2019-2020学年辽宁省协作校2018级高二下学期期中考试数学试卷参考答案
h′(x) = ex - x2 - 1 - mx ≥ 0 对任意 x > 0 都成立即可 ……8 分
从而可得
ex
-
x2 x
-
1
≥
m
，故只需求 m 使其小于或等于函数
ex
-
x2 x
-1
在
(0, +∞)
上的最小值
即可。 ……9 分
令
t(x) =
ex
-
x2 x
-
1,x
∈(0, +∞)
，则
t′(x) =
(x
t(x) 为增函数，所以 t(x) 在 x = 1 处取得最小值，其最小值为 e - 2 ，
所以只要 m ≤ e - 2 即可。……12 分
22（. 1）由
f (x) 可得
f ′(x) = x +
1 x
-a=
x2 - ax + 1 x
，（x>0）,
……1 分
因为
x+
1 x
≥2
，所以当 a ≤ 2 时，f ′(x) ≥ 0 ，所以
|GH| =
2 ，|MN| = 2
2
，故
|GH|2 + |MN|2 S
=
1 2
×
2+8 2 ×2
2 = 5 ；……5 分
当 lGH 、lMN 两直线斜率都存在时，则设 lGH 、lMN 的斜率分别为 k、k1 ，则：kk1 = -1 ，
ìy = k(x + 1)
( ) 设 lGH
的方程为：y = k(x + 1) ，由 íïx2
a
+
a2 2
-
4
,
+∞
)时，f
′(x)
>
0
当 x∈(a-
a2 - 4 ，a + 2
a2 - 4 )时，f ′(x) < 0 2
订
所以 f (x) 在 (0, a -
a2 2
-
4
)
，(
a
+
a2 2
-
4
,
+∞)
单调递增，在(
a
-
a2 2
-
4
,
a
+
a2 - 4 )单调递 2
减。
综上：当 a ≤ 2 时，f (x) 在 (0, +∞) 为单调递增函数；
其通项公式 Tr+1 = C5r (-m)r xr(r = 0,1,…,5) ， 第四项，r = 3 ，所以 C35(-m)3 = 80 ，所以 m = -2 ； ……5 分 （2）本小题即求 (1 + mx)n(1 + x)6 = (1 - 2x)5(1 + x)6 展开式中含 x2 项的系数，
展开式中含 x2 项的系数为
+
ln(
x1 x2
)
=
-
x1 2x2
+
x2 2x1
+
ln(
x1 x2
)
令
t
=
x1 x2
(0
<t<
1)
，
则
f
(x1)
-
f
(x2)
=
-
t 2
+
1 2t
+
ln
t
=
-
1 2
(t
-
1t )
+
ln
t
……8
分
装
因为
t
+
1 t
=
x1 x2
+
x2 x1
=
x2 1
+
x2 2
x1 x 2
=
a2
-2
<
17 4
，因为
t
>
0
，所以有
f (x) 在 (0, +∞) 为单调递增函数；……2 分
当 a > 2 时，令 f ′(x) = 0 ，得 x2 - ax + 1 = 0 ，Δ = a2 - 4 > 0 ,
解得，x = a ±
a2 - 4 2
,0<
a-
a2 - 4 2
<
a+ห้องสมุดไป่ตู้
a2 - 4 2
当 x ∈(0, a -
a2 2
-
4
)
，(
∈
æ è
1 2
, 2 öø
……10
分
故：|GH|2
+ |MN|2 S
=
2æè t
+
1ö tø
∈
[4, 5)
，
……11 分
综上
|GH|2
+ |MN|2 S
的取值范围为
[4, 5]
……12 分
21（. 1）g′(x) = ex - 2
令 g′(x) = 0 ，则 x = ln 2 ，
当 x < ln 2 时，g′(x) = ex - 2 < 0 ，此时 g(x) 为减函数；
=
x2 1
-
x2 2
2
-
a(x1
-
x2)
+
ln(
x1 x2
)
=
x2 1
-
x2 2
2
-
(x1
+
x
2)(x1
-
x2)
+
ln(
x1 x2
)
高二数学 （答） — 4
2019-2020学年辽宁省协作校2018级高二下学期期中考试数学试卷
=-
x2 1
-
x2 2
2×1
+
ln(
x1 x2
)
=
-
x2 1
-
x2 2
2 × x1x2
x1 + x2 = a ，x1x2 = 1 ， ……5 分
又由 f (x) 的单调性可知，x1 = a -
a2 - 4 2
为极大值点，x2 =
a+
a2 - 4 为极小值点， 2
所以 0 < x1 < x2
线
因为
f (x1) - f (x2) =
x2 1
2
-
ax1
+
ln
x1
-
(
x2 2
2
- ax2 + ln x2)
19（. 1）证明：取 AC 中点 E ，联结 DE 、PE ，
∵ △PAC 为等边三角形，E 为 AC 的中点，∴PE ⊥ AC .
线
∵ D 是 BC 的中点，E 为 AC 中点，∴ DE//AB ，∵ AB ⊥ AC ，∴ DE ⊥ AC .
∵ PE ⋂ DE = E ，∴ AC ⊥⊥ 平面 PDE ，
C0 5
×
C2 6
-
C1 5
×
2
×
C1 6
+
C2 5
×
(-2)2
×
C0 6
=
-5
.
……10 分
18（. 1）f
′( x)
=
x
1 +
1
，g′( x)
=
2x
+
a
，
由题意得 f ′(0) = g′(0) ，a = 1
……2 分
订
又由 f (0) = g(0) ，解得，b = 0 .
……4 分
（2）F(x) = 4f (x) + g(x) - 5x = 4 ln(x + 1) + x2 - 4x ，
2019 — 2020 学 年 度 下 学 期 期 中 考 试 高 二 试 题
数学参考答案及评分标准
装 选择题
1.B 2.C 3.A 4.A 5.D 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.D 填空题
13.-2 14. 114 15. 2 16.[1,+ ∞ )
解答题
17（. 1）二项式系数之和为 2n ，故由题意，2n = 32 ，则 n = 5 . ……2 分
<
15 8
-
2
ln
2
，
所以
f
(x1)
-
f
(x2)
的取值范围是
(0,
15 8
- 2 ln 2) .
……12 分
订
线
高二数学 （答） — 5
2019-2020学年辽宁省协作校2018级高二下学期期中考试数学试卷
F′(x) =
x
4 +
1
+
2x
-
4
=
2x(x - 1)
x+1
(x
>
-1)
，
……6 分
F′(x) ，F(x) 的变化情况如下表：
x
(-1, 0)
0
(0, 1)
1
(1, +∞)
F′( x)
+
0
-
0
+
F(x)
↗↗
极大值
↘↘
极小值
↗↗
当 x = 0 时有极大值，极大值为 F(0) = 0 ， ……11 分
当 x = 1 时有极小值，极小值为 F(1) = 4 ln 2 - 3 ……12 分
则 cos
m, n
=
|
m∙n
m |∙|n|
=
2
4 ×
7
=
2
辽宁省六校协作体2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
所以不同的方案有90+60=150种.
