高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第4课时
第4课时直线与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面垂直的性质定理.2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用．知识点直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行．梳理1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一线面垂直的性质定理及应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.证明因为ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1.因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC .又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1.引申探究若本例的条件不变，求证：M 是AB 的中点．证明连结ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直．跟踪训练1如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.证明连结AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1，∵DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.类型二线面垂直的综合应用命题角度1线面垂直中的探索性问题例2如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.(1)证明连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)解所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE ⊥DA 1，取CD 的中点H ，连结AH ，EH ，由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ，可证DF ⊥平面AHE ，∵AE ⊂平面AHE ，∴DF ⊥AE .又DF ∩A 1D ＝D ，∴AE ⊥平面DFA 1，即AE ⊥平面DFG .反思与感悟探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件．二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”．跟踪训练2如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝5，M 是棱CC 1上一点，是否存在这样的点M ，使得BM ⊥平面A 1B 1M ？若存在，求出C 1M 的长；若不存在，请说明理由．解假设存在点M 使得BM ⊥平面A 1B 1M ，并设C 1M ＝x ，则有Rt △B 1C 1M ∽Rt △BMB 1.∴C 1M B 1M ＝B 1M BB 1，∴4＋x 2＝5x ，∴x ＝4或x ＝1.当C 1M ＝1或4时，使得BM ⊥平面A 1B 1M .命题角度2线线、线面垂直的相互转化例3如图所示，已知矩形ABCD ，SA ⊥平面ABCD ，AE ⊥SB 于点E ，EF ⊥SC 于点F .(1)求证：SC ⊥AF ；(2)若平面AEF 交SD 于点G ，求证：AG ⊥SD .证明(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BC .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC .又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC，又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.又AF⊂平面AEF，∴SC⊥AF.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SA⊥CD.又四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD.又SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴CD⊥AG.由(1)可知，SC⊥平面AEF，∵AG⊂平面AEF，∴AG⊥SC，又SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SCD，又SD⊂平面SCD，∴AG⊥SD.反思与感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可．(2)证明的转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直．跟踪训练3如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，BH，AE⊂平面ABE，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________．答案平行2．线段a和b在正方体ABCD—A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．答案①②③解析由直线与平面垂直的性质知，①能使a∥b成立；由正方体的性质知，②能使a∥b成立；由公理4知，③能使a∥b成立；④中条件不能保证a∥b，a与b有可能相交或异面．3.如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案平行解析∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.4.如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.求证：EF⊥PC.证明∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC.又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF，∴EF⊥PC.1．空间线面垂直与线线垂直经常相互转化．判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化．2．垂直关系与平行关系也可以相互转化．(1)线面平行的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α；(需要利用线面垂直的定义证明)(3)a⊥α，b∥α⇒a⊥b；(需要证明)(4)a⊥α，a⊥b，b⊄α⇒b∥α.(需要证明)一、填空题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，l，m为两条不重合的直线，则直线l，m的位置关系是________．答案平行解析∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.2.如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是_____．(填序号)①PB⊥BC；②PD⊥CD；③PO⊥BD；④PA⊥BD.答案③解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故①正确；同理得PD⊥CD，故②正确；由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，故④正确；而只有当AD＝AB时，PO⊥BD才成立．故③不正确．3．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．答案4解析∵AC ⊥α，BD ⊥α，∴AC ∥BD .连结CD ，设AB 的中点为E ，CD 的中点为F .则EF 为梯形ABDC 的中位线，∴EF ⊥α，则EF ＝12×(3＋5)＝4.即AB 的中点到α的距离为4.4．圆O 的半径为4，PO 垂直圆O 所在的平面，且PO ＝3，那么点P 到圆上各点的距离是________．答案5解析设A 为圆上任意一点，连结OA ，PA .∵PO 垂直于圆O 所在的平面，OA ⊂圆O 所在的平面，OA ＝4，PO ＝3，∴在△POA 中，PO ⊥OA ，∴PA ＝PO 2＋OA 2＝42＋32＝5.5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得________．(填序号)①a ⊂α，b ⊂α；②a ⊂α，b ∥α；③a ⊥α，b ⊥α；④a ⊂α，b ⊥α.答案②解析对于①，当a 与b 是异面直线时，①错误；对于②，若a ，b 不相交，则a 与b 平行或异面，都存在α，使a ⊂α，b ∥α，②正确；对于③，a ⊥α，b ⊥α，一定有a ∥b ，故③错误；对于④，a ⊂α，b ⊥α，一定有a ⊥b ，④错误．6．若a ，b 表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________．(填序号)答案①④解析a⊥α，b∥α，由线面垂直的性质得a⊥b，∴①正确；由a⊥α，a⊥b，可得b∥α或b⊂α，∴②不正确；由a∥α，a⊥b，得b⊂α或b⊥α或b∥α，∴③不正确；④显然成立．7.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC 垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________．(填写正确结论的序号)①直线DE∥平面ABC；②直线DE⊥平面VBC；③DE⊥VB；④DE⊥AB.答案①②③解析∵D，E分别是VA，VC的中点，∴DE∥AC，又DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴直线DE∥平面ABC，∴①正确；∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，又AC⊥BC，VC∩BC＝C，∴AC⊥平面VBC，又DE∥AC，∴DE⊥平面VBC，∴②正确；∵VB⊂平面VBC，∴DE⊥VB，∴③正确．④DE⊥AB，显然不正确．8．设a，b是异面直线，下列命题：①过不在a，b上的一点P一定可作一条直线和a，b都相交；②过不在a，b上的一点P一定可作一个平面和a，b都垂直；③过a一定可作一个平面与b垂直；④过a一定可作一个平面与b平行．其中正确的是________．(填序号)答案④解析①不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在．②不正确，若a，b都垂直于同一个平面，则a∥b.③不正确，只有a，b垂直时才能作出满足条件的平面．9.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中，不正确的是________．(填序号)①EF⊥BB1；②EF∥平面ACC1A1；③EF⊥BD；④EF⊥平面BCC1B1.答案④解析由正方体的性质，得EF∥平面A1B1C1D1，BB1⊥平面A1B1C1D1，∴EF⊥BB1，故①正确；由正方体的性质，得EF∥AC，又EF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴EF∥平面ACC1A1，故②正确；由正方体的性质，得AC⊥BD，又EF∥AC，∴EF⊥BD，故③正确；由正方体的性质，得AC与平面BCC1B1不垂直，又EF∥AC，∴EF与平面BCC1B1不垂直，故④不对．10.如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G，G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，则GG′与α的关系是________．答案垂直解析取AB的中点M，A′B′的中点M′，则MM′∥BB′，连结CM，C′M′，可知G，G′分别为CM，C′M′的靠近中点M，M′的三等分点，∴GG′∥MM′，∴GG′∥BB′.∵BB′⊥α，∴GG′⊥α.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.则BC1与AB1的关系是______．答案垂直解析因为棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.二、解答题12.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D为FG的中点，AF＝AG，EF ＝EG.求证：BC∥FG.证明∵AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC.又∵AE⊥BC，AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ADE，在△AFG中，D是FG的中点，由AF＝AG，得AD⊥FG，在△EFG中，D是FG的中点，由EF＝EG，得ED⊥FG，∴FG⊥平面ADE.又BC⊥平面ADE，∴BC∥FG.13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解假设D1E⊥平面AB1F.∵AF⊂平面AB1F，∴D1E⊥AF.∵D1D⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴D1D⊥AF.∵D1D∩D1E＝D1，∴AF⊥平面D1DE.∵DE⊂平面D1DE，∴AF⊥DE.∴∠FAD＋∠ADE＝90°.∵∠CDE＋∠ADE＝90°，∴∠FAD＝∠CDE，∴Rt△FAD≌Rt△EDC，∴FD＝EC.∵E是BC的中点，∴F是CD的中点．即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.三、探究与拓展14．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又∵AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．15.如图所示，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1)证明：C1C⊥BD；(2)当CD CC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ，然后证明这个结论．(1)证明连结A 1C 1，AC ，AC 与BD 交于点O ，连结C 1O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，BC ＝CD .又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，C 1C 为公共边，所以△C 1BC ≌△C 1DC ，所以C 1B ＝C 1D .又DO ＝OB ，所以C 1O ⊥BD .又AC ⊥BD ，AC ∩C 1O ＝O ，所以BD ⊥平面AC 1.又C 1C ⊂平面AC 1，所以C 1C ⊥BD .(2)解当CD CC 1＝1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD .证明如下：由(1)可知BD ⊥平面AC 1.又因为A 1C ⊂平面AC 1，所以BD ⊥A 1C .当CD CC 1＝1时，四棱柱的六个面全都是菱形，同BD ⊥A 1C 的证法类似可以证得BC 1⊥A 1C .又因为BD ∩BC 1＝B ，所以A 1C ⊥平面C 1BD .。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.3 第3课时
