。
由()'0f x ≥()'lim 0n f x L →∞⇒=≥，现证L=0，若不然，()'0f x L →>，由极限的保号性，存在N ，若x N >时，有()'12f x >，在[],N x 上应用微分中值定理，有 ()()()()''f x f N f x N ξ-=- ()N x ξ<<()()()12f x f N x N >+-→∞ （N 固定，当x →∞） 当()f x 在()0,+∞单增有上界极限存在矛盾。
所以只有()'lim n f x →∞=0例2 设()f x 在()1,+∞上连续可微，且()()'211f x f x =+ 求证()lim x f x →∞存在。
证明：单调性：由当1x ≥时，11ln 1x x⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以()()'0f x f x ≥⇒在()1,+∞单增有界性：由已知()'f x ≤≤()111111111ln 111ln 1ln 11xxe x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<<+⇒⋅+≤≤++⇒≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x≤）()'3212f x x ⇒<==≤由()'f x 的表达式可见()'f x 可积，且由积分单调性知()()()()()3'21111111112xxfx dx x dx f x f f x f -≤=-≤⇒-≤⇒≤+⎰⎰ ()()1,x ∈+∞ 所以()lim x f x →∞存在。
单调有界数列收敛定理
例2.4.2 设 0 < x1 < 1, xn+1 = xn (1 − xn ) , n = 1,2,3," 。证明{ xn }收 敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切 n ∈ N+ ， 0 < xn < 1。
由 xn+1 = xn (1 − xn ) ( n = 1,2," )，可得 xn+1 - xn = − xn2 < 0 ，
+2
=
lim
k→∞
1 + 2b2k 1 + b2k
得到
a
=
1 + 2a 1+ a
；
由 lim k→∞
= b2k +1
lim
k→∞
1 + 2b2k −1 1 + b2k −1
得到
b
=
1 + 2b 1+b
。
这两个方程有相同的解 a =b = 1± 5 ,舍去负根，于是得出结论：在不
2
考虑兔子死亡的前提下，经过较长一段时间，兔群逐季增长率趋于
= ⎜⎛1 +
⎝
1 n
⎟⎞ n ⎠
⋅1 ≤
⎡ ⎢ ⎢
n⎜⎛1 ⎝
+
1 n
⎟⎞ ⎠
⎢ n+1
+
⎤ 1⎥
n
+1
⎥=
⎥
xn+1 ,
⎢⎣
⎥⎦
1 yn
= ⎜⎛ n ⎟⎞n+1 ⋅1 ≤
⎝ n +1⎠
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
收敛数列的单调有界定理拓展(老黄学高数第75讲)
2、证明：若{an}为递增数列，{bn}为递减数列， 且 (an-bn)=0，则 an与 bn都存在且相等. 证：∵ (an-bn)=0，∴{an-bn}有界， 不妨设A≤an-bn≤B，A,B为常数. ∵{an}递增，{bn}递减， ∴an≤B+bn≤B+b1，bn≥an-B≥a1-B. ∴{an},{bn}单调有界. ∴{an},{bn}都有极限. 而
证明：{an}与{bn}极限都存在且等于
.
对an+1=
，两边令n→∞取极限得：a=
，
化简得a=b.
由an+1bn+1=
=anbn=an-1bn-1=…= a1b1，
两边令n→∞取极限得：ab=a1b1. ∴a=b=
.
老黄学高数
第75讲 收敛数列的
单调有界定理拓展
(单调有界定理)：在实数系中， 有界的单调数列收敛，且其极限是它的上(下)确界.
1、证明：若{an}为递增(递减)有界数列，
则
=sup {an} (inf {an}). 又问逆命题是否成立？
证：∵{an}有界，由确界原理可知{an}有上(下)确界， 设sup{an}=η (inf{an}=ξ); 由确界定义可知，
2、给定a1>b1>0，作出等差中项a2=
与等比中项b2=
，依此类推，
令an+1 = 证明：
，bn+1=
，n=1,2,…
与
皆存在且相等.
证：∵a1>b1>0，可设ak>bk>0，则
>0；
ak+1-bk+1=
-
=
>0；
即ak+1>bk+1. ∴对一切n有an>bn；∴{an}和{bn}都有界.