故选：A
【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题.
8.方程 在区间 上有唯一根，则 的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程 分离常数 ，构造函数 ，利用导数研究 在区间 上的单调性，由此求得 的取值范围.
【详解】（1）依题意： ，
，
， ，
，
，
则 关于 的线性回归方程为 .
（2）预测 时， ， 时， ， 时， ，
此次活动参加抽奖的人数约为5+8+8+10+14+15+17+19+21+23=140人.
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，属于中档题.
18. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值，不符合题意（舍去）；
（2）当 时，可得 ，令 ，解得 或 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
所以当 时，函数 取得极大值，符合题意，
综上可得，当 时，函数 在 处有极大值.
【详解】依题意方程 在区间 上有唯一根， ，构造函数 ， ，所以 或 时， ， 递增； 时， ， 递减.
辽宁省协作校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含答案
年班
2019— 2020学 年 度 下 学 期 期 中 考 试 高 二 试 题
学号
（ 装
装
数学
姓名 ○考试时间：120分钟总分：150分订
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
○ 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
○ 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
2018-2019学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
2018-2019学年度下学期省六校协作体高二期中考试高二数学（文科）第Ⅰ卷一选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．2．设，则在复平面对应的点位于第()象限A．一B．二C．三D．四3．函数的图象与函数的图象的交点个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知向量，且，则（）A．B．8C．D．65．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且在轴上的投影为点，则的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知，并且成等差数列，则的最小值为( )A．16B．12C．9D．87．若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是（）A．B．C．D．9．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A．B．或C．D．或11．已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的外接圆半径为( )A．B．C．2 D．12．已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为______．14．设满足约束条件，则的最大值为___________．15．设为锐角，若，则的值为___________．16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．三解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知：数列的前项和为，且。
2018-2019学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学(文)试卷
2018-2019学年度下学期省六校协作体高二期中考试高二数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．2．设，则在复平面对应的点位于第()象限A．一B．二C．三D．四3．函数的图象与函数的图象的交点个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知向量，且，则（）A．B．8C．D．65．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且在轴上的投影为点，则的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知，并且成等差数列，则的最小值为( )A．16B．12C．9D．87．若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是（）A．B．C．D．9．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A．B．或C．D．或11．已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的外接圆半径为( )A．B．C．2 D．12．已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为______．14．设满足约束条件，则的最大值为___________．15．设为锐角，若，则的值为___________．16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．三解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知：数列的前项和为，且。
2018～2019学年辽宁省葫芦岛协作校高二下学期第二次联考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省葫芦岛协作校2018～2019学年高二下学期第二次联考检测数学(文)试题(解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3|3A x x =-≤≤，{}26|B x x =<<，则A B =I ( )A. (]2,3B. []2,3C. [)3,6-D. ()2,6 【答案】A【解析】【分析】根据集合交集的概念,直接求得两个集合的交集.【详解】由集合{}3|3A x x =-≤≤,{}26|B x x =<<可得{}|23A B x x ⋂=<….故选A.【点睛】本小题主要考查交集的概念及运算,属于基础题.2.复数2i z i+=在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】化简复数为z a bi =+的形式,求得复数对应点的坐标,由此判断所在的象限. 【详解】212i z i i+==-,该复数对应的点为()1,2-,在第四象限.故选D. 【点睛】本小题主要考查复数的运算,考查复数对应点的坐标所在象限.3.函数()221f x x x =+-的值域为( ) A. [)0,+∞ B. [)2,-+∞ C. [)1,-+∞ D. []1,0-【答案】B【解析】【分析】利用配方法求得二次函数的值域.【详解】()()2122f x x =+--….故选B.【点睛】本小题主要考查配方法求二次函数的值域,属于基础题.4.在极坐标系中,4sin ρθ=表示的曲线是( )A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 圆 【答案】D【解析】【分析】对题目所给表达式两边乘以ρ,结合极坐标和直角坐标相互转换的公式,求出曲线对应的直角坐标方程,由此判断出曲线为何种曲线.【详解】因为4sin ρθ=,即24sin ρρθ=,所以224y x y +=,因此原曲线为圆.故选D. 【点睛】本小题主要考查极坐标转化为直角坐标,考查曲线对应图形的判断,属于基础题.5.已知函数()2log ,1,2,1x x f x x a x ⎧=⎨-<⎩…恰有2个零点,则a 的取值范围是( ) A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. () ,2-∞D. (],2-∞ 【答案】C【解析】【分析】对分段函数的每一段进行研究,当1x ≥时,根据对数函数性质求得对应的零点,当1x <时,根据一次函数的性质列不等式,求得a 的取值范围.【详解】当1x ≥时,()f x 的零点为1,则1x <必有一个零点,2y x a =-为一次函数,单调递增,故需20a ->,即2a <.故选C.【点睛】本小题主要考查分段函数的零点问题,考查指数函数和一次函数的零点,属于基础题.。
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学(文)试卷(有答案)
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则A B =（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,3 D ．()1,3- 2．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为A ．042,2≥+-∈∀x x R xB ．042,0200>+-∈∃x x R xC ．042,2≤+-∉∀x x R xD ．042,0200>+-∉∃x x R x3、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1462=+a a ，则7S =（ ） A ．13 B ．35 C ．49 D ．634.已知α为锐角，且03)tan(=+-απ，则αsin 等于 A ．31B.10103 C ．773 D ．5535. 已知向量,a b r r满足||1a =r，||a b -=r r ()0a a b ⋅-=r r r ，则|2|b a -=rr（）A.2B.C.4D. 6. 函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A.16B.24C.50D.25 7．已知m n ，,是直线，αβγ，，是平面，给出下列命题： ①若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，则n α⊥或n β⊥．②若αβ∥，m αγ=，n βγ=，则m n ∥．③ 若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β． ④若m αβ=，n m ∥且n α⊄，n β⊄，则n αβ∥且n ∥．其中正确的命题是 （ ）A.①,②B.②,③C.②,④D.③,④8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5(,0)2-B ．1(,0)6 C. 11(,0)6- D ．1(,0)2-9.已知点M （，0），椭圆+y 2=1与直线y=k （x +）交于点A 、B ，则△ABM 的周长为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16 10. 已知双曲线2222:11x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ） A．