北航理论力学
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北航理论力学 动力学5C
x
qT [x, ] qT [x,]
T 1 qT Mq
M mm21Lcoms2
m2
4 3
L cos
m2 L2
2
M是正定对称矩阵，是广义坐标的函数 14
§5-4、哈密顿方程
T 1 qT Mq 2
pj
T q j
,
( j 1,2)
p
T q
p Mq
系统的哈密顿函数H=T+V
H
T
V
1 2
对于定常约束的保守系统，哈密顿函数H就是系统的动能与
势能的和，即：
H T V
12
§5-4、哈密顿方程
例题：求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程
z
1、系统的广义坐标：x, y, z
2、系统的动能 T 1 m(x2 y 2 z2 )
mg
y
2
pj
T q j
,
( j 1,2,3)
px mx py my pz mz
21
哈密顿系统的辛算法
20世纪80 年代，提出了 哈密顿系统的 辛算法。该算 法可保持长期 数值计算的稳 定性。
冯 康(1920.9～1993.8) 数学与物理学家、计 算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理 系。1951～1953年赴前苏联进修。
曾任中国数学会理事，计算数学分会副 理事长，中国计算机学会副主任等职。 1980 年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部 院士)。
v1 ? v2 ? ?
10
§5-4、哈密顿方程
一、保守系统的拉格朗日方程 设：L＝T-V （拉格朗日函数）
d dt
L q j
L q j
0,
( j 1,2,, k)
北航理论力学复习
αe αr ωe ωr
ω ωe ωr
刚体的角加速度:
α dωe dωr dt dt
dωe d ' ωr ωe ωr dt dt αe αr
刚体的角加速度:
α αe αr ωe ωr
3
动系为一般运动时点的加速度合成
速度合成：
v a ve v r
vo ' ω ro ' M vr
锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周 运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度 、 角加速度 和圆锥底面上最高点 B 的加速度 a B 的大小。
=__________ ， =__________， a B =__________。
22
ω：自转角速度
例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 v M 、转动加速度 a R
和向轴加速度 a N 的大小。
M
v M ωa BM a R α BM
α ωa vM
例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬
时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A
定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一 轴经过一次转动来实现。
定点运动刚体有限位移的顺序不可交换. 定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.
定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移 可以用矢量表示。 定点运动刚体的角速度\角加速度可以用矢量表示。 了解欧拉运动学方程. 了解欧拉动力学方程. 自转\进动\章动概念.
要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。 解: 1. 取陀螺研究; 3. 由动量矩定理:
北航理论力学部分课件
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
•自由体 free body ：可以在空间任意运动的物体
•非自由体 constrained body ：运动受到某些限制的物体
13.10.2023
1
理论力学
非自由体实例
13.10.2023
2
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
一、约束与约束力
•约 束 constraint ：限制物体运动的条件, •约束体 constraint body ：约束非自由体运动的物体,
§1-3 平衡问题的解法
思考题： • 机器人的哪些关节 是柱链接铰 •人手的哪些关节可 简化成柱链接铰
13.10.2023
23
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
米开朗基罗： 石头本身就赋予雕像以生命,我只是把多余的部分敲掉了
哀 悼 基 督 （ 米 开 朗 基 罗
人 体 关 节 的 简 化 模 型
）
科学研究： 客观规律存在于自然界中,在研究问题的过程中,我们要抓住
9