第3课时直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直．知识点一直线与平面垂直的定义知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？★★答案★★不一定．思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？★★答案★★当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)类型一线面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．★★答案★★③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．故填③④.反思与感悟(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.★★答案★★②解析对于①，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于②，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l，m 异面；对于④，l，m还可能相交或异面．类型二线面垂直的判定定理的应用命题角度1证明线面垂直例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他条件不变，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明∵P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.反思与感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.证明 连结BD ，AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，B 1D 1，设正方体的棱长为a ，易证AE ＝CE .∵AO ＝OC ，∴OE ⊥AC .在正方体中易求出D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，∴D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，∴D 1O ⊥OE . ∵D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ，AC ⊂平面ACD 1，∴OE⊥平面ACD1.命题角度2证明线线垂直例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.反思与感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直．跟踪训练3如图所示，若MC⊥菱形ABCD所在的平面，求证：MA⊥BD.证明连结AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.1．若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号)①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．★★答案★★①③解析由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．2．给出下列命题，其中正确命题的序号是________．①垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面；②垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．★★答案★★①②③④解析由直线与平面垂直的定义知，①②正确；③④显然正确．3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.★★答案★★13解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝DE2＋CD2＝22＋32＝13.4．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状是________．★★答案★★菱形解析如图，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，则平行四边形ABCD是菱形．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在Rt△P AE和Rt△CDE中，P A＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.因为BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．一、填空题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是________．(填序号)①m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α；④m∥b，b⊥α.★★答案★★④解析由线线平行及线面垂直的判定知④正确．2．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图(2)所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，则下面结论成立的是________．(填序号)①SG⊥平面EFG; ②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF; ④GD⊥平面SEF.★★答案★★①解析在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF.又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.3．已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1; ②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1; ④AC1⊥BD1.★★答案★★①②③解析正方体中由BD∥B1D1，易知①正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即②正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故填①②③.4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．★★答案★★AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直线l，m，n与平面α，给出下列说法：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确的说法为________．(填序号)★★答案★★①③解析由l⊥α，得l与α相交，所以①正确；若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，因为m，n不一定相交，所以l不一定垂直于α，所以②不正确；由m⊥α，n⊥α，可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正确；由m∥n，n⊂α，得m∥α或m⊂α，所以④不正确．6.如图所示，P A⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．★★答案★★ 4 解析 ∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB ，△P AC ，△ABC ，△PBC ，共4个．7.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 ★★答案★★ 2解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt △P AC 中，AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC＝2.8．在三棱锥P－ABC中，P A⊥PB，P A⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面上的投影是底面△ABC________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心★★答案★★垂解析设O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥P A，PB⊥PC，P A∩PC＝P，∴PB⊥平面P AC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______.★★答案★★90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★A1C1⊥B1C1(★★答案★★不唯一)解析如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝32AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．★★答案★★无数解析设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为3 2a.∵PM ⊥BC ， ∴PM ＝ ⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22 ＝22a . 连结PG 并延长与AD 相交于N 点， 则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a .∴PM 2＋PN 2＝MN 2， ∴PM ⊥PN .∵AD ∥BC ，∴PM ⊥AD ，又PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥平面P AD ， ∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直． 二、解答题12.如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3，在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC.又由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C.13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E，F分别是AB，PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明(1)因为P A⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG .因为底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，所以GF 綊12CD ， 所以GF 綊AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF .因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，由(1)知，CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .三、探究与拓展14．设三棱锥P —ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC .其中正确命题的序号是________．★★答案★★ ①②③解析 因为PH ⊥底面ABC ，所以PH ⊥BC ，又P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AH ，所以BC ⊥AH ，同理BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以①正确；由P A ，PB ，PC 两两互相垂直，易推出BC ⊥AH ，BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以②正确；由∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，得P A ，PB ，PC 在平面ABC 上的射影相等，所以P A ＝PB ＝PC ，所以③正确．15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连结NE ，AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC .又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD .又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD .∵AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，∴CD ⊥MN .又CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .。
苏教版高中数学必修二第课时立体几何初步教案(4)
让学生学会学习
第四课时直观图画法
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．初步了解中心投影和平行投影的区别。
2．初步掌握水平放置的平面图形的直观图的画法和空间几何体的直观图的画法
3．初步了解斜二测画法
【课堂互动】
自学评价
1．消点的定义：
.
