衡水中学高一下学期期中考试数学试题及详细解答
π
6
π
3
→
C.
π
3
或 36-
π
3
D.
π
6
或 36-
π
6
其中真命题是 。 （写出所有真命题的序号） 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 10 分） O, O1 分别是下底面和上底面圆的圆心， 母线长与底面圆的直径 已知矩形 ABB1 A1 是圆柱体的轴截面， 之比为 2：1，且该圆柱体的体积为 32 π ，如图所示。
0 + 22 + 12 =
5，
9. 【答案】D【解析】 由题知，在长方体中 AB=BC=2，故四边形 ABCD、四边形 A1 B1C1 D1 均为正方 因为 E 为 B1 D1 中点， 所以 C1 E ⊥ B1 D1 ； 在长方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， 形。 在正方形 A1 B1C1 D1 中， 有 BB1 ⊥ 面 A1 B1C1 D1 ，故有 BB1 ⊥ C1 E ，所以 , C1 E ⊥ 面 BB1 D1 D ；故 BC1 与平面 BB1 D1 D 所成角为
5. 正四棱锥的侧棱长是底面长的 k 倍，则 k 的取值范围是（
1
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
12. 已知三棱锥 A-BOC，OA,OB.OC 两两垂直，且长度均为 6，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动，另一端点 N 在 ∆BOC 内运动（含边界）则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥所围成的几何体 的体积为 （ A.36） B.36-
1 OA，异面直线 CC1 与 BB1 所成角 2
16. 如图，正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 的棱长为 1，E 为 A1 B1 的中点，则下列四个命题： ①点 E 到平面 ABC1 D1 的距离为
1 ； 2
②直线 BC 与平面 ABC1 D1 所成角为 45 ；
③空间四边形 ABCD1 在正方体六个面内的射影围城的图形中，面积最小的值为 ④BE 与 CD1 所成角的正弦值为
3
22.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 C-ABD 中，AC ⊥ CB,AC=CB,E 为 AB 的中点，AD=DE=EC=2，CD= 2 2 ,
（I）求证：平面 ABC ⊥ 平面 ABD； （Ⅱ）求直线 BD 与平面 CAD 所成角的正弦值。
4
2016 年～2017 学年度下学期高一年级期中考试 数学试卷答案
1.【答案】C【解析】由已知向量 a = (0, 2,1), b = (−1,1, −2) ，因此 a =
∴ 球 O 的表面积是 4π•22=16π.故选 D.
8. 【答案】C【解析】根据该图形的斜二测直观图可知，该图形为直角三角形，直角边分别为 2 和 4。 故原三角形面积 S =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 × 2 × 4 = 4 。故本题正确答案为 C。 2
故本题正确答案为 A。 7. 【答案】D.【解析】由图可知，正四棱锥 P-ABCD 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个 大圆上，点 P 在球面上，PO⊥底面 ABCD，PO=R，SABCD=2R2，VP-ABCD=
11. 【答案】 B 【解析】 .在正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中, 由题意知 BD 1 ⊥ 平面 AB 1 C， 且 P 是△ AB 1 C 的中心，所以点 P 到点 A， B 1， C 的距离相等;又 BD 1 ⊥ 平面 A 1 DC 1，所以点 P 在平面 A 1 DC 1 的 射影点为△ A 1 DC 1 的中心，所以点 P 到 A 1， D， C 1 的距离相等;点 P 与 B， D 1 的距离不相等。 故选 B.
2 2 2 1 a,且 ka＞ a,∴ka＞ a,即 k＞ . 2 2 2 2
如图， 取 AC 中点为 G， 结合已知可得 GF
2 2 2
AB， 在正四面体中， AB
CD， 又 GE
CD， 所以 GE
GF,所以 EF = GE + GF ，当四面体绕 AB 旋转时，因为 GF
平面 a，GE 与 GF 的垂直性保持不 上的射影 E1 F1
1 1 1 3 3 3
B. ， ，
2 2 2 3 3 3
C. ， ，
1 2 1 3 3 3
D. ， ， ）
2 2 1 3 3 3
6 3
B.
2 6 5
C.
15 5
D.
10 5
3.设 A(3，3，1),B(1,0，5),C(0，1，0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM|= （ A.
。
14. 如图，四棱锥 P-ABCD 中， ∠BAD = ∠ABC = 90 ,BC=2AD， ∆PAB 和 ∆PAD 都是等边三角形， 则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为 。
15. 一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积 是 。
（I） 求圆柱体的侧面积的值； （Ⅱ）若 C1 是半圆弧 A1 B1 的中点，点 C 在半径 OA 上，且 OC= 为 θ ，求 sin θ 的值。
2016 年～2017 学年度下学期高一年级期中考试 数学试卷
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
2 2
B.
6 2 ， 6 2
C.
2 6 ， 2 3
D. ，
1
2
2 2
②若 α γ = m, β γ = n, m // n 则 α // β ； ④若 γ ⊥ α ， γ ⊥ β ，则 α // β 。
11.如图，在正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，P 为对角线 BD1 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值 有（ ）
（I）若 PA=1，求证：AF ⊥ PC； （Ⅱ）若二面角 P-BC-A 的大小为 60 ，则 CE 为何值时，三棱锥 F-ACE 的体积为
（I）求证： B1C // 平面 A1 BD ；
1 。 6
（Ⅱ）在线段 AA1 上是否存在一点 E，使得平面 B1C1 E ⊥ 平面 A1 BD ,若存在，求出 AE 的长；若不存 在，说明理由。
1 ， 当 CD 与平面 2
平行时， GE 在平面上的射影长最长为
2 1 ，E1 F 取得最大值 ， 2 2
x 2
x 3 3 9 3 ⋅ (3R − x) = −π ( x − R) 2 + π R 2 ，当且仅当 x = R 时等式成立。 2 2 2 4 2
所以射影
长的取值范围是 [
2 1 ， ]，故选 D 2 2
10. 正四面体 ABCD 的棱长为 1，其中线段 AB//平面 α ，E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点，当正四面 体绕以 AB 为轴旋转时，线段 EF 在平面 α 上的摄影 E1 F1 长的范围是 （ A. 0， ）
53 4
B.
53 2
C.
53 2
D.
13 2
）
4. 设 m,n 是不同的直线， α 、 β 、 γ 是三个不同的平面，有以下四个命题： （ ①若 m ⊥ α , n ⊥ α ，则 m ⊥ n ； ③若 α // β , β // γ , m ⊥ α ，则 m ⊥ γ 其中正确命题的序号是 A.①③ B.②③ C.③④ D.①④ ）
1 ； 2
10 。 10
2
18. （本小题满分 12 分） 如图四边形 ABCD 为梯形，AD//BC， ∠ABC = 90 ，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体 的表面积和体积。
20. （本小题满分 12 分） 如图，边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直，AD 与 CE 的交点为 M，AC ⊥ BC，且 AC=BC.
（I）求证：AM ⊥ 平面 EBC； （Ⅱ）求二面角 A-EB-C 的大小。
19. （本小题满分 12 分） 如图所示，PA ⊥ 平面 ABCD，ABCD 是矩形，AB=1，AD= 3 ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上 移动。 21． （本小题满分 12 分） 如图，正三棱柱 ABC − A1 B1C1 的底面边长为 2，侧棱长是 3 ，D 是 AC 的中点。
A. (0,+∞ )
B. ,+∞
1 2
C.
(
2 ,+∞
)
5 2
D.
2 , +∞ 2
）
6. 已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积最大值是 （ A. πR
9 4
2
B. 22πR
2
C. πR
8 3
2
D. πR
2
7. 正四棱锥 P-ABCD 底面的四个顶点 A,B,C,D 在球 O 的同一个大圆上，点 P 在球面上，如果
10. 【答案】D【解析】
MC =
3 (2 − 0) 2 + ( − 1) 2 + (3 − 0) 2 = 2
1 4+ +9 = 4
53 。故本题正确答案为 C。 2
4. 【答案】D【解析】若 m⊂β，α⊥β，则 m⊥α 或 m∥α，或 m 与 α 相交，故①不正确；若 α⊥γ，β ⊥γ，m⊥α，则 m⊥β 或 m⊂β，m∥β 或 m 与 β 相交，故④不正确，故选 D. 5. 【答案】 D【解析】设底面边长为 a，则 ka＞ 此题答案为：D 6. 【答案】A【解析】过圆锥顶点和底面圆心所在的直线作该圆锥的切面图，故圆锥的内接圆柱体在 切面图上为内接于切面三角形的长方形。则切面三角形高为 h=3R，底边长为 l=2R。设长方形长为
衡水中学高一下学期期中考试数学试题及详细解答
16 ， 3
1 16 •R=2， ∴ •2R2•R= 3 3
12. 【答案】 D 【解析】 因为长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动， 另一个端点 N 在△BCO 内运动（含边界） ，有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心，以 1 为半径的球体，则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的 则V =
VP − ABCD =
A.4 π
16 ，则球 O 的表面积是（ 3
B.8 π
） C.12 π D.16 π ）
1.已知向量 a = (0,2,1) ， b = ( −1,1,−2) ，则 a与b 的夹角为（
A. 0 B. 45 C. 90 D. 180
）
8. .如果是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（
2 2 2 1 a,且 ka＞ a,∴ka＞ a,即 k＞ . 2 2 2 2
如图， 取 AC 中点为 G， 结合已知可得 GF
2 2 2
AB， 在正四面体中， AB
CD， 又 GE
CD， 所以 GE
GF,所以 EF = GE + GF ，当四面体绕 AB 旋转时，因为 GF
平面 a，GE 与 GF 的垂直性保持不 上的射影 E1 F1
2..如图，正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，棱长为 1，PB
1 PB′ ，则 P 点坐标为（ 3
）
A.2 2
B.4 2
C.4
D. 8
9. 在长方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，AB=BC=2， AA1 =1，则 BC1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为 （ A. ， ， ） A.