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
北京南站顶棚拱架支座
13.10.2023
10
理论力学
2、连接铰链
§1-3 平衡问题的解法
B
注意：作用力与反作用力的关系
13.10.2023
F By F Bx
B
F
' By
B
F
' Bx
11
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
13.10.2023
12
理论力学
3、活动铰链支座
例：结构如图所示,不计构件自重,画出AB杆的受力图,
AC
B
§1-3 平衡问题的解法
•自由体 free body ：可以在空间任意运动的物体
•非自由体 constrained body ：运动受到某些限制的物体
13.10.2023
1
理论力学
非自由体实例
13.10.2023
2
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
一、约束与约束力
•约 束 constraint ：限制物体运动的条件, •约束体 constraint body ：约束非自由体运动的物体,
§1-3 平衡问题的解法
思考题： • 机器人的哪些关节 是柱链接铰 •人手的哪些关节可 简化成柱链接铰
13.10.2023
23
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
米开朗基罗： 石头本身就赋予雕像以生命,我只是把多余的部分敲掉了
哀 悼 基 督 （ 米 开 朗 基 罗
人 体 关 节 的 简 化 模 型
）
科学研究： 客观规律存在于自然界中,在研究问题的过程中,我们要抓住
9
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
北京南站顶棚拱架支座
13.10.2023
10
理论力学
2、连接铰链
§1-3 平衡问题的解法
B
注意：作用力与反作用力的关系
13.10.2023
F By F Bx
B
F
' By
B
F
' Bx
11
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
13.10.2023
12
理论力学
3、活动铰链支座
例：结构如图所示,不计构件自重,画出AB杆的受力图,
AC
B
北航理论力学第一学期总复习静力学ppt课件
北航理论力学第一学期总复习静 力学
空间任意力系简化及其平衡条件 F , F , , F }{, F M } 对于刚体: { 1 2 n R O
•主矢
•主矩
FR Fi Fi '
M O M i ri Fi
i 1 i 1
n
n
i 1 n
i 1
n
简化的最终结果：① 平衡；②合力；③合 力偶；④力螺旋
B C
L L L
(1)
(2)
C
16
平面桁架内力的计算方法
平面桁架的特点：桁架中的每个杆件均为二力构件或二力杆 1、节点法：以节点为研究对象计算杆件内力的方法 节点法的特点:1、研究对象为节点（汇交力系） 2、每个节点可以建立两个独立的平衡方程 2、截面法：以部分桁架为研究对象计算杆件内力的方法 1
两个力系等效条件:
两个力系的主矢相等、主矩也相等
平衡条件
F 0 ,M 0 R O
二力平衡条件，三力平衡定理，加减平衡力系，力偶性质
二力平衡原理 作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理 作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力共 面；或汇交于一点，或平行。 力偶的等效条件和性质 •两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等 性质一 力偶不能与一个力等效 { F , F ' } { F } R 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面), 而不改变对刚体的作用效应 性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变）， 3 则力偶对刚体的作用效应就不变。
2018/11/15 19
题23：作业习题分析：已知P，M，D，求平衡时的摩擦系数 平衡条件
空间任意力系简化及其平衡条件 F , F , , F }{, F M } 对于刚体: { 1 2 n R O
•主矢
•主矩
FR Fi Fi '
M O M i ri Fi
i 1 i 1
n
n
i 1 n
i 1
n
简化的最终结果：① 平衡；②合力；③合 力偶；④力螺旋
B C
L L L
(1)
(2)
C
16
平面桁架内力的计算方法
平面桁架的特点：桁架中的每个杆件均为二力构件或二力杆 1、节点法：以节点为研究对象计算杆件内力的方法 节点法的特点:1、研究对象为节点（汇交力系） 2、每个节点可以建立两个独立的平衡方程 2、截面法：以部分桁架为研究对象计算杆件内力的方法 1
两个力系等效条件:
两个力系的主矢相等、主矩也相等
平衡条件
F 0 ,M 0 R O
二力平衡条件，三力平衡定理，加减平衡力系，力偶性质
