2018 年各地中考数学试题《三角形》专题汇编解析题卷
GE 平分∠FGD.若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB 的度数. 【答案】20° 【考点】直角三角形性质、平行线的性质以及三角形外角的定理. 【解析】【分析】由∠EFG=90° ，∠E=35° ，可得∠EGF=55° ，再由 GE 是∠FGD 的平分线推出 ∠EGD=∠EGF=55°，然后由AB∥CD 可得∠EHB=∠EGD=55°，再由三角形外角的性质得出结论. 【详解】：在△ EFG 中，
∵∠∠AAH＝B＝∠∠D DGC AB＝CD
∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG
A
EBபைடு நூலகம்
G H
CF
D
∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD
7.2018 年 四 川 乐山19．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
【分析】根据ASA 证明△ ADB≌△ACB，可得结 论．
【点评】本题考查了平行线的性质，利用平行线性质以及角平分线性质求角度.
6.2018 陕 西 18.如图，AB∥CD，E、F 分别为AB、CD 上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF 相交与点G、
H，若 AB＝CD，求证：AG＝DH． 证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D ∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC 在∆ABH 和∆DCG 中，
【解答】证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，
∴∠ABD=∠ABC
在△ ADB 和△ ACB 中
，，
∴△ADB≌△ACB（ ASA） ， ∴BD=CD． 【点评】本题考查了三角形外角的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键． 8.2018 年 山东省菏泽17．（ 6 分） 如图，AB∥CD， AB=CD，CE=BF．请 写出DF 与AE 的数量关系， 并证明你的结论． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质．所有 【分析】结论：DF=AE．只要证明△ CDF≌△BAE 即可；
即 可得到∠C=∠E．
【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE， 在△ ABC 和 △ ADE 中，
AB AD
BAC ADE AC AE
∴△ABC≌△ADE（SAS） ， ∴∠C=∠E． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判 断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”； 全等三角形的对应角相等，对应边相等． 3.2018•泸 州18．（6 分）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质． 【专题】552：三角形．
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2018 年各地中考数学试题《三角形》专题汇编解析题卷
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS 定理判断即可． 【解答】证明：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ ABC 和△ ADC 中，
∵∠EFG=90°，∠E=35° ∴∠EGF=55°. ∵GE 平分∠FGD， ∴∠EGD=∠EGF=55° ∵AB∥CD ∴∠EHB=∠EGD=55°. ∴∠EFB=∠EHB－∠E=20°. 【点评】本题考查了平 行线的性质、三 角形内角和定理 ，利用平行线性 质、角平分线性 质以及三角形外角 定理求角度. 5.2018 重 庆A 卷19. 如图，直线AB//CD，BC 平分∠ABD，∠1=54°，求∠2 的度数. 【答案】72° 【解析】∵ AB//CD，∠1=54°
【解答】解：结论：DF=AE． 理由：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B， ∵CE=BF， ∴CF=BE，∵CD=AB， ∴△CDF≌△BAE， ∴DF=AE． 【点评】本题考查全等 三角形的判定和 性质，解题的关 键是正确寻找全 等三角形全等的 条件，属于中考常 考题型．
9.2018 年 云 南16． （6.00 分） 如图，已知AC 平分∠BAD，AB=AD．求证：△ ABC≌△ADC．
B D
ACB ACD ， AC AC
∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴CB=CD． 【点评】考查了全等三 角形的判定与性 质．在应用全等 三角形的判定时 ，要注意三角形 间的公共边和公 共
． 角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 2. 2018•南 充18． （6 分）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC 求证：∠C=∠E． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质． 【专题】14 ：证明题；553：图形的全等． 【分析】由∠BAE=∠DAC 可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△ BAC≌△DAE，根据全等的性质
∴ ∠ABC=∠1=54° ∵ BC 平分∠ABD ∴ ∠DBC=∠ABC=54° ∴ ∠ABD=∠ABC+∠DBC=54°+54°=108° ∵ ∠ABD+∠CDB=180° ∴ ∠CDB=180°-∠ABD=72° ∵ ∠2=∠CDB ∴ ∠2=72°
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2018 年各地中考数学试题《三角形》专题汇编解析题卷
2018 年各地中考数学试题《三角形》专题汇编解析题卷
2018 年各地中考数学试题《三角形》专题汇编
1.2018 年 四 川 宜宾18．（ 6 分）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】由全等三角形的判定定理AAS 证得△ ABC≌△ADC，则其对应边相等． 【解答】证明：如图，∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD． 在△ ABC 与△ ADC 中，
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2018 年各地中考数学试题《三角形》专题汇编解析题卷
【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ ABC≌△DEF（SSS）即可； 【解答】证明：∵DA=BE， ∴DE=AB， 在△ ABC 和△ DEF 中，
∴△ABC≌△DEF（SSS） ， ∴∠C=∠F． 【点评】本题考查全等 三角形的判定和 性质、解题的关 键是熟练掌握全 等三角形的判定 方法，属于中考基 础题目．
2018年中考数学真题分类汇编(第一期)专题20三角形的边与角(命题的有关知识)试题(含解析)
三角形的边与角(命题的有关知识)一、选择题1．．（2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．2．（2018•山东淄博•4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN ∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A．4 B．6 C．D．8【考点】KO：含30度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．3. （2018•江苏扬州•3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB 于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．4. （2018•山东滨州•3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．5（2018·湖南省常德·3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．6．（2018·湖南省衡阳·3分）下列命题是假命题的是（）A．正五边形的内角和为540°B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．圆内接四边形的对角互补【解答】解：正五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，A是真命题；矩形的对角线相等，B是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；圆内接四边形的对角互补，D是真命题；故选：C．7（2018·山东泰安·3分）如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1的大小为（）A．14° B．16° C．90°﹣α D．α﹣44°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出∠1=44°﹣30°=14°．【解答】解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．8. （2018年江苏省宿迁）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）。
2018年湖南各地中考数学真题汇编：三角形(含答案)