2016-2017年河北省衡水中学高一下学期期中数学试卷(文科)及参考答案
19． （12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面△ABC 是边长为 2 的等边 三角形，D 为 AB 的中点． （Ⅰ）求证：BC1∥平面 A1CD （Ⅱ）若 A1D= ，求直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值．
20． （12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD， CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H，将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′； （Ⅱ）若 AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥 D′﹣ABCFE 体积．
14． （5 分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱， 如图，∠AOC=120°，∠A1O1B1=60°，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧，则异 面直线 B1C 与 AA1 所成角的大小是 ．
15． （5 分）四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD，AB=2，若 该四棱锥的所有顶点都在表面积为 16π 的同一球面上，则 PA= ．
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）已知直线 2x﹣y﹣3=0 的倾斜角为 θ，则 sin2θ 的值是（ A． B． ） C． D． ）
2． （5 分）下列命题正确的是（
A．两两相交的三条直线可确定一个平面 B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 3． （5 分） 如图， △A'B'C'是△ABC 用“斜二测画法”画出的直观图， 其中 O'B'=O'C'=1， O'A'= ，那么△ABC 是一个（ ）
2019-2020学年河北省衡水市故城县高级中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
河北省衡水市故城县高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( ) A. B =A ∩CB. B ∪C =CC. A =CD. A =B =C『答案』B『解析』由题B ⊆A ，∵A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}， ∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊆C ，则B 不一定等于A ∩C ，A 不一定是C 的真子集，三集合不一定相等， 故选B ．）A. 2±B.2C. 2-D.12『答案』B0sin120，选B. 3.已知sin 2cos 53sin 5cos αααα-=-+，那么tan α的值是（ ）A. －2B. 2C.2316D. 2316-『答案』D『解析』由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得tan 23tan 5αα-=-+5，∴tanα2316=-． 故选D ．4.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ） A. sin 2y x =B. cos 2x y =C. sin 2cos2x x +D. 221tan 1tan xy x-=+ 『答案』D『解析』sin 2y x =为奇函数，排除；cos 2xy =的周期为4π=T ，排除；sin 2cos2x x +是非奇非偶函数，排除；()221tan 1tan xy f x x-==+， ()()()()22221tan 1tan 1tan 1tan x x y f x f x x x --=-===+-+-，为偶函数. 2222221tan cos sin cos 21tan cos sin x x xy x x x x--===++，T π=，故D 满足. 故选：D.5.若角600°终边上有一点（-4，a ），则a 的值是（ ）A.B. ±C. -D.『答案』C『解析』∵角600︒的终边上有一点()4,a -，根据三角函数的定义可得tan 6004a︒=-， 即()4tan 6004tan 540604tan 60a =-︒=-+=-︒=-，故选C.6.要得到函数y=cos(π24-x )的图像，只需将y=sin 2x的图像( ) A. 向左平移π2个单位长度 B. 向右平移π2个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度『答案』A『解析』本题考查三角函数的图像平移问题，要注意将函数『解析』式变为πππ1πy sin[()]sin()sin (2422422）=-+=+=+x x x ，然后根据“左加右减”的口诀平移即可.考点：三角函数图像平移.7.已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ ） A. 3-B. 1-C. 1D. 3的『答案』C『解析』两向量垂直，数量积等于0，所以，8.已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A. 0B. 4，C. 16，0D. 4，0『答案』D『解析』向量()cos sin ，θθ=a ，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ，2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ．9.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15BC e =，23DC e =则OC =（ ）A.()121532e e + B.()121532e e -C. ()211352e e -D. ()211532e e -『答案』A『解析』因为矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若121115,3,()()222BC e DC e BC DC AB AD AC OC ==+=+==则,即()121532OC e e =+,故选A. 10.已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -共线，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C.12D. 12-『答案』D『解析』向量()2,3a =，()1,2b =-，ma b +与2a b -共线，则(21,32)ma b m m +=-+，2(4,1)a b -=-，11(21)(32)4.2m m m -⨯-=+⨯⇒=-故『答案』为D ．11.若A 是三角形ABC ∆中的最小内角，则sin cos A A -的取值范围是A. [B. (-C. 1[1,]2- D. 1(1,]2- 『答案』D『解析』因为A 是三角形ABC ∆中的最小内角，所以π(0,]3∈A ,因为sin cos π)4-=-A A A ，ππ(,]441π2-∈-A ，所以sin()(4π24-∈-A ，1sin cos )(,2π1]4-=-∈-A A A 因此选D.12.在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于（ ）A 6πB.4π C.π3D.2π3『答案』C『解析』由tan tan tan A B A B ++=，则tan tan tan tan )tan()1tan tan 1tan tan A B A B A B A B A B+-+==-=--因为,,A B C 位三角形的内角，所以π23+=A B ，所以3π=C ，故选C ．13.函数sin22x xy =的图象的一条对称轴方程是（ ） A. π113=x B. 3π5=xC. 53π=-xD. 3π=-x『答案』C『解析』由题意得，1sin 2sin 2222π2sin()232⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭+x x x x x y . ∵sin y x =的对称轴为π,2π=+∈x k k Z∴πππ,232+=+∈x k k Z ，可以解得为π2,3π=+∈x k k Z . ∴当1k =-时，53π=-x 故选：C.14.关于函数πsin(),2=+y x 在以下说法中正确的是（ ） A. ππ[,]22-上是增函数 B. [0,]π上是减函数 C. [π,0]-上是减函数D. [,]-ππ上是减函数『答案』B『解析』πsin()cos 2=+=y x x ，它在[0,]π上是减函数．故选：B ．15.函数y =的定义域是（ ）A. ()ππ2π,2π33⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z B. ()2,233π2⎡⎤⎢⎥⎣ππ+π+∈⎦k k k Z C. ()2,266ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈k k k Z D. ()2,2332π2⎡⎤⎢⎥⎣ππ-π+∈⎦k k k Z 『答案』D『解析』由2cos 1x +0得,∴2π2π2π2π33-+k x k ，k ∈Z. 故选D. 16.ABC 中，2a 等于（ ）A. 222cos a b ab C +-B. 222sin b c bc C +-C. 222cos a c ac B +-D. 222cos b c bc A +-『答案』D『解析』根据余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，故选：D.17.在ABC ∆中，角、、A B C 的对边,,a b c 满足222b c a bc +=+，且8bc =，则ABC ∆的面积等于（ ）A. B. 4C. D. 8『答案』A『解析』因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==，π3=A ，三角形面积S=1sin 2bc A =，故选A ． 18.在ABC 中，若60A ︒=，a bc =2，则ABC 一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形『答案』D『解析』由余弦定理知222cos 2b c a A bc+-=, 因为a bc =2,60A ︒=,所以22cos602b c bcbc︒+-=, 所以2()0b c -=,所以b c =,因此B C =, 所以60B C A ︒===,即ABC 是等边三角形, 故选:D19.在ABC 中，,A B 的对应边分别为, a b 且32,sin 5A B B ==，则a b的值是（ ） A.35B.45C.43D. 85『答案』D『解析』在△ABC 中，由正弦定理sin sin 22cos sin sin a A B B b B B ===，且()()0,π+∈A B ， 即03π<<B ，所以0π3<<B ，又3sin 5B =，4cos 5B ∴=，85a b ∴=，故选：D ．20.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A. a kmB.a kmC.a kmD. 2a km『答案』B『解析』在ABC ∆中知∠ACB ＝120°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3a 2，∴AB . 故选:B.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）21.已知(1,4)A -，(,2)-B x ，若(3,3)C 在直线AB 上，x =________．『答案』23『解析』(1,6)AB x =+-，(4,1)AC =-，由题意知A ，B ，C 三点共线，∴AB AC ，∴(1)240x -++=，∴23x =． 故『答案』为：2322.在ABC ∆中, ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，2cos ,a b C =则ABC ∆的形状为__________．『答案』等腰三角形『解析』∵在△ABC 中，2222a b c cosC ab +-=， ∴222222a b c a bcosC b ab+-==⋅∴2222a a b c =+-，∴22b c =，∴b =c .∴△ABC 为等腰三角形．23.如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸标记物C ，测得30CAB ∠=︒，75CBA ∠=︒，120m =AB ，则河的宽度为______．『答案』60m『解析』在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，75CBA ∠=︒，∴75ACB ∠=︒，∠=∠ACB ABC . ∴()120m ==AC AB .作CD AB ⊥，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．在Rt ADC ∆中，()1sin 3012060m 2=⋅︒=⨯=CD AC ．∴河的宽度为60m ． 故『答案』为：60m24.已知函数()sin(π)=-f x x ，()cos(π)=+g x x ，有以下结论： ①函数()()y f x g x =的最小正周期为π； ②函数()()y f x g x =的最大值为2；③将函数()y f x =的图象向右平移π2个单位后得到函数()y g x =的图象； ④将函数()y f x =的图象向左平移π2个单位后得到函数()y g x =的图象.其中正确结论的序号是____________.『答案』①④『解析』()sin(π)sin =-=-f x x x ，()cos(π)cos =+=-g x x x .因为1()()(sin )(cos )sin cos sin 22y f x g x x x x x x ==-⋅-=⋅=， 所以1()()sin 22y f x g x x ==的最小正周期为：2ππ2=，故结论①正确； 因为1()()sin 22y f x g x x ==的最大值为12，所以结论②不正确；因为函数()y f x =的图象向右平移π2个单位后得到函数的『解析』式为： ()sin()cos 2π2π=-=--=y f x x x ，所以结论③不正确；因为函数()y f x =的图象向左平移π2个单位后得到函数的『解析』式为：()sin()cos ()22ππ=+=-+=-=y f x x x g x ，所以结论④正确.故『答案』为：①④三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）25.已知平面向量(1,)a x =，(23,)()b x x x =+-∈N ． （1）若a 与b 垂直，求x ； （2）若//a b ，求a b -．解：（1）由已知得,1(23)()0x x x ⋅++-=,解得3x =或1x =-． 因为x N ∈,所以3x =．（2）若//a b ,则1()(23)0x x x ⋅--⋅+=,所以0x =或2x =-． 因为x N ∈,所以0x =．所以(2,0)a b -=-,所以||2a b -=．26.16．设ABC 的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． ⑴．求边长a ；⑵．若ABC 的面积10S =，求ABC 的周长l ． 解：⑴．cos 3a B =，sin 4b A =两式相除，有：3cos cos cos 14sin sin sin tan a B a B b B b A A b B b B==== 又cos 3a B =，故cos 0B >，则3cos 5B =，4sin 5B =，则5a =．⑵．由1sin 2S ac B =，得到5c =．由222cos 2a c b B ac+-=，解得b =故10l =+．。