二力平衡原理 作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理 作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力共 面；或汇交于一点，或平行。 力偶的等效条件和性质 •两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等 性质一 力偶不能与一个力等效 { F , F ' } { F } R 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面), 而不改变对刚体的作用效应 性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变）， 3 则力偶对刚体的作用效应就不变。
2018/11/15 19
题23：作业习题分析：已知P，M，D，求平衡时的摩擦系数 平衡条件
北航理论力学课件
f min = tan θ
θ ≤ ϕm
θ
2012-9-27
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
三、滚动摩阻（rolling resistance）
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
F
W
F
W
Fs FN
2012-9-27
13
理论力学
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
F
W
W
FR
2012-9-27
16
理论力学
思考题
思考题：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。 P
Fmax FN ϕmax Fmax
W
α FN
α=
2012-9-27
θ
2
不被卡住的条件：ϕmax ≤ α =
f = tan ϕmax ≤ tan
θ
2
θ
2
17
理论力学
理论力学
A
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动， 求地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 的最 小值。 (不计梯子自重, 人重为W ) 解：研究梯子，画受力图 不滑动条件： FB ≤ f s FBN （1）
B
FA
A
FNB
x
∑M
x y
B
=0
F A L AB cos 30 0 − Wx = 0
FN1
W
FN1
W
(a )
FN2
FN2
W
(b ) Fmax( b ) = f sW
Fmax( a ) = f s FN1 + f s FN2 = fs (FN1 + FN2 )
θ ≤ ϕm
θ
2012-9-27
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
三、滚动摩阻（rolling resistance）
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
F
W
F
W
Fs FN
2012-9-27
13
理论力学
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
F
W
W
FR
2012-9-27
16
理论力学
思考题
思考题：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。 P
Fmax FN ϕmax Fmax
W
α FN
α=
2012-9-27
θ
2
不被卡住的条件：ϕmax ≤ α =
f = tan ϕmax ≤ tan
θ
2
θ
2
17
理论力学
理论力学
A
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动， 求地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 的最 小值。 (不计梯子自重, 人重为W ) 解：研究梯子，画受力图 不滑动条件： FB ≤ f s FBN （1）
B
FA
A
FNB
x
∑M
x y
B
=0
F A L AB cos 30 0 − Wx = 0
FN1
W
FN1
W
(a )
FN2
FN2
W
(b ) Fmax( b ) = f sW
Fmax( a ) = f s FN1 + f s FN2 = fs (FN1 + FN2 )
北航理论力学sch2A.ppt
问题的引出
设：共点力系 {F1, F2,, Fn} 作用在质量为 m 的质点上。
n
根据牛顿第二定律有 ma Fi FR
n
i1
结论：力系中 Fi 是反映其作用效应的物理量之一
i 1
F
问题:
AF
A
B
1、如何用数学工具
A
F
B
描述非共点力系对刚
F
体的作用效应?
A F D 2、如何反映力的作
z
Fz
F Fxy
Fxy
od F
2020/1/9
M z dFxy
逆时针＋，顺时针－
8
BUAA
§2-1 力偶系
问题：如果已知：r xi yj zk
如何求力F 对 z 轴之矩
F Fx i Fy j Fzk
z
Fz
F
力对轴之矩计算公式 Fy
k Fx z
Fxy
ij
x
Fy y
M x (F ) yFz zFy
y
MOA(F ) ?