2．斜二测画法步骤⑴
⑵
⑶
⑷
【精典范例】
一、怎样画水平放置的正三角形的直观图
例1：画水平放置的正三角形的直观图。
解答：见书14页例1
让学生学会学习
听课随笔
点评：在条件“平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半”之下，正三角形的直观图为斜三角形。
追踪训练一
画水平放置的正五边形的直观图。
解答：略
例2.画棱长为2cm的正方体的直观图.
解答：见书15页例2
点评：空间图形的直观图的画法。
规则是：已知图形中平行于x轴，y轴和z轴的线段，在直观图中保持平行性不变；平行于x轴，z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段长度为原来的一半。
让学生学会学习
听课随笔追踪训练二
用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图
仿照例２作图。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.2
1.2.2空间两条直线的位置关系学习目标1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.3.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所成的角的概念．知识点一空间两条直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？★★答案★★平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.梳理空间两条直线的位置关系知识点二异面直线的判断思考 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ ★★答案★★ 不一定，可能平行、相交或异面． 梳理 判断异面直线的方法知识点三 平行公理(公理4)思考 在平面内有直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，该结论在空间中是否成立？ ★★答案★★ 成立． 梳理 平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 知识点四 等角定理及异面直线所成的角思考1 观察图象，在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？★★答案★★ 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 思考2 在平行六面体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥AD 1，则“直线BC 1与直线BC 所成的角”与“直线AD 1与直线BC 所成的角”是否相等？★★答案★★相等．梳理(1)等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(2)异面直线所成的角1．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．(√)2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.(×)类型一 公理4与等角定理的应用例1 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明 (1)如图 ，连结AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC .由正方体的性质，得 AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知，MN ∥A 1C 1.又ND ∥A 1D 1，且∠DNM 与∠D 1A 1C 1的两边的方向相同，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点． ②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同．跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别是棱AD 和A 1D 1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1∥AM，且A1M＝AM，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴A1A∥M1M，且A1A＝M1M.又∵A1A∥B1B，A1A＝B1B，∴M1M∥B1B，且M1M＝B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.类型二异面直线的判断例2(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．★★答案★★8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示．反思与感悟判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在同一个平面内．(2)利用异面直线的判定定理．(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．跟踪训练2如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法：①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线．其中说法正确的是________．(填序号)★★答案★★①②③④解析因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确．1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．★★答案★★相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，异面直线a，b，直线c的位置可如图所示．2．下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．★★答案★★2解析①④均为错误命题．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．④如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．3．在三棱锥的所有棱中，互为异面直线的有________对．★★答案★★ 3解析 如图，在三棱锥A —BCD 中，AB 与CD 异面，BC 与AD 异面，AC 与BD 异面，所以有3对异面直线．4.如图所示，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足________时，四边形EFGH 为菱形；当AC ，BD 满足________时，四边形EFGH 是正方形．★★答案★★ AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 由题意可得EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形， 又EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，∴当EF ＝FG ，即AC ＝BD 时，四边形EFGH 为菱形；当EF ⊥FG 且EF ＝FG ，即AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形．5.如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形． 证明 (1)如图所示，连结EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH为平行四边形．∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC.又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH为矩形．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．一、填空题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝________. ★★答案★★ 60°或120°2．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形是________．(填序号)★★答案★★ ②④解析 ①中，∵G ，M 是中点，∴AG ∥BM ，AG ＝BM ，∴GM ∥AB ∥HN ，GM ＝AB ＝HN ，故四边形GHNM 为平行四边形，∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN 内，而点M 显然不在平面HGN 内，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM ∥CD ，且GM ＝12CD ，∴GM ∥HN ，且GM ＝12HN ，即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，即H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是________．(填序号)①OB∥O1B1且方向相同；②OB∥O1B1；③OB与O1B1不平行；④OB与O1B1不一定平行．★★答案★★④解析如图(1)，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1但OB与O1B1不平行，故①②排除；如图(2)，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，此时OB∥O1B1，故③排除．4．下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．★★答案★★1解析若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故①不对；若a⊥b，b⊥c，则a，c平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．5．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则MN 的取值范围为________．考点平行公理题点判断、证明线线平行★★答案★★ (1,5)解析 取AD 的中点H ，连结MH ，NH ，则MH ∥BD ，且MH ＝12BD ，NH ∥AC ，且NH ＝12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH －NH <MN <MH ＋NH ，即1<MN <5. 6.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(写出所有正确结论的序号) ★★答案★★ ③④解析 ∵A ，M ，C ，C 1四点不共面， ∴直线AM 与CC 1是异面直线，故①错； 同理，直线AM ，BN 也是异面直线，故②错； 同理，直线BN 与MB 1是异面直线， 直线AM 与DD 1是异面直线， ∴③④正确．7.如图所示，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上除端点外的点，AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，则下列结论中不正确的是________．(填序号)①当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； ②当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形；③当λ≠μ时，四边形EFGH 一定不是平行四边形； ④当λ＝μ时，四边形EFGH 是梯形． ★★答案★★ ④解析 由AE AB ＝AH AD ＝λ，得EH ∥BD ，且EHBD ＝λ.同理得FG ∥BD ，且FGBD ＝μ.当λ＝μ时，EH ∥FG 且EH ＝FG .当λ≠μ时，EH ∥FG ，但EH ≠FG .所以只有④错误．8．如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对． ★★答案★★ 24解析 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．★★答案★★①②解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①②正确．10．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是________．★★答案★★4解析正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，∴k的最大值为4.二、解答题11.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，BE ∥F A ，且BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知得FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH ∥AD ，且GH ＝12AD .又BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC ，且GH ＝BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE ∥AF ，且BE ＝12AF ，G 为F A 的中点知，BE ∥FG ，且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，且BG ＝CH ， ∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12.如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．(1)证明∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝23，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝⎝⎛⎭⎫232＝49.三、探究与拓展13．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线有________条．★★答案★★无数解析如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．14．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．考点平行公理题点判断、证明线线平行证明设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD∥C1F且QD＝C1F，∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，∴B1E∥DF且B1E＝DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时