3 11．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3=S 6，则数列的前5项和为（ ） A ．或5B ．或5C ．D ．12. 已知 ，若m x f =)(有四个不同的实根4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则()4321x x x m x m +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的取值范围A ．()10,0B ．[]10,0C ．()4,0D ．[]4,0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-=3,22352131,)1(log )(22x x x x x x f13.设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为 .14．已知具有线性相关关系的两个量x ，y 之间的一组数据如表：且回归直线方程是=0.95x+2.6，则m 的值为 ．15.三棱锥ABC P -,ABC PA 平面⊥,90ABC ∠=︒,1,PA AB BC ===（单位：cm ）则三棱锥ABC P -外接球的体积等于 3cm .16. 已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,, ， 60=C ，b c 32=.（1）求角B A ,的大小；（2）若D 为边AC 上一点，且4=a ，BCD ∆的面积为3，求BD 的长.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对n ∈N *恒成立，求实数c 的取值范围．19．(本小题满分12分)某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（满分为100分），将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表： （1）写出d c b a ,,,的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在]100,90[内的学生中任选出两名同学，从成绩在)50,40[内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若1A 同学的数学成绩为43分，1B 同学的数学成绩为95分，求11,B A 两同学恰好都被选出的概率.20.(本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为)0,1(F ，O 为坐标原点，B A 、是抛物线C 上异于O 的两点．（ I ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OB OA 、的斜率之积为21-，求证：直线AB 过定点． 21.(本小题满分12分) 如图1，菱形ABCD 的边长为6，∠BAD=60°，AC ∩BD=O ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ﹣ACD ，点M 是棱BC 的中点，．（Ⅰ）求证：OM ∥平面ABD ； （Ⅱ）求三棱锥M ﹣ABD 的体积．22.(本小题满分12分) 已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为，求△AOB 面积的最大值．答案1—5 D B C B A 6-----10 D C D B B 11—12 C A 13—16 4 4.834π317. (1)75,45A B ︒︒== ………………………5分(2)BD = ……………………… 10分18. 解：（1）∵，①当，∴a 1=1，当n≥2，∵，②①﹣②：，即：a n =3a n ﹣1（n≥2）…（4分）又∵a 1=1，∴对n ∈N *都成立，所以{a n }是等比数列，∴…（6分）（2）∵，∴，∴，∴，…（8分）∵，∴T n ＜3对n ∈N *都 成立…（10分）∴3≤c 2﹣2c ，∴c≥3或c≤﹣1，∴实数c 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），…（12分）19. (1)24.0,12,06.0,2====dc b a ………………………2分估计本次考试全年级学生的数学平均分为8.7308.09524.0853.07528.06506.05504.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (6)分（2）设数学成绩在]100,90[内的四名同学分别为4321,,,B B B B ， 成绩在)50,40[内的两名同学为21,A A ， 则选出的三名同学可以为：211B B A 、311B B A 、411B B A 、321B B A 、421B B A 、431B B A 、212B B A 、312B B A 、412B B A 、322B B A 、422B B A 、432B B A ，共有12种情况.11,B A 两名同学恰好都被选出的有211B B A 、311B B A 、411B B A ，共有3种情况，所以11,B A 两名同学恰好都被选出的概率为41123==P .………………………12分 20.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），所以=1，所以p=2． 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ． (4)分（Ⅱ）证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设 A （，t ），B （，﹣t ），因为直线OA ，OB 的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t 2=32．所以A （8，t ），B （8，﹣t ），此时直线AB 的方程为x=8．…（7分） ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y=kx+b ，A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）， 联立得化简得ky 2﹣4y+4b=0．…（8分）根据根与系数的关系得y A y B =，因为直线OA ，OB 的斜率之积为﹣， 所以•=﹣，即x A x B +2y A y B =0．即+2y A y B =0，解得y A y B =0（舍去）或y A y B =﹣32． 所以y A y B ==﹣32，即b=﹣8k ，所以y=kx ﹣8k ，即y=k （x ﹣8）．综上所述，直线AB 过x 轴上一定点（8，0）． (12)分21.证明：（Ⅰ）因为点O是棱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点，又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，所以OM∥AB，因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD所以OM∥平面ABD．——————————6分解：（Ⅱ）三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．由题意，OM=OD=3因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM，又因为棱形ABCD，所以OD⊥AC．因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC即OD⊥平面ABM所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，△ABM的面积为所求体积．………………………12分22.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．---------4（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．_____12。
辽宁省鞍山2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(文科)Word版含解析
辽宁省鞍山2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若（m+i）2为实数，i为虚数单位，则实数m的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±12．设全集U={1，2，3，4}，集合P={x|x2＜2，x∈N*}，则∁U P=（）A．{2}B．{3}C．{2，3，4}D．{1，4}3．已知a1=3，a2=6且a n+2=a n+1﹣a n，则a3为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣64．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣5．函数y=的定义域为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≥1或x=0}C．{x|x≥0} D．{x|x=0}6．“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．下列变量中，具有相关关系的是（）A．正方体的体积与边长B．匀速行驶的车辆所行驶距离与行驶的时间C．人的身高与视力D．人的身高与体重8．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞3或a＜﹣1 B．a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤39．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形11．在平面直角坐标系xoy中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n∈N*，连接原点O与点P n（n，n﹣4），用g（n）表示线段OP n上除端点外的整点个数，则gA．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z==．14．函数f（x）=的值域是．15．已知x、y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且=0.95x+，则=．2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．定义运算|=ad﹣bc，如果（x+y）+（x+3）i=，x，y∈R，求z=y﹣xi．18．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高二年级有男生1000人，女生800人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：（2）由表一表二中统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考公式：x2=（其中n=a+b+c+d）临界值表：（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．设p，q是奇数，求证：方程x2+2px+2q=0没有有理根．21．