MO (F ) Fbi
MOA(F ) M l
3 Fb 3
11
BUAA
§2-1 力偶系
力偶对刚体的作用
Fx
a
a
a
A
x
F
F F
a
a
BA
F
F
a
B
F
F
a
a
a
A
F
F
F
a
B
2020/1/9
12
BUAA
§2-1 力偶系
三、力偶矩 ( moment of a couple )
北航理论力学部分课件
2 Rx
空间力系
FR y FR z
∑F =∑ F =∑ F
∑ ∑
ix iy
iz
= 0 = 0 = 0
有三个独立的平衡方程
FR = FRx i + FRy j + FRz k = 0
FR =
F
+F
2 Ry
+F
2 Rz
=0
平面力系
FRx = FRy =
F ix = 0 F iy = 0
2010-11-27 8
理论力学
§1 - 0
力学模型与力系
•共点力系 共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。 力作用线汇交于一点的力系。 共点力系 力作用线汇交于一点的力系 F1 F1
Fn
Fn
A
F2
A
F2
若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 共点力系(concurrent coplanar force system)。 共点力系 。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。 间共点力系
§1 - 0
力学模型与力系
•刚 (rigid body)：具有质量，考虑其形状和尺寸大小，其上 刚 ) 具有质量，考虑其形状和尺寸大小， 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。
• 特点：所研究的问题与 特点： 物体的质量和姿态有关， 物体的质量和姿态有关， 其变形可以忽略不计。 其变形可以忽略不计。
空间力系
FR y FR z
∑F =∑ F =∑ F
∑ ∑
ix iy
iz
= 0 = 0 = 0
有三个独立的平衡方程
FR = FRx i + FRy j + FRz k = 0
FR =
F
+F
2 Ry
+F
2 Rz
=0
平面力系
FRx = FRy =
F ix = 0 F iy = 0
2010-11-27 8
理论力学
§1 - 0
力学模型与力系
•共点力系 共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。 力作用线汇交于一点的力系。 共点力系 力作用线汇交于一点的力系 F1 F1
Fn
Fn
A
F2
A
F2
若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 共点力系(concurrent coplanar force system)。 共点力系 。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。 间共点力系
§1 - 0
力学模型与力系
•刚 (rigid body)：具有质量，考虑其形状和尺寸大小，其上 刚 ) 具有质量，考虑其形状和尺寸大小， 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。
• 特点：所研究的问题与 特点： 物体的质量和姿态有关， 物体的质量和姿态有关， 其变形可以忽略不计。 其变形可以忽略不计。
北京航空航天大学本科理论力学习题课动.ppt
dvr dvr dR dt dR dt
dR dt
vr
cos
mvr
cos
dvr dR
mR 2
cos
vrdvr R2dR
v2 r
2R2
C
22
aa 0, ae 2R, aC 2 vr
x': 0 ae arx' aC cos450 y': 0 0 ary' aC sin 450
ar
a2 rx '
a2 ry '
12
习题1－10：求滑块A的加速度绳索的拉力。
v0
s FvA
FN
mg
ma F FN mg
x : mx F cos mg
x
(
x2
2R4x R2)2
mx Fx
15
y’
方法三：求滑块的速度
动点：滑块A
vr
动系：ox’y’,x’轴平行于绳
速度分析
θ
运动分析
va v x’ e
绝对运动： 直线运动 相对运动： 直线运动 牵连运动： 定轴转动
va ve vr ve x vr ( )R
y : 0 ve vr sin x : x va vr cos
动点：圆盘中心O 动系：AB杆
A
AB
运动分析： 绝对运动： 直线运动
v r 300 n ae
相对运动： 直线运动 AB 牵连运动： 定轴转动
y'
aa
o ve Rar va
aB et
速度分析
vr 0,
va ve vr va ve
AB
ve OA
va 2R
加速度分析 aa aet aen ar aC
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( F − 4ma)δx = 0
δx ≠ 0, F − 4ma = 0
2011-11-1
31
BUAA
x
§5-1 动力学普遍方程
例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为 ， 图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为 ，圆盘的半径为R， 绳索与圆盘间无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘 的角加速度。 绳索与圆盘间无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C 的角加速度。