3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.( × )
题型探究
类型一 线面平行的性质定理的应用
命题角度1 用线面平行的性质定理证明线线平行 例1 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形， AC 与 BD 交于点 O ， M 是 PC的中点，在 DM 上取一点 G ，过 G 和 AP 作平面交 平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
跟踪训练 3
如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中， E ，
H 分别为棱 A1B1 ， D1C1 上的点，且 EH∥A1D1 ，过 EH
的平面与棱 BB1 ， CC1 相交，交点分别为 F ， G ，求证：
FG∥平面ADD1A1.
证明 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，
第1章 1.2.3
直线与平面的位置关系
第2课时 直线与平面平行的性质
学习目标
1.理解直线与平面平行的性质定理.
2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用性质定理证明一
些简单的问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点 直线与平面平行的性质定理
思考 1 如图，直线 l∥ 平面 α ，直线 a⊂ 平面 α ，直
所以EH∥平面BCC1B1.
又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，
所以EH∥FG，即FG∥A1D1.
又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，检测
0 1.已知a，b表示直线，α表示平面.下列命题中，正确的个数是_____. ①若a∥α，b∥α，则a∥b； ②若a∥α，b⊂α，则a∥b； ③若a∥b，b∥α，则a∥α. 解析 ①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面； ②错，a与b可能平行，也可能异面； ③错，直线a也可能在平面α内.
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时
1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理．知识点一直线与平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．梳理直线与平面的位置关系直线a在平面α外位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点二直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案平行．思考2如图，平面α外的直线a 平行于平面α内的直线b .这两条直线共面吗？直线a 与平面α相交吗？答案由于直线a ∥b ，所以两条直线共面，直线a 与平面α不相交．梳理1．若直线a 与平面α内的所有直线都不平行，则a 不平行于平面α.(√)2．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(×)类型一直线与平面的位置关系例1下列说法中正确的是________．(填序号)①如果a ，b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a ，b 满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b ；④如果平面α的同侧有两点A ，B 到平面α的距离相等，那么AB ∥α.答案④解析如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AA ′∥BB ′，但AA ′在过BB ′的平面AB ′内，故①不正确；AA ′∥平面B ′C ，BC ⊂平面B ′C ，但AA ′不平行于BC ，故②不正确；AA ′∥平面B ′C ，A ′D ′∥平面B ′C ，但AA ′与A ′D ′相交，所以③不正确；④显然正确．反思与感悟(1)此类题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．(2)判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．跟踪训练1若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是________．(填序号)①α内的所有直线都与直线a 异面；②α内不存在与a 平行的直线；③α内的直线都与a 相交；④直线a 与平面α有公共点．答案④解析直线a 不平行于平面α，则a 与平面α相交或a ⊂α，故④正确．类型二线面平行的判定定理及应用命题角度1以锥体为背景证明线面平行例2如图，M ，N 分别是底面为矩形的四棱锥P —ABCD 的棱AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD .证明如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE ，∵N 是PC 的中点，∴EN ∥DC ，EN ＝12DC .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，NE ＝AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE .又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .反思与感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．跟踪训练2如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD .考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明如图，取PD 的中点G ，连结GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点，∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点，∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，AM ＝GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG .又∵MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .命题角度2以柱体为背景证明线面平行例3如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，A 1C 1的中点，求证：EF ∥平面A 1CD .证明∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为A 1C 1的中点，∴A 1F 綊12AC ，∵D，E分别是棱AB，BC的中点，∴DE綊12 AC，∴A1F綊DE，则四边形A1DEF为平行四边形，∴EF∥A1D.又EF⊄平面A1CD且A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法．跟踪训练3如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.证明(1)∵BC1∥AD1，BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点．又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.1．下列命题中正确命题的个数是________．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．答案0解析①中，当l∩α＝A时，除A点以外所有的点均不在α内；②中，当l∥α时，α中有无数条直线与l异面；③中，另一条直线可能在平面内．2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.3．如图(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是________．答案平行解析∵BF∥DE，DE⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个面中与直线EF平行的平面有________________．答案平面C1CDD1和平面A1B1BA解析如图，连结A1C1，C1D，在△A1C1D中，EF为中位线，∴EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，C1D⊂平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点．求证：B1O∥平面A1C1D.证明如图，连结B1D1，交A1C1于点O1，连结DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四边形O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D.∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1．直线与平面的位置关系，其分类方式有两种：一类是按直线与平面是否有公共点，另一类是按直线是否在平面内．2．直线与平面平行的关键是在已知平面内找出一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．一、填空题1．下列命题正确的是________．(填序号)①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.答案①③解析因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确．2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______．(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点．答案④解析①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确．3．若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________．答案平行或相交解析当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交．所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交．4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．答案2解析由题意知，EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．5.如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．答案平面A1C1与平面AD1平面AD1CD解析观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD. 7．若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________．