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（Ⅲ）解关于x的不等式：16f（）≥f（x﹣3）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：（t为参数）．（1）指出C1，C2各是什么曲线；（2）求曲线C1与C2公共点M的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．辽宁省鞍山2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若（m+i）2为实数，i为虚数单位，则实数m的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1【考点】复数的基本概念．【分析】根据条件中所给的（m+i）2为实数，根据多项式乘以多项式法则，把结果整理成最简形式，根据这是一个实数，得到它的虚部是0，得到m的值．【解答】解：∵（m+i）2为实数，∴m2﹣1+2mi是一个实数，∴2m=0，∴m=0，故选B．2．设全集U={1，2，3，4}，集合P={x|x2＜2，x∈N*}，则∁U P=（）A．{2}B．{3}C．{2，3，4}D．{1，4}【考点】补集及其运算．【分析】求出集合P中的元素，从而求出其补集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合P={x|x2＜2，x∈N*}={1}，则∁U P={2，3，4}，故选：C．3．已知a1=3，a2=6且a n+2=a n+1﹣a n，则a3为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【考点】数列递推式．【分析】由递推公式得a3=a2﹣a1，由此能求出结果．【解答】解：∵a1=3，a2=6，且a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=a2﹣a1=6﹣3=3．故选：A．4．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣【考点】函数的值．【分析】首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．【解答】解：∵，∴==﹣2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故选B．5．函数y=的定义域为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≥1或x=0}C．{x|x≥0} D．{x|x=0}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=，∴|x|（x﹣1）≥0，解得|x|≥0或x﹣1≥0，即x≥1或x=0；所以函数y的定义域为{x|x≥1或x=0}．故选：B．6．“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由不等式的基本性持得a＞b且c＞d时必有a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b 【解答】解：∵a＞b且c＞d∴a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，故选A．7．下列变量中，具有相关关系的是（）A．正方体的体积与边长B．匀速行驶的车辆所行驶距离与行驶的时间C．人的身高与视力D．人的身高与体重【考点】变量间的相关关系．【分析】由正方体的体积与边长的公式和匀速直线运动的路程公式知它们都是确定的函数关系，故A、B 不对，根据经验知人的身高会影响体重但不是唯一因素，故是相关关系；人的身高与视力无任何关系．【解答】解：A、由正方体的体积V边长a公式知，V=a3，它们之间的关系是函数关系，故A不对；B、匀速行驶车辆的行驶路程s与时间t为s=vt，其中v为匀速速度，它们之间的关系是函数关系，故B不对；C、人的身高与视力无任何关系，故C不对；D、人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故D对．故选D．8．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞3或a＜﹣1 B．a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3【考点】特称命题．【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．【解答】解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．9．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【考点】反证法与放缩法．【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选：B．10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形【考点】诱导公式的作用．【分析】首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A1B1C1是锐角三角形；然后假设△A2B2C2是锐角三角形，则由cosα=sin（）推导出矛盾；再假设△A2B2C2是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论．【解答】解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故选D．11．在平面直角坐标系xoy中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n∈N*，连接原点O与点P n（n，n﹣4），用g（n）表示线段OP n上除端点外的整点个数，则gA．1 B．2 C．3 D．4【考点】数列的函数特性；进行简单的合情推理．【分析】当n=2012时，线段OP2012为：，即（0＜x＜2012）．只有当x=503，1006，1509时，分别表示整点．【解答】解：线段OP n：（0＜x＜n）．当n=2012时，线段OP2012为：，即（0＜x＜2012）．只有当x=503，1006，1509时，y=502，1004，1506，分别表示整点，，．故g已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f'（x）=1﹣cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0）则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z==﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将代数式化简即可．【解答】解：z===﹣1，故答案为：﹣1．14．函数f（x）=的值域是．【考点】函数的值域．【分析】由，令=t≥0，可得x=t2+1，可得f（x）==g（t），通过对t分类讨论，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由，解得x≥1，令=t≥0，可得x=t2+1，∴f（x）==g（t），当t=0时，g（0）=0；当t＞0时，0＜g（t）==．∴函数f（x）的值域是故答案为：．15．已知x、y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且=0.95x+，则= 2.6．【分析】我们根据已知表中数据计算出（，），再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的值．【解答】解：==2，==4.5，∵点（，）在回归直线方程=0.95x+上，∴4.5=0.95×2+，解得：=2.6．故答案为：2.6．16．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是（5，7）．【考点】数列的应用．【分析】把握数对的规律如下：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．【解答】解：规律是：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．设两个数之和为2的数对为第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2；…，两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为n．又∵1+2+…+10=55，1+2+…+11=66∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）；故答案为（5，7）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．定义运算|=ad﹣bc，如果（x+y）+（x+3）i=，x，y∈R，求z=y﹣xi．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由题意得：（x+y）+（x+3）i=（3x+2y）+yi，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由题意得：（x+y）+（x+3）i=（3x+2y）+yi∴x+y=3x+2y，x+3=y，解得x=﹣1，y=2，∴z=y﹣xi=2+i．18．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高二年级有男生1000人，女生800人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：（2）由表一表二中统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考公式：x2=（其中n=a+b+c+d）临界值表：【分析】（1）根据条件知道从男生和女生各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；（2）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽取m人，则，∴m=25，…∴从高一年级女生中抽取20人，∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2 …∵x2==1.125＜2.706，…∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．…（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．设p，q是奇数，求证：方程x2+2px+2q=0没有有理根．【考点】反证法与放缩法．【分析】设存在有理根，则x=中至少有一个为有理数，可得存在有理数a使：4p2﹣8q=a2．设a=2b，再分类讨论，得出矛盾，即可证明结论．【解答】证明：设存在有理根则x=中至少有一个为有理数．∴为有理数即存在有理数a使：4p2﹣8q=a2．p，q是奇数，a整数可设a=2b，∴p2﹣2q=b2，∴p2﹣b2=2q∴（p﹣b）（p+b）=2q若b奇数，则p﹣b，p+b偶数，则2q=（p﹣b）（p+b）为4的倍数，q为偶数，矛盾若b偶数，则p﹣b，p+b奇数，则2q=（p﹣b）（p+b）为奇数，矛盾，∴假设不成立，∴p，q是奇数，方程x2+2px+2q=0没有有理根．