河北省衡水市高一下学期期中数学试卷(理科)
河北省衡水市高一下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单项选择 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·牡丹江期末) 已知全集，集合，集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一上·桂林月考) 若集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高三上·信阳期中) 等于（）A . ﹣2B . ﹣1C . 1D . 24. （2分）读右侧程序框图，该程序运行后输出的A值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·珠海期末) 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积，弧田（如图所示）由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是（）（）A . 16平方米B . 18平方米C . 20平方米D . 24平方米6. （2分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数在上的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·内江模拟) 已知向量，，，则向量与的夹角为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·成都期中) 在△ABC中，sinA= ，cosB= ，则cosC=（）A . ﹣B . ﹣C . ±D . ±9. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016八下·曲阜期中) 将函数y=sin(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A . y=sin xB . y=sin(x－)C . y=sin(x－)D . y=sin(2x－)11. （2分）函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为（）A . 2B . 0C . 1D . 612. （2分）若sinx•cosx=，且，则cosx﹣sinx的值是（）A .B .C . -D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·高淳期末) 学校高二足球队有男运动员16人，女运动员8人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为9的样本，则抽取男运动员的人数是________．14. （1分） (2016高一下·龙岩期中) 已知向量 =（3，4）， =（﹣2，4），那么在方向上的投影是________．15. （1分） (2016高一上·酒泉期中) 若函数f（x+1）=x，则f（6）=________16. （1分） (2017高二下·新余期末) 给出下列命题：①定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则f（x）一定不是R上的减函数；②用反证法证明命题“若实数a，b，满足a2+b2=0，则a，b都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设a，b都不为0”．③把函数y=sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为y=sin2x．④“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充分不必要条件．其中所有正确命题的序号为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一上·重庆期中) 设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若A∩B=B，求m的取值范围；（2）若A∩B≠∅，求m的取值范围．18. （5分） (2016高一上·荆门期末) 已知向量与的夹角为，，| |=3，记，（I）若，求实数k的值；（II）当时，求向量与的夹角θ．19. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2，f（A）=1，求△ABC的周长的最大值．20. （10分） (2016高一下·衡水期末) 已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥ ，求| ﹣ |（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．21. （10分） (2016高三上·临沂期中) 已知函数f（x）= sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，当x∈[0， ]时，f（x）的最大值为1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．22. （5分） (2018高一上·湖州期中) 已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数．（Ⅰ）求常数k的值；（Ⅱ）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅲ）若a=2，且函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[0，1]上的最小值为1，求实数m的值．参考答案一、单项选择 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．已知向量e 1→与e 2→不共线，x ，y ∈R ，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→，则x ﹣y 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．24．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ） A ．正三棱柱B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥5．已知向量a →=(x −1，2)，b →=(2，4)，则“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为S 1，下方的圆台侧面积为S 2，则S 1：S 2＝（ ）A ．9：25B ．9：16C ．7：9D ．16：257．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →（m ＞0，n ＞0），则2m+1n的最小值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．48．规定|a bcd |=ad ﹣bc ，若在复平面上的三个点A ，B ，C 分别对应复数0，z ，zi ，其中z 满足|z 1−i1+i 1|=i ，则△ABC 的面积为（ ） A ．25B ．252C ．5D ．52二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知复数z =1+i1−i，则（ ） A ．z 2021是纯虚数B ．若|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值是2C ．z 的共轭复数为﹣iD ．复数z +z •i 在复平面内对应的点在第二象限10．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−1)，c →=(m −2，−n)，e →向量是与b →方向相同的单位向量，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)∥c →，下列说法正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为钝角 B ．向量a →在b →方向上的投影向量为√55e →C ．2m +n ＝4D ．mn 的最大值为211．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则能确定B 为钝角的是（ ） A ．sin 2A +sin 2C ＞sin 2B B ．AB →⋅BC →＜0 C ．cb ＜cosAD ．0＜tan A tan C ＜112．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则以下结论正确的是（ ）A ．AB →+BC →=12HD →B ．OA →+OC →=−OF →C ．AE →⋅CG →=0D ．|OA →−OC →|=√2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为 ．14．把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，则其中最小球的半径为 ．15．已知a →•b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为4e →．则|b →|＝ ． 16．已知向量a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ)，则|a →−b →|的最大值为 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），且AD →∥BC →． （1）求实数n 的值；（2）若AC →⊥BD →，求实数m 的值．18．（12分）设复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi ，其中x ，y ∈R ，且复数z 1，z 2所对应的点都在复平面第一象限内． （1）若|z 1|＝|z 2|＝3，求实数x ，y 的值；（2）设z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，若OZ 1→与OZ 2→共线，求2x +y 的最小值． 19．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且满足a 2+b 2﹣c 2＝ab ． （1）求角C 的大小；（2）设向量a →=（2sin A ，1），向量b →=(cosC ，12)，且向量a →，b →共线，判断△ABC 的形状．20．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm ．（1）求这种“浮球”的体积；（2）要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →．（1）若EF →=xAB →+yAD →，求3x +2y 的值； （2）若|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，求AC →⋅EF →．22．（12分）已知A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），O 为坐标原点． （1）AC →⋅BC →=−1，求sin2θ的值；（2）若|OA →−OC →|=√7，且θ∈（0，π），求OB →与OC →的夹角．2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ， ∴z 1•z 2＝（2+i ）（1﹣2i ）＝4﹣3i ，∴z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点（4，﹣3）位于第四象限． 故选：D ．2．在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解：若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|＝|BC →|，则△ABC 为等边三角形． 故选：A ．3．已知向量e 1→与e 2→不共线，x ，y ∈R ，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→，则x ﹣y 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．2解：∵向量e 1→与e 2→不共线，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→， ∴{3x −4y =62x −3y =3，两式相减得：x ﹣y ＝3， 故选：B ．