理论力学之静力学习题答案北航
北航理论力学静力学习题课
1
不计自重
2019/11/19
15
BUAA
题19：确定图示结构中的零力杆。杆1与杆2平行
F平行于杆1和杆2 2019/11/19
F平行于杆3 16
BUAA
题20: 正方体的边长为a，作用有力系如图所示，其中三个力的 大小为F，两个力偶矩的大小为M=Fa,方向如图。若使该立方体 平衡，只需在其上施加一个力即可。则在Oxyz坐标系中:
2019/11/19
27
BUAA
补充题2:
B
2019/11/19
28
BUAA
题26: 下图中的系统是否是静定结构?
O
B
D
B
D
C
A
E
A
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瞬态机构 G
C
G
E
静定结构
29
BUAA 题27: 下图中的系统是否是静定结构?
F
A
B
题28: 确定上图结构中铰链B约束力的方向
2019/11/19
22
BUAA
a A
a
WA
b
FN
解：1、研究圆盘
F
FOy
MO 0
O
FOx WB R FR 0
O
FAy WB
F WB
A FAx
WA
2、研究板
WB
F FN FN a Fb WAa 0
M A 0
FN
F
b a
WA
不滑动条件：F fFN
2019/11/19
WB (1
f
z
M F
F F
O
(1) 所加的力F = (2) 在图中画出该力
《理论力学》静力学典型习题+答案
1-3 试画出图示各构造中构件AB的受力争1-4 试画出两构造中构件ABCD的受力争1-5 试画出图 a 和 b 所示刚系统整体各个构件的受力争1-5a1-5b1- 8 在四连杆机构的ABCD的铰链 B 和 C上分别作用有力F1和 F2，机构在图示位置均衡。
试求二力F1和 F2之间的关系。
解：杆 AB，BC， CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法 1( 分析法 )假定各杆受压，分别选用销钉 B 和 C 为研究对象，受力以下图：yyFBCC xB Fo45BCx30o o F60F2CDF AB F1由共点力系均衡方程，对 B 点有：F x0F2F BC cos4500对 C点有：F x0FBC F1 cos3000解以上二个方程可得：F12 6F2 1.63F23解法 2( 几何法 )分别选用销钉 B 和 C 为研究对象，依据汇交力系均衡条件，作用在 B 和C 点上的力构成关闭的力多边形，以下图。
F F2BCF AB o30o45CD60oFF BC F1对 B 点由几何关系可知：F2F BC cos450对 C 点由几何关系可知：F BC F1 cos300解以上两式可得：F1 1.63F22-3 在图示构造中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶 M。
试求 A 和 C 点处的拘束力。
解： BC为二力杆 ( 受力以下图 ) ，故曲杆 AB 在 B 点处遇到拘束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB遇到主动力偶M的作用， A 点和 B 点处的拘束力一定构成一个力偶才能使曲杆AB保持均衡。
AB受力以下图，由力偶系作用下刚体的均衡方程有（设力偶逆时针为正）：M0 F A10a sin(450 )M 0F A0.354Ma此中：tan 1。
对 BC杆有：F C FB F A0.354M 3aA，C两点拘束力的方向以下图。
2-4解：机构中 AB杆为二力杆，点A,B 出的拘束力方向即可确立。
静力学习题课答案
【1】 梁AB 一端为固定端支座，另一端无约束，这样的梁称为悬臂梁。
它承受均布荷载q 和一集中力P 的作用，如图4－9（a ）所示。
已知P =10kN ， q =2kN/m ，l =4m ，︒=45α，梁的自重不计，求支座A 的反力。
【解】：取梁AB 为研究对象，其受力图如图4－9（b ）所示。
支座反力的指向是假定的，梁上所受的荷载和支座反力组成平面一般力系。
在计算中可将线荷载q 用作用其中心的集中力2qlQ =来代替。
选取坐标系，列平衡方程。
)(kN 07.7707.010cos 0cos - 0A A →=⨯====∑ααP X P X X)(kN 07.11707.010242sin 2 0sin 2 0A A ↑=⨯+⨯=+==--=∑ααP ql Y P qlY Y )( m kN 28.404707.0108423sin 83 0sin 422ql 022A A ⋅=⨯⨯+⨯⨯=⋅+==⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑l P ql m l P l l m M A αα力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上的投影代数和必然等于零，力系中各力对任一点之矩的代数和也必然为零。
因此，我们可以列出其它的平衡方程，用来校核计算有无错误。
校核028.40407.114424242A A B =+⨯-⨯⨯=+⋅-⨯=∑m l Y l ql M 可见，Y A 和m A 计算无误。
【2】 钢筋混凝土刚架，所受荷载及支承情况如图4－12（a ）所示。
已知kN 20 m,kN 2 kN,10 kN/m,4=⋅===Q m P q ，试求支座处的反力。
【解】：取刚架为研究对象，画其受力图如图4－12（b ）所示，图中各支座反力指向都是假设的。
本题有一个力偶荷载，由于力偶在任一轴上投影为零，故写投影方程时不必考虑力偶，由于力偶对平面内任一点的矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩m 列入。