答案平行解析这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．答案平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.9．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．答案12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．10．如图，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案①③解析①如图(1)，Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如图(2)，过M作MC∥AB，∵MC⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．二、解答题11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是PA的中点．求证：PC∥平面BDQ.证明连结AC，交BD于O，连结OQ，因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点．又因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC，又因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC 的中点．求证：OG∥平面EFCD.证明∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，∴点O 是BD 的中点．又点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD .又OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴OG ∥平面EFCD .13.如图，四边形ABCD 为正方形，△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，P 是线段CD 的中点，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE .若存在，指出点M 的位置，并证明你的结论．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解如图，存在点M ，当点M 是线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .取BE 的中点N ，连结CN ，MN ，MN ∥AB 且MN ＝12AB ，又PC ∥AB 且PC ＝12AB ，所以四边形MNCP 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为PM ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ，所以PM ∥平面BCE .三、探究与拓展14．如图，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平面ABC，平面ABD解析连结BN，AM，并延长交CD于点E.由题意易得MN∥AB，MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.15．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．解SG∥平面DEF.证明如下：连结CG交DE于点H，如图，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。
苏教版高中数学必修二—学同步教学案立体几何§空间几何体
§1．1空间几何体1．1．1 棱柱、棱锥和棱台1．1．2 圆柱、圆锥、圆台和球【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．一、填空题1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确命题的序号是________．3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点．4．下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．二、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．第1章立体几何初步§1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．平面多边形底面侧面侧棱2．收缩为一个点3．截面底面4．矩形直角三角形直角梯形一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线5．半圆直径球体球作业设计1．四棱柱 2.①③3．①②④解析用棱台的定义去判断．4．③解析①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．5．球体 6.①7.①②③④8．(1)(5)解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．12．②13．解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条相交直线的平行投影是________．3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)二、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1.3中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长解析中心投影的性质．2．两条相交直线或一条直线3．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．① 5.四棱锥6．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7．78．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B9．②③解析图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左右侧面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1．1．4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4 直观图画法 答案知识梳理 (1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90° (4)不变 一半 作业设计 1．①②⑤解析 由斜二测画法的规则判断． 2．直角梯形 3．8 解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析 设△ABC 面积为S ，则直观图面积S ′＝24S ＝522．6．2＋ 2解析 如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1 图27．①②解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC ＝A ′C ′＝3，BC ＝2B ′C ′＝4，计算得AB ＝5，所求中线长为2．5．9．22解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．62a 2 解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC＝12BC·AO＝62a2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.1.4
1.1.4直观图画法学习目标1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则2．立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(×)3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(×)类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连结B ′C ′，如图②. (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图③.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD . 连结B ′C ′，D ′A ′，如图②所示．(3)所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③所示．反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可．跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．★★答案★★2 2解析正方形的直观图如图所示．由直观图的画法知，O′A′＝1，又∠A′O′C′＝45°，过点A′作A′D′⊥O′C′，垂足为D′，∴点A′到x′轴的距离为A′D′＝O′A′·sin 45°＝2 2.又A′B′∥x′轴，∴点B′到x′轴的距离也是2 2.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y 轴，且使DB＝2D′B′；③连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴的平行线确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．★★答案★★菱形解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2. 在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连结BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________．★★答案★★2解析 直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2. 类型三 简单几何体的直观图例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图．解 (1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”．跟踪训练4 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)解 (1)画出六棱锥P －ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于点O ，如图(1)，画出相应的x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF ；③连结A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′，得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.使P′O′＝PO.(3)成图．连结P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴(被遮挡的部分为虚线)，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的________．(填序号)★★答案★★③解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________．★★答案★★16或64解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3．有一个长为 5 cm，宽为 4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算★★答案★★52解析该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________．(填序号)★★答案★★③解析在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或与y轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为③.5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连结AA′，BB′，CC′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得正三棱台的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．一、填空题1．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．★★答案★★(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC的形状是______三角形．★★答案★★直角解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形．3．一个长方体的长、宽、高分别是4,8,4，则画其直观图时对应的长度依次为____________．