BUAA
§5-1 动力学普遍方程
轴以匀角速ω 例：已知 OA=L绕O轴以匀角速ω转动，AB=2L。求系统在图 绕 轴以匀角速 转动， 。 示位置时，力偶矩 的大小和方向（不计摩擦） 示位置时，力偶矩M 的大小和方向（不计摩擦）
A
θ = 90 0 , ϕ = 30 0
M
C2
1
ωC
m1g θ O
m2 g
2011-11-1 19
BUAA
• 结构特点
上述动力学问题的特点
– 研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）， 研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）， 结构复杂
• 运动的特点
– 刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动
• 实验手段的特点
– 不仅有物理实验还有计算机仿真实验
• 研究方法的特点
– 多学科交叉（数学、物理、力学、计算机） 多学科交叉（数学、物理、力学、计算机）
•动力学普遍方程 动力学普遍方程 •第二类 第二类Lagrange方程 第二类 方程 •第二类 第二类Lagrange方程的首次积分 方程的首次积分 第二类 •第一类 第一类Lagrange方程 第一类 方程 • Hamilton方程（简介） 方程（ 方程 简介）
2011-11-1 23
BUAA
第五章 Lagrange方程 方程
α
FI
a
F
应用动力学普遍方程
MIC
FI
1 = mR 2α 2
∑ ( F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
解：运动分析 系统自由度 系统自由度k=1
FI = ma M IC
a = αR
由动力学普遍方程得： 由动力学普遍方程得：
δx = Rδϕ
δϕ
δx
δϕ
Fδx − 3FIδx − 2M ICδϕ = 0 Fδx − 3maδx − maδx = 0
• 理论（方法）的应用 理论（方法）
– 该方法的特点（利与弊）是什么；哪类问题能用该方 该方法的特点（利与弊）是什么； 法解决。 法解决。
• 已学知识的综合应用
2011-11-1 21
BUAA
本学期要用到的基础知识
• 点的速度、加速度合成定理 点的速度、 • 刚体平面运动的基础知识 • 质点系的动量、动量矩和动能定理 质点系的动量、 • 虚位移原理、达朗贝尔原理、惯性力系的简化 虚位移原理、达朗贝尔原理、 • 高等代数（线性代数）的基础知识 高等代数（线性代数）
i =1 i =1
n
n
2011-11-1
29
BUAA
动力学普遍方程
§5-1 动力学普遍方程
用动力学普遍定理求解问题的基本步骤
∑ ( F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
• 运动分析
– 系统的自由度分析、加速度和角加速度分析与计算 系统的自由度分析、
• 受力分析
– 主动力分析、惯性力分析（刚体惯性力系的简化）与 主动力分析、惯性力分析（刚体惯性力系的简化） 计算
2011-11-1 20
BUAA
• 问题（现象）的提出 问题（现象）
学习上应注意的问题
– 问题是怎样产生的；原有的方法为什么不能（不易） 问题是怎样产生的；原有的方法为什么不能（不易） 解决该问题；解决该问题的途径是什么。 解决该问题；解决该问题的途径是什么。
• 理论（方法）的形成 理论（方法）
– 力学模型如何简化；新理论或方法的基础是什么，适 力学模型如何简化；新理论或方法的基础是什么， 用条件是什么；该理论和方法能解决哪类问题。 用条件是什么；该理论和方法能解决哪类问题。
δrC
5 3 δx ≠ 0 [− a A − Rα C + g ]mδx + [−a A − Rα C + g ]mRδθ = 0 2 2 δθ ≠ 0 aA 3 5 [− a A − Rα C + g ] = 0 [− a A − Rα C + g ] = 0 αC 2 2
2011-11-1 33
BUAA
工程中的动力学问题
拖车的倒车控制研究
2011-11-1
14
BUAA
二、飞行器的动力学问题
工程中的动力学问题
GPS（需要多颗卫星共同完成） （需要多颗卫星共同完成）
2011-11-1
15
BUAA
航天器对接
工程中的动力学问题
2011-11-1
16
BUAA
工程中的动力学问题
飞机起落架的动力学仿真
2011-11-1
17
BUAA
工程中的动力学问题
卫星太阳翻版展开的动力学仿真
问题1： 问题 ： 用什么方法建立系 统的动力学方程便 于编程计算？ 于编程计算？
问题2： 问题 ： 用什么方法求解系 统的动力学方程满 足精度要求？ 足精度要求？
2011-11-1 18
BUAA
工程中的动力学问题
问题3：用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？ 问题 ：用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？
28
BUAA
§5-1 动力学普遍方程
拉格朗日形式的达朗贝尔原理
∑ (F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
