北航理论力学

T
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l0
k
§5-5、第一类拉格朗日方程
A
x1
A
m1 g θ 2
m2 g
x
O
θ
ϕ
B
B
B
θ3
A
地面光滑
D
y
m3 g
•应用第二类拉格朗日方程必须选取独立的 应用第二类拉格朗日方程必须选取独立的 位形坐标。 位形坐标。 •第二类拉格朗日方程不能求约束力。 第二类拉格朗日方程不能求约束力。 第二类拉格朗日方程不能求约束力
λ2
A( x1 , y1 ) F(t) x
m1 g
θ2
m1&& = F(t) − λ2 x1 m1&&1 = −m1g + λ1 − λ3 y m2 &&2 = λ2 − λ4 x m2 &&2 = −m2 g + λ3 − λ5 y &2 JC2θ& = −L cosθ2λ2 − Lsin θ2λ3 − Lcosθ2λ4 − Lsin θ2λ5 m3&&3 = λ4 x m3 &&3 = −m3 g + λ5 y &3 JC3θ& = −L cosθ3λ4 − Lsinθ3λ5 10
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系统的自由度: 系统的自由度: k=n-s
§5-5、第一类拉格朗日方程
设描述系统位形的坐标 ：q1 ,L qn
二、第一类拉格朗日方程
系统的约束方程为： 系统的约束方程为： fi (q1,L, qn , t) = 0, (i = 1,L, s) 受完整理想约束系统的Hamilton原理 系统的真实运动满足 原理:系统的真实运动满足 受完整理想约束系统的 原理
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学方程并求约束力。 学方程并求约束力。 y
§5-5、第一类拉格朗日方程
例：应用第一类拉格朗日方程建立滑块A（视为质点）的动力 应用第一类拉格朗日方程建立滑块 （视为质点） 解：1、给出系统动能 、 1 T = m1 ( x 2 + y 2 ) & & 2 2、求系统主动力的广义力 Qx = F (t ), Qy = −mg 3、给出系统约束方程 、
f = x2 + y 2 − R2 = 0
m&& = 2λx x
d2 f = x&& + y&& + x 2 + y 2 = 0 x y & & 2 dt
m&& = mg + 2λy, y
2λR2 = −mgy − m(x2 + y2 ) & &
m(x&& + y&&) = −m(x2 + y2 ) x y & & x(m&&) + y(m&&) = −m(x2 + y2 ) x y & &
s ∂f d ∂T ∂T − = Q j + ∑ λi i , d t ∂q j ∂q j ∂q j i =1 &
A( x, y ) F(t) x
m1 g
f1 = y = 0
m&& = F (t ) x
( j = 1, 2)
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m& = −mg + λ y &
s
f i ( q1 ,L , q n , t ) = 0, (i = 1,L , s )
s
∂fi 其中： λi ∑ ∂q 为约束力对应于坐标q j的广义力, λi称为拉格朗日乘子。 j i=1
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§5-5、第一类拉格朗日方程
s ∂f i d ∂T ∂T − ∂q ∂q = Q j + ∑ λi ∂q , ( j = 1,L , n ) dt & j j j i =1
C 2 ( x2 , y 2 )
B
θ3
m2 g
C 3 ( x3 , y 3 )
D
m3 g
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λ2
λ3
A
§5-5、第一类拉格朗日方程
4、分析Lagrange乘子的物理含义 m1&& = F(t) − λ2 、分析 乘子的物理含义 x1 y m1&&1 = −m1g + λ1 − λ3 y x
C 2 ( x2 , y 2 )
B
m2 g
f1 = y1 = 0
f2 = x2 − x1 − Lsinθ2 = 0
AB = BD = 2 L
θ3
f3 = y2 − y1 + Lcosθ2 = 0
C3 ( x3 , y3 ) f = x − x − Lsinθ − Lsin θ = 0 4 3 2 2 3
f i ( q1 ,L , q n , t ) = 0, (i = 1,L , s )
• 应用第一类 应用第一类Lagrange方程建立系统动力学方程 方程建立系统动力学方程 的基本步骤： 的基本步骤：
– 将各物体的约束解除，确定各物体的广义坐标（n） 将各物体的约束解除，确定各物体的广义坐标（ ） – 用广义速度和广义坐标描述系统的动能 用广义速度和广义坐标描述系统的动能T – 给出解除约束后对应于广义坐标的主动力的广义力 – 给出系统的约束方程（s） 给出系统的约束方程（ ） – 将系统动能和约束方程代入第一类 将系统动能和约束方程代入第一类Lagrange方程 方程
λ2 = FN ,
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& x y && − Rθ& = 0, && = 0
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y
§5-5、第一类拉格朗日方程
例：应用第一类拉格朗日方程建立系统动力学方程并求约束力 解：1、给出系统动能和约束方程 、
A( x1 , y1 ) F(t) x
m1 g
θ2
1 1 1 & T = m1 ( x12 + y12 ) + m2 ( x2 + y 2 ) + J C 2θ 22 & & &2 & 2 2 2 2 1 1 & + m3 ( x3 + y3 ) + J C 3θ 32 &2 & 2 2 2
y
& & an = (x + y )/ R
2 2
y sin θ = R
f = x + y −R =0
2 2
∂f ∂f ∂f FN = λ( i + j + k) ∂x ∂y ∂z
mgy m(x2 + y2 ) & & FN = − − R R
λ1
λ4
λ5
B
λ1：地面作用在
滑块上的约束力
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λ2 , λ3：铰链A作用在AB杆上的约束力 λ4 , λ5：铰链B作用在BD杆上的约束力
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θ
§5-5、第一类拉格朗日方程
质量为m的质点被约束在半径为R的光滑圆柱面上 的光滑圆柱面上， 例: 质量为 的质点被约束在半径为 的光滑圆柱面上，用 第一类拉格朗日方程建立质点的运动微分方程。 第一类拉格朗日方程建立质点的运动微分方程。 (r,θ ) O 解：1、给出质点的动能 、
n
⇔
d ∂T ∂T − 利用δq j ( j = 1,L, k )的独立性，有： ∂q ∂ q = Q j dt & j j
受完整理想约束系统的Hamilton原理 系统的真实运动满足 原理:系统的真实运动满足 受完整理想约束系统的 原理
δw = ∫
t1
t0
d ∂T ∂ T (δT + Q δq )dt = 0 ⇔ − ∂q = Q j ( j = 1, L , k ) d t ∂q j & j
D
m3 g
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f5 = y3 − y2 + Lcosθ2 + Lcosθ3 = 0
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2、求系统的广义力 、 y
§5-5、第一类拉格朗日方程
Qx1 = F(t), Qy1 = −m1g, Qx2 = 0, Qy2 = −m2 g, Qx3 = 0, Qy3 = −m3 g
3、求系统的Lagrange方程 、求系统的 方程
δw = ∫ [δ (T + Φ T λ ) + Q T δq ]dt = 0
t0
t1
λT = [λ1,L, λs ]
f1 Φ = M =0 fs
∂f i d ∂T ∂T ∑ λi ∂q , ( j = 1,L , n ) dt & j j j i =1
θ
M
Fy
解：动能、约束方程和主动力的广义力 动能、
x
Fx
mg
c
1 1 &2 2 2 T = m( x + y ) + J cθ & & 2 2 f1 = x − Rθ = 0, f2 = y = 0
Qx = Fx ; Qy = − mg − Fy ; Qθ = M
m&& = λ1 + Fx , x
∂f i d ∂T ∂T − ∂q ∂q = Q j + ∑ λi ∂q , ( j = 1, 2,3) dt & j j j i =1