2018年全国各地中考数学真题汇编（湖南专版）三角形一．填空题（共10小题）1．（2018•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=．2．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为．3．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．4．（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．5．（2018•张家界）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为．6．（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．7．（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）8．（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）9．（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=．10．（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=cm．二．解答题（共14小题）11．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．12．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）13．（2018•株洲）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα=，MN=2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．（1）求l2和l3之间的距离；（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）14．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．15．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？16．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）17．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）18．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）19．（2018•张家界）2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．20．（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．21．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）22．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．23．（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB 的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．24．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）2018年全国各地中考数学真题汇编（湖南专版）三角形参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2018•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=30°．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．2．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为75°．解：∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，∴∠FBC=∠EAB=（180°﹣90°）=45°，∵∠AFC是△AEF的外角，∴∠AFC=∠FAE+∠E=45°+30°=75°．故答案为：75°．3．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为x2+32=（10﹣x）2．解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．4．（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．5．（2018•张家界）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=（180°﹣∠BAD）=15°，故答案为：15°．6．（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．7．（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．8．（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12πcm．（结果用π表示）解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．9．（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=75°．解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，∴∠BDC=∠ADE=75°，故答案为75°．10．（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE=3cm，则BF=6cm．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，△ABC=AC•BF，∵S△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．二．解答题（共14小题）11．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．12．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．13．（2018•株洲）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα=，MN=2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．（1）求l2和l3之间的距离；（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，∵cosα=，MN=2千米，∴cosα===，解得：DM=2（km），答：l2和l3之间的距离为2km；（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，∴tan30°===，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），∵MN=2km，DM=2km，∴DN==4（km），则NC=DN+BM=5（km），∴AN===10（km），∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要=小时．14．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．∵AP=400海里，∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，故PC=200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里．15．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？解：（1）作CP⊥AB于P，由题意可得出：∠A=30°，AP=2000米，则CP=AC=1000米；（2）∵在Rt△PBC中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°，∴BC=PC=1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，∴他到达宾馆需要的时间为=10＜15，∴他在15分钟内能到达宾馆．16．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=，∴AC==≈≈19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．17．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.2，∴∠M=30°，∴ON=OM=0.6，∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE=0.65，EH=2.55，∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP=30°，∴tan30°==，∴GP=OP=≈0.404，∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．18．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．19．（2018•张家界）2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=AD=×1400=700，DE=AE=700，∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，∴DF=300，BF=700，在Rt△CDF中，CF=DF=×300=100，∴BC=700+100=800．答：选手飞行的水平距离BC为800m．20．（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．∵E是AB的中点，∴AE=BE．在△ADE与△BCE中，（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，由勾股定理知，DE===5，∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．21．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．22．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．23．（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB 的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．24．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，∴∠CAB=∠C=30°，∴BC=AB=10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，CE=km．。
【精品】全国各地2018年中考数学真题汇编 三角形(填空+选择50题)【含答案】
三角形(填空+选择50题)一、选择题1.(2018山东滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5 B . 6 C.7 D.8【答案】A2.(2018江苏宿迁)如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）。