4．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ）A ．正三棱柱B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥解：对于A ，正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A 成立； 对于B ，正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B 成立； 对于C ，正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C 成立；对于D ，因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D 不成立； 故选：D ．5．已知向量a →=(x −1，2)，b →=(2，4)，则“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a →与b →夹角为锐角，则a →⋅b →=2（x ﹣1）+8＞0，解得x ＞﹣3， 所以由“a →与b →夹角为锐角”可以推出“x ＞﹣3”，若x ＞﹣3，取x ＝2，则a →=（1，2），此时a →∥b →，a →与b →夹角为0°， 所以由x ＞﹣3”推不出“a →与b →夹角为锐角”，所以“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的充分不必要条件． 故选：A ．6．如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为S 1，下方的圆台侧面积为S 2，则S 1：S 2＝（ ）A ．9：25B ．9：16C ．7：9D ．16：25解：由题意可知，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，设圆台的母线长为2l ， 因为一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台， 则平面上方的圆台的母线为l ，上底面半径为3，下底面半径为4， 平面下方的圆台的母线为l ，上底面半径为4，下底面半径为5， 由圆台的侧面积公式可得，S 1＝π×（3+4）•l ，S 2＝π•（4+5）•l ， 则S 1S 2=7πl 9πl=79=7：9．故选：C ．7．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →（m ＞0，n ＞0），则2m+1n的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4解：由“A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →”可知m +2n ＝1（m ＞0，n ＞0），∴2m +1n =（m +2n ）(2m +1n )＝4+4n m +m n ≥4+2√4n m ⋅mn =8,当且仅当{m +2n =14n m =m n 即{m =12n =14时取“＝”． ∴2m+1n的最小值是8．故选：C ． 8．规定|a bcd|=ad ﹣bc ，若在复平面上的三个点A ，B ，C 分别对应复数0，z ，zi ，其中z 满足|z 1−i1+i 1|=i ，则△ABC 的面积为（ ） A ．25B ．252C ．5D ．52由题意得z ﹣（1+i ）（1﹣i ）＝i ，∴z ＝2+i ，∴z ＝2+i ，∴zi ＝（2+i ）i ＝﹣1+2i ， 则A （0，0），B （2，1），C （﹣1，2）， ∴|AB |=√5，|AC |=√5，|BC |=√10，可得|AB |2+|AC |2＝|BC |2，即△ABC 是等腰直角三角形， ∴△ABC 的面积S =12×√5×√5=52． 故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知复数z =1+i1−i，则（ ） A ．z 2021是纯虚数B ．若|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值是2C ．z 的共轭复数为﹣iD ．复数z +z •i 在复平面内对应的点在第二象限解：∵z =1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i12+(−1)2=i ，∴z 2021＝i 2021＝（i 4）505•i ＝i ，是纯虚数，故A 正确；若|z 1﹣z |＝1，即|z 1﹣i |＝1，则z 1所对应点的轨迹为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆， 则|z 1|的最大值是2，故B 正确；z 的共轭复数为﹣i ，故C 正确；z +z •i ＝﹣i +i •i ＝﹣1﹣i ，在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限，故D 错误． 故选：ABC ．10．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−1)，c →=(m −2，−n)，e →向量是与b →方向相同的单位向量，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)∥c →，下列说法正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为钝角 B ．向量a →在b →方向上的投影向量为√55e →C ．2m +n ＝4D ．mn 的最大值为2解：对于A ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则a →•b →=2﹣1＝1＞0，则a →、b →的夹角为锐角，A 错误；对于B ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则向量a 在b 方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√22， e →向量是与b →方向相同的单位向量，则向量a →在b →方向上的投影向量为√22e →，故B 错误； 对于C ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则a →−b →=（1，2），若（a →−b →）∥c →，则（﹣n ）＝2（m ﹣2），变形可得2m +n ＝4，C 正确；对于D ，由C 的结论，2m +n ＝4，而m ，n 均为正数，则有mn =12（2m •n ）≤12（2m+n 2）2＝2，当且仅当{2m =n 2m +n =4，即{m =1n =2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确． 故选：CD ．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则能确定B 为钝角的是（ ） A ．sin 2A +sin 2C ＞sin 2B B ．AB →⋅BC →＜0 C ．cb＜cosAD ．0＜tan A tan C ＜1解：对于A ，由于sin 2A +sin 2C ＞sin 2B ，利用正弦定理可得a 2+c 2＞b 2，可得cos B =a 2+c 2−b22ac＞0，可得B 为锐角，故A 错误；对于B ，由于AB →⋅BC →＜0，即−BA →⋅BC →=−|BA →|•|BC →|cos B ＜0，可得cos B ＞0，又B 为三角形的内角，可得B 为锐角，则B 错误； 对于C ，因为cb＜cosA ，可得cb＜b 2+c 2−a 22bc，整理可得a 2+c 2＜b 2，可得cos B =a 2+c 2−b22ac＜0，由B ∈（0，π），可得B 为钝角，故C 正确；对于D ，因为0＜tan A tan C ＜1，所以tan B ＝﹣tan （A +C ）=tanA+tanCtanAtanC−1＜0，由B ∈（0，π），可得B 为钝角，故D 正确． 故选：CD ．12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则以下结论正确的是（ ）A ．AB →+BC →=12HD →B ．OA →+OC →=−OF →C ．AE →⋅CG →=0D ．|OA →−OC →|=√2解：在正八边形ABCDEFGH 中，∠AOB ＝45°，则AE →⊥CG →，所以AE →⋅CG →=0，故C 正确； 在直角三角形AOC 中，∠AOC ＝90°，且OA ＝OC ＝1，AC =√2， 则|OA →−OC →|=|CA →|=√2，故D 正确；又AB →+BC →=AC →，因为|HD →|=2，|AC →|=√2，且AC →∥HD →，则AB →+BC →=√22HD →，故A 错误； 由平行四边形法则可得OA →+OC →=√2OB →=−√2OF →，故B 错误． 故选：CD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为 10 ．解：∵平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1， ∴原四边形OPQR 是长为3，宽为2的矩形， ∴原四边形OPQR 的周长为10， 故答案为：10．14．把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，则其中最小球的半径为12R ．解：原球的体积为：4π3R 3，把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4， 最小球的体积为：18×4π3R 3，设小球的半径为r ，可得4π3r 3=18×4π3R 3，所以r =12R ． 故答案为：12R ．15．已知a →•b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为4e →．则|b →|＝ 4 ． 解：设a →与b →的夹角为θ，因为a →•b →=16，所以|a →||b →|cos θ＝16， 又因为a →在b →上的投影向量为4e →．所以|a →|cos θ＝4，所以|b →|＝4． 故答案为：4．16．已知向量a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ)，则|a →−b →|的最大值为 √2 ． 解：∵a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ) ∴|a →−b →|=|sin θ﹣cos θ|=√2|sin （θ−π4）| ∴√2sin(θ−π4)∈[−√2，√2] ∴|a →−b →|≤√2， 故答案为：√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），且AD →∥BC →． （1）求实数n 的值；（2）若AC →⊥BD →，求实数m 的值．解：因为AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），所以AD →=AB →+BC →+CD →=（3，3+m +n ）， （1）因为AD →∥BC →．所以AD →=λBC →，即{3=3λ3+m +n =λm，解得n ＝﹣3；（2）因为AC →=AB →+BC →=（2，3+m ），BD →=BC →+CD →=（4，m ﹣3），又AC →⊥BD →， 所以AC →•BD →=0，即8+（3+m ）（m ﹣3）＝0，解得m ＝±1．18．（12分）设复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi ，其中x ，y ∈R ，且复数z 1，z 2所对应的点都在复平面第一象限内． （1）若|z 1|＝|z 2|＝3，求实数x ，y 的值；（2）设z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，若OZ 1→与OZ 2→共线，求2x +y 的最小值． 解：（1）复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi 对应的点分别为（x ，2），（1，2y ），且x ＞0，y ＞0， ∵|z 1|＝|z 2|＝3，∴{x 2+4=91+4y 2=9，解得x =√5，y =√2． （2）z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，则OZ 1→=(x ，2)，OZ 2→=(1，2y)， ∵OZ 1→与OZ 2→共线，∴2xy ＝2，即xy ＝1，∴2x +y ≥2√2xy =2√2，当且仅当x =√22，y =√2时，等号成立， 故2x +y 的最小值为2√2．19．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且满足a 2+b 2﹣c 2＝ab ． （1）求角C 的大小；（2）设向量a →=（2sin A ，1），向量b →=(cosC ，12)，且向量a →，b →共线，判断△ABC 的形状．解：（1）∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ．∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =12，C ∈（0，π）．∴C =π3． （2）∵向量a →，b →共线，∴12×2sin A ﹣cos C ＝0，可得sin A ＝cos C =12，A ∈(0，2π3)．解得A =π6，∴B ＝π﹣A ﹣C =π2． ∴△ABC 是直角三角形．20．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm ．（1）求这种“浮球”的体积；（2）要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？解：（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，由球体的体积为：V 1=43πR 3=2563πcm 3， 圆柱体积为：V 2=πR 2⋅ℎ=48πcm 3，所以浮球的体积为：V =V 1+V 2=4003πcm 3． （2）上下半球的表面积：S 1=4πR 2=64πcm 2，圆柱侧面积：S 2=2πRℎ=24πcm 2，所以，1个浮球的表面积为S ＝64π+24π＝88πcm 2，3000个浮球的表面积为：3000×88π＝264000πcm 2，因此每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶264000π×0.1＝26400π克．