级数理论-幂级数
第四章 第二节 幂级数
可沿K内曲线 逐项积分,且收敛 注1 (4.5)可沿 内曲线 逐项积分 且收敛 可沿 内曲线C逐项积分 半径与(4.5) 相同 相同. 半径与 即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使 从而它的通项序列必有界 即有正数 使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图 幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域 问题1: 问题 幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
幂级数运算
幂级数运算幂级数是一种非常重要的数学工具，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
幂级数的运算是幂级数理论的核心，下面我们来详细了解一下幂级数的运算。
我们需要了解什么是幂级数。
幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中a和an是常数，x是变量。
幂级数的收敛半径R是一个非负实数，它表示幂级数在哪些点上收敛，而在哪些点上发散。
当x-a的绝对值小于R时，幂级数收敛；当x-a的绝对值大于R时，幂级数发散；当x-a的绝对值等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。
接下来，我们来看看幂级数的加法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相加，即∑(an+bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相加，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相加。
接下来，我们来看看幂级数的减法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相减，即∑(an-bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相减，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相减。
接下来，我们来看看幂级数的乘法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
它们的乘积为∑cn(x-a)n，其中cn=∑an-kbk，k从0到n。
幂级数的乘法运算比较复杂，需要注意的是，幂级数的乘积的收敛半径不一定等于两个幂级数的收敛半径之积。
我们来看看幂级数的除法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相除，即∑an/bn(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相除，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相除。
需要注意的是，幂级数的除法运算只有在bn≠0时才有意义。
数学分析2课件：14-1 幂级数
n1 2
原级数的收敛域为 ( 2, 2).
定理3（Cauchy-Hadamard定理）
如果幂级数 an x n 的所有系数an 0 ,
n0
设
lim n
n
an
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
二、幂级数的一致收敛性
定理4 : 证
若 an xn收敛半径为R 0,则在( R, R)内的
n0
收敛，则 an xn在[0，R](或[ R,0])一致收敛。
n0
证 设 an xn在x R收敛，
n0
由 | an xn || an Rn |, 用优级数法，可否？
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(-R, R)称为幂级数的收敛区间.
幂级数的收敛域为下列4种情况之一：
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛域(,).
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 n an n n 1
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
收敛
故收敛域为(0,1].
(3) 当 时,R 0 .
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
高等数学§6.3.4幂级数
当 x 2 ， 原 级 数 化 为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ， 发 散 ； 当 x 2 ， 原 级 数 化 为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ， 发 散 。
故 收 敛 域 为 ( 2 , 2 ) 。
n a n n l n 1 n ) (
∴ 收 敛 半 径 R 1 1 。
当 t 1 时 ， 新 级 数 成 为 ( 1 ) n ， n 2 l n n
∵ 1 1 ， li 1 m 0 ， ∴ ( 1 ) n 收 敛 。
ln n ln n 1 )n ( ln nn 2 ln n
n0
点 x1适x合 1x0使 幂 级 数 收 敛 ， 则 由 （ 1） 中 的 结 论 ，
幂 级 数 在 点 x0 应 收 敛 ， 这 与 所 设 矛只 要 幂 级 数 a n x n在 点 x 0 0
n 0
处 收 敛 ， 则 幂 级 数 在 以 原 点 为 中 心 ， x 0为 半 径 的
2
dt
arctan