A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【答案】B3.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里【答案】B4.若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）。
A. 12B.10 C.8 D. 6 【答案】B5.在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（）A. B.C.D.【答案】C6.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。
A.45°B.60°C.75°D.85°【答案】C7.在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）。
A.5B.4C.3D.2【答案】C8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A. B.C.D.【答案】A9.如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。
精品-2018年中考数学真题分类汇编第三期专题21全等三角形试题含解析
全等三角形一.填空题1. （2018·湖北荆州·3分）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是．【解答】解：由作法①知，OM=ON，由作法②知，CM=CN，∵OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），故答案为：SSS．二.解答题1.（2018·云南省昆明·6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．求证：BC=DE．【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC；【解答】证明：（1）∵∠1=∠2，∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ADE≌△ABC（ASA）∴BC=DE，【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等2.（2018·云南省·6分）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．【点评】本题考查的是全等三角形的判定、角平分线的定义，掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键．3.（2018·浙江省台州·12分）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，∴∠AMC=90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，∵点F是BD中点，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，∴FH=CD=，∴S△CEF=CE•FH=×1×=，由（2）知，AE⊥CF，∴S△CEF=CF•ME=×ME=ME，∴ME=，∴ME=，∴GM=EG﹣ME=﹣=，∴S△CFG=CF•GM=××=．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．4. （2018•呼和浩特•6分）如图，已知A.F、C.D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接AB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，'∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．5. （2018•乐山•9分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．6. （2018•广安•6分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，（2分）∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，（4分）在△ABM和△EFA中，∵，∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分）∴AB=EF．（6分）【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．7.（2018·辽宁大连·9分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E.F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．8.（2018·江苏镇江·6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=75 °．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC==75°，故答案为：75．。
全国2018年中考数学试卷精选汇编直角三角形与勾股定理(含解析)
直角三角形与勾股定理一、选择题1．（2018•山西•3分）“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 （）A.《九章算术》B. 《几何原本》C. 《 海 岛 算 经 》D. 《 周 髀 算 经 》【答案】 B【考点】 数学文化【解析 】《 几 何 原 本 》 的 作 者 是 欧 几 里 得2． （2018•山东滨州•3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为=5． 故选：A ．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．3. （2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=10，BD=24，则菱形ABCD 的周长为（ ）全国2018年中考数学试卷精选汇编A．52 B．48 C．40 D．20【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，∴OB=12，OA=5，在Rt△ABO中，AB==13，∴菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．4. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．C．3 D．【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=AB，EF=，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC==3，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5. （2018·四川自贡·4分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．6. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（）A．2 B．4 C．2 D．4【分析】作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．在Rt△ABH中，解直角三角形即可解决问题；【解答】解：作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．在Rt△AHB中，∠ABH=30°，∴BH=AB•cos30°=9，∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4，∴AF=CH=4，故选：B．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．7. （2018·台湾·分）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8 D．﹣7【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．8.（2018•湖北黄冈•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=A.2B.3C.4D.23（第5题图）【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。
2018年中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题4.2 三角形(含解析)
专题4.2 三角形一、单选题1．【四川省眉山市2018年中考数学试题】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A．45° B．60° C．75° D．85°【答案】C【解析】分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．详解：如图，点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．2．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.详解:点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 3．【台湾省2018年中考数学试卷】如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A． 115 B． 120 C． 125 D． 130【答案】C【解析】分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．详解：∵三角形ACD为正三角形，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△DEA，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选：C．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．4．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC 的周长为（）A． 16cm B． 19cm C． 22cm D． 25cm【答案】B【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．5．【湖北省黄石市2018年中考数学试卷】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】A点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．6．