受有理想约束的质点系，在运动过程中， 受有理想约束的质点系，在运动过程中，其上所受的主动力 和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。 和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。
27
BUAA
应用达朗贝尔原理： 应用达朗贝尔原理： 其中： 其中： FIi = − mi a i 应用虚位移原理： 应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
§5-1 动力学普遍方程
设：质点系中第 i 个质点的质量为 mi;作用在其上的有主动力 Fi ; 作用在其上的有主动力 约束力 FNi . 质点的惯性力为 FIi Fi + FNi + FIi = 0 , (i = 1,L, n) ( Fi + FNi + FIi ) ⋅ δri = 0, (i = 1,L, n)
独立悬架
2011-11-1
共轴式悬架
5
BUAA
工程中的动力学问题
研制方法： 研制方法：计算机的引入
2011-11-1
6
BUAA
工程中的动力学问题
实验研究方法：计算机动力学仿真 实验研究方法：
2011-11-1
7
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工程中的动力学问题
车辆碰撞的计算机模拟实验
模拟实验和物理实验对比
2011-11-1
m3 g
• 应用虚位移原理：主动力的虚功之和为零 应用虚位移原理： A
θ mg 2
M
1
ωg m
O
问题2：系统中 杆匀角 问题 ：系统中OA杆匀角 B 速转动， 速转动，用什么方法求图 示瞬时，力偶 的大小 的大小？ 示瞬时，力偶M的大小？ 不计摩擦
m3 g
2011-11-1
• 应用达朗贝尔原理：主动力、约束力和惯性力构成平衡力系 应用达朗贝尔原理：主动力、约束力和惯性力构成平衡力系
1736年1月25日生于意大利的都灵 年 月 日生于意大利的都灵 日生于意大利的都灵, 1813年4月10日在法国巴黎去世， 年 月 日在法国巴黎去世 日在法国巴黎去世， 19岁当数学教授， 岁当数学教授， 岁当数学教授 为变分法奠定了理论基础， 为变分法奠定了理论基础， 是当时欧洲公认的第一流的数学家。 是当时欧洲公认的第一流的数学家。
他写的《分析力学》 出版） 他写的《分析力学》（1788出版）一书运用变 出版 分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系， 分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系， 使力学分析化。 使力学分析化。
2011-11-1 24
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问题的引出
§5-1 动力学普遍方程
1769年蒸汽机车的模型 年蒸汽机车的模型
– 矩阵的运算、矩阵的特征值与特征向量、二次齐函数 矩阵的运算、矩阵的特征值与特征向量、
• 数学分析（高等数学）的基础知识 数学分析（高等数学）
– 多元函数的偏导数、复合函数的导数、线性常微分方 多元函数的偏导数、复合函数的导数、 程的特解和通解
2011-11-1 22
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第五章 Lagrange方程 方程
车身和车轮的运动 不仅仅是平面运动
2011-11-1
• 车身作什么运动？ 车身作什么运动？ • 车轮作什么运动？ 车轮作什么运动？
2
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工程中的动力学问题
越野赛车
汽车的减振测试与疲劳测试
2011-11-1 3
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1893年生产的轿车 年生产的轿车
工程中的动力学问题
1904年生产的轿车 年生产的轿车
车轴与车体之间无减振器
车轴与车体之间有减振器
研究对象： 研究对象： 多个物体组成， 多个物体组成，结构更加复杂 研究方法： 研究方法： 由简单到复杂， 由简单到复杂，由单一到综合
2011-11-1
减振结构： 减振结构：独立悬架
4
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工程中的动力学问题
现代研制的轿车、吉普车减振结构： 现代研制的轿车、吉普车减振结构：独立悬架
δx ≠ 0, F − 4ma = 0
2011-11-1
31
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x
§5-1 动力学普遍方程
例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为 ， 图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为 ，圆盘的半径为R， 绳索与圆盘间无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘 的角加速度。 绳索与圆盘间无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C 的角加速度。
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§5-1 动力学普遍方程