★★答案★★4,4,4解析根据斜二测画法规则可知，水平线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，竖直线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.4．下面各组图形中2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．(填序号)★★答案★★③解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________．(填序号)★★答案★★①解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有①满足条件，故①正确．6．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy 中，原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.★★答案★★矩形8解析由题意并结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是________．(填序号)①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点．★★答案★★①③④解析根据斜二测画法，原来互相垂直的线段未必垂直．8．如图所示，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是____________．★★答案★★OD，BD，AB，BO解析由题图可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝17，BO＝25，故OD<BD<AB<BO. 9．给出以下说法，其中不正确的是________．(填序号)①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．★★答案★★①②解析由斜二测画法规则可知①②不正确．10．如图所示，四边形OABC是上底为2 cm，下底为6 cm，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中，梯形的高为________ cm.★★答案★★2 2解析 作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC 2＝2(cm)， ∴OD ＝CD ＝2 cm ，∴在直观图中梯形的高为12×2×22＝22(cm)． 二、解答题11．如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算解 由已知，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图形的面积为2 2.12.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.解(1)过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于点D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中，在x轴上取两点E，D，使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴的平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′，连结OB，OC，BC，并擦掉辅助线及x轴，y轴，即画出原△ABC.13.如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．解方法一画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6(cm)， 故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝32(cm)， 所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2)． 即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.方法二 △ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2)． 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2)．三、探究与拓展14．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算★★答案★★73 2解析由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝73，AB边上的中线长度为73 2.15．用斜二测画法画出正三棱柱ABC—A′B′C′的直观图．解(1)画轴．如图，画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．作水平放置的正三角形的直观图△ABC.(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，使得AA′＝BB′＝CC′.(4)成图．顺次连结A′，B′，C′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图．。
2018-2019数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.3 第4课时 Word版含答案
第4课时直线与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面垂直的性质定理.2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用．知识点直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行．梳理1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一线面垂直的性质定理及应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.证明因为ADD1A1为正方形，所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC . 又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1. 引申探究若本例的条件不变，求证：M 是AB 的中点． 证明 连结ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ， ∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．反思与感悟 证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直．跟踪训练1 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.证明连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.类型二线面垂直的综合应用命题角度1线面垂直中的探索性问题例2如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.(1)证明连结AD1，BC1，由正方体的性质可知， DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ， 又AB ∩AD 1＝A ， ∴DA 1⊥平面ABC 1D 1. 又AE ⊂平面ABC 1D 1， ∴DA 1⊥AE .(2)解 所求G 点即为A 1点，证明如下：由(1)可知AE ⊥DA 1，取CD 的中点H ，连结AH ，EH ， 由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ， 可证DF ⊥平面AHE ，∵AE ⊂平面AHE ，∴DF ⊥AE .又DF ∩A 1D ＝D ， ∴AE ⊥平面DF A 1，即AE ⊥平面DFG .反思与感悟 探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件．二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”．跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝5，M 是棱CC 1上一点，是否存在这样的点M ，使得BM ⊥平面A 1B 1M ？若存在，求出C 1M 的长；若不存在，请说明理由．解 假设存在点M 使得BM ⊥平面A 1B 1M ，并设C 1M ＝x ， 则有Rt △B 1C 1M ∽Rt △BMB 1. ∴C 1M B 1M ＝B 1MBB 1，∴4＋x 2＝5x ， ∴x ＝4或x ＝1.当C1M＝1或4时，使得BM⊥平面A1B1M.命题角度2线线、线面垂直的相互转化例3如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC，又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.又AF⊂平面AEF，∴SC⊥AF.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SA⊥CD.又四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD.又SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴CD⊥AG.由(1)可知，SC⊥平面AEF，∵AG⊂平面AEF，∴AG⊥SC，又SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SCD，又SD⊂平面SCD，∴AG⊥SD.反思与感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可．(2)证明的转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直．跟踪训练3如图所示，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC.∵P A⊂平面P AC，∴DF⊥P A.同理可证DG⊥P A.∵DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，BH，AE⊂平面ABE，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB.∵P A∩PC＝P，∴AB⊥平面P AC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________．答案平行2．线段a和b在正方体ABCD—A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．答案①②③解析由直线与平面垂直的性质知，①能使a∥b成立；由正方体的性质知，②能使a∥b成立；由公理4知，③能使a∥b成立；④中条件不能保证a∥b，a与b有可能相交或异面．3.如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案平行解析∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.4.如图所示，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.求证：EF⊥PC.证明∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥P A.又BC⊥AB，AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB.又∵AE⊂平面P AB，∴AE⊥BC.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC.又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF，∴EF⊥PC.1．空间线面垂直与线线垂直经常相互转化．判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化．2．垂直关系与平行关系也可以相互转化．(1)线面平行的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α；(需要利用线面垂直的定义证明)(3)a⊥α，b∥α⇒a⊥b；(需要证明)(4)a⊥α，a⊥b，b⊄α⇒b∥α.(需要证明)一、填空题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，l，m为两条不重合的直线，则直线l，m的位置关系是________．答案平行解析∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.2.如图，P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是_____．(填序号)①PB⊥BC；②PD⊥CD；③PO⊥BD；④P A⊥BD.答案③解析∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面P AB，∴PB⊥BC，故①正确；同理得PD⊥CD，故②正确；由P A⊥平面ABCD，得P A⊥BD，故④正确；而只有当AD＝AB时，PO⊥BD才成立．