北航理论力学第一学期复习动力学
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北航理论力学 动力学5C
x
qT [x, ] qT [x,]
T 1 qT Mq
M mm21Lcoms2
m2
4 3
L cos
m2 L2
2
M是正定对称矩阵，是广义坐标的函数 14
§5-4、哈密顿方程
T 1 qT Mq 2
pj
T q j
,
( j 1,2)
p
T q
p Mq
系统的哈密顿函数H=T+V
H
T
V
1 2
对于定常约束的保守系统，哈密顿函数H就是系统的动能与
势能的和，即：
H T V
12
§5-4、哈密顿方程
例题：求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程
z
1、系统的广义坐标：x, y, z
2、系统的动能 T 1 m(x2 y 2 z2 )
mg
y
2
pj
T q j
,
( j 1,2,3)
px mx py my pz mz
21
哈密顿系统的辛算法
20世纪80 年代，提出了 哈密顿系统的 辛算法。该算 法可保持长期 数值计算的稳 定性。
冯 康(1920.9～1993.8) 数学与物理学家、计 算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理 系。1951～1953年赴前苏联进修。
曾任中国数学会理事，计算数学分会副 理事长，中国计算机学会副主任等职。 1980 年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部 院士)。
v1 ? v2 ? ?
10
§5-4、哈密顿方程
一、保守系统的拉格朗日方程 设：L＝T-V （拉格朗日函数）
d dt
L q j
L q j
0,
( j 1,2,, k)
北航理论力学-动力学2D
n
M
O
(Fi
( e)
)
rOC
(maO
)
i 1
2mL2 kh tan
h
2mL2 kh tan 0
0
kh 2mL2
FI
2mL2 kh 0
(B)
mg
Asin(0t )
17
§2-2、动量矩定理
问题：滑块置于斜面上，如何确定约束力合力作用线的位置。
C
mg
A: 斜面有摩擦， 滑块处于平衡
C
mg
)
i 1
rAC (maA )
z
4
§2-2、动量矩定理
例：均质杆AB悬挂在加速上升的电梯上，求杆的运动微分方程
解：取杆为研究对象，受力分析与运动分析
FAx FAy
A
FI
C
aA mg
B
AB L
dLrA
dt
n
M
A
(F (e) i
)
i 1
rAC (maA )
z
杆相对A轴的动量矩 外力对A轴之矩 惯性力对A轴之矩
(maA )
xA
m2L 2 sin
m1 m2
9
§2-2、动量矩定理
y FAy
A
o
FAx
3、研究AB杆和小球B，受力分析
4、应用相对动轴A的动量矩定理
x
dLrA
dt
n
M A (Fi(e) ) i 1
rAC (maA )
A
M
杆相对A轴的动量矩
LrA m2L2
B m2xA 外力对A轴之矩
LrA
1 mL2
3
MA
1 2
mgL sin
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch5A
O
vx = x &⎫ ⎪ vy = y &⎬ ⎪ vz = z &⎭
2015-10-28
x
加速度
x & & = a x = 0(m/s 2 )
y & & = a y = −10(m/s 2 )
曲率半径 v2 v2 20 ρ= = = m 0 an a cos 30 3
20
ax = & x& ⎫ ⎪ ay = & y &⎬ ⎪ az = & z& ⎭
2、P 点的速度和加速度
2015-10-28 8
理论力学
3、P点的运动轨迹
§5-1 点的运动学
y A P O
θቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
ϕ
x
l 2 ⎫ xp = R cosθ + L − R2 sin2 θ ⎪ L ⎬ R ⎪ y p = (L − l ) sinθ ⎭ L
消去上述方程中 参数θ可得 P 点 的轨迹方程。
z
&⎫ 解： v x = x ⎪ vy = y &⎬ ⎪ vz = z &⎭
u
v= x &2 + y &2 + z & = R2ω2 + u2 = const &2 = s
2 a= & x y z &2 + & &2 + & &2 = Rω
ωR
ax = & x& ⎫ ⎪ ay = & y &⎬ ⎪ az = & z& ⎭
T’
•曲率(curvature)
北航理论力学总结
A
2M
D
b
B
b
b
b
C
18
2. 如图所示, 均质杆BC的C端靠在粗糙墙面上, B端用等长的绳索AB 拉住. 绳AB与杆BC的夹角为2θ, 若系统在铅垂面内保持平衡, 求C 处摩擦因数的最小值 f min .