轴以匀角速ω 例：已知 OA=L绕O轴以匀角速ω转动，AB=2L。求系统在图 绕 轴以匀角速 转动， 。 示位置时，力偶矩 的大小和方向（不计摩擦） 示位置时，力偶矩M 的大小和方向（不计摩擦）
A
θ = 90 0 , ϕ = 30 0
M
C2
1
ωC
m1g θ O
m2 g
2011-11-1 19
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• 结构特点
上述动力学问题的特点
– 研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）， 研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）， 结构复杂
• 运动的特点
– 刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动
• 实验手段的特点
– 不仅有物理实验还有计算机仿真实验
• 研究方法的特点
– 多学科交叉（数学、物理、力学、计算机） 多学科交叉（数学、物理、力学、计算机）
•动力学普遍方程 动力学普遍方程 •第二类 第二类Lagrange方程 第二类 方程 •第二类 第二类Lagrange方程的首次积分 方程的首次积分 第二类 •第一类 第一类Lagrange方程 第一类 方程 • Hamilton方程（简介） 方程（ 方程 简介）
2011-11-1 23
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第五章 Lagrange方程 方程
α
FI
a
F
应用动力学普遍方程
MIC
FI
1 = mR 2α 2
∑ ( F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
解：运动分析 系统自由度 系统自由度k=1
FI = ma M IC
a = αR
由动力学普遍方程得： 由动力学普遍方程得：
δx = Rδϕ
δϕ
δx
δϕ
Fδx − 3FIδx − 2M ICδϕ = 0 Fδx − 3maδx − maδx = 0
• 理论（方法）的应用 理论（方法）
– 该方法的特点（利与弊）是什么；哪类问题能用该方 该方法的特点（利与弊）是什么； 法解决。 法解决。
• 已学知识的综合应用
2011-11-1 21
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本学期要用到的基础知识
• 点的速度、加速度合成定理 点的速度、 • 刚体平面运动的基础知识 • 质点系的动量、动量矩和动能定理 质点系的动量、 • 虚位移原理、达朗贝尔原理、惯性力系的简化 虚位移原理、达朗贝尔原理、 • 高等代数（线性代数）的基础知识 高等代数（线性代数）
i =1 i =1
n
n
2011-11-1
29
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动力学普遍方程
§5-1 动力学普遍方程
用动力学普遍定理求解问题的基本步骤
∑ ( F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
• 运动分析
– 系统的自由度分析、加速度和角加速度分析与计算 系统的自由度分析、
• 受力分析
– 主动力分析、惯性力分析（刚体惯性力系的简化）与 主动力分析、惯性力分析（刚体惯性力系的简化） 计算
2011-11-1 20
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• 问题（现象）的提出 问题（现象）
学习上应注意的问题
– 问题是怎样产生的；原有的方法为什么不能（不易） 问题是怎样产生的；原有的方法为什么不能（不易） 解决该问题；解决该问题的途径是什么。 解决该问题；解决该问题的途径是什么。
• 理论（方法）的形成 理论（方法）
– 力学模型如何简化；新理论或方法的基础是什么，适 力学模型如何简化；新理论或方法的基础是什么， 用条件是什么；该理论和方法能解决哪类问题。 用条件是什么；该理论和方法能解决哪类问题。
δrC
5 3 δx ≠ 0 [− a A − Rα C + g ]mδx + [−a A − Rα C + g ]mRδθ = 0 2 2 δθ ≠ 0 aA 3 5 [− a A − Rα C + g ] = 0 [− a A − Rα C + g ] = 0 αC 2 2
2011-11-1 33
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工程中的动力学问题
拖车的倒车控制研究
2011-11-1
14
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二、飞行器的动力学问题
工程中的动力学问题
GPS（需要多颗卫星共同完成） （需要多颗卫星共同完成）
2011-11-1
15
BUAA
航天器对接
工程中的动力学问题
2011-11-1
16
BUAA
工程中的动力学问题
飞机起落架的动力学仿真
2011-11-1
17
BUAA
工程中的动力学问题
卫星太阳翻版展开的动力学仿真
问题1： 问题 ： 用什么方法建立系 统的动力学方程便 于编程计算？ 于编程计算？
问题2： 问题 ： 用什么方法求解系 统的动力学方程满 足精度要求？ 足精度要求？
2011-11-1 18
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工程中的动力学问题