故③不正确．3．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．答案 4解析∵AC⊥α，BD⊥α，∴AC ∥BD .连结CD ，设AB 的中点为E ，CD 的中点为F . 则EF 为梯形ABDC 的中位线， ∴EF ⊥α，则EF ＝12×(3＋5)＝4.即AB 的中点到α的距离为4.4．圆O 的半径为4，PO 垂直圆O 所在的平面，且PO ＝3，那么点P 到圆上各点的距离是________． 答案 5解析 设A 为圆上任意一点，连结OA ，P A .∵PO 垂直于圆O 所在的平面，OA ⊂圆O 所在的平面，OA ＝4，PO ＝3， ∴在△POA 中，PO ⊥OA ， ∴P A ＝PO 2＋OA 2＝42＋32＝5.5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得________．(填序号) ①a ⊂α，b ⊂α；②a ⊂α，b ∥α； ③a ⊥α，b ⊥α；④a ⊂α，b ⊥α. 答案 ②解析 对于①，当a 与b 是异面直线时，①错误； 对于②，若a ，b 不相交，则a 与b 平行或异面， 都存在α，使a ⊂α，b ∥α，②正确；对于③，a ⊥α，b ⊥α，一定有a ∥b ，故③错误； 对于④，a ⊂α，b ⊥α，一定有a ⊥b ，④错误．6．若a ，b 表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________．(填序号)答案①④解析a⊥α，b∥α，由线面垂直的性质得a⊥b，∴①正确；由a⊥α，a⊥b，可得b∥α或b⊂α，∴②不正确；由a∥α，a⊥b，得b⊂α或b⊥α或b∥α，∴③不正确；④显然成立．7.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC 垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________．(填写正确结论的序号)①直线DE∥平面ABC；②直线DE⊥平面VBC；③DE⊥VB；④DE⊥AB.答案①②③解析∵D，E分别是VA，VC的中点，∴DE∥AC，又DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴直线DE∥平面ABC，∴①正确；∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，又AC⊥BC，VC∩BC＝C，∴AC⊥平面VBC，又DE∥AC，∴DE⊥平面VBC，∴②正确；∵VB⊂平面VBC，∴DE⊥VB，∴③正确．④DE⊥AB，显然不正确．8．设a，b是异面直线，下列命题：①过不在a，b上的一点P一定可作一条直线和a，b都相交；②过不在a，b上的一点P一定可作一个平面和a，b都垂直；③过a一定可作一个平面与b垂直；④过a一定可作一个平面与b平行．其中正确的是________．(填序号)答案④解析①不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在．②不正确，若a，b都垂直于同一个平面，则a∥b.③不正确，只有a，b垂直时才能作出满足条件的平面．9.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中，不正确的是________．(填序号)①EF⊥BB1；②EF∥平面ACC1A1；③EF⊥BD；④EF⊥平面BCC1B1.答案④解析由正方体的性质，得EF∥平面A1B1C1D1，BB1⊥平面A1B1C1D1，∴EF⊥BB1，故①正确；由正方体的性质，得EF∥AC，又EF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴EF∥平面ACC1A1，故②正确；由正方体的性质，得AC⊥BD，又EF∥AC，∴EF⊥BD，故③正确；由正方体的性质，得AC与平面BCC1B1不垂直，又EF∥AC，∴EF与平面BCC1B1不垂直，故④不对．10.如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G，G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，则GG′与α的关系是________．答案垂直解析取AB的中点M，A′B′的中点M′，则MM′∥BB′，连结CM，C′M′，可知G，G′分别为CM，C′M′的靠近中点M，M′的三等分点，∴GG′∥MM′，∴GG′∥BB′.∵BB′⊥α，∴GG′⊥α.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.则BC1与AB1的关系是______．答案垂直解析因为棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.二、解答题12.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D为FG的中点，AF＝AG，EF ＝EG.求证：BC∥FG.证明∵AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC.又∵AE⊥BC，AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ADE，在△AFG中，D是FG的中点，由AF＝AG，得AD⊥FG，在△EFG中，D是FG的中点，由EF＝EG，得ED⊥FG，∴FG⊥平面ADE.又BC⊥平面ADE，∴BC∥FG.13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解假设D1E⊥平面AB1F.∵AF⊂平面AB1F，∴D1E⊥AF.∵D1D⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴D1D⊥AF.∵D1D∩D1E＝D1，∴AF⊥平面D1DE.∵DE⊂平面D1DE，∴AF⊥DE.∴∠F AD＋∠ADE＝90°.∵∠CDE＋∠ADE＝90°，∴∠F AD＝∠CDE，∴Rt△F AD≌Rt△EDC，∴FD＝EC.∵E是BC的中点，∴F是CD的中点．即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.三、探究与拓展14．如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确．15.如图所示，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.(1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ，然后证明这个结论． (1)证明 连结A 1C 1，AC ，AC 与BD 交于点O ，连结C 1O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，BC ＝CD .又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，C 1C 为公共边，所以△C 1BC ≌△C 1DC ，所以C 1B ＝C 1D .又DO ＝OB ，所以C 1O ⊥BD .又AC ⊥BD ，AC ∩C 1O ＝O ，所以BD ⊥平面AC 1.又C1C⊂平面AC1，所以C1C⊥BD.(2)解当CDCC1＝1时，能使A1C⊥平面C1BD.证明如下：由(1)可知BD⊥平面AC1.又因为A1C⊂平面AC1，所以BD⊥A1C.当CDCC1＝1时，四棱柱的六个面全都是菱形，同BD⊥A1C的证法类似可以证得BC1⊥A1C. 又因为BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面C1BD.。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.3.2
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用
截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.
跟踪训练1
(1) 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 ABCD －
A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′， 求棱锥C－A′DD′的体＝b，AA′＝c，
第1章 1.3
空间几何体的表面积和体积
1.3.2 空间几何体的体积
学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何
体的体积.
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及
体积.
3.会求简单组合体的体积及表面积.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
柱体、锥体、台体的体积公式
(4)正方体的外接球 正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 3a. (5)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 2 a.
跟踪训练2
(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球 4π 3 的体积为________. 解析 由题意知，此球是正方体的内切球.根据其几何特征知，
1 1 1 1 ∴VC－A′D′D＝3CD· S△A′D′D＝3a· 2bc＝6abc，
1 5 ∴剩余部分的体积为 VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－6abc＝6abc，
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
解答
(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，
如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.4 第3课时
第3课时两平面垂直的性质学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．知识点平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直．梳理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β图形语言1．若平面α⊥平面β，任取直线l ⊂α，则必有l ⊥β.(×)2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．(×)类型一平面与平面垂直的性质定理例1如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.反思与感悟当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系．因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线．跟踪训练1如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.类型二立体几何中的折叠问题例2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D—ABCE.求证：BE⊥平面ADE.证明在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.反思与感悟(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变．(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性．跟踪训练2如图①所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图②所示．求证：平面ABD⊥平面BCD.证明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，过B作BO⊥AC，垂足为O，由AB＝BC知，O为AC的中点，作OE⊥AC交AD于点E，则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.类型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF ，所以CD ⊥EF .又EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF .又CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .反思与感悟(1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：(2)在运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．跟踪训练3如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．求证：(1)EF ⊥CD ；(2)平面SCD ⊥平面SCE .证明(1)连结AC ，AF ，BF .∵SA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥AC .∴AF 为Rt △SAC 的斜边SC 上的中线，∴AF ＝12SC .