答:
f min
=___________________
A
f min tan
2
B
C
19
用一水平冲量I . 若取OC与铅垂线夹角θ为广义坐标, 试给出该刚
体的运动微分方程和初始条件. O
答: 运动微分方程为:_______________
g
l
I
初始条件为:___________________
C
30
5. 边长为L的正方形板ABCD在图示平面内作平面运动, 某瞬时顶
点A的加速度为 a A (方向如图所示), 板的角速度为 , 角加速 度为 . 求此时顶点D的加速度 aD 的大小.
Ff
O
B
10
4.
若质点所受的合力始终指向某一固定点，则该点 BCD 。 可能作_______ 若质点的加速度始终垂直于速度(均不为零)，则该 AB C。 点可能作_______ 若质点所受的合力始终垂直于速度(均不为零)，则 ABC。 该点可能作_______
4. 4.
A：
B： C： D：
空间曲线运动
8
3. 如图所示，杆AB的两端分别沿框架的水平边及铅 垂边滑动，该框架可绕铅垂边转动，则该系统有 __________个自由度。 A: B: C: D: 4 3 2 1
9
思考题：OA杆绕O轴匀角速度转动，均质圆盘在水平地面上纯
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习
北京航空航天大学理 论力学第一学期总复
习
BUAA
理论力学复习课
•静力学(几何静力学和分析静力学） •运动学（点的运动学、刚体的运动学） •动力学（质点动力学、质点系动力学、
动静法）
2021/4/19
2
BUAA
一、 静力学
• 静力学的基本概念与方法 • 平衡方程 • 虚位移原理 • 例题、思考题、问题
•静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
思考题：确定图示系统是否为静定结构
A
D
A
D
F
F
B
B
L
L
LC
2021/4/19
(1)
L
L
(2)
LC
6
BUAA
例题: 均质杆AB和均质圆盘铰接，如图所示，杆和圆盘的质
量相同，杆与铅垂线的夹角为 ，圆盘与墙壁的摩擦系数为f.
2021/4/19
3
BUAA
一、静力学的基本概念与基本原理和定理
•力系(force system): 作用在物体上的一组力 {F1,F2,,Fn}
•等效力系(equivalent force system): 对同一刚体产生相同作用效果的力系.
静力学的基本
{ F 1 ,F 2 , ,F n } { P 1 ,P 2 , ,P m } 概念、定义、 •合力(resultant force) ：与某力系等效的力 公理和定理。
空间任意力系简化 { F 1 ,F 2 , ,F n } { F R ,M O }
FR0,M O0
空间任意力系的平衡条件：
平衡
FR
习
BUAA
理论力学复习课
•静力学(几何静力学和分析静力学） •运动学（点的运动学、刚体的运动学） •动力学（质点动力学、质点系动力学、
动静法）
2021/4/19
2
BUAA
一、 静力学
• 静力学的基本概念与方法 • 平衡方程 • 虚位移原理 • 例题、思考题、问题
•静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
思考题：确定图示系统是否为静定结构
A
D
A
D
F
F
B
B
L
L
LC
2021/4/19
(1)
L
L
(2)
LC
6
BUAA
例题: 均质杆AB和均质圆盘铰接，如图所示，杆和圆盘的质
量相同，杆与铅垂线的夹角为 ，圆盘与墙壁的摩擦系数为f.
2021/4/19
3
BUAA
一、静力学的基本概念与基本原理和定理
•力系(force system): 作用在物体上的一组力 {F1,F2,,Fn}
•等效力系(equivalent force system): 对同一刚体产生相同作用效果的力系.