数列的单调有界准则
文档标题：聊聊数列的单调有界准则——让你一看就懂！正文：嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊一个数学里的好玩东西——数列的单调有界准则。
别一听“准则”俩字就头大，其实这玩意儿挺简单的，我保证让你一看就懂！首先，咱们得知道啥是数列。
数列嘛，就是一串数字按顺序排排队，比如1, 2, 3, 4, 5这样。
那么，啥是单调有界呢？别急，听我慢慢道来。
单调，就是这串数字要么一直往上涨，要么一直往下跌。
往上涨的叫单调递增，往下跌的叫单调递减。
比如说，1, 2, 3, 4, 5就是单调递增的，5, 4, 3, 2, 1就是单调递减的。
有界呢，就是这串数字有上有下，不能没完没了地涨或者跌。
比如1, 2, 3, 4, 5，最小是1，最大是5，这就叫有界。
那么，单调有界准则到底是啥呢？简单来说，就是一个数列如果既单调又有界，那它肯定会有一个极限。
啥是极限？就是这串数字一直往上涨或者往下跌，最后会越来越接近一个固定的数字。
举个例子，咱们班小明身高每年都比去年高1厘米，这就是一个单调递增的数列。
但是，小明总不能一直长个儿吧，总有个头吧？这个“总有个头”就是有界。
所以，小明的身高数列就是一个单调有界的数列。
最后，小明的身高会越来越接近一个固定的数字，这个数字就是他的极限身高。
好了，咱们再来总结一下单调有界准则的三个要点：1. 数列要单调，要么一直往上涨，要么一直往下跌。
2. 数列要有界，不能没完没了地涨或者跌。
3. 满足以上两个条件，这个数列就一定会有一个极限。
说了这么多，小伙伴们是不是觉得单调有界准则也没那么难懂呢？其实，数学里的很多知识都挺有意思的，只要你用心去发现，就能找到其中的乐趣。
好啦，今天咱们就聊到这里，下次再给你们讲讲数学里的其他好玩事儿！别忘了，数学其实挺有趣的，一起加油吧！。
2.9如何运用单调有界准则
如何运用单调有界准则单调有界准则：.单调有界数列必收敛，即数列极限存在1推论(),12 {}n n M x x M n ≤∃=如果单增数，列有上界即，使得，，lim ,lim .n n n n x x M →∞→∞≤则存在且2推论(),12 {}n n m x x m n ≥∃=如果单减数，列有下界即，使得，，lim ,lim .n n n n x x m →∞→∞≥则存在且⑴单调性：1n n x x +−① 考察.10{12}n n n x x x n +−≥=，如果，列，，则数单增.(0)()≤单减1{}.n n nx x x +② 对于正数列，考察1{}112n n nx x n x +≥=如果，则数列单增，，， .(1)()≤单减③ 今后还要介绍构造辅助函数的方法.⑵有界性：{}n x ① 根据数列单调性，确定考察上界或下界.{}{}n n x x 如果数列单增，只需证明数列有上界.()()单减下界{}n x ② 在证明数列有上界或有下界前，事先通过观察等方法确定其上界或下界.在具体证明过程中，可以采用数学归纳法等方法.⑶局限性：① 利用单调有界准则可以证明单调有界数列的极限存在，但不能够求出此极限..若求此极限，通常要利用数列的递推公式等其它方法求极限lim .n n x a →∞=② 在未知数列极限存在时，不能设1 1x =反设,例112,2n n n x −=则=，，，lim .n n x →∞不存在lim n n x a →∞=若设，2a a =则，0a =解得，lim 0n n x →∞=所以，.矛盾12,n n x x +=1112,i lim 1l m n n n n n x x n x x +→∞→∞===设，,证明存,例在求．证明⑴单调性1n n x x +−=−=11n n n n x x x x +−−−知与同号，1210n n x x x x +−−=−>以此类推,与同号，1012,n n x x n +−>=所以，，,{}n x 故单调增加.1112,i lim 1l m n n n n n x x n x x +→∞→∞===设，,证明存,例在求．证明⑵有界性12,x =<22,x =<=，一般地，()数学归纳法思想222n x =<<+=，212,n x n <=所以，，，{}n x 故有上界.{}lim n n n x x →∞因此单增有上界，由单调有界准则知存在．1112,i lim 1l m n n n n n x x n x x +→∞→∞===设，,证明存,例在求．解⑶求极限lim ,n n x a →∞=设,n x n =→∞则在递推关系式可得2lim 2.n n a a x →∞===,故总结本讲主要介绍如何利用单调有界准则求数列的极限.。
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限，本例中当时，，表明与1无限接近，但 ,所以这一因子可以约去。
二、分子分母同除求极限求极限型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
?三、分子(母)有理化求极限例:求极限 ??分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例：求极限30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、应用两个重要极限求极限两个重要的极限在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。
五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求因为,,所以六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当时,，，等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。
此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例：例：求极限七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。
如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。
也就说，极限号与可以互换顺序。
例：求令因为在点处连续所以八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。
洛必达法则只说明当也存在等于时，那么存在且等于。
如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。
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利用单调有界准则的解题步骤
（1）由数列{}n u 的通项确定递推关系式：1()n n u f u +=
（2）利用递推关系式证明该数列单调增加（或减少）有上界（或下界）；再设 lim n n u A →∞
=（3）在递推关系式两边取极限得到关于未知数A 的方程1()n u f u +=n ()A f A =
（4）解此方程求出符合题意的A 的值
（5）可先猜出（求出）数列的极限值，再用数列极限的N ε−定义证明该值即为的极限（对不单调的题，上面方法失效，但该法仍可行）
n u n u
数列有界性和单调性的证明方法：
（1）一般关于单调性和有界性可以尝试利用数学归纳法来证明
（2）判定数列单调性主要有三种方法
①计算，若，则数列1n u u +−n 10n n u u +−≥{}n u 单调增加
若，则数列10n n u u +−≤{}n u 单调减少
②当时，计算0n u >1n n u u +，若11n n
u u +≥，则{}n u 单调增加 若
11n n u u +≤，则{}n u 单调减少 ③利用导数证明的单调性，则()(1)f x x ≥()n u f n =与()f x 有相同的单调性
（3）有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时调整证明次序（证明单调性时需用有界性，从而必先证明数列有界；或证明有界性时需用单调性，从而必先证明数列的单调性）
例 设数列{}n x 满足110,sin (1,2,n n x x x n )π+<<=="
①证明lim n n x →∞存在，并求该极限；②计算极限2
1
1lim n x n n n x x +→∞⎛⎞⎜⎟⎝⎠。
证明①用归纳法证明{}n x 单调减少且有下界：
由10x π<<得2110sin x x x π<=<<
设0n x π<<，则10sin n n n x x x π+<=<<
所以数列{}n x 单调减少且有下界。
故由单调有界准则知0n x >lim n n x →∞存在，记为A 。
在1sin n n x x +=两边取极限，得
sin 0A A A =⇒=②11
1sin lim lim n n x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠n ，记x x =，可用罗必达法则求2
10sin lim x x x x →⎛⎞⎜⎟⎝⎠。