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →． （1）若EF →=xAB →+yAD →，求3x +2y 的值；（2）若|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，求AC →⋅EF →．解：（1）因为在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →． 故EF →=EC →+CF →=12AD →−23AB →， 故x =−23，y =12，所以3x +2y ＝﹣1．（2）显然AC →=AB →+AD →，所以AC →⋅EF →=(AB →+AD →)⋅(12AD →−23AB →)=−23AB →2+12AD →2−16AB →⋅AD →⋯⋯①， 因为菱形ABCD ，且|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，故|AD →|=6，＜AB →，AD →＞=60°． 所以AB →⋅AD →=6×6×cos60°=18．故①式=−23×62+12×62−16×18=−9．故AC →⋅EF →=−9．22．（12分）已知A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），O 为坐标原点．（1）AC →⋅BC →=−1，求sin2θ的值；（2）若|OA →−OC →|=√7，且θ∈（0，π），求OB →与OC →的夹角．解：（1）根据题意，A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），则AC →=（cos θ﹣2，sin θ），BC →=（cos θ，sin θ﹣2），若AC →⋅BC →=−1，即cos θ（cos θ﹣2）+sin θ（sin θ﹣2）＝﹣1，变形可得：sin θ+cos θ＝1，则有1+2sin θcos θ＝1+sin2θ＝1，故sin2θ＝0，（2）根据题意，A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），则OA →=（2，0），OB →=（0，2），OC →=（cos θ，sin θ）OA →−OC →=CA →=（2﹣cos θ，﹣sin θ），若|OA →−OC →|=√7，则有（2﹣cos θ）2+（﹣sin θ）2＝5﹣4cos θ＝7，变形可得cos θ=−12，又由θ∈（0，π），则sin θ=√32，则OC →=（−12，√32）； 则|OB →|＝2，|OC →|＝1，OB →•OC →=√3，cos ＜OB →，OC →＞=OB →⋅OC →|OB →||OC →|=√32，则有＜OB →，OC →＞=π6， 故OB →与OC →的夹角为π6．。
河北衡水中学期中考试高一数学试卷
注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知}104|{+∈=N x x x A 的公倍数，与是，},20|{+∈==N m m x x B ，则 （ ）A ．B A ⊆且B A ≠ B ．A B ⊆且B A ≠C ． B A =D ．B A ∈2.已知{}{}1|,1|22+==+==x y y N x y x M ，则N M 等于（ ）A. φB.MC.ND.R3. 若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4.下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）(1)偶函数的图像一定与y 轴相交;(2)函数)(x f 为奇函数的充要条件是0)0(=f ;(3)偶函数的图像关于y 轴对称；(4)既是奇函数，又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=。
A ．1 B.2. C.3 D.45. 函数2134y x x =+- （ ）A ．)43,21(- B.]43,21[- C.),43[]21,(+∞⋃-∞ D.),0()0,21(+∞⋃-6.函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( )． A ．(0，1) B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1] 7.函数f (x )＝x1－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称8.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.()()+∞-,31,3B. ()()+∞-,21,3C. ()()+∞-,31,1D.()()3,13, -∞-9.)1(-=x f y 的定义域是 （ ）A.]50[，]23[，- D.]32[，-10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=1,21,4)3()(x xa x x a x f 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,1)D ．(0,1]11.若函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m的值是 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 函数2y =的单调递增区间是（ ）A ．)2,(-∞ B.)2,0( C.)4,2( D.),2(+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（每题5分，共20分。
2019-2020学年衡水市武邑中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年衡水市武邑中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合U ={0,1，2，3，4，5，6}，A ={0,2，4，6}，则∁U A =( )A. {0,2，4，6}B. {2,4，6}C. {1,3，5}D. {0,1，3，5}2. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ |=√2|b ⃗ |，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. 3π43. 将函数f(x)=√3sin x2−cos x2的图象向右平移2π3个单位长度得到函数y =g(x)的图象，则函数y =g(x)的一个单调减区间是( )A. (−π2,−π4)B. (−π4,π2)C. (π2,π)D. (3π2,2π)4. 设a ∈(0,1)，则函数y =√log a (x −1)的定义域是( )A. (1,2]B. (1,+∞)C. [2,+∞)D. (−∞,2]5. 在直角三角形中，，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且，则的取值范围为( )A.B.C.D.6. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角的正弦值是( )A. √32B. −12C. 12D. −√327. 已知向量a ⃗ ⊥b ⃗ ，|a ⃗ −b ⃗ |=2，定义：c λ⃗⃗⃗ =λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ ，其中0≤λ≤1.若c λ⃗⃗⃗ ⋅c 12⃗⃗⃗ =12，则|c λ⃗⃗⃗ |的最大值为( )A. 12B. √22C. 1D. √28. 平面直角坐标系中，在由x 轴、x =π3、x =5π3和y =2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y ≤1−sin3x 的概率是( )A. 4π3B. π4C. 13D. 129. 函数f(x)=2sin 2x −1是( )A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数10. 函数f(x)=1x −log 2x 的零点所在区间是( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,2)D. (2,3)11. 已知向量a ⃗ =(λ,2)，b ⃗ =(1,−2)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数λ=( )A. 1B. 4C. −1D. −412. 设函数f(x)=log 2x +2x −3，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−3−m)若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是______．14. 函数f(x)=√1−x 的定义域是______ ．15. 与两圆(x +2)2+y 2=1，(x −2)2+y 2=1都相切，且半径为3的圆一共有______个． 16. 已知点A(−3,2)、B(1,−4)，过A 、B 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，则l 1和l 2的交点M 的轨迹方程为______ (化为标准形式)三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数f(x)=asin 2x +bsinxcosx 满足f(π6)=f(3π2)=2(1)求实数a ，b 的值以及函数f(x)的最小正周期；(2)记g(x)=f(x +t)，若函数g(x)是偶函数，求实数t 的值．18. 在平面四边形ABCD 中，(1)若已知AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =50.求sin∠BAD 的值；(2)若AC =3，BD =2，求(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的值．19. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4),OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−3−m)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．20. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1表面上运动，且PA =r(0<r <√3).记点P 的轨迹的长度为f(r).求关于r 的方程f(r)=k 的解的个数的所有可能的值．21.如图直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，E、F分别是BC，CC1的中点，(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1(2)设AB的中点为D，∠CA1D=45°，求三棱锥F−AEC的体积．22.已知a>0且a≠1，函数f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a1，记F(x)=2f(x)+g(x)1−x(1)求函数F(x)的定义域D及其零点；(2)试讨论函数F(x)在定义域D上的单调性；(3)若关于x的方程F(x)−2m2+3m+5=0在区间[0,1)内仅有一解，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：集合U={0,1，2，3，4，5，6}，A={0,2，4，6}，则∁U A={1,3，5}，故选：C．由全集U及A求出A的补集此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．根据a⃗⊥(a⃗−2b⃗ )即可得出a⃗⋅b⃗ =a⃗22，再根据|a⃗|=√2|b⃗ |即可得出cos<a⃗,b⃗ >=√22，然后即可得出a⃗与b⃗ 的夹角．解：∵a⃗⊥(a⃗−2b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =a⃗22，且|a⃗|=√2|b⃗ |，∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=a⃗⃗22√2a⃗⃗22=√22，且0≤<a⃗,b⃗ >≤π，∴a⃗与b⃗ 的夹角为π4．故选：B．3.答案：A解析：解：∵将函数f(x)=√3sin x2−cos x2=2sin(x2−π6)的图象向右平移2π3个单位长度得到函数y=g(x)的图象，∴g(x)=2sin[12(x−2π3)−π6]=−2cos x2，∴由2kπ+π≤x2≤2kπ+2π，解得：4kπ+2π≤x≤4kπ+4π，k∈Z，可得函数y=g(x)的单调减区间是：[4kπ+2π,4kπ+4π]，k∈Z，∴当k=−1时，函数y=g(x)的一个单调减区间是：[−2π,0]，∴由(−π2,−π4)⊂[−2π，0]，可得(−π2,−π4)是函数y=g(x)的一个单调减区间．故选：A．由两角差的正弦函数公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可求g(x)=−2cos x2，利用余弦函数的单调性可求其单调递减区间，比较各个选项即可得解．本题主要考查了两角差的正弦函数公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的单调性，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．4.答案：A解析：解：log a(x−1)≥0，因为a∈(0,1)，所以0<x−1≤1，x∈(1,2]故选：A．求函数的定义域，只要解析式有意义，即只要log a(x−1)≥0即可，再利用对数函数的性质求解．本题考查求函数的定义域问题，属基本题型、基本运算的考查．5.答案：D解析：以为坐标原点，为轴建立平面坐标系，则，∴所在直线的方程为：，设，且不妨设，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴时有最小值4；当，或时有最大值6，∴的取值范围为，故选：D ．考点：平面向量数量积的运算．6.