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙【答案】B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．【山东省淄博市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A． 4 B． 6 C． D． 8【答案】B【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．【四川省达州市2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．9．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A． B． C． 1 D． 2【答案】C【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.10．【河北省2018年中考数学试卷】尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ【答案】D【解析】【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，故选D．【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．11．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．12．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【答案】DB、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据S△OFG=•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F 的面积也变化，可作判断．详解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），故选项C正确；点睛：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，13．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A． B． 1 C． D．【答案】B【解析】分析：只要证明BE=BC即可解决问题；详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE-AB=1，故选：B．点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．14．【河北省2018年中考数学试卷】已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】B【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．二、填空题15．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度．【答案】37【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．16．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．【答案】15【解析】分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，由作图知CP是∠ACB的平分线，∵∠B=90°，BD=3，∴DB=DQ=3，∵AC=10，∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，故答案为：15．点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．17．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____．【答案】130°或90°．【解析】分析：根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．18．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_____cm．【答案】7【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．【详解】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理，得BC==4，由翻折的性质，得CE=AE，△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理等，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题的关键．19．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．【答案】【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．20．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_____．【答案】或【解析】【分析】分两种情况：△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【详解】分两种情况：当是锐角三角形，如图1，当是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC=；综上所述，BC的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键.21．【2018年湖南省湘潭市中考数学试卷】如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．【答案】30°点睛：考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．22．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________【答案】3【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．23．【江苏省泰州市2018年中考数学试题】已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____．【答案】5点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．24．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题25．【浙江省杭州市临安市2018年中考数学试卷】阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．26．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【详解】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．27．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求证：ΔABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37°【解析】分析：（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△DEF；（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．28．【陕西省2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】证明见解析.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 29．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=．【解析】分析：（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．详解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，（3）如图3，∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，∵点F是BD中点，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，∴FH=CD=，∴S△CEF=CE•FH=×1×=，点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．30．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）BH+EH的最小值为3．【解析】【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°，∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴E E'=EA=AB，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=，∴AB=2，A E'=AE=，∴B E'= =3，∴BH+EH的最小值为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键. 31．【山东省淄博市2018年中考数学试题】（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析详解：（1）连接BE，CD相交于H，如图1，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3.同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．∴△GMN是等腰直角三角形.点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．32．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF 【解析】分析：即可得；（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE 得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．。
2018中考数学真题分类汇编解析版-11.1.三角形