21．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（Ⅲ）解关于x的不等式：16f（）≥f（x﹣3）【考点】抽象函数及其应用；指、对数不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用赋值法，代入计算求f（1）和f（8）的值；（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（Ⅲ）利用单调性，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：∵f（xy）=f（x）f（y），∴f（1×2）=f（1）f（2），∵f（2）=4，∴f（1）=1，f（4）=f（2）f（2）=16，f（8）=f（2）f（4）=64；（Ⅱ）证明：设x1＞x2＞0，则＞1，∵当x＞1时有f（x）＞1成立，∴f（）＞1，∴f（x1）=f（x2•）=f（x2）f（）＞f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（Ⅲ）解：16f（）≥f（x﹣3）可化为f（4×）≥f（x﹣3），∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，∴4×≥x﹣3＞0，∴﹣1≤x≤，∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知圆O的弦CD与直径AB垂直并交于点F，点E在CD上，且AE=CE．（1）求证：CA2=CE•CD；（2）已知CD=5，AE=3，求sin∠EAF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，根据垂径定理，易证得∠C=∠D，又由AE=CE，根据等边对等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可证得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（2）求出DE，可得EF，在Rt△AFE中，求sin∠EAF．【解答】（1）证明：在△CEA和△CAD中，∵弦CD⊥直径AB，∴，∴∠D=∠C，又∵AE=EC，∴∠CAE=∠C，∴∠CAE=∠D，∵∠C是公共角，∴△CEA∽△CAD，∴，即CA2=CE•CD；（2）解：∵CD=5，AE=CE=3，∴DE=2，∴EF=DF﹣DE=0.5，在Rt△AFE中，sin∠EAF==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：（t为参数）．（1）指出C1，C2各是什么曲线；（2）求曲线C1与C2公共点M的坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数，得到曲线对应的普通方程，然后进行判断即可．【解答】解：（1）C1是圆，C2是直线，C1的普通方程是x2+y2=1，C2的普通方程是，（2）因为圆心C1到直线的距离是1，所以C1与C2只有一个公共点．联立，解得，即M的坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n+1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的范围是[，+∞）．。
2018-2019学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高二第二学期期中(文科)数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中（文科）数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．√2C．√3D．22．对于分类变量A与B的统计量K2，下列说法正确的是（）A．K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小B．K2越大，说明“A与B无关”的程度越大C．K2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小D．K2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小3．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为y=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点(x，y)C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg4．若z＝1+2i，则4iz⋅z−1=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i5．下面有段演绎推理：“直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，则该推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．该推理是正确的6．设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，f n+1（x）＝f'n（x），n∈N*，则f2019（x）＝（）A．sin x B．﹣sin x C．cos x D．﹣cos x7．若P=√a+3+√a+5，Q=√a+1+√a+7(a≥0)，则P，Q的大小关系是（）A．P＝Q B．P＞QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定8．用反证法证明命题“已知a 、b 、c 为非零实数，且a +b +c ＞0，ab +bc +ca ＞0，求证a 、b 、c 中至少有二个为正数”时，要做的假设是（ ）A ．a 、b 、c 中至少有二个为负数B ．a 、b 、c 中至多有一个为负数C ．a 、b 、c 中至多有二个为正数D ．a 、b 、c 中至多有二个为负数9．已知z ＝（m +3）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3） 10．下面使用类比推理恰当的是（ ）A ．“若a •3＝b •3，则a ＝b ”类推出“若a •0＝b •0，则a ＝b ”B ．“若（a +b ）c ＝ac +bc ”类推出“（a •b ）c ＝ac •bc ”C ．“（a +b ）c ＝ac +bc ”类推出“a+b c =a c +b c （c ≠0）”D ．“（ab ）n ＝a n b n ”类推出“（a +b ）n ＝a n +b n ”11．下面程序框图中，循环体执行的次数是（ ）A ．50B ．49C ．100D ．9912．如图，已知△ABC 周长为2，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2019个三角形周长为（ ）A ．12008B ．12017C ．122018 D ．122017二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13．已知复数z ＝m 2（1+i ）﹣m （3+6i ）为纯虚数，则实数m ＝ ．14．已知等比数列{a n }中，有√a 11a 12⋯a 2010=√a 1a 2⋯a 3030成立．类似地，在等差数列{b n }中，有 成立．15．设z ＝log 2（m 2﹣3m ﹣3）+i log 2（m ﹣3） （m ∈R ），若z 对应点在直线x ﹣2y +1＝0上，则m 的值是 ．16．某校举行数学、物理、化学、生物四科竞赛，甲、乙、丙、丁分别参加其中的一科竞赛，且没有两人参加同一科竞赛①甲没有参加数学、生物竞赛②乙没有参加化学、生物竞赛③若甲参加化学竞赛，则丙不参加生物竞赛④丁没有参加数学、化学竞赛⑤丙没有参加数学、化学竞赛若以上命题都是真命题，那么丁参加的竞赛科目是三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知复数z 1满足（1+i ）z 1＝﹣1+5i ，z 2＝a ﹣2﹣i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1−z 2|＜|z 1|，求a 的取值范围．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足2√3absinC =a 2+b 2−c 2． （1）求C ；（2）若a sin B ＝b cos A ，且a ＝2，求△ABC 的面积．19．设a 、b ∈R +且a +b ＝3，求证√1+a +√1+b ≤√10．20．2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀 人数 5 10 15 47x女生测试情况抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀 人数 2 3 10 y2 （1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性 女性总计 体育达人非体育达人总计临界值表：P （K 2≥k 0） 0.10 0.05 0.025 0.0100.005 k 0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ）21．已知数列{a n }的各项均是正数，其前n 项和为S n ，满足S n ＝4﹣a n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =12−log 2a n （n ∈N *），数列{b n •b n +2}的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34．请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是{x =ty =√3t （t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4ρ2cos2θ﹣4ρsin θ+3＝0． （1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|ax ﹣1|+|ax ﹣2a |≥3（a ＞0）．（1）当a ＝1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设（1+i ）x ＝1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x +yi |＝（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【分析】根据复数相等求出x ，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．解：∵（1+i ）x ＝1+yi ，∴x +xi ＝1+yi ，即{x =1y =x ，解得{x =1y =1，即|x +yi |＝|1+i |=√2， 故选：B ．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x ，y 的值是解决本题的关键． 2．对于分类变量A 与B 的统计量K 2，下列说法正确的是（ ）A ．K 2越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越小B ．K 2越大，说明“A 与B 无关”的程度越大C ．