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积，向量的模以及向量的夹角，属于基础题．先求得a ⃗ ⋅b ⃗ 以及|a ⃗ |、|b ⃗ |，再根据向量的夹角公式求得a ⃗ ,b ⃗ 的夹角的余弦值，即可求得结果． 解：∵e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量， ∴|e 1⃗⃗⃗ |=|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12． ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )·(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )=−6e 1⃗⃗⃗ 2+2e 2⃗⃗⃗ 2+e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =−6+2+12=−72．|a ⃗ |=√4e 1⃗⃗⃗ 2+e 2⃗⃗⃗ 2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7， |b ⃗ |=√9e 1⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√9+4−6=√7， 设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=−72√7×√7=−12， ∴sinθ=√1−cos 2θ=√32． 故选：A ．7.答案：C解析：解：如图，记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c 12⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c λ⃗⃗⃗ ，<c 12⃗⃗⃗ ，c λ⃗⃗⃗ >=α．∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，|a ⃗ −b ⃗ |=2，∴|c 12⃗⃗⃗ |=1， ∵c λ⃗⃗⃗ =λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ ， ∴B 、P 、D 、C 四点共线，∵12=c λ⃗⃗⃗ ⋅c 12⃗⃗⃗ =|c λ⃗⃗⃗ |⋅|c 12⃗⃗⃗ |cosα=1⋅|c λ⃗⃗⃗ |cosα，∴c λ⃗⃗⃗ 在c 12⃗⃗⃗ 上的投影为12，∴当B 、P 两点重合时，|c λ⃗⃗⃗ |最大，此时α=π3，|c λ⃗⃗⃗ |=|c 12⃗⃗⃗ |=1， 故选：C ．画出草图，通过a ⃗ ⊥b ⃗ 、|a ⃗ −b ⃗ |=2可得|c 12⃗⃗⃗ |=1，利用c λ⃗⃗⃗ =λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ 可得B 、P 、D 、C 四点共线，结合12=|c λ⃗⃗⃗ |cosα，可得当B 、P 两点重合时|c λ⃗⃗⃗ |最大，计算即可．本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．8.答案：D解析：解：由x 轴、x =π3、x =5π3和y =2所围成的矩形的面积为S =2×4π3=8π3，利用割补法，可得满足不等关系y ≤1−sin3x 且在矩形内部的区域面积为S 1=12×8π3=4π3， ∴所求概率为P =S 1S=12， 故选：D ．以面积为测度，求出相应区域的面积，即可求出概率．本题考查几何概型，考查面积的计算，正弦函数的性质，属于中档题．9.答案：B解析：解：函数f(x)=2sin 2x −1=1−cos2x2−1=−12cos2x −12，所以函数的周期是π，因为f(−x)=−12cos(−2x)−12=−12cos2x −12=f(x)，所以函数是偶函数， 故选B利用二倍角公式化简即可求出函数的最小正周期，判断函数的奇偶性，推出选项． 本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，奇偶性的判定，考查计算能力．10.答案：C解析：解：f(12)=2+1=3>0，f(1)=1>0，f(2)=12−1=−12<0 故函数f(x)=1x −log 2x 的零点必落在区间(1,2) 故选：C ．要判断函数f(x)=1x −log 2x 的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判断区间的两个端点对应的函数值，然后根据连续函数在区间(a,b)上零点，则f(a)与f(b)异号进行判断．本题主要考查了函数的零点，解答的关键是零点存在定理：即连续函数在区间(a,b)上零点，则f(a)与f(b)异号，属于基础题．11.答案：B解析：解：∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =λ−2×2=0，解得λ=4． 故选：B ．由a ⃗ ⊥b ⃗ ，可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，即可解得λ．本题查克拉向量垂直与数量积的关系，属于基础题．12.答案：B解析：解：函数f(x)=log 2x +2x −3，在x >0时是连续增函数， 因为f(1)=log 21+2−3=−1<0，f(2)=log 22+4−3=1+1>0， 所以f(1)f(2)<0，由零点判定定理可知，函数的零点在(1,2)． 故选：B ．判断函数的单调性与连续性，利用零点判定定理求解即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性的判断是一疏忽点．13.答案：(−34,12)∪(12,+∞)解析：本题主要考查向量的表示方法，两个向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题． 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得m =12.求出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m +m >0，可得m >−34.由此可得当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围． 解：∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,1−m)， 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有3(1−m)=2−m ，解得m =12． 由题设知，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−m,−m)，∵∠ABC 为锐角，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m +m >0，可得m >−34． 由题意知，当m =12 时，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是(−34,12)∪(12,+∞)， 故答案为(−34,12)∪(12,+∞)．14.答案：(−∞,1)解析：解：由题意得： 1−x >0，解得：x <1， 故函数的定义域是(−∞,1)， 故答案为：(−∞,1)．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．15.答案：7解析：解：因为两圆O 1(x +2)2+y 2=1，O 2(x −2)2+y 2=1是相离的， 所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都外切的有2个，与两圆都内切的有1个，与圆O 1 内切于圆O 2 外切的圆有2个，与圆O 1 外切于圆O 2 内切的圆有2个，共7个，方程分别为：x 2+y 2=9，x 2+(y ±2√3)2=9，(x +32)2+(y ±√152)2=9，(x −32)2+(y ±√152)2=9，故答案为：7．根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．本题主要考查了圆与圆的位置关系，是基础题．16.答案：(x +1)2+(y +1)2=13解析：解：设M(x,y)，则∴过A 、B 作两条互相垂直的直线l 1和l 2的交点M ，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(−3−x,2−y)⋅(1−x,−4−y)=0，∴(−3−x)(1−x)+(2−y)(−4−y)=0，化简整理可得(x +1)2+(y +1)2=13．故答案为：(x +1)2+(y +1)2=13．设出M 的坐标，利用过A 、B 作两条互相垂直的直线l 1和l 2的交点M ，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，根据向量数量积公式可得交点M 的轨迹方程．本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)由{f(π6)=2f(3π2)=2得，{a +√3b =8a =2 解得{a =2b =2√3…(3分) 将a =2，b =4√3代入f(x)=asin 2x +bsinxcosx得f(x)=2sin 2x +2√3sinxcosx所以f(x)=1−cos2x +√3sin2x =1+2sin(2x −π6)…(5分)所以函数f(x)的最小正周期T =2π2=π…(6分)(2)由(1)得f(x +t)=2sin[2(x +t)−π6]+1，所以g(x)=2sin(2x +2t −π6)+1…(8分)函数g(x)是偶函数，则对于任意的实数x ，均有g(−x)=g(x)成立．所以sin[(2t −π6)+2x]=sin[(2t −π6)−2x]整理得，cos(2t −π6)sinx =0对于任意的实数x 均成立，只有cos(2t −π6)=0，解得2t −π6=kπ+π2，所以t =kπ2+π3，k ∈Z …(12分) 解析：(1)由已知解a ，b 的值，从而可求函数解析式为：f(x)=1+2sin(2x −π6)，由周期公式即可求解．(2)由(1)先求得g(x)，由函数g(x)是偶函数，可得sin[(2t −π6)+2x]=sin[(2t −π6)−2x]，即有cos(2t −π6)=0，从而解得实数t 的值． 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)在Rt △ADC 中，AD =8，CD =6，∠ADC =90°，则AC =10，cos∠CAD =45，sin∠CAD =35．∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =50，AB =13， ∴cos∠BAC =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=513． ∵0<∠BAC <π，∴sin∠BAC =1213．∴sin∠BAD =sin(∠BAC +∠CAD)=6365．(2)由于AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9−4=5．解析：(1)在Rt △ADC 中，解直角三角形求得AC ，cos∠CAD ，sin∠CAD ，再由数量积求夹角求得cos∠BAC ，进一步得sin∠BAC ，再由两角和的正弦求得sin∠BAD 的值；(2)利用平面向量的加法与减法法则转化为向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求解． 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法法则与减法法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．19.答案：解：(1)已知向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−(3+m))∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,1−m),由三点共线知3(1−m)=2−m∴实数m =12时，满足的条件 …(6分)(2)由题设知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−m,−m)∵∠ABC 为锐角，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m +m >0⇒m >−34…(12分) 又由(1)可知，当m =12时,∠ABC =0° 故m ∈(−34,12)∪ (12,+∞)…(13分)解析：(1)由题意求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用A ，B ，C 三点共线，即可求实数m 的值； (2)求出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用∠ABC 为锐角，通过向量的数量积的范围，求实数m 的取值范围 本题是中档题，考查向量的表示方法，向量的数量积的应用，考查计算能力． 20.答案：解：由于正方体绕其体对角线旋转120°后仍与自身重合，于是f(r)在正方体的侧面ABB 1A 1与BCC 1B 1上的轨迹长度之和的3倍．将右侧面BCC 1B 1翻折至于侧面ABB 1A 1重合(如图)，稍加探索发现r =1，r =√2是两个分界点．(1)当0<r ≤1时，f(r)=3πr2，于是f(12)=3π4； (2)当1<r <√2时，设圆心角θ=arccos 1r ，其中θ∈(0,π4)，弧长之和为ℎ(θ)=(π2−2θ)⋅1cosθ+π2⋅tanθ=π2⋅sinθ−4θπ+1cosθ， 于是ℎ′(θ)=π2⋅1+sinθ−4π(cosθ+θ⋅sinθ)cos 2θ， 设φ(θ)=1+sinθ−4π(cosθ+θ⋅sinθ)，则φ(0)=1−4π<0，φ(π4)=1−4π⋅√22>0， 而φ′(θ)=cosθ(1−4π⋅θ)>0，则φ(θ)在(0,π4)上先负后正，对应的ℎ(θ)在(0,π4)先递减后递增；(3)当√2≤r <√3时，图中弧长的半径为√r 2−1，所对的圆心角为π2−2arccos √r 2−1，记θ=arccos √r 2−1，其中θ∈[0,π4)，则对应的弧长l(θ)=(π2−2θ)⋅1cosθ，则l′(θ)=−2−2θtanθ+π2tanθcosθ<0，于是随r 递增，θ递增，对应的弧长递减，即f(r)递减．