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB .而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA .又SA ∩AB ＝A .∴CB ⊥平面SAB .∵SB ⊂平面SAB ，∴CB ⊥SB ，∴BF 为Rt △SBC 的斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC .∴△AFB 为等腰三角形，∵E 为AB 的中点，∴EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝EC ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵EF ⊥CD ，且SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .1．给出下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中正确的是________．(填序号)答案②④解析①中若两直线平行，则结论错误；②正确；在空间中③错误；④正确．2．已知平面α⊥平面β，直线a ∥α，则直线a 与β的位置关系可能是________．(填序号)①a ⊥β；②a ∥β；③a 与β相交．答案①②③3．若将边长为2的正方形ABCD 沿AC 折叠成直二面角，则B ，D 两点间的距离为________．答案24.如图，在三棱锥P —ABC 内，侧面PAC ⊥底面ABC ，且∠PAC ＝90°，PA ＝1，AB ＝2，则PB ＝________.答案5解析∵侧面PAC ⊥底面ABC ，交线为AC ，∠PAC ＝90°(即PA ⊥AC )，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因为BC⊂平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、填空题1．下列命题中错误的是________．(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.答案④解析如果平面α⊥平面β，平面α内的直线有的与平面β平行，有的与平面β相交，故④错误．2．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________．答案平行解析∵α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，∴n ⊥α.又∵m ⊥α，∴m ∥n .3．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，D 为垂足，以AD 为折痕，将△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD ⊥CD ；②BD ⊥AC ；③AD ⊥平面BCD ；④△ABC 是等边三角形．其中正确结论的个数为________．答案4解析①正确，因为∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，由题意知∠BDC ＝90°，所以BD ⊥CD ；②正确，易知BD ⊥平面ACD ，所以BD ⊥AC ；③正确，因为折叠后仍有AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，易知AD ⊥平面BCD ；④正确，因为AD ＝BD ＝DC ，且以D 为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知AB ＝BC ＝AC ，即△ABC 为等边三角形．4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.答案a 解析取BC 的中点M ，连结AM ，DM ，则AM ⊥BC ，由题意得AM ⊥平面BDC ，∴△AMD 为直角三角形，且AM ＝MD ＝22a ，∴AD ＝a .5．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的是________．(填序号)①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．答案③解析由题意知，当a∥l，l∥b时，a∥b.故①④错；若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，由面面垂直的性质定理得AB⊥α.∵a⊂α，∴AB⊥a.又a⊥b，AB∩b＝A，∴a⊥β⇒a⊥l.这和a与l不垂直相矛盾．∴不可能a⊥b.故②错，故填③.6．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在α，β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，则CD＝________.答案61解析作AE∥BD，使得AE＝BD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形且AE⊥AB，DE⊥CE，在Rt△ACE中，CE＝AC2＋AE2＝45，在Rt△CED中，CD＝CE2＋DE2＝61.7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________.答案5∶2解析由题意，得两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cosα＝525＋4＝529，cosβ＝2529，所以cosα∶cosβ＝5∶2.8.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在直线________上．答案AB解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，BC1∩AB＝B，BC1，AB⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在交线AB上．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列说法正确的是________．(填序号)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.答案④解析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.10．在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是________三角形．答案直角解析如图所示，连结BD ，作AE ⊥BD 于点E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，易知AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以BC ⊥AE .又因为AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥AD .又AE ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面ABD .而AB ⊂平面ABD ，则BC ⊥AB ，所以△ABC 为直角三角形．二、解答题11.如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .求证：AD ⊥CE .证明如图所示，作AO ⊥BC ，垂足为O ，连结OD .由于AO ⊥BC 且平面ABC ⊥平面BCDE ，所以AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点，由OC CD ＝CD DE ＝12知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ，从而∠ODC ＝∠CED ，于是CE ⊥OD .又∵CE ⊥AO ，AO ∩OD ＝O ，∴CE ⊥平面AOD .∵AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥CE .12.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)．(1)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ABC?(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?解(1)∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .又∵AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .∵EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值，恒有平面BEF ⊥平面ABC .(2)由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .13.如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .(1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱AA 1于点M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；(3)如果截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，那么AM ＝MA 1吗？请你叙述判断理由．(1)证明∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC .∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，平面ABC ∩侧面BB 1C 1C ＝BC ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C .又CC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)证明如图，延长B 1A 1与BM 的延长线交于点N ，连结C 1N .∵AM ＝MA 1，MA 1∥BB 1，∴A 1M ＝12BB 1，NA 1＝A 1B 1.∵A 1B 1＝A 1C 1，∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1，∴C 1N ⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，平面NB 1C 1∩侧面BB 1C 1C ＝C 1B 1，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C .又∵C 1N ⊂平面MBC 1，∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .(3)解过点M作ME⊥BC1于点E，连结DE.∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，截面MBC1∩侧面BB1C1C＝BC1，∴ME⊥侧面BB1C1C.又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∵AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．∴AM＝DE＝12CC1＝12AA1，∴AM＝MA1.三、探究与拓展14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．答案6解析取CD的中点G，连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD.所以MG ⊥平面DCEF ，又NG ⊂平面DCEF ，可得MG ⊥NG ，所以MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.15.如图所示，在几何体ABC —A 1B 1C 1中，点A 1，B 1，C 1在平面ABC 内的射影分别为A ，B ，C ，且AB ⊥BC ，E 为AB 1的中点，AB ＝AA 1＝BB 1＝2CC 1.求证：(1)CE ∥平面A 1B 1C 1；(2)平面AB 1C 1⊥平面A 1BC .证明(1)由题意知AA 1⊥平面ABC ，BB 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面ABC ，∴AA 1∥BB 1∥CC 1，取A 1B 1的中点F ，连结EF ，FC 1.∵E 为AB 1的中点，∴EF ∥12A 1A ，EF ＝121A ，又AA 1＝2CC 1，∴CC 1∥12AA 1，CC 1＝12AA 1，∴EF ∥CC 1，EF ＝CC 1，∴四边形EFC 1C 为平行四边形，∴CE ∥C 1F .又CE ⊄平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1，∴CE ∥平面A 1B 1C 1.(2)∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥BC .又AB ⊥BC ，AB ∩BB 1＝B ，∴BC ⊥平面AA 1B 1B .∵AB1⊂平面AA1B1B，∴BC⊥AB1.∵AA1＝BB1＝AB，AA1∥BB1，∴四边形AA1B1B为正方形，∴AB1⊥A1B.∵A1B∩BC＝B，∴AB1⊥平面A1BC.∵AB1⊂平面AB1C1，∴平面AB1C1⊥平面A1BC.。