一、选择题1. (2018·南充，8，3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为A．12B．1 C．32D．3答案：B．解析：EF为△ACD的中位线，∴EF＝12CD，∵CD为Rt△ACB斜边上的中线，∴CD＝12A B．∠A＝30°，∴CB＝12AB，∴EF＝12BC＝1．2．（2018眉山市，5，3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°答案：C，解析：本题考查三角形的内角和、外角和等知识．30°三角板的另一个锐角为60°，将45°角和60°角放在同一三角形中，利用三角形内角和和对顶角相等即可求出α＝75°．3．(2018·常德，2，3分)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是A．1 B．2 C．8 D．11答案．D，解析：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知第三边长4<x<10，所以第三边长不可能是11，故选D．4．（2018·聊城市，10，3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′= γ，那么下列式子中正确的是（）A.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°﹣α﹣β10．A，解析：设DA′交AC于点E，经过折叠，∠A ′=∠A=α，由三角形的外角定理，∠AED=∠CEA′+∠A ′=α+β，∠BDC=∠A+∠AED =α+α+β，即γ=2α+β，故选A.5．（2018·长沙市，4，3分）下列长度的三条线段,能组成三角形的是A、4cm，5cm，9cmB、8cm，8cm，15cmC、5cm，5cm，10cmD、6cm，7cm，14cm答案．B ，解析：根据三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只有B 选项满足题意.6．(2018·湖州市，5，3分)如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线，若AB ＝AC ，∠CAD ＝20°，则∠ACE 的度数是( )ED C BA第5题图A ． 20°B ．35°C ．40°D ．70°答案．B 解析：∵△ABC 是等腰三角形，AD 是其底边上的中线，∴AD 也是底边上的高线，∴∠ACB ＝90°－∠CAD ＝70°.又∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACE ＝12∠ACB ＝35°. 7．(2018·荆门，5，3分)已知直线a ∥b ，将一块含45°角的直角三角板(∠C ＝90°)按如图所示的位置摆放，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )A ．80°B ．70°C ．85°D ．75°5．A 解析：根据“两直线平行，同位角相等”，“对顶角相等”可知∠1，∠2，∠B 可集中成下面那个三角形的内角，因此，∠2＝180°－(∠1＋∠B )＝180°－(55°＋45°)＝80°．故选A ．二、填空题1.（2018滨州，13，5分）在△ ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠C ＝___________．答案．100°，解析：直接根据三角形内角和定理求得∠C ＝180°－30°－50°＝100°.2．(2018·南充，13，3分)如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC ，AC 的垂直平分线∠BC 于E ，∠B ＝70°，∠F AE ＝19°，则∠C ＝ 度．答案：24，解析：设∠EAC ＝∠C ＝x ．则∠AEB ＝2x ，∠BAE ＝110°－2x ，∠BAF ＝91°－2x ，∵∠BAF ＝∠F AC ，∴91°－2x ＝19°＋x ，∴x ＝24°．3.已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，a ，b 满足27(1)0a b -+-=，c 为奇数，则c = ．【答案】7 【解析】∵27(1)0a b -+-=，∴a=7，b=1，∵a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，∴7-1＜c ＜7+1，即：6＜c ＜8，∵c 为奇数，∴c=7.4．（2018·泰州市，12，3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 . ab BCA1 2 第5题图答案：5，解析：设第三边长为x ，则5-1＜x ＜5+1，解得4＜x ＜6，∵第三边长为整数，∴第三边的长5．(2018·永州市，13，4分)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则∠BDC =____________．答案．75°，解析：∠BDC =∠ADE =180°-∠A -∠AEC =180°-45°-60°=75°．三、解答题1. （2018·山东淄博，19，5分）(本小题满分5分)已知：如图，ABC △是任意三角形. 求证：180A B C ∠+∠+∠=︒.CB A思路分析：过三角形的某个顶点作对边的平行线，把三角形三个角移到到一起，构成一个平角.证明：如图，过点A 作直线MN ，使MN ∥BC ．∵MN ∥BC ，∴∠B =∠MAB ，∠C =∠NAC .∵∠MAB +∠NAC +∠BAC =180°.∴∠B +∠C +∠BAC =180°.2．（2018·宜昌市，18，7）（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．（1）求∠CBE 的度数；（2）过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．FECAB D思路分析：（1）根据外角定理知∠CBD＝∠A＋∠ACB，再根据EB是∠CBD的角分线即可求得；（2）在Rt△CBE中，根据（1）中求得的∠CBE的度数求得∠CBE，再根据两直线平行，同位角相等即可求得∠F．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB－∠A＝50°，∴∠CBD＝130°，∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝12∠CBD＝65°．(2)∵∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．。
2018年全国各地中考数学真题汇编：三角形(江苏专版)(解析卷)
2018年全国各地中考数学真题汇编（江苏专版）三角形参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2018•南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF=CE=a，BF=DE=b，∵EF=c，∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，故选：D．2．（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．3．（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A．20 B．24 C．40 D．48解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，则AB==5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故选：A．4．（2018•宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD=60°，则△OCE的面积是（）A．B．2 C．2D．4解：过点D作DH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，AO=CO，∴AB=BC=CD=AD，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=AD=4，∵∠BAD=60°，∴DH=4×=2，∴S=4×2=8，菱形ABCD=×8=4，∴S△ABD∵点E为边CD的中点，∴OE为△ADC的中位线，∴OE∥AD，∴△CEO∽△CDA，∴△OCE的面积=×4=，故选：A．二．填空题（共5小题）5．（2018•连云港）如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为1：9．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴S△ADE ：S△ABC是1：9．故答案为：1：9．6．（2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE=5cm．解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，∴D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=5cm．故答案为：5．7．（2018•盐城）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=或．解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴=，∴=，∴x=，∴AQ=．②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y．∵△BQP∽△BCA，∴=，∴=，∴y=．综上所述，满足条件的AQ的值为或．8．（2018•泰州）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC 的周长为14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．9．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是2≤a+2b≤5．解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．三．解答题（共9小题）10．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．解：在▱ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）∴∠ABF=∠CDE11．（2018•南京）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）解：在Rt△CED中，∠CED=58°，∵tan58°=，∴DE=，在Rt△CFD中，∠CFD=22°，∵tan22°=，∴DF=，∴EF=DF﹣DE=，同理：EF=BE﹣BF=，∴，解得：AB≈5.9（米），答：建筑物AB的高度约为5.9米．12．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF．证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．13．（2018•淮安）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）解：作PD⊥AB于D．设BD=x，则AD=x+200．