这样我们勾勒出函数f(r)的图象，于是f(r)=k 的解的个数所有可能的值为0，2，3，4．解析：考虑由于正方体绕其体对角线旋转120°后仍与自身重合，于是f(r)在正方体的侧面ABB 1A 1与BCC 1B 1上的轨迹长度之和的3倍，对r 讨论，(1)当0<r ≤1时，(2)当1<r <√2时，(3)当√2≤r <√3时，运用弧长公式，求导数，判断单调性，画出f(r)的大致图象，即可得到方程的所有可能解的个数．本题考查方程解的个数问题的解法，考查分类讨论思想方法，以及数形结合的思想，注意运用单调性画出f(r)的图象是解题的关键，属于难题．21.答案：证明：(1)因为AE ⊥BB 1，AE ⊥BC ，所以AE ⊥面B 1BCC 1，而AE ⊂面AEF ，所以面AEF ⊥面B 1BCC 1，(2)取AB 中点D ，连接A 1D ，CD ，由题知∠CA 1D =45°，所以A 1D =CD =√32AB =2√3， 在Rt △AA 1D 中，AA 1=√A 1D 2−AD 2=√12−4=2√2，所以FC =√2，故体积V =13S △AEC ×CF =2√63．解析：本题主要考查面面垂直的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理和体积公式是解决本题的关键．(1)根据面面垂直的判定定理进行证明即可．(2)根据三棱锥的体积公式进行求解．22.答案：解：(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2log a (x +1)+log a 11−x (a >0且a ≠1)要使函数有意义，则{x +1>01−x >0，解得−1<x <1， ∴函数F(x)的定义域为(−1,1)．令F(x)=0，则2log a (x +1)+log a 11−x =0…(∗)方程变为log a (x +1)2=log a (1−x)，(x +1)2=1−x ，即x 2+3x =0解得x 1=0，x 2=−3．经检验x=−3是(∗)的增根，∴方程(∗)的解为x=0，∴函数F(x)的零点为0．(2)由于函数y=x+1,y=1在定义域D上是增函数．可得：1−x①当a>1时，由复合函数的单调性知：函数f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a11−x在定义域D上是增函数．∴函数F(x)=2f(x)+g(x)在定义域D上是增函数．②当0<a<1时，由复合函数的单调性知：函数f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a1，在定义域D上是减函数．1−x∴函数F(x)=2f(x)+g(x)在定义域D上是减函数．(3)问题等价于关于x的方程2m2−3m−5=F(x)在区间[0,1)内仅有一解，①当a>1时，由(2)知，函数F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)∈[0,+∞)，∴只需2m2−3m−5≥0，．解得：m≤−1，或m≥52②当0<a<1时，由(2)知，函数F(x)在[0,1)上是减函数，∴F(x)∈(−∞,0]，∴只需2m2−3m−5≤0，．解得：−1≤m≤52；综上所述，当0<a<1时：−1≤m≤52当a>1时，m≤−1，或m≥5．2解析：(1)利用对数函数的定义域即可的得出，利用对数的运算法则即可得出函数的零点；(2)通过对a分类讨论，利用一次函数、反比例函数、对数函数的单调性即可得出复合函数F(x)的单调性；(3)利用(2)的函数F(x)的单调性可得其值域，进而转化为即一元二次不等式的解集．本题考查了一次函数、反比例函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了利用函数单调性求出函数的值域、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
河北省衡水中学高一下学期期中考试(数学理).doc
河北省衡水中学高一下学期期中考试（数学理）第I 卷一，选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1,已知数列{}n a 的通项公式为()()1121+-=+n a n n ，则=3a （ ） A ．10- B.10 C.4 D.4- 2.求537+和537-的等差中项和等比中项分别是（ ）A ． 7, 2 B.7-，2 C. 7，2± D.7，2-3， 有四个命题：①d b c a d c b a ->-⇒<>,；②bd ac d c b a <⇒<<>>0,0③330b a b a <⇒<<；④22110b a b a >⇒>>；⑤若b a ,为实数，则2>+b aa b 其中命题正确的有（ ）个A ．2B 。
3C 。
4D 。
5 4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21332a a a +=，则公比q 为（ ）A. 21B.1-C. 23D.325.某环保小组发现衡水市生活垃圾年增长率为b ，衡水市生产垃圾量为a 吨，由此可以预测垃圾量为（ ）A ．)101(b a + 吨B 。
()b a 91+ 吨C 。
10)1(b a + 吨D 。
9)1(b a +吨6. 等差数列{an} 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A ．130B 。
170C 。
210D 。
1607. 已知等比数列{}n a 中，102415321=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则1185a a a 等于 ·············· （ ）A ．16B 。
4C 。
72D 。
1088. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = （ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 9. 已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( )A ．(]1,-∞-B 。
河北省衡水市高一数学下学期期中试卷理(含解析)
5．如果 a1， a2 ，…， a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则（
）
A． a1a8＞ a4a5B． a1a8＜a4a5C． a1+a8＞ a4+a5D． a1a8=a4a5
6．已知数列 {a n} 满足 a1=0， an+1=an+2n，那么 a2003 的值是（
）
A． 20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×2004
分析0得到sinab的值根据锐角三角形即可求出度数进而求出角c的度数然后由韦达定理根据已知的方程求出ab的值利用余弦定理表示出cosc的值代入变形后将ab的值代入开方即可求出值利用三角形的面积公式表示出abc的面积把absinc的值代入即可求出值
2015-2016 学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷 （理科）
【考点】 等差数列的性质．
【分析】 先根据等差中项的性质可排除 C；然后可令 an=n 一个具体的数列进而可验证
不对，得到答案．
【解答】 解：∵ 1+8=4+5∴ａ1+a8=a4+a5∴排除 C；
若令 an=n，则 a1a8=1?8＜20=4?5=a 4a5∴排除 D， A．
故选 B
D、A
6．已知数列 {a n} 满足 a1=0， an+1=an+2n，那么 a2003 的值是（
值范围是（
）
A． m＞ 1B．1＜ m＜ 8C． m＞ 8D． 0＜ m＜1 或 m＞ 8
0＜ log m（ ab）＜ 1，则 m的取
4．已知 {a n} 是等比数列， a2=2，a5= ，则 a1a2+a2a3+…+anan+1=（
河北省衡水市2023-2024学年高一下学期期中考试 数学含答案
2023—2024学年度下学期期中测试高一数学试题（答案在最后）出题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A.B. C. D.2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i- B.42i- C.62i+ D.42i+3.如图，在ABCD Y 中，E 是BC 的中点，若AB a =，AD b = ，则DE等于（）A.12a b-r r B.12a b + C.12a b+ D.12a b-r r 4.在ABC 中，若1b =，60A =︒，ABC 的面积为3，则=a （）A.13B.13C.2D.25.已知||2a = ，向量a 在向量b 上的投影为3，则a 与b的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.π26.如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积()A. B.1 C.D.(21+7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()22234S b a c =+-，则B ∠=A.90︒ B.60︒ C.45︒ D.30︒8.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2- B.32-C.43-D.1-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1=+z ，z 为z 的共轭复数，复数zzω=，则下列结论正确的是（）A.ω对应的点在复平面的第二象限B.||1ω=C.ω的实部为12-D.ω10.如果平面向量()2,4a =-，()6,12b =- ，那么下列结论中正确的是（）A.3b a= B .//a b C.a 与b的夹角为30︒D.a在b方向上的投影向量为()2,4-11.在ABC ∆中，下列命题正确的是（）A .若A B >，则sin sin A B>B.若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形C.若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D.若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.13.水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知3A C ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的实际长度为______．14.在同一个平面内，向量,,OA OB OC 的模分别为OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α= 与OC的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n +=_________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知||3a = ，||5b =，||7a b =+ .（1）求向量a 与b的夹角θ；（2）当向量ka b +与2a b -r r垂直时，求实数k 的值.16.复数22i(1i)1iz =++-，其中i 为虚数单位．（1）求z 及z ；（2）若223i z az b ++=+，求实数a ，b 的值．17.ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．（1）求C ；（2）若c =，b =，求ABC ∆的面积．18.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．19.在ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，现有下列四个条件：①a =②2b =;③cos 2cos 0A A +=；④2223a cb ac +-=-．（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）已知ABC 同时满足上述四个条件中的三个．请选择使ABC 有解的三个条件，求ABC 的面积．2023—2024学年度下学期期中测试高一数学试题出题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【详解】试题分析：B 是经过正方体对角面的截面；C 是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D 是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．考点：截面及其作法2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i -B.42i- C.62i+ D.42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.3.如图，在ABCD Y 中，E 是BC 的中点，若AB a =，AD b = ，则DE等于（）A.12a b-r r B.12a b + C.12a b+ D.12a b-r r【答案】D 【解析】【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.【详解】因为E 是BC 的中点，AB a =，AD b =，所以111222CE CB AD b ==-=- ，所以12DE DC CE AB CE a b =+=+=-.故选：D.4.在ABC 中，若1b =，60A =︒，ABC=a （）A.13B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】先用面积公式求出c ，再用余弦定理求出a .【详解】在ABC 中，1b =，60A =︒，ABC 的面积为所以11sin 1222ABC bc A S c ==⨯⨯⨯= 解得：c =4.由余弦定理得：2222cos 116413a b c bc A =+-=+-=,所以=a 故选：B.5.已知||2a =，向量a 在向量b ，则a 与b 的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.π2【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出a 与b夹角的余弦值，即可得出夹角大小.