设坐标系如图4－12（b ）所示，列三个平衡方程)(kN 3446106 06 0A A ←-=⨯--=--==++=∑q P X q P X X)(kN 296418220310461834 036346 0B B A ↑=⨯++⨯+⨯=+++==⨯--⨯-⨯-⨯=∑q m Q P Y q m Q P Y M)(kN 92920 00B A B A ↓-=-=-==-+=∑Y Q Y Q Y Y Y校核3462203102)9(6)34(6363266 C=⨯⨯+-⨯+⨯+-⨯--⨯=⨯+-++-=∑qmQPYXMAA说明计算无误。
北航理论力学静力学s-ch4C
习题：4-7、4-12、4-15
•变形体的虚位移原理
•质点系平衡的稳定性
2019/11/19
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BUAA
§4-6 虚位移原理
三、变形体的虚位移原理
m1
F1
m2
F2
F1
m1
m2 F2
FN 1
FN 2
FN 1
FN 2
•外力(external force)：质点系外部的物体作用于质点系上的力
•内力(internal force)：质点系内部的作用力
17
BUAA
问题讨论
关于系统静定性的讨论
当所研究的系统是结构（非机构和瞬态机构）
•静 定 问 题 ( statically determinate problem): 未知量的数目= 独立平衡方程的数目
•静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
(Fl Fsb) 0; or cos 0
Fs
k(
0 )
b l
k ( xC
a)
当：xC a, 0
xC1
a
F k
l b
2 ;
xC2 2l
2019/11/19
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BUAA
§4-7 平衡的稳定性
• 平衡的稳定性(stability of equilibrium)：质点系处于某
1、给出系统的势能函数 2、确定系统的平衡位置 3、讨论平衡位置的稳定性
2019/11/19
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BUAA
§4-7 平衡的稳定性
理论力学习题及答案(全)
第一章静力学基础一、是非题1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。
（）2．在理论力学中只研究力的外效应。
（）3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。
（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。
（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。
（）6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。
（）7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。
（）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。
（）二、选择题1．若作用在A点的两个大小不等的力F1和F2，沿同一直线但方向相反。
则其合力可以表示为。
①F1－F2；②F2－F1；③F1＋F2；2．作用在一个刚体上的两个力F A、F B，满足F A=－F B的条件，则该二力可能是。
①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。
③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。
3．三力平衡定理是。
①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点；②共面三力若平衡，必汇交于一点；③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。
4．已知F1、F2、F3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，由此。
①力系可合成为一个力偶；②力系可合成为一个力；③力系简化为一个力和一个力偶；④力系的合力为零，力系平衡。
5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。
①二力平衡原理；②力的平行四边形法则；③加减平衡力系原理；④力的可传性原理；⑤作用与反作用定理。
三、填空题1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是。
2．已知力F沿直线AB作用，其中一个分力的作用与AB成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为度。
北航《理论力学(第二学期)》考题整理
A
（a）
B
A
(b)
B
A:情况（a）时 AB 杆的角加速度大； B:情况（b）时 AB 杆的角加速度大； C：条件不足，不能确定。 二、 填空题（第 8 小题 5 分，其余每空 4 分，共 65 分, 将计算的最简结果填写在 空格上） 1、定轴转动刚体绕 O 轴在铅垂面内运动，若其质量为 2m，对转轴的转动惯量为 J, 质心到转轴的距离 OC=b,根据系统的广义坐标 （如图 3 所示） ， 建立其运动微分方 程。答:运动微分方程为： 2、匀 质 三 角 板 用 圆 柱 铰 链 与 铅 垂 的 AB 杆 和 CD 杆 连 接 ， 如 图 4 所 示 。 已 知