K 2越小，说明“A 与B 有关系”的可信度越小D ．K 2接近于0，说明“A 与B 无关”的程度越小【分析】根据独立性检验的原理，判断即可．解：对于分类变量A 与B 的统计量K 2，K 2越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大， K 2越小，说明“A 与B 有关系”的可信度越小．所以C 正确，A 、B 、D 错误．故选：C ．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．3．设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，…，n ），用最小二乘法近似得到回归直线方程为y =0.85x −85.71，则下列结论中不正确的是（ ）A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本的中心点(x ，y)C ．若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点(x，y)，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D错误．故选：D．【点评】本题考查了回归分析与线性回归方程的应用问题，是基础题目．4．若z＝1+2i，则4iz⋅z−1=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i 【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．解：z＝1+2i，则4izz−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．5．下面有段演绎推理：“直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，则该推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．该推理是正确的【分析】演绎推理的错误有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误，要判断推理过程的错误原因，可以对推理过程的大前提和小前提及推理的整个过程，细心分析，不难得到正确的答案．解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误，结论错误．故选：A．【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误．6．设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，f n+1（x）＝f'n（x），n∈N*，则f2019（x）＝（）A．sin x B．﹣sin x C．cos x D．﹣cos x【分析】根据题意，依次求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值，分析可得f n+4（x）＝f n（x），据此可得f2019（x）＝f3（x），即可得答案．解：根据题意，f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x）＝cos x，f2（x）＝f'1（x）＝﹣sin x，f3（x）＝f'2（x）＝﹣cos x，f4（x）＝f'3（x）＝sin x，则有f1（x）＝f4（x），f2（x）＝f5（x），……则有f n+4（x）＝f n（x），则f2019（x）＝f3（x）＝﹣cos x；故选：D．【点评】本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式．7．若P=√a+3+√a+5，Q=√a+1+√a+7(a≥0)，则P，Q的大小关系是（）A．P＝Q B．P＞QC．P＜Q D．由a的取值确定【分析】根据条件可得出P2=2a+8+2√a2+8a+15，Q2=2a+8+2√a2+8a+7，然后根据a≥0即可得出P2＞Q2，并且P＞0，Q＞0，从而可得出P，Q的大小关系．解：∵a≥0，P2=2a+8+2√a2+8a+15，Q2=2a+8+2√a2+8a+7，∴a2+8a+15＞a2+8a+7，∴2√a2+8a+15＞2√a2+8a+7，∴P2＞Q2，且P＞0，Q＞0，∴P＞Q．故选：B．【点评】本题考查了要比较P，Q的大小，而转化成比较P2，Q2的大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．8．用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数，且a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，求证a、b、c中至少有二个为正数”时，要做的假设是（）A ．a 、b 、c 中至少有二个为负数B ．a 、b 、c 中至多有一个为负数C ．a 、b 、c 中至多有二个为正数D ．a 、b 、c 中至多有二个为负数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a 、b 、c 中至少有二个为负数”，由此得出结论．解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“a 、b 、c 中至少有二个为正数”的否定为：“a 、b 、c 中至少有二个为负数”． 故选：A ．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键．9．已知z ＝（m +3）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．解：z ＝（m +3）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，可得：{m +3＞0m −1＜0，解得﹣3＜m ＜1． 故选：A ．【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力．10．下面使用类比推理恰当的是（ ）A ．“若a •3＝b •3，则a ＝b ”类推出“若a •0＝b •0，则a ＝b ”B ．“若（a +b ）c ＝ac +bc ”类推出“（a •b ）c ＝ac •bc ”C ．“（a +b ）c ＝ac +bc ”类推出“a+b c =a c +b c （c ≠0）”D ．“（ab ）n ＝a n b n ”类推出“（a +b ）n ＝a n +b n ”【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．解：对于A ：“若a •3＝b •3，则a ＝b ”类推出“若a •0＝b •0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B ：“若（a +b ）c ＝ac +bc ”类推出“（a •b ）c ＝ac •bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C ：将乘法类推除法，即由“（a +b ）c ＝ac +bc ”类推出“a+b c =a c +b c ”是正确的， 对于D ：“（ab ）n ＝a n b n ”类推出“（a +b ）n ＝a n +b n ”是错误的，如（1+1）2＝12+12 故选：C ．【点评】归纳推理与类比推理不一定正确，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．11．下面程序框图中，循环体执行的次数是（ ）A ．50B ．49C ．100D ．99【分析】由图知，此程序是一个循环结构，是直到型，循环终止的条件的初值为2，退出循环时其值变为100，又步长为2，由此可以判断次程序运行次数为49次． 解：从程序框图反映的算法是S ＝2+4+6+8+…，i 的初始值为2，由i ＝i +2知，当程序执行了49次时，i ＝100，满足i ≥100，退出程序；故程序执行了49次，故选：B ．【点评】考查由框图分析出算法结构的能力，本题考查是循环的次数．12．如图，已知△ABC 周长为2，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2019个三角形周长为（ ）A ．12008B ．12017C ．122018D ．122017【分析】可从图看出从第二个其每一个三角形周长是上一个的一半，则三角形周长是以2为首项，12为公比的等比数列，可求．解：第一个△ABC 周长为2，可以看出从第二个其每一个三角形的边长是上一个的一半，则周长也是上一个的一半，可知三角形周长是以2为首项，12为公比的等比数列，则2019个三角形周长为2×(12)2018=122017，故选：D ．【点评】本题考查归纳推理，注意观察规律，属于基础题． 一、选择题13．已知复数z ＝m 2（1+i ）﹣m （3+6i ）为纯虚数，则实数m ＝ 3 ． 【分析】利用纯虚数的定义即可得出．解：复数z ＝m 2（1+i ）﹣m （3+6i ）＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣6m ）i 为纯虚数，∴{m 2−3m =0m 2−6m ≠0，解得m ＝3． 故答案为：3．【点评】本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．14．已知等比数列{a n }中，有√a 11a 12⋯a 2010=√a 1a 2⋯a 3030成立．类似地，在等差数列{b n }中，有b 11+b 12+⋯+b 2010=b 1+b 2+⋯+b 3030成立．【分析】在等差数列中，考查的主要是若m +n ＝p +q ，则a m +a n ＝a p +a q ，那么对应的在等比数列中考查的应该是若m +n ＝p +q ，则b m b n ＝b p b q ．解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法， 等差数列中除法对应等比数列中的开方， 故此我们可以类比得到结论：b 11+b 12+⋯+b 2010=b 1+b 2+⋯+b 3030．故答案为：b 11+b 12+⋯+b 2010=b 1+b 2+⋯+b 3030．【点评】本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．15．设z ＝log 2（m 2﹣3m ﹣3）+i log 2（m ﹣3） （m ∈R ），若z 对应点在直线x ﹣2y +1＝0上，则m 的值是 √15 ．【分析】复数z 对应的点在直线x ﹣2y +1＝0上，就是点的坐标适合方程，解方程求出满足定义域的解即可．解：设z ＝log 2（m 2﹣3m ﹣3）+i log 2（m ﹣3）（m ∈R ），若z 对应点在直线x ﹣2y +1＝0上，则log 2（m 2﹣3m ﹣3）﹣2log 2（m ﹣3）+1＝0 故2（m 2﹣3m ﹣3）＝（m ﹣3）2 ∴m =√15或m =−√15（不适合）． 故答案为：√15【点评】本题考查复数的基本概念，对数的运算性质，是基础题．16．某校举行数学、物理、化学、生物四科竞赛，甲、乙、丙、丁分别参加其中的一科竞赛，且没有两人参加同一科竞赛 ①甲没有参加数学、生物竞赛 ②乙没有参加化学、生物竞赛③若甲参加化学竞赛，则丙不参加生物竞赛 ④丁没有参加数学、化学竞赛 ⑤丙没有参加数学、化学竞赛若以上命题都是真命题，那么丁参加的竞赛科目是 生物【分析】假设丁参加物理竞赛，则甲参加化学竞赛，乙参加数学竞赛，丙参加生物竞赛，不合题意；假设丁参加生物竞赛，则甲参加化学竞赛，乙参加数学竞赛，丙参加物理竞赛，符合题意．