x,。x[1,1]
例 3 ． 在 区 间 ( 1 ,1 ) 内 求 幂 级 数 x n 的 和 函 数 。
n 0 n 1
解 ： 设 S ( x ) x n ， x ( 1 , 1 ) ， 且 S ( 0 ) 1 。 n 0 n 1 x ( x ) x n 1 ， S n 0 n 1 [ x ( x ) ] ( x n S 1 ) x n 1 ， n 0 n 1 n 0 1 x x ( x ) 0 x 1 1 S t d l 1 x ) n t ， (
即 1 t 1 ， 从 而 1 x 1 1 ， 0 x 2 ，
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
数学分析14.1幂级数
第十四章 幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|， 根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)， 对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ， 即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上 逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1， 且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1， 且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1， 又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散， 收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +； 又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。
高等数学-幂级数
9.5.1 幂级数及其收敛域
1. 设 x0, a0, a1,L ,为常数.形如 an (x x0 )n n0
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 L an (x x0 )n L x (, )的级数称为 x x0 的幂级数. 当 x0 0 时,上述幂级数变成 :
(2)若幂级数 an xn 在 x x0 时发散, n0
则当 x 满足 x x0 时, an xn 发散. n0
收敛半径
由阿贝尔定理知 : an xn 的收敛性有以下几种情况 : n0
(1) 存在常数 R(R 0),当 x R 时, an xn 绝对收敛; n0
n0
n0
n0
n
这里 cn ankbk k 0
幂级数的分析运算
幂级数在其收敛半径内连续,可逐项积分,可逐项求导:
性质 9-6 设幂级数 anxn S(x), 则 S(x) 在 anxn
n0
n0
的收敛域上连续,即
lim
x x0
n0
an xn
lim
例如, xn 1 x x2 L ,的收敛域为I (1, 1) n0
例 9 24 试求幂级数
xn
n0 n 1
的收敛域
阿贝尔定理
(1)若幂级数 an xn 在 x x0 (x0 0)时收敛, n0
则当 x 满足 x x0 时, an xn 绝对收敛; n0
1
, x (1, 1)
n0
1 x
收敛半径 R 1,收敛域 I (1, 1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∑2
n =1
∞
1
n
，收敛；当 x = −1 时无意义，因此收敛域为 (− ∞, − 1) ∪
(− 1, + ∞) ．
x⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ n ⎠ ，对任意 x ，当 n 充分大时 u ( x ) 为正．因此可认为原级数是 （3）令 u n ( x ) = n nx
正项级数．由于
n
⎛ x⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠ x u (x ) = lim n = ex ， lim n n →∞ n →∞ 1 1 x nx n
由比较判别法知，当 x > 1时收敛，当 x ≤ 1 时发散，故原级数的收敛域为 (1, + ∞ ) ．
n
1 1 ⎞n ⎛ 3n = 1 ，t = 1 发 （4）令 t = x 2 + x + 1 ，则原级数化为 ∑ ⎜ sin ⎟t ， R = lim n → ∞ 1 3n ⎠ n =1 ⎝ sin 3n + 3
∞
= e −1 ， R = e ，收敛区间为 (− e, e ) ．
n
⎡ ⎤ e −1 当 x = e 时，原级数变为 ∑ ⎢ ，而 1 + n −1 n ⎥ n =1 ⎣ (1 + n ) ⎦
(
)
n
⎡ ⎤ e < e，⎢ ≥ 1 ，发 −1 n ⎥ ⎣ (1 + n ) ⎦
n
散；同理 x = −e 时也发散，故收敛域为 (− e, e ) ． （2） lim n
1 1 (1 + n −1 ) n +1 n (1 + n ) n ( n +1) (± e ) n = ( ) ≥ 1， e
即 级 数 在 x = ± e −1 处 都 发 散 ， 所 以 收 敛 域 为 ( − e , e ) （ 其 中 最 后 一 步 是 由 于 数 列
−1 −1
{(1 + n
∞
f ( x) = (1 − x ) ln(1 − x) − x ，
所以
⎧(1 − x) ln(1 − x) − x, x ∈ [−1, 1], x ≠ 0, xn =⎨ ∑ x = 0. n =1 n ( n + 1) ⎩0,
∞
思考题 9（北京科技大学 1999）求幂级数
(−1) n n x 的和函数． ∑ n = 2 n( n + 1)
，而
∑x
n =1