=
O
。
已知图示瞬时刚体的角速度为 （方向由 O 点指向 A B 点） ，角加速度为 （方向由 O 点指向 B 点） 。求正
4
A
图7
北京航空航天大学交通科学与工程学院《理论力学（第二学期） 》复习资料
方体上顶点 B 速度 vB 和加速度 aB 。 答：
B 点速度的大小 vB = B 点加速度的大小 aB =
4、两个相同的均质杆 AC、BC（各质量均为 m 长为 L）由铰链 C 连接在图示平面内 运动，已知图示瞬时铰链 C 的速度大小为ｕ，杆的角速度的大小为ω，方向如图 3A-D 所示，则该瞬时图 3_______所示情况，系统得动能最大。
AB=2L,CD=AC=L,各刚体的质量分别为 m1 ， m2 ， m3 ，若图示瞬时 AB 杆
3
北京航空航天大学交通科学与工程学院《理论力学（第二学期） 》复习资料
的角速度为 (方向如图)。该瞬时系统动量的大小 P=
。
B
O
m2
D
北航理论力学-静力学1B
FBB
sin sin
300 400
P
21
例：结构如图所示，杆重不计，已知
力P，求两杆的内力和绳BD的拉力。
z
z
D
解：研究铰链B
D
F3
A
B
x
P
空 间 力 系
Fx 0
Fy 0 Fz 0
Cy
A
Cy
F2
x
F1
B
P
Fz 0
F3 sin 0
F3
P
sin
Fx 0
F3 cos sin F2 0
F2 F3 cos sin
22
问题研究
用所学过的知识与方法研究缆车的力学问题
1. 能研究缆车的哪些 力学问题？
2. 若研究这些问题， 假设条件是什么？
3. 建立力学模型。 4. 给出理论分析与计
算。 5. 目前不能解决的问
题是什么？
B
C
200
FCC C
F 450 D
A
P 600
x'
C
F 650 CC
FCC FCD 650 F
450
Fx' 0
F 45F0 CD
FCC sin 650 F sin 450 0
Fmin F ( ) | 900
F
sin sin
650 450
FCC
B FBB
FBB
B
400
x
FAB
P 300
Fx 0
1
上节课的主要内容
• 基本概念
– 平衡、质点（系）、刚体、力系、等效力系、 合力、平衡力系、共点力系
理论力学习题答案
静力学第一章习题答案1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图 1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图1-5a 1-5b1- 8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。
试求二力F 1和F 2之间的关系。
解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示：点有：362F解法分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B2BC F F = 对C 1F F BC =解以上两式可得：2163.1F F =静力学第二章习题答案2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。
试求A 和C 点处的约束力。
解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。
AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为F F正）：其中：31tan =θ。
对BC 杆有：aM F F F AB C 354.0===A ，C 两点约束力的方向如图所示。
2-4解：机构中AB 杆为二力杆，点A,B 出的约束力方向即可确定。
由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。
对BC 杆有：0=∑M030sin 20=-⋅⋅M C B F B对AB 杆有： A B F F =对OA 杆有： 0=∑M01=⋅-A O F M A求解以上三式可得：m N M ⋅=31， N F F F C O AB 5===，方向如图所示。
//2-6求最后简化结果。
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静力学（MADE BY 水水）1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图F AxF A yF B(a)(a)F AF BF BF DF D F BxF ByF BxF CF BF CF By1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图1-5aF AxF A yF DF ByF A F BxF B F AF Ax F A yT E F CxF C yN’F BF DF A N F AF BF D1-5b1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。
试求二力F 1和F 2之间的关系。