∵∠EAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°．在Rt△BPD中，∵∠FBP=45°，∴∠PBD=∠BPD=45°，∴PD=DB=x．在Rt△APD中，∵∠PAB=30°，∴CD=tan30°•AD，即DB=CD=tan30°•AD=x=（200+x），解得：x≈273.2，∴CD=273.2．答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．14．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．15．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AF=EC，在△AGF和△CHE中，∴△AGF≌△CHE（ASA），∴AG=CH．16．（2018•连云港）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB==2，设AM=x，则DM=2x，∵四边形DMNC是矩形，∴DM=CN=2x，在Rt△NBC中，tan37°===，∴BN=x，∵x+3+x=14，∴x=3，∴DM=6，答：坝高为6m．（2）作FH⊥AB于H．设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，由△EFH∽△FBH，可得=，即=，解得y=﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），∴DF=2﹣7，答：DF的长为（2﹣7）m．17．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．18．（2018•泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C 处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？∴FH=3x=9．即山坡EF的水平宽度FH为9m；（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，∴日照间距系数=L：（H﹣H1）==，∵该楼的日照间距系数不低于1.25，∴≥1.25，∴CF≥29．答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．。
2018年全国各地中考数学真题汇编：三角形(湖北专版)(解析卷)
2018年全国各地中考数学真题汇编（湖北专版）三角形参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选：A．2．（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A ．100sin35°米B ．100sin55°米C ．100tan35°米D ．100tan55°米 解：∵PA ⊥PB ，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan ∠PCA=100tan35°米．故选：C ．3．（2018•襄阳）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交BC ，AC 于点D ，E ．若AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．19cmC ．22cmD ．25cm解：∵DE 垂直平分线段AC ，∴DA=DC ，AE=EC=6cm ，∵AB +AD +BD=13cm ，∴AB +BD +DC=13cm ，∴△ABC 的周长=AB +BD +BC +AC=13+6=19cm ，故选：B ．4．（2018•荆门）如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 、F 为CD 边的两个三等分点，连接AF 、BE 交于点G ，则S △EFG ：S △ABG =（ ）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）2=，故选：C．5．（2018•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC===6，∴sinA===，故选：A．6．（2018•荆门）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC 边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A．B．C．1 D．2解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1．故选：C．7．（2018•孝感）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）A．52 B．48 C．40 D．20解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，∴OB=12，OA=5，在Rt△ABO中，AB==13，∴菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A．8．（2018•黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D 和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°，故选：B．9．（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．10．（2018•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2 B．3 C．4 D．2解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，∴AE=CE=5，∵AD=2，∴DE=3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD=，故选：C．11．（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．=S四边形BCED，∵S△ADE∴=，∴===﹣1．故选：C．12．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．二．填空题（共6小题）13．（2018•天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile 处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：1814．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°．解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．15．（2018•黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米．（结果保留根号）解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中，∵tanA=，∴AD==100，在Rt△BCD中，BD=CD=100，∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．答：A、B两点间的距离为100（1+）米．故答案为100（1+）．16．（2018•武汉）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案为：．17．（2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为16．解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．18．（2018•咸宁）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为300m（结果保留整数，≈1.73）．解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，∴BD=AD=110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×=190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m）答：该建筑物的高度BC约为300米．故答案为300．三．解答题（共12小题）19．（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．20．（2018•襄阳）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，，∴AC=PC，在Rt△PBC中，，∴BC=PC，∵AB=AC+BC=，∴PC=100，答：建筑物P到赛道AB的距离为100米．21．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．22．（2018•荆门）数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置P与岚光阁阁顶A、湖心亭B在同一铅垂面内，P与B的垂直距离为300米，A与B的垂直距离为150米，在P处测得A、B两点的俯角分别为α、β，且tanα=，tanβ=﹣1，试求岚光阁与湖心亭之间的距离AB．（计算结果若含有根号，请保留根号）解：过点P作PD⊥QB于点D，过点A作AE⊥PD于点E．由题意得：∠PBD=β，∠PAE=α，AC=150，PD=300，在Rt△PBD中，，∵∠AED=∠EDC=∠ACD=90°，∴四边形EDCA为矩形，∴DC=EA，ED=AC=150，∴PE=PD﹣ED=300﹣150=150，在Rt△PEA中，，∴在Rt△ACB中，（米）答：岚光阁与湖心亭之间的距离AB为450米．23．（2018•恩施州）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A 处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73）解：由题意知：∠WAC=30°，∠NBC=15°，∴∠BAC=60°，∠ABC=75°，∴∠C=45°过点B作BE⊥AC，垂足为E．在Rt△AEB中，∵∠BAC=60°，AB=100米∴AE=cos∠BAC×AB=×100=50（米）BE=sin∠BAC×AB=×100=50（米）在Rt△CEB中，∵∠C=45°，BE=50（米）∴CE=BE=50=86.5（米）∴AC=AE+CE=50+86.5=136.5（米）≈137米答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．24．（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．25．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE=×6=3．