解：丁没有参加数学、化学竞赛，假设丁参加物理竞赛，则甲参加化学竞赛，乙参加数学竞赛，丙参加生物竞赛， 这与“若甲参加化学竞赛，则丙不参加生物竞赛”矛盾，不合题意；假设丁参加生物竞赛，则甲参加化学竞赛，乙参加数学竞赛，丙参加物理竞赛，符合题意．故答案为：生物．【点评】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知复数z1满足（1+i）z1＝﹣1+5i，z2＝a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1−z2|＜|z1|，求a的取值范围．【分析】由（1+i）z1＝﹣1+5i，利用复数的运算法则可得z1，根据|z1−z2|＜|z1|，利用复数的模的计算公式即可得出．解：（1+i）z1＝﹣1+5i，∴z1=(−1+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+3i．z2＝a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，z1=2﹣3i，z2=a﹣2+i．z1−z2=4﹣a+2i．∵|z1−z2|＜|z1|，∴√(4−a)2+22＜√22+(−3)2化为：a2﹣8a+7＜0，解得1＜a＜7．∴a的取值范围是（1，7）．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足2√3absinC=a2+b2−c2．（1）求C；（2）若a sin B＝b cos A，且a＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）根据题意利用余弦定理化简，即可求出角C的值；（2）利用正弦定理求出角A和c，再求△ABC的面积．解：（1）△ABC中，2√3absinC=a2+b2−c2；所以√3sin C=a2+b 2−c22ab，即√3sin C＝cos C；所以tan C=√33；又C∈（0，π），所以C=π6；（2）若a sin B＝b cos A，则sin A sin B＝sin B cos A；由B∈（0，π），所以sin B≠0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝1；又A∈（0，π），所以A=π4；又a＝2，所以csinπ6=2sinπ4，解得c=2×12√22=√2；又B＝π﹣（A+C），所以sin B＝sin（A+C）＝sin π4cosπ6+cosπ4sinπ6=√22×√32+√22×12=√6+√24；所以△ABC的面积为S=12ac sin B=12×2×√2×√6+√24=√3+12．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19．设a、b∈R+且a+b＝3，求证√1+a+√1+b≤√10．【分析】证法一综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；证法二运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件．分析法执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件，从而使问题得证．【解答】证明：证法一：（综合法）∵(√1+a+√1+b)2=2+a+b+2√(1+a)⋅(1+b)≤5+(1+a+1+b)=10∴√1+a+√1+b≤√10证法二：（分析法）∵a、b∈R+且a+b＝3，∴欲证√1+a+√1+b≤√10只需证(√1+a+√1+b)2≤10即证2+a+b+2√(1+a)⋅(1+b)≤10即证2√(1+a)⋅(1+b)≤5只需证4（1+a）•（1+b）≤25只需证4（1+a）•（1+b）≤25即证4（1+a+b+ab）≤25只需证4ab≤9即证ab≤9 4∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立∴√1+a+√1+b≤√10成立【点评】运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件（隐含条件、过渡条件等），由欲知确定需知，求需知利用已知，适时采用由结论到条件的分析方法逆向训练，有利于养成双向考虑问题的良好习惯．20．2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x 女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ） 【分析】（1）按分层抽样计算男生、女生应抽的人数，用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值；（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名； ∴x ＝80﹣（5+10+15+47）＝3， y ＝20﹣（2+3+10+2）＝3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A ，B ，C ； 两位女生设为a ，b ；从5名任意选2名，总的基本事件有 AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10个； 设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A ”；则事件包含的基本事件有Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb 共6个； ∴P （A ）=610=35； （2）填写2×2列联表如下：男生 女生 总计 体育达人 50 5 55 非体育达人 30 15 45 总计8020100则K 2=100×(50×15−30×5)280×20×55×45≈9.091；∵9.091＞6.635且P （K 2≥6.635）＝0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”． 【点评】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是中档题．21．已知数列{a n }的各项均是正数，其前n 项和为S n ，满足S n ＝4﹣a n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =12−log 2a n（n ∈N *），数列{b n •b n +2}的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34．【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （2）利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明．解：（1）由S n ＝4﹣a n ，得S 1＝4﹣a 1，解得a 1＝2而a n +1＝S n +1﹣S n ＝（4﹣a n +1）﹣（4﹣a n ）＝a n ﹣a n +1，即2a n +1＝a n ， ∴a n+1a n=12可见数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列．∴a n =2⋅(12)n−1=(12)n−2；（2）证明：∵b n =12−log 2a n =12−(2−n)=1n ，∴b n b n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)故数列{b n b n +2}的前n 项和T n =12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+(14−16)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n −1n+2)] =12(1+12−1n+1−1n+2)=12(32−1n+1−1n+2) =34−12(1n+1+1n+2)＜34【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是{x =t y =√3t （t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4ρ2cos2θ﹣4ρsin θ+3＝0． （1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立方程组，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 解：（1）直线l 的参数方程是{x =ty =√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =√3x ，转换为极坐标方程为θ=π3．（2）直线l 的参数方程是{x =ty =√3t（t 为参数），转换为标准参数方程为{x =12ty =√32t （t为参数）．曲线C 的极坐标方程为4ρ2cos2θ﹣4ρsin θ+3＝0转换为直角坐标方程为4x 2﹣4y 2﹣4y +3＝0与y=√3x，构建成方程组得到：{4x2−4y2−4y+3=0y=√3x，整理得8x2+4√3x−3=0，所以x1+x2=−√32，x1x2=−38．则：|AB|=√1+(√3)2|x1−x2|=2√(−32)2+4×(38)=3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣2a|≥3（a＞0）．（1）当a＝1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入该绝对值不等式，利用“零点分段法”求解绝对值不等式即可；（2）根据此不等式的解集为R，求解|ax﹣1|+|ax﹣2a|的最小值，使其大于等于3，求解即可．解：（1）当a＝1时，|x﹣1|+|x﹣2|≥3，|x﹣1|+|x﹣2|={3−2x，x≤11，1＜x＜2 2x−3，x≥2，当x≤1时，3﹣2x≥3，解得x≤0，∴x≤0时成立；当1＜x＜2时，1≥3不成立；当x≥2时，2x﹣3≥3，解得x≥3．∴x≥3时成立．综上所述，当a＝1时，此不等式的解集为（﹣∞，0]∪[3，+∞）．（2）|ax﹣1|+|ax﹣2a|≥3（a＞0），|ax﹣1|+|ax﹣2a|＝a|x−1a|+a|x﹣2|＝a（|x−1a|+|x﹣2|），当1a ≥2，即0＜a≤12时，|ax﹣1|+|ax﹣2a|={1+2a−2ax，x≤21−2a，2＜x＜1a2ax−2a−1，x≥1a，∵此不等式的解集为R，不等式|ax﹣1|+|ax﹣2a|的最小值1﹣2a≥3，∴a≤﹣1，与题意不符，不成立．当1a ＜2，即a＞12时，|ax﹣1|+|ax﹣2a|={1+2a−2ax，x≤1a2a−1，1a＜x＜22ax−2a−1，x≥2，∵此不等式的解集为R，不等式|ax﹣1|+|ax﹣2a|的最小值2a﹣1≥3，∴a≥2，结合题意，a≥2．∴综上所述，实数a的取值范围为：[2，+∞）．【点评】本题考查利用“零点分段法”求解绝对值不等式，注意解题中的分类讨论，属于基础题．。
辽宁省葫芦岛协作校2018-2019学年高二数学下学期第二次考试试题理(含解析)
X
2
4
6
P
a
b
c
1
A.
4
【答案】 C
B. 4 5
C. 4 7
D. 2 21
【解析】
【分析】
根据 a ,b, c 成等差数列， c 1 ab 以及随机事件概率和为 1，解方程组即可求 a。 2
【详解】由
2b a c
4 a
7
1
1
c ab ，得 b ，故选 C.