静力学的基本
{ F 1 ,F 2 , ,F n } { P 1 ,P 2 , ,P m } 概念、定义、 •合力(resultant force) ：与某力系等效的力 公理和定理。
空间任意力系简化 { F 1 ,F 2 , ,F n } { F R ,M O }
FR0,M O0
空间任意力系的平衡条件：
平衡
FR
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习共32页
北京航空航天大学理论力学第一学期 总复习
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
理论力学都要学些什么？难的吗？听说学校里这个课挂科率很高！
理论力学都要学些什么？难的吗？听说学校里这个课挂科率很高！理论力学都要学些什么？难的吗？听说学校里这个课挂科率很高！楼下为什么答非所问？理论力学分静力学，运动学和动力学三个部分。
顾名思义，静力学主要讲静力分析，属于基础，学不懂会影响后面的学习。
运动学个人感觉最难，基本是运动分析，与力的关系不大，主要就是求机械装置某个部位某个点的瞬时速度或加速度。
动力学是把运动和受力合起来讲，能量和动量什么的是主线，里面有很多解题的巧妙方法，用到少量的微积分，内容也是最多的。
理论力学说实话不好学，你们学校挂科高说明教课老师喜欢挂，建议好好学习，最重要的是达到布置的作业得自己做然后弄懂的程度。
可以不攻难题，但是课后习题必须明白怎么做。
其次理论力学考试可出的题目虽然多，但是基本上只会考老师上课讲过的例题或者其改版形式，按照老师们的说法：没办法，提出太难了学生就不会做。
所以学习的时候多总结，自己把公式（很多）列出来，找到相关量对号入座，实在记不住做个小抄也不过分。
理论力学是学些什么？理论力学是固体力学的一个分支，是工科的一门专业基础课，为其他力学课程打基础的。
其内容分为三部分：静力学、运动学和动力学。
静力学主要研究力的基本性质，物体的受力分析与受力图及各种力系的简化与平衡；运动学主要研究物体运动的几何性质。
包括点的运动描述方法、刚体基本运动描述方法、平动参考系下点的运动的合成、定轴转动参考系下点的运动的合成、科氏加速度的概念；刚体平面运动的运动学方程、刚体平面运动的速度分析方法、刚体平面运动的加速度分析方法。
动力学主要研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
包括质点动力学基本方程；动量定理；质心运动定理；刚体转动惯量特性，刚体定轴转动动力学方程；刚体相对于定点的动量矩定理，刚体相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程；动能、势能，刚体的动能定理；刚体简单运动的达朗伯原理，刚体平面运动的达朗伯原理；约束，自由度，虚位移原理，虚位移原理在静力分析中的应用；振动方程。
北京航空航天大学本科理论力学习题课动.ppt
dvr dvr dR dt dR dt
dR dt
vr
cos
mvr
cos
dvr dR
mR 2
cos
vrdvr R2dR
v2 r
2R2
C
22
aa 0, ae 2R, aC 2 vr
x': 0 ae arx' aC cos450 y': 0 0 ary' aC sin 450
ar
a2 rx '
a2 ry '
12
习题1－10：求滑块A的加速度绳索的拉力。
v0
s FvA
FN
mg
ma F FN mg
x : mx F cos mg
x
(
x2
2R4x R2)2
mx Fx
15
y’
方法三：求滑块的速度
动点：滑块A
vr
动系：ox’y’,x’轴平行于绳
速度分析
θ
运动分析
va v x’ e
绝对运动： 直线运动 相对运动： 直线运动 牵连运动： 定轴转动
va ve vr ve x vr ( )R
y : 0 ve vr sin x : x va vr cos
动点：圆盘中心O 动系：AB杆
A
AB
运动分析： 绝对运动： 直线运动
v r 300 n ae
相对运动： 直线运动 AB 牵连运动： 定轴转动
y'
aa
o ve Rar va
aB et
速度分析
vr 0,
va ve vr va ve
AB
ve OA
va 2R
加速度分析 aa aet aen ar aC
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理论力学期末答疑通知
• 答疑时间：
1月10日上午 08：30 － 11：30 答疑教师：王士敏、梁伟、程耀 1月10日下午 13：30 － 16：30 答疑教师：王琪、王青云、赵振、吕敬
• 答疑地点：J3-201
2016/1/16 1
理论力学复习课 动力学
•运动学（点的运动学、质点系运动学，刚
体的运动学）
A a A et A en A r C a C et C en C r
A k C k
a a a a a
2016/1/16
6
二、刚体的平面运动 1、基点法
Ax’y’为平移动系，B为动点
y
vB v A vBA
2、速度投影法
y'
vBA vB
B
B r A 0