答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AH⊥BC于H，如图2，∵BD=DE=3，∴AB=3BD=5×3=15，在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15，在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．26．（2018•黄冈）如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，∵BC=BF，CD=DE，∴BF=AD，AB=DE，∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，∴∠ADE=∠ABF，∴△ABF≌△EDA．（2）证明：延长FB交AD于H．∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°，∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD=∠AFB，∵∠EAD+∠FAH=90°，27．（2018•黄冈）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度．解：（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC===20（米）答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．（2）设CD=2x，则DE=x，CE=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，则BC===60（米），在Rt△BDF中，∵∠BDF=45°，∴BF=DF，∴60﹣x=20+x，∴x=40﹣60，∴CD=2x=80﹣120，∴CD的长为（80﹣120）米．28．（2018•孝感）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是PA=PB=PC；（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∵EP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴PA=PB=PC；故答案为：PA=PB=PC；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°，∵PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．29．（2018•咸宁）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD和△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．30．（2018•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，∴BC=EA，∠ABC=60°．∵△DEB为等边三角形，∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC∴△ADE≌△CDB．（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，∴，，∴，∴BH+EH的最小值为3．。
2018年全国各地中考数学真题汇编：三角形(湖南专版)(解析卷)
2018年全国各地中考数学真题汇编（湖南专版）三角形参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2018•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=30°．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．2．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为75°．解：∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，∴∠FBC=∠EAB=（180°﹣90°）=45°，∵∠AFC是△AEF的外角，∴∠AFC=∠FAE+∠E=45°+30°=75°．故答案为：75°．3．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为x2+32=（10﹣x）2．解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．4．（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．5．（2018•张家界）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=（180°﹣∠BAD）=15°，故答案为：15°．6．（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．7．（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．8．（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12πcm．（结果用π表示）解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．9．（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=75°．解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，∴∠BDC=∠ADE=75°，故答案为75°．10．（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE=3cm，则BF=6cm．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∴S△ABC=AC•BF，∵S△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．二．解答题（共14小题）11．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．12．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．13．（2018•株洲）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα=，MN=2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．（1）求l2和l3之间的距离；（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，∵cosα=，MN=2千米，∴cosα===，解得：DM=2（km），答：l2和l3之间的距离为2km；（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，∴tan30°===，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），∵MN=2km，DM=2km，∴DN==4（km），则NC=DN+BM=5（km），∴AN===10（km），∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要=小时．14．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．∵AP=400海里，∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，故PC=200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里．15．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？解：（1）作CP⊥AB于P，由题意可得出：∠A=30°，AP=2000米，则CP=AC=1000米；（2）∵在Rt△PBC中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°，∴BC=PC=1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，∴他到达宾馆需要的时间为=10＜15，∴他在15分钟内能到达宾馆．16．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=，∴AC==≈≈19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．17．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.2，∴∠M=30°，∴ON=OM=0.6，∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE=0.65，EH=2.55，∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP=30°，∴tan30°==，∴GP=OP=≈0.404，∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．18．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．19．（2018•张家界）2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=AD=×1400=700，DE=AE=700，∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，∴DF=300，BF=700，在Rt△CDF中，CF=DF=×300=100，∴BC=700+100=800．答：选手飞行的水平距离BC为800m．20．（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．∵E是AB的中点，∴AE=BE．在△ADE与△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，由勾股定理知，DE===5，∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．22．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．23．（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．24．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，∴∠CAB=∠C=30°，∴BC=AB=10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，CE=km．。