∞
2 n +1
的收敛域为 (− 1, 1) ，因此，幂级数
∑ sin n ⋅ x
n =1
∞
2 n +1
在 (− 1, 1) 内收敛．
因此原级数的收敛域为 (− 1, 1) ． （4）令 t = x + 1 ，则原级数化为
3n + (− 2) n t ，而 ∑ n n =1
∞ n
lim n
1 1 1 + 2 + 3 + 2x 2 4 x 3 8x 4
+
1 2 x
n n
n +1
+
的收敛
性，求出它的收敛区间与一致收敛区间． 解 令t =
1 ，则原级数化为 2x
∑
n =0
∞
∞ tn ⎛ 1 ⎞ ，此级数收敛域为 ⎜ ⎟ =∑ n + 1 ⎝ 2x ⎠ n +1 n =0
1
n
[− 1, 1) ，故原级数在 ⎧ ⎨x −1 ≤
1 1 3 3
∑ (−1)
n =1 ∞ n =1
∞
n −1
2n + 1 2 n （北航 2001） x ； n
n
（2）
∑ n( x − 1)
∞
； （北航 2000）
（3）
xn ． （北航 1999） ∑ n =1 n( n + 1)
解（1）由于
2n + 3 2 n + 2 x n +1 = x2 ， lim n →∞ 2 1 + n (−1) n x 2n n (−1) n
−1 n +1
)
}严格单调递减收敛于 e） ．
n →∞
（2）由于 lim n
∞
3n + 2 n = 3 ，所以收敛半径为 3 −1 ．当 x = 3 −1 时， n
∞ ∞ 3n + 2 n n 3n + 2 n 1 1 ∞ 2n x =∑ = + ， ∑ n n 3n ∑ n ∑ n n =1 n =1 n =1 n =1 n ⋅ 3
n =1
∞
1
n ( n +1)
（武汉大学 1999） xn ；
（2）
3n + 2 n n x ； （天津大学 1998） ∑ n n =1
∞
n →∞ n →∞
解 （1） 由于 lim n (1 + n −1 ) n ( n +1) = lim (1 + 时，
1 n +1 所以收敛半径为 e −1 ． 当 x = ± e −1 ) = e， n
∞
理 x = −a 时也发散，因此收敛域为 (− max{ a, b}, max{ a, b}) ． （3）原级数化为三个幂级数之和，即
⎡1 + (− 1) ∑⎢ ⎣2
n =1 ∞ n
∞
n
∞ ∞ ∞ 1 ⎤ n + sin n ⎥ x 2 n+1 = ∑ n x 2 n+1 + ∑ (− 1) x 2 n +1 + ∑ sin n ⋅ x 2 n +1 ． ⎦ n =1 2 n =1 n =1
xn （2）令 u n ( x ) = (1 + x )(1 + x 2 )
lim
n →∞
(1 + x ) ，则
n
u n+1 ( x ) u n (x )
= lim
n →∞
x 1 + x n+1
⎧ x, x <1 =⎨ ⎩0 , x > 1
故当 x > 1 或 x < 1 时，原级数绝对收敛． 当 x = 1 时，原级数为
∞
∞
∞
′ x −1 ⎡ x −1⎤ ． = = ( x − 1) ⎢ ⎥ (2 − x) 2 ⎣2 − x⎦
（3）由比式判别法易知其收敛半径为 1，且当 x = ±1 时，级数收敛，所以收敛域为
[ −1, 1] ．
记 f ( x) =
∞ x n +1 1 ′ ′ ，则 ，积分可得 f ( x ) = x n −1 = ∑ ∑ 1− x n =1 n( n + 1) n =1
n
（4）
n
sin ⎟(x ∑⎜ ⎝ 3n ⎠
∞
⎛
1 ⎞
2
+ x +1 ．
)
n
n =1
(− 1)n 解（1）令 u n ( x ) =
⎛ 2− x⎞ ⎜ ⎟ ，由于 3n + 2 ⎝ 2 + x ⎠
lim n u n (x ) = lim n
n →∞ n →∞
1 2− x 2− x = ． 3n + 2 2 + x 2+ x
令 x 2 < 1 得 − 1 < x < 1 ，所以收敛区间为 ( −1, 1) ．当 x = ±1 时，级数的通项不收敛于 0， 所以级数在 x = ±1 处都发散，故收敛域为 ( −1, 1) ．其和函数为
∑ (−1) n−1
n =1
∞
∞ ∞ 2n + 1 2 n (−1) n −1 2x 2 x = 2∑ (−1) n −1 x 2 n + ∑ n x 2 n = + ln(1 + x 2 ) ． 2 n 1+ x n =1 n =1
∑2
n =1 ∞ n =1
1
n
x 2 n+1 ： 2 n +1
n
1 2 → ， R = 2 ，收敛区间为 − 2 , 2 ； n 2 2
(
)
∑ (− 1)
x 2 n +1 ：收敛域为 (− 1, 1) ；
∑ sin n ⋅ x 2 n+1 ： sin n ⋅ x 2n+1 ≤ x
n =1
∞
2 n +1
所以，收敛半径为 1． （2）
∞ ∞ 2 n (n + 1) ∞ 2 n n 2 n 2 n −1 2n = ( + ) = 2 + = 3e 2 ． ∑ ∑ ∑ ∑ n ! n ! n ! n! n =0 n =0 n =1 ( n − 1)! n =0 ∞
例 44 求下列级数的收敛域： （1）
∑ (1 + n )
n →∞
1 1 1 ，所以 R = max{ a, b} ． = = n a +b lim n a n + b n max{ a, b}
n n →∞
不妨设 a ≥ b ，则当 x = a 时，得数项级数
an an u ， = → 1 ≠ 0 ，发散；同 ∑ n n n an + bn n =1 a + b
（2）易求其收敛域为 (0, 2) ，记其和函数为 S ( x ) ，则由幂级数的逐项可微性可得
S ( x ) = ( x − 1)∑ n( x − 1) n −1 = ( x − 1)∑ [( x − 1) n ]′ = ( x − 1)[∑ ( x − 1) n ]′
n =1 n =1 n =1
n
（3）
⎡1 ⎤ n + (− 1) + sin n ⎥ x 2 n +1 ； ∑ n ⎢ ⎦ n =1 ⎣ 2