2
3
abc1
2 c
21
【点睛】本题考查随机变量分布列，利用题干中已知的等量关系以及概率和为
故答案选 B 【点睛】本题考查复数乘法公式以及模的计算，不等式的解，属于基础题。
7. 观察下列不等式： 3 1 2 2, 2 2 2 3, 5 3 4, 6 2 2 5, . 据此你可以
归纳猜想出的一般结论为 ( )
A. n 3 n 1 2 n n N
C. n 3 n 1 2 n n…2且n N*
17. 某高中尝试进行课堂改革 . 现高一有 A, B 两个成绩相当的班级， 其中 A 班级参与改革， B 班 级没有参与改革 . 经过一段时间， 对学生学习效果进行检测， 规定成绩提高超过 10分的为进步
.
14. 已知随机变量 X 服从正态分布 N 4, 2 ， P X 6 0.78，则 P X 2 __________ ．
【答案】 0.22. 【解析】 【分析】 正态曲线关于 x＝μ 对称，根据对称性以及概率和为 1 求解即可。
【详解】 P X 2 1 P X 6 0.22
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．
）
A. 1
【答案】 D
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学(理)试题附答案解析
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【详解】集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x（x﹣3）＜0}＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．故选：D．【点睛】本题考查集合的运算，是基础题．2.命题“”的否定为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论，不变条件这一条件,按照这一规律写出即可.【详解】由全称命题否定的定义可知，“”的否定为“”，故选B．【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定．3.已知等差数列的前项和为，若，则=（）A. 13B. 35C. 49D. 63【解析】【分析】由等差数列性质得：S7=（a1+a7）=（a2+a6），由此能求出结果．【详解】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a6=14，∴S7=（a1+a7）=（a2+a6）==49．故选：C．【点睛】(1)本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 等差数列中，如果,则,注意这个性质的灵活运用.4.已知为锐角，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由正切的诱导公式得，故，由公式得，，因为为锐角，所以，故选B考点：诱导公式正弦余弦正切之间的关系5.已知向量满足，，，则（）A. 2B.C. 4D.【答案】A【解析】【分析】先根据向量的模的平方以及向量数量积求得、，再根据向量的模的平方求结果.【详解】因为，所以，因此由得，从而，选A.【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.6.函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A. 16B. 24C. 50D. 25【解析】【分析】由题A（4，1），点A在直线上得4m+n＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x﹣3＝1，解得x＝4，y＝1，则函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（4，1），∴4m+n＝1，∴（）（4m+n）＝16+1≥17+217+8＝25，当且仅当m＝n时取等号，故则的最小值为25，故选：D．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．7.已知,是直线，是平面，给出下列命题：①若，，，则或．②若，，，则．③ 若,,,,则．④若，且，，则．其中正确的命题是（）A. ①,②B. ②,③C. ②,④D. ③,④【答案】C【解析】试题分析：①由，，，直线可能在平面内，所以不正确；②若，，，由面面平行的性质定理可知；③中两条直线不一定相交，根据面面平行的性质定理知不正确；根据线面平行的性质定理可知④正确.考点：本小题主要考查空间中直线、平面间的位置关系.点评：此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．8.已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数g（x）＝Acos（φx+ω）图象的一个对称中心．【详解】根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝2，2（6+2），∴ω．再根据函数的图象经过点（6，0），结合图象可得•6+φ＝0，∴φ，∴f（x）＝2sin（x）．则函数g（x）＝Acos（φx+ω）＝2cos（x）＝2cos（x）x解x=,结合选项k=-1满足题意，∴图象的一个对称中心可能（，0），故选：D．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）图象的应用，求解析式，属于基础题．9.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，知直线AB的方程为=，代入抛物线方程=可得，则则由抛物线的定义可得或所以.10.已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可.【详解】因为不妨设双曲线右支上存在一点P，使，可得，所以有，所以，所以的面积为，即，所以，，则该双曲线的离心率为，故选B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的几何性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的定义，勾股定理，三角形的面积，双曲线中的关系，双曲线的离心率的求解，属于简单题目.11.已知，若有四个不同的实根，且，则的取值范围( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：因为题设有个变量，故利用分段函数的图像可得，，所以就可化成关于的函数，最后根据有四个不同的实数根得到的取值范围即得的取值范围．详解：由题设，有在上有两个不同的解，在上有两个不同的解．当时，，故，因，故，所以即且．当时，，且．所以，故选A ．点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断的取值范围．12.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设椭圆方程为联立方程：，整理得：,设，，则，即，化简得：，又，易得：，∴此椭圆的方程是故选：C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.设变量满足约束条件则的最大值为__________ .【答案】2【解析】试题分析：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数，当直线经过时，取到最大值，考点：简单的线性规划14.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_____________.【答案】【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心到直线的距离为：,切线长的最小值为：故本题正确答案为.15.三棱锥,,,,（单位：）则三棱锥外接球的体积等于_____________.【答案】【解析】【分析】补充图形为长方体，三棱锥P﹣ABC的外接球，与棱长为1，1，的长方体外接球是同一个外接球，用长方体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积．【详解】三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝1，BC，画出几何图形如图所示；补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；∵对角线长为2，∴三棱锥D﹣ABC的外接球的半径为1，∴该三棱锥外接球的体积为π×13cm3．故答案为．【点睛】本题考查球的组合体问题，构建长方体是问题的关键．16.已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围________.【答案】【解析】【分析】根据题意，数列满足，从而用累加法求得，进一步求得，从而可得，之后将不等式转化为，构造新函数，结合二次函数的性质列出不等式组求得结果.【详解】由，可得，即，又，所以，所以，即，，要使不等式对于任意的，恒成立，则对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，令，则，解得或，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关数列与不等式的综合题，涉及到的知识点有利用累加法求通项，不等式恒成立向最值靠拢，一元二次不等式在某个区间上恒成立，用一元二次方程的根的分布来解决，注意构造新函数，属于较难题目.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在中，角的对边分别是，，.（1）求角的大小；（2）若为边上一点，且，的面积为，求的长.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得：，解得sin B，结合b＜c，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值．（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值．【详解】（1）∵C＝60°，可得：sin C，由c b，可得：，又∵由正弦定理，可得：，解得：sin B，∵由已知可得b＜c，可得B为锐角，∴可得：B＝45°，A＝180°﹣B﹣C＝75°．（2）∵△BCD的面积为，即：a•CD•sin C，解得：CD＝1，∴由余弦定理可得：BD．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，考查了数形结合思想的应用和计算能力，属于中档题．18.已知数列的前项和满足且.(1)求数列的通项公式；(2)求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）仿写等式，两式相减得到递推关系，再利用等差数列的定义和通项公式进行求解；（2）利用错位相减法进行求解.试题解析：（1）当时，，解得或0（舍去）当时，，，两式相减得：，即，，又因为，所以。