解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有：∑=0x F 045cos 02=-BC F F对C 点有：∑=0x F 030cos 01=-F F BC解以上二个方程可得：22163.1362F F F ==F 2F BC F ABB45oy xF CD C60o F 130oF BCx y45030解法2(几何法)分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F =对C 点由几何关系可知：0130cos F F BC =解以上两式可得：2163.1F F =2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。
试求A 和C 点处的约束力。
解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。
AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：0=∑M 0)45sin(100=-+⋅⋅M a F Aθ aM F A 354.0= 其中：31tan =θ。
对BC 杆有： aMF F F A B C 354.0=== 。
A ，C 两点约束力的方向如图所示。
2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC 上力偶的力偶矩M 2＝1N ·m 。
试求作用在OA 上力偶的力偶矩大小M 1和AB 所受的力AB F 。
各杆重量不计。
F ABF BC F CD 60o F 130o F 2 F BC45o F B F A θ θ F BF C解：机构中AB 杆为二力杆，点A,B 出的约束力方向即可确定。
由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。
对BC 杆有：0=∑M030sin 20=-⋅⋅M C B F B 对AB 杆有：A B F F =对OA 杆有：0=∑M01=⋅-A O F M A求解以上三式可得：m N M ⋅=31， N F F F C O AB5===，方向如图所示。
2-6等边三角形板ABC,边长为a ，今沿其边作用大小均为F 的力321,,F F F ，方向如图a,b 所示。
试分别求其最简简化结果。
解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:j F i F F ρρρ23211+=，i F F ρρ=2，j F i F F ρρρ23213+-=先将力系向A 点简化得（红色的）： j F i F F R ρρρ3+=， k Fa M A ρρ23=方向如左图所示。
由于A R M F ρρ⊥，可进一步简化为一个不过A 点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A 点的距离a d 43=，位置如左图所示。
F AF OOF AF BF BF CCxy F RM AF R dxF RM AF R d y2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A 点的力（绿色的），主矢为：i F F R ρρ2-=其作用线距A 点的距离a d 43=，位置如右图所示。
简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？2-13图示梁AB 一端砌入墙，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D 。
设重物重为P, AB 长为l ，斜绳与铅垂方向成α角。
试求固定端的约束力。
法1 解：整个结构处于平衡状态。
选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向，力偶以逆时针为正）：∑=0x F 0sin =+Bx F P α∑=0y Fcos =--αP P F By选梁AB 为研究对象，受力如图，列平衡方程：∑=0x F 0=-Bx Ax F F ∑=0y F 0=-By Ay F F0=∑A M 0=⋅-l F M By A求解以上五个方程，可得五个未知量ABy Bx Ay Ax M F F F F ,,,,分别为：αsin P F F Bx Ax -==（与图示方向相反）)cos 1(α+==P F F By Ay （与图示方向相同） l P M A )cos 1(α+= （逆时针方向）法2 解：设滑轮半径为R 。
选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：∑=0x F0sin =+αP F Ax∑=0y Fcos =--αP P F AyPB F Bx F ByPM A F Bx F ByF AxF A yM APF Ax F A y P0=∑A M02tansin )(cos )(=-----αααR P R l P R l P M A求解以上三个方程，可得AAy Ax M F F ,,分别为：αsin P F Ax -= （与图示方向相反）)cos 1(α+=P F Ay （与图示方向相同）l P M A )cos 1(α+= （逆时针方向）2-18均质杆AB 重G ，长l ，放在宽度为a 的光滑槽，杆的B 端作用着铅垂向下的力F ，如图所示。
试求杆平衡时对水平面的倾角α。
解：选AB 杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0=∑A M 0cos cos 2cos =⋅-⋅-⋅αααl F lG a N D ∑=0y F 0cos =--F G N D α求解以上两个方程即可求得两个未知量α,D N ，其中：31])2()(2arccos[l G F a G F ++=α未知量不一定是力。
2-27如图所示，已知杆AB 长为l ，重为P ，A 端用一球铰固定于地面上，B 端用绳索CB 拉住正好靠在光滑的墙上。