A
vA vA
x'
vB AB vA AB
应用静力学写平衡方程的方法求解质点系的动力 学问题，这种方法称为动静法。
三、刚体惯性力系的简化
平面运动刚体惯性力系向质心C的简化
{F1I ,, FiI ,, FnI } {FIR , MIc }
简化条件： 刚体的质量对称面平行于运动平面
FIR mac
M IC J C
18
思考题： 均质杆AB和BD焊接为一个刚体并绕OA轴转
FIR
x
思考题：惯性力系为零力系是动平衡的 A：充分条件，B：必要条件，C：充要条件
y
20
例题：已知：
m, L, , AE // BG ，求切断绳后瞬时：
1：板质心加速度
E
G
mg mg
2：杆的角加速度
3：铰链B的约束力
dT W
1 2 1 mL2 2 5 mL2 2 T mL2 3 2 6
•动力学（质点动力学、质点系动力学、刚 体动力学、动静法）
2
运动学
• 点的运动学
– 运动方程、速度、加速度
– 矢量法、直角坐标法、自然坐标法
• 点的复合运动
– 绝对运动、相对运动、牵连运动 – 绝对速度、相对速度、牵连速度 – 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度
• 刚体的平面运动
– 刚体的平面运动、点的速度和加速度的分析与计算
3
一、点的运动学
vx x vy y vz z ax x ay y az z
et vs t at an et s e a s
et at s an s
2
反映速度大小的变化
9
问题。设P为左半圆盘上的任意一点，若 vP 为该点的速率，如 果圆盘匀角速在地面上纯滚动，则下列关系式哪个成立？
A: dv p dt dv p dt dv p 0 0 0
B
P
u
B: C:
u
A
dt D : 不能确定
问题：半径为R的圆盘在地面上纯滚动，圆盘中心 的速度为u（常量）。过圆盘中心画一矢量 rAB （AB为直径）。求该矢量对时间一阶导数的大小。
A
MI
0
mg
FBx FBx
FI
A
B
C
mg
FCI
A
F Ax
B
mg
FCI
D
C
22
习题1－10：求滑块A的加速度绳索的拉力。
解：根据几何关系有：
v0
s
Fv A
FN
s2 l 2 x2
上式两边求导得：
2 xx 2ss
v0 ) ( s
mg
ma F FN mg F cos mg x : m x
drAB ? dt
10
动力学
一、质点动力学
•惯 性 系
ma F
•非惯性系
ma r F Fe FC
应 用 方 法
•运动与受力分析、建立矢量方程 •选定坐标系（直角坐标系、自然轴系）
•将矢量方程在选定坐标轴上投影
•求解投影方程
11
思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。
3、速度瞬心法
o
x
M
vM
CV
7
vM vMCV , vM MCV
4、平面图形上各点的加速度
y
aB a A a a
n BA
t BA
y'
a
t BA
x'
B
a
A
n BA
a
t BA
AB
o
aA
n aBA AB 2
x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存 在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。 要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
动，求刚体的惯性力系向B点简化的主矢和主矩。
惯性力简化的基本方法：
A
m1 m2
B
1、将惯性力系向质心简化 2、将简化的力系再向指定点简化
D
19
附加动反力为零（动平衡）的充分 必要条件：
z
Fi
M Io
xc yc 0 质心在转轴上 转轴为惯量主轴 J xz J yz 0
Lo ri mi vi rOC mvC L
dLrA (ri Fi ( e) ) rAC (ma A ) dt
当A点是惯性参考系中的固定点 当A点与系统质心重合时
dLA M A ( Fi ( e) ) dt
dLr C M C ( Fi ( e) ) dt
12
mg
二、质点系的动力学普遍定理 1、动量定理 p
m v
i i
mvC mi vCi
dp Fi ( e) maC mi aCi Fi ( e) dt
dvC dm ( e) m Fi vr dt dt
p2 p1 Ii
r C
2、动量矩定理
A
B
3、动能定理
计算多刚体系统平面运动 动能的一般公式： 动能定理的积分形式： 动能定理的微分形式：
1 1 2 T Ti ( mi vCi J Cii2 ) 2 2
T2 T1 W12
dT W Fi v i dt
基本物理量的计算
思考题：已知AB杆上A点作匀速直
en
反映速度方向的变化
va ve vr
aa ae ar aC
4
动点：套筒A 动系：BC杆
a ae a r a k
A a
a e aC a
t eC
a
n eC
aC a B a
2016/1/16
t CB
a
n CB
5
动点：套筒A、C 动系：套筒O2
a a a a a
o3 A
C
mg
B
