八年级数学下：几何计算题、证明题

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八年级数学下：几何计算题、证明题

一、题型特点：四边形（五种常见的）、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，……

二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放）、探索性（数量关系、位置关系），……

三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，…… 下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形）

的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析. 一、以平行四边形搭建起来的图形

例1.ABCD Y

中，

AB=4cm ，AD=7cm, ∠ABC 的平分线交AD 于E,交CO 的延长线于F,求DF 的长？ 分析： 本题要求的DF 长的途径有两条：其一.DF CF CD =-；其二. DF DE AD AE ==-.

采取第一途径可以少一些环节，根据平行四边形的性质和角的平分线的定义可以 比较容易得出BCF V

是等腰三角形，即CF CB =；由于平行四边形

的对边相等可以得出:,CD AB 4cm CB AD 7cm ====.故DF 743cm =-=

例2.△ABC 、△ADE 都是正三角形，CD=BF.

（1）、求证：△ACD ≌△CBF

（2）、当D 运动至BC 边上的何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF=30°,并证明你的结

论.

分析： ⑴.证明△ACD ≌△CBF 已经有了CD=BF ，而△ABC 、△ADE 都是正三角形又可以给我们提供

,CA CB ACD CBF 60=∠=∠=o 条件，根据“SAS ”判定方法可以证得△ACD ≌△CBF.

⑵.根据⑴问的△ACD ≌△CBF 得出AD CF =,又△ADE 是正三角形的DE CF =,所以CF DE =;要

使四边形CDEF 为平行四边形可以证CF DE P .

若四边形CDEF 为平行四边形，则FCD DEF 30∠=∠=o ；当EDB 30∠=o 时，就有FCD EDB ∠=∠,

此时就能证得CF DE P .由正△ADE 可以得出ADE 60∠=o ，则ADB 603090∠=+=o o o ,AD BC ⊥;

由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当D 运动至BC 边上中点时，四边形CDEF 为平

行四边形.

练习： 1.如图,在□ABCD 中，AE ⊥BC,AF ⊥CD,∠EAF=60°，则∠B=（ ）；

2.□ABCD 的周长为60ｃｍ，对角线AC 、BD 交于点O,△AOB 的周 长比△BOC 的周长多10ｃｍ，则AD=（ ），DC=( )；

3.□ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 交AD 于E 点，若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么∠ABE=（ ），∠BED=（ ），AE=（ ）.

4. 已知□ABCD ，BE=AB,BF =BD. 求证：CD=CM

5. △ABC 是正三角形，AE=BD,DF ∥CE,EF ∥CD. 求证: △AGF ≌△EAC

6.以△ABC 的三边在BC 的同侧做等边△EBC 、等边△FBA 、等边△DAC. ⑴.判断四边形FADE 的形状？ ⑵.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 为矩形？ ⑶.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 不存在？

7. 有一块如图的玻璃，不小心把DEF 部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm ，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能根据测得的数据计算AD 的长？ 二、以矩形搭建起来的图形 例1.D 为□ABCD 外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证: □ABCD 为矩形

分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形ABCD 是平行 四边形的情况下，要判定ABCD Y

是矩形的途径有两条：其一、找 一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出AC BD =. 由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的M C D F B A E G F

E A B C D

F D

B C A D

F E B C A O C B

D P

A

F A B F

E

D A C

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内角为90°比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出AC BD =.

我们发现本题在APC Rt V 和BPD Rt V

的两斜边的交点O 恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：O 同时是AC BD 、的中点；所以自然联想到连结PO 这条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在APC Rt V

和BPD Rt V 中就有：AC 2PO = BD 2PO =,故AC BD =,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD Y

是矩形. 例2. 矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ， ⑴.求PE+PF 的值？

⑵.若点P 是AD 上的一动点（不与A D 、重合），还是作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，则PE+PF 的值是否会发生变化？为什么？

分析：求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件. 本题从面积入手可以破题：如图连结PO ,只要我们能求出APO V 和DPO V

的面积之和问题便可以获得解决.

略解：⑴.∵四边形ABCD 是矩形

∴BAD 90∠=o ,,11

OA AC OD BD 22

==, AC BD =

∴1

OA OD BD 2

==

在ABD Rt V

中，AB=3，AD=4；并且根据勾股定理有：222BD AB AD =+，即222BD 34=+，又BD 0> ，所以.=BD 5

∴.==11

OA OD BD 52522==⨯

∵,11AOP OA PE DOP OD PF 22S S =⋅=⋅V V ，且ABCD 11

AOD 34344

S S

==⨯⨯=V 矩形(过

程略)

∴++=11AOP DOP OA PE OD PF AOD 22S S S =⋅⋅V V V

,即..11

25PE 25PF 322

⨯⨯+⨯⨯=

∴12

PE PF 5

+=.

⑵.不会发生变化.这是因为AOD AOP POD V V V

、、的面积以及作为底边的OA OD 、不会发生变化.

练习：

1. 矩形ABCD 中，AF=DE.求证：BE=CF

2. 矩形ABCD 中，BE ⊥AC ，CF ⊥BD.求证：BE=CF

3. 矩形ABCD 中，DF 平分∠ADC, ∠BDF=15°. 求∠DOC 与∠COF 的度数？

4、矩形ABCD 中，CE ∥BD ，则△ACE 为等腰三角形吗？为什么？

5.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为多少？

三、以菱形搭建起来的图形

例1. △ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AH ⊥BC 于H 交BD 于E,DF ⊥BC 于F,求证：四边形AEFD 是菱形

A

B

C D P E F O

E F

O

D B

C A

E F D

B C

A

O D C

B

A E A

B

D

E C'B'E A