【详解】记向量a与向量b的夹角为θ，a ∴ 在b上的投影为cos 2cos a θθ= .a 在b上的投影为3，3cos 2θ∴=，[]0,πθ∈ ，π6θ∴=.故选：B.6.如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积()A.22B.1C.2D.(212+【答案】A 【解析】【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB 2=，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2=2．故选A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()22234S b a c =+-，则B ∠=A.90︒ B.60︒ C.45︒ D.30︒【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及()2224S b a c =+-，得1sin 2cos 24ab C ab C =⋅,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =.故选D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．8.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[()]24PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，32y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1=+z ，z 为z 的共轭复数，复数zzω=，则下列结论正确的是（）A.ω对应的点在复平面的第二象限B.||1ω=C.ω的实部为12-D.ω【答案】BC 【解析】【分析】根据共轭复数的概念求出z ，然后结合复数的除法运算求出ω，根据复数的概念以及几何意义和模长公式逐项分析即可.【详解】因为1=+z ，所以1z =，所以21i422z z --====--ω，对应点为122⎛-- ⎪⎝⎭，在第三象限，1ω==，实部为12-，虚部为2-，选项B ，C 正确，选项A ，D 错误．故选：BC ．10.如果平面向量()2,4a =-，()6,12b =- ，那么下列结论中正确的是（）A.3b a= B.//a bC.a与b的夹角为30︒D.a在b方向上的投影向量为()2,4-【答案】AB 【解析】【分析】根据向量模、共线、夹角、投影向量等知识确定正确选项.【详解】3a b b a ===，A 正确.3a b =- ，所以//a b 且,a b反向，所以B 正确，C 错误.a 在b 方向上的投影向量为()2,4a b b b b-⋅⋅==-，D 错误.故选：AB11.在ABC ∆中，下列命题正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B.若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形C.若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D.若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B ，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C ，用正弦定理边化角，再将sin sin()C A B =+代入展开，整理可得cos 0A =，所以正确；选项D ，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.【详解】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确；若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误；若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+，所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ，则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<，所以23πθ=，D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于0180，属于中档题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________.【答案】75【解析】【详解】由正弦定理sin sin b c B C =，得3sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B = ，则18075A B C =--=o o .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.13.水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知3A C ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的实际长度为______．【答案】52【解析】【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出ABC 实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且3,24AC A C BC B C ''''====，AC BC ⊥,所以22291625AB AC BC =+=+=，所以5AB =，故AB 边上中线长为5 2.522AB ==.故答案为：2.5.14.在同一个平面内，向量,,OA OB OC的模分别为OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α= 与OC的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m n +=_________．【答案】3【解析】【详解】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则()1,0A ，由OC的模为与OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=知，cos ,1010sin αα==，可得17,,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()cos 45,45B sin αα++ ，34,55B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+可得13173455,,,74555555m n m n n n ⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知||3a = ，||5b = ，||7a b =+ .（1）求向量a 与b 的夹角θ；（2）当向量ka b + 与2a b -r r 垂直时，求实数k 的值.【答案】（1） 60θ= ；（2）8512-.【解析】【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出a b ⋅，再利用夹角公式计算作答；（2）利用垂直的向量表示及数量积的运算律求解作答.【小问1详解】因||3a = ，||5b = ，||7a b =+ ，则有22249()29252a b a b a b a b =+=++⋅=++⋅ ，解得152a b ⋅= ，因此1512cos 352||||a b a b θ⋅===⨯ ，而0180θ≤≤ ，于是得60θ= ，所以向量a 与b 的夹角60θ= .【小问2详解】因向量ka b + 与2a b -r r 垂直，由（1）知152a b ⋅= ，则22()(2)2)15(19(120)5022k ka k a b a b a b k k b +=+⋅-=-⋅--=+- ，解得8512k =-，所以实数k 的值为8512-.16.复数22i (1i)1iz =++-，其中i 为虚数单位．（1）求z 及z ；（2）若223i z az b ++=+，求实数a ，b 的值．【答案】（1）13i z =-+，z =（2）3,7.a b =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解z ；（2）首先将13i z =-+代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【小问1详解】∵()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-，∴z ==【小问2详解】由（1）可知13i z =-+，13iz =--由223i z az b ++=+，得：2(13i)(13i)23i a b -++--+=+，即(8)(63)i 23i a b a --++--=+，∴82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩，解得3,7.a b =-⎧⎨=⎩17.ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．（1）求C ；（2）若c =，b =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）4π；（2）5.【解析】【分析】（1）根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，化简即得C 的值；（2）先利用余弦定理求出a 的值，再求ABC ∆的面积．【详解】（1）因为sin cos c B b C =，根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，又sin 0B ≠，从而tan 1C =，由于0C π<<，所以4C π=．（2）根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，而c =，b =，4C π=，代入整理得2450a a --=，解得5a =或1a =-（舍去）．故ABC ∆的面积为11sin 55222ab C =⨯⨯=．【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3m =-，z =（2）1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简(3i)z ⋅+，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出m 的值，即可求出z ，从而求出其模；（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简1z ，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】∵1i z m =+，∴1i z m =-，∴i)(1i)(3i)(3)(13)i z m m m +=-+=++-， (3+i)z ⋅为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-，故13i z =-，则z ==【小问2详解】2023450533i i i i ⨯+===- ，()()()()20231i 1+3i i i 331=i 13i 13i 1+3i 1010a a a a a z z ∴+-+-+===+--， 复数1z 所对应的点在第二象限，∴301031010a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得133a -<<，故实数a 的取值范围为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.在ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，现有下列四个条件：①a =②2b =;③cos 2cos 0A A +=；④2223a cb ac +-=-．（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）已知ABC 同时满足上述四个条件中的三个．请选择使ABC 有解的三个条件，求ABC 的面积．【答案】（1）不能同时成立，理由见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得π3A =，由④利用余弦定理可得2ππ3B <<，即可三角形内角和可得结论；（2）确定满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选①②③，则可由正弦定理求得B ，即可由三角形面积公式求得答案；若选①②④，可由余弦定理求得c ，再求得sin B ，即可求得三角形面积.【小问1详解】由条件③cos 2cos 0A A +=，可得22cos cos 10A A +-=．解得1cos 2A =或cos 1A =-（因为()0,πA ∈,舍去），因为()0,πA ∈，所以π3A =；由条件④2223a c b ac +-=-，可得222cos 23a cb B ac +-==-，因为312πcos cos 323B =-<-=，且()0,πB ∈，而cos y x =在()0,π上单调递减，所以2ππ3B <<．若条件③④能同时成立，则π2ππ33A B +>+=与πA B +<矛盾，所以③④两个条件不能同时成立．【小问2详解】因为ABC 同时满足题目条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选择①②③：由（1）知π3A =，由sin sin a b AB =，可得32sin 2sin 1b A B a ⨯===，因为()0,πB ∈，所以π2B =，所以△ABC 为直角三角形，所以1c ==，所以ABC的面积1122S =⨯=．若选择①②④：由（1）知cos 3B =-，由2222cos b a c ac B =+-，得2433c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，即221c c+=，解得1c =（负值舍去）．因为()0,πB ∈，所以sin 3B ==，所以ABC的面积)112sin 12232S ac B ==⨯=．。