W 2mgsin Ldt
5 d 2mgL sin dt mL2 3 6g sin aC L 21 5L
D
E
MI
研究BG杆：
FGy
G
mg
FI
MI
M M
F Ay
G
0
G
FBy FBy
FGx
mg
FI
研究方板：
2016/1/16
sv 0 ss x x x 2 2 v0 l 3 x a x x x 2 2 a y y v0 l ax 3 x
23
习题1－11：已知圆盘的角速度和半径，求图示位置绳索的拉力
求力→求滑块的加速度
F
FN
求加速度→求滑块速度 或运动方程
m x F cos
24
( x2 R2 ) 2xx 3 2 2 R2 xx 2x x
2016/1/16
25
8
思考题：半点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判
断出下列结论哪些是正确的： A：这种运动不存在；
aB a A a a
n BA
t BA
B：能求出圆盘的角速度（大小和方向）
C：能求出圆盘上任一点的加速度；
D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
i 1
问题：一个质心位于C的细杆AB静止 放在光滑的水平面上，AC>BC，若要
I
A
在其上作用一水平冲量I（垂直于AB
杆）。冲量作用在杆上的哪一点，可 使冲击后，杆获得的动能最大。
C B
17
二、动静法
质点系运动的每一瞬时有：
{F1 , FN1 , FI1 ,, Fn , FNn , FIn } {0}
线运动，圆盘在地面上纯滚动。杆 的长度为L，圆盘的半径为R, 各物
A
vA
体的质量均为m。求图示瞬时系统
的动量、动能、对固定点O和动点 B（圆盘中心）的动量矩。
B
o
15
思考题：系统由无初速开始运动，杆运动到铅垂位置时， 哪种情况杆的角速度最大？哪种情况杆的角速度最小？
g
A:盘与杆固连 C: 纯 滚 动
2016/1/16 16
B:盘与杆光滑铰接
2、碰撞基本定理
1、冲量定理
p2 p1
简化条件：忽略常规力；忽略碰撞过程中的位移。
2、冲量矩定理
Ii(*)
i 1
n
LO 2 LO1 MO ( Ii(*) )
i 1 n
(*) i
• 答疑时间：
1月10日上午 08：30 － 11：30 答疑教师：王士敏、梁伟、程耀 1月10日下午 13：30 － 16：30 答疑教师：王琪、王青云、赵振、吕敬
• 答疑地点：J3-201
2016/1/16 1
理论力学复习课 动力学
•运动学（点的运动学、质点系运动学，刚
体的运动学）
A a A et A en A r C a C et C en C r
A k C k
a a a a a
2016/1/16
6
二、刚体的平面运动 1、基点法
Ax’y’为平移动系，B为动点
y
vB v A vBA
2、速度投影法
y'
vBA vB
B
B r A 0
A
vA vA
x'
vB AB vA AB
应用静力学写平衡方程的方法求解质点系的动力 学问题，这种方法称为动静法。
三、刚体惯性力系的简化
平面运动刚体惯性力系向质心C的简化
{F1I ,, FiI ,, FnI } {FIR , MIc }
简化条件： 刚体的质量对称面平行于运动平面
FIR mac
M IC J C
18
思考题： 均质杆AB和BD焊接为一个刚体并绕OA轴转
FIR
x
思考题：惯性力系为零力系是动平衡的 A：充分条件，B：必要条件，C：充要条件
y
20
例题：已知：
m, L, , AE // BG ，求切断绳后瞬时：
1：板质心加速度
E
G
mg mg
2：杆的角加速度
3：铰链B的约束力
dT W
1 2 1 mL2 2 5 mL2 2 T mL2 3 2 6
•动力学（质点动力学、质点系动力学、刚 体动力学、动静法）
2
运动学
• 点的运动学
– 运动方程、速度、加速度
– 矢量法、直角坐标法、自然坐标法
• 点的复合运动
– 绝对运动、相对运动、牵连运动 – 绝对速度、相对速度、牵连速度 – 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度
• 刚体的平面运动
– 刚体的平面运动、点的速度和加速度的分析与计算
3
一、点的运动学
vx x vy y vz z ax x ay y az z
et vs t at an et s e a s
et at s an s
2
反映速度大小的变化
9
问题。设P为左半圆盘上的任意一点，若 vP 为该点的速率，如 果圆盘匀角速在地面上纯滚动，则下列关系式哪个成立？
A: dv p dt dv p dt dv p 0 0 0
B
P
u
B: C:
u
A
dt D : 不能确定
问题：半径为R的圆盘在地面上纯滚动，圆盘中心 的速度为u（常量）。过圆盘中心画一矢量 rAB （AB为直径）。求该矢量对时间一阶导数的大小。
A
MI
0
mg
FBx FBx
FI
A
B
C
mg
FCI
A
F Ax
B
mg
FCI
D
C
22
习题1－10：求滑块A的加速度绳索的拉力。
解：根据几何关系有：
v0
s
Fv A
FN
s2 l 2 x2