问题3：用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？ 问题 ：用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？
28
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§5-1 动力学普遍方程
拉格朗日形式的达朗贝尔原理
∑ (F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
受有理想约束的质点系，在运动过程中， 受有理想约束的质点系，在运动过程中，其上所受的主动力 和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。 和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。
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应用达朗贝尔原理： 应用达朗贝尔原理： 其中： 其中： FIi = − mi a i 应用虚位移原理： 应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
§5-1 动力学普遍方程
设：质点系中第 i 个质点的质量为 mi;作用在其上的有主动力 Fi ; 作用在其上的有主动力 约束力 FNi . 质点的惯性力为 FIi Fi + FNi + FIi = 0 , (i = 1,L, n) ( Fi + FNi + FIi ) ⋅ δri = 0, (i = 1,L, n)
独立悬架
2011-11-1
共轴式悬架
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工程中的动力学问题
研制方法： 研制方法：计算机的引入
2011-11-1
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工程中的动力学问题
实验研究方法：计算机动力学仿真 实验研究方法：
2011-11-1
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工程中的动力学问题
车辆碰撞的计算机模拟实验
模拟实验和物理实验对比
2011-11-1
m3 g
• 应用虚位移原理：主动力的虚功之和为零 应用虚位移原理： A
θ mg 2
M
1
ωg m
O
问题2：系统中 杆匀角 问题 ：系统中OA杆匀角 B 速转动， 速转动，用什么方法求图 示瞬时，力偶 的大小 的大小？ 示瞬时，力偶M的大小？ 不计摩擦
m3 g
2011-11-1
• 应用达朗贝尔原理：主动力、约束力和惯性力构成平衡力系 应用达朗贝尔原理：主动力、约束力和惯性力构成平衡力系
1736年1月25日生于意大利的都灵 年 月 日生于意大利的都灵 日生于意大利的都灵, 1813年4月10日在法国巴黎去世， 年 月 日在法国巴黎去世 日在法国巴黎去世， 19岁当数学教授， 岁当数学教授， 岁当数学教授 为变分法奠定了理论基础， 为变分法奠定了理论基础， 是当时欧洲公认的第一流的数学家。 是当时欧洲公认的第一流的数学家。
他写的《分析力学》 出版） 他写的《分析力学》（1788出版）一书运用变 出版 分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系， 分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系， 使力学分析化。 使力学分析化。
2011-11-1 24
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问题的引出
§5-1 动力学普遍方程
1769年蒸汽机车的模型 年蒸汽机车的模型
– 矩阵的运算、矩阵的特征值与特征向量、二次齐函数 矩阵的运算、矩阵的特征值与特征向量、
• 数学分析（高等数学）的基础知识 数学分析（高等数学）
– 多元函数的偏导数、复合函数的导数、线性常微分方 多元函数的偏导数、复合函数的导数、 程的特解和通解
2011-11-1 22
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第五章 Lagrange方程 方程
车身和车轮的运动 不仅仅是平面运动
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• 车身作什么运动？ 车身作什么运动？ • 车轮作什么运动？ 车轮作什么运动？
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工程中的动力学问题
越野赛车
汽车的减振测试与疲劳测试
2011-11-1 3
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1893年生产的轿车 年生产的轿车
工程中的动力学问题
1904年生产的轿车 年生产的轿车
车轴与车体之间无减振器
车轴与车体之间有减振器
研究对象： 研究对象： 多个物体组成， 多个物体组成，结构更加复杂 研究方法： 研究方法： 由简单到复杂， 由简单到复杂，由单一到综合
2011-11-1
减振结构： 减振结构：独立悬架
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工程中的动力学问题
现代研制的轿车、吉普车减振结构： 现代研制的轿车、吉普车减振结构：独立悬架