图中平面AOB 与Oyz 夹角为α，绳与轴Ox 的平行线夹角为θ，已知N P m c m a o 200,45,43tan ,4.0,7.0=====θα。
试求绳子的拉力及墙的约束力。
解：选杆AB 为研究对象，受力如下图所示。
列平衡方程：=∑yM0tan sin cos tan 21=⋅-⋅-⋅αθθαc F c F c P BC BCN F BC 6.60= 0'=∑x M0sin 21=⋅-⋅-⋅a F c F a P BC B θ N F B 100=由∑=0y F和∑=0z F可求出Az Ay FF ,。
平衡方程=∑xM可用来校核。
思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？AN AN DD2-29图示形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。
已知力F 作用在平面BDEH ，并与对角线BD 成o 45角，OA=AD 。
试求各支撑杆所受的力。
解： 杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。
选板ABCD 为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。
采用六矩式平衡方程：0=∑DE M045cos 02=⋅F 02=F 0=∑AO M 045cos 45cos 45cos 0006=⋅-⋅-a F a FF F 226-= (受拉)0=∑BH M 045cos 45cos 0604=⋅-⋅-a F a FF F 224=(受压)0=∑AD M 045sin 45cos 061=⋅-⋅+⋅a F a F a FF F 2211+=(受压) 0=∑CD M045sin 031=⋅-⋅+⋅a F a F a FFF 213-= (受拉) 0=∑BC M 045cos 0453=⋅-⋅+⋅a F a F a F05=F本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。
类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。
2-31如图所示，欲转动一置于V 形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩cm N M ⋅=1500。
已知棒料重N P 400=，直径cm D 25=。
试求棒料与V 形槽之间的静摩擦因数s f 。
解：取棒料为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程:⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑000Oy x M F F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅+=+-=-+02)(045sin 045cos 21102201M D F F N p F N p F补充方程：⎩⎨⎧==2211N f F N f F s s五个方程，五个未知量s f N F N F ，2211,,,，可得方程：02222=+⋅⋅-⋅M f D p f M S S 解得491.4,223.021==S S f f 。
当491.42=S f 时有：0)1(2)1(2221<+-=S S f f p N即棒料左侧脱离V 型槽，与题意不符，故摩擦系数223.0=S f 。
2-33均质杆AB 长40cm ，其中A 端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD 保持平衡，如图所示。
设cm AD cm BC 25,15==，平衡时α角的最小值为o45。
试求均质杆与墙之间的静摩擦因数s f 。
解：当045=α时，取杆AB 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑000Ay x M F F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅-⋅=-+=-0sin 2cos sin sin cos 0cos 0sin ααθαθθθABp AC T C AC T p T F T F S N 附加方程：N S S F f F =四个方程，四个未知量s S N f T F F ，,,，可求得646.0=s f 。
2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A ，B 为支点，如图所示。
若AC BC AB ==，A 和B 于斜面间的静摩擦因数分别为1s f 和2s f ，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角α。
解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。
假设棱柱边长为a ，重为P ，列平衡方程⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑000x B A F M M ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+⋅+⋅-=+⋅-⋅0sin 032sin 2cos 032sin 2cos αααααP F F a P a P a F a P a P a F B A NA NB如果棱柱不滑动，则满足补充方程⎩⎨⎧==NBs B NAs A F f F F f F 21时处于极限平衡状态。