上式两边求导得：
2 xx 2ss
v0 ) ( s
mg
ma F FN mg F cos mg x : m x
drAB ? dt
10
动力学
一、质点动力学
•惯 性 系
ma F
•非惯性系
ma r F Fe FC
应 用 方 法
•运动与受力分析、建立矢量方程 •选定坐标系（直角坐标系、自然轴系）
•将矢量方程在选定坐标轴上投影
•求解投影方程
11
思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。
3、速度瞬心法
o
x
M
vM
CV
7
vM vMCV , vM MCV
4、平面图形上各点的加速度
y
aB a A a a
n BA
t BA
y'
a
t BA
x'
B
a
A
n BA
a
t BA
AB
o
aA
n aBA AB 2
x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存 在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。 要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
动，求刚体的惯性力系向B点简化的主矢和主矩。
惯性力简化的基本方法：
A
m1 m2
B
1、将惯性力系向质心简化 2、将简化的力系再向指定点简化
D
19
附加动反力为零（动平衡）的充分 必要条件：
z
Fi
M Io
xc yc 0 质心在转轴上 转轴为惯量主轴 J xz J yz 0
Lo ri mi vi rOC mvC L
dLrA (ri Fi ( e) ) rAC (ma A ) dt
当A点是惯性参考系中的固定点 当A点与系统质心重合时
dLA M A ( Fi ( e) ) dt
dLr C M C ( Fi ( e) ) dt
12
mg
二、质点系的动力学普遍定理 1、动量定理 p
m v
i i
mvC mi vCi
dp Fi ( e) maC mi aCi Fi ( e) dt
dvC dm ( e) m Fi vr dt dt
p2 p1 Ii
r C
2、动量矩定理
A
B
3、动能定理
计算多刚体系统平面运动 动能的一般公式： 动能定理的积分形式： 动能定理的微分形式：
1 1 2 T Ti ( mi vCi J Cii2 ) 2 2
T2 T1 W12
dT W Fi v i dt
基本物理量的计算
思考题：已知AB杆上A点作匀速直
en
反映速度方向的变化
va ve vr
aa ae ar aC
4
动点：套筒A 动系：BC杆
a ae a r a k
A a
a e aC a
t eC
a
n eC
aC a B a
2016/1/16
t CB
a
n CB
5
动点：套筒A、C 动系：套筒O2
a a a a a
o3 A
C
mg
B
W 2mgsin Ldt
5 d 2mgL sin dt mL2 3 6g sin aC L 21 5L
D
E
MI
研究BG杆：
FGy
G
mg
FI
MI
M M
F Ay
G
0
G
FBy FBy
FGx
mg
FI
研究方板：
2016/1/16
sv 0 ss x x x 2 2 v0 l 3 x a x x x 2 2 a y y v0 l ax 3 x
23
习题1－11：已知圆盘的角速度和半径，求图示位置绳索的拉力
求力→求滑块的加速度
F
FN
求加速度→求滑块速度 或运动方程
m x F cos
24
( x2 R2 ) 2xx 3 2 2 R2 xx 2x x
2016/1/16
25
8
思考题：半点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判
断出下列结论哪些是正确的： A：这种运动不存在；
aB a A a a
n BA
t BA
B：能求出圆盘的角速度（大小和方向）
C：能求出圆盘上任一点的加速度；
D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
i 1
问题：一个质心位于C的细杆AB静止 放在光滑的水平面上，AC>BC，若要
I
A
在其上作用一水平冲量I（垂直于AB
杆）。冲量作用在杆上的哪一点，可 使冲击后，杆获得的动能最大。
C B
17
二、动静法
质点系运动的每一瞬时有：
{F1 , FN1 , FI1 ,, Fn , FNn , FIn } {0}
线运动，圆盘在地面上纯滚动。杆 的长度为L，圆盘的半径为R, 各物
A
vA
体的质量均为m。求图示瞬时系统
的动量、动能、对固定点O和动点 B（圆盘中心）的动量矩。
B
o
15
思考题：系统由无初速开始运动，杆运动到铅垂位置时， 哪种情况杆的角速度最大？哪种情况杆的角速度最小？
g
A:盘与杆固连 C: 纯 滚 动
2016/1/16 16
B:盘与杆光滑铰接
2、碰撞基本定理
1、冲量定理
p2 p1
简化条件：忽略常规力；忽略碰撞过程中的位移。
2、冲量矩定理
Ii(*)
i 1
n
LO 2 LO1 MO ( Ii(*) )
i 1 n
(*) i