高考数学备考复习(理科)专题十六：概率
高考数学备考复习（理科）专题十六：概率
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共15题；共30分)
1. （2分） (2018高二上·湖北月考) 在如下的列联表中，类1中类B所占的比例为（）
Ⅱ
类1类2
类A a b
Ⅰ
类B c d
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高二下·眉山期末) 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2019·黄浦模拟) 在某段时间内，甲地不下雨的概率为（），乙地不下雨的概
率为（），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2017高二上·孝感期末) 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中至少有一个加工为一等品的概率为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）从集合中随机取出一个数，设事件A为“取出的数是偶数”，事件B为“取出的数是奇数”，则事件A与B（）
A . 是互斥且是对立事件
B . 是互斥且不对立事件
C . 不是互斥事件
D . 不是对立事件
6. （2分）在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于3的点数出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A∪（表示B的对立事件）发生的概率为（）
A .
C .
D .
7. （2分）盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回的取两次，每次取一件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2015高二上·城中期末) 如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）
A . （﹣3，﹣1）∪（1，3）
B . （﹣3，3）
C . [﹣1，1]
D . （﹣3，﹣1]∪[1，3）
9. （2分）(2017·万载模拟) 在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是（）
A .
B .
D .
10. （2分） (2017高二下·芮城期末) 已知随机变量服从二项分布，则等于（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的
①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（）
A .
B .
C .
D . 1
12. （2分） (2016高二下·威海期末) 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）
B .
C .
D .
13. （2分）从4名男生和2名女生中任选3人参加一项“智力大比拼”活动，则所选的3人中女生人数不超过1人的概率是（）
A .
B .
C .
D .
14. （2分）如图所示，一游泳者自游泳池边上的点，沿方向游了10米,,然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池边的概率是（）
A .
B .
C .
15. （2分） (2016高三上·汕头模拟) 已知函数g（x）=2cos2x，若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥ ”发生的概率为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
16. （1分）甲乙两人下棋，若甲获胜的概率为，甲乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为________ ．
17. （1分）抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率是
________
18. （1分）(2017·南通模拟) 口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为________．
19. （1分） (2018高二下·晋江期末) 任取两个小于1的正数x、y ，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．
20. （1分）已知实数a∈[0，10]，那么方程x2﹣ax+9=0有实数解的概率是________
三、解答题 (共3题；共15分)
21. （5分）数轴上有2个点A、B，最初A在原点，B在坐标2的位置．规定如下，若投掷出来的硬币为正面，则A点坐标加上1，B点坐标不动；反之，若投掷出来的硬币是反面，则B点坐标加上1，A点坐标不动．求下列事
件发生的概率
（1）硬币投4次，A的坐标为3的概率；
（2）A比B先到坐标4的概率；
（3）硬币投掷6次，A第一次追上B的概率．
22. （5分） (2017高一下·濮阳期末) 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号A1A2A3A4A5
质量指标
（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）
（x ， y ， z）
产品编号A6A7A8A9A10
质量指标
（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）
（x ， y ， z）
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
23. （5分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．
①记“2≤a+b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．
四、综合题 (共1题；共10分)
24. （10分）(2013·天津理) 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考答案一、单选题 (共15题；共30分)
1-1、
2-1、答案：略
3-1、
4-1、
5-1、答案：略
6-1、答案：略
7-1、答案：略
8-1、答案：略
9-1、答案：略
10-1、答案：略
11-1、
12-1、答案：略
13-1、答案：略
14-1、答案：略
15-1、答案：略
二、填空题 (共5题；共5分)
16、答案：略
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、答案：略
三、解答题 (共3题；共15分)
21-1、
22-1、答案：略
22-2、答案：略
23-1、
四、综合题 (共1题；共10分)
24-1、答案：略
24-2、答案：略
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2023新高考数学专题 概率(知识点讲解)
2023新高考数学专题概率(知识点讲解)
以下为2023年新高考数学中概率知识点讲解，包括概率、数学期望和独立事件的定义与计算，以及确定性现象与随机现象的概念等。
一、概率的定义和性质
1. 确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。
2. 样本点：构成样本空间的元素，即e中的每个结果，称为样本点。
3. 频数：事件a发生的次数。
4. 频率：频数/总数。
5. 概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这
个值就是概率。
概率的特点有：非负性、规范性和可列可加性。
6. 概率性质：p（空集）=0，有限可加性，加法公式：p（a+b）=p（a）
+p（b）-p（ab）。
7. 条件概率：a事件发生条件下b发生的概率p（ba）=p（ab）/p（a）。
8. 独立事件：设 a、b是两事件，如果满足等式p（ab）=p（a）p（b）则称事件a、b相互独立，简称a、b独立。
二、数学期望的含义和计算
数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。
数学期望又简称期望。
若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ为ξ的数学期望或平均数、均值。
数学期望的计算方式如下：
1. 当0=a时，bE=,即常数的数学期望就是这个常数本身。
2. 当1=a时, bEbE+=+ξξ), 即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与常数的和。
以上内容仅供参考，建议查阅新高考数学专题复习资料获取更全面和准确的信息，以适应新高考的题型变化。
高三数学知识点归纳概率
高三数学知识点归纳概率概率是数学中一个非常重要的分支，它可以帮助我们理解事件发生的可能性。
在高三数学中，概率是一个必学的知识点。
本文将对高三数学概率知识点进行归纳总结，旨在帮助高三学生加深对概率的理解和掌握。
一、基础概念概率是指事件发生的可能性，用来表征事件的随机性。
它的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
常用的求概率的方法有频率法、几何法和古典概型法等。
二、事件的概率计算1.频率法频率法是通过实验的次数和结果的出现次数来计算概率的方法。
当实验的次数足够多时，事件发生的频率将逼近其概率。
2.几何法几何法是通过对样本空间的几何图形进行面积比较来计算概率。
对于连续型随机事件，可以使用几何法计算概率。
3.古典概型法古典概型法适用于样本空间元素个数有限且等可能的随机事件。
通过计算事件的有利结果个数与总结果个数之比来计算概率。
三、概率的性质与公式1.加法公式对于两个互斥事件A和B，其概率之和等于两个事件分别发生的概率之和。
2.乘法公式对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之积。
3.全概率公式全概率公式是在事件A的基础上，将样本空间划分为若干互斥事件，并计算这些事件的概率之和等于事件A的概率。
4.条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
通过条件概率，我们可以计算两个事件的相关性。
四、排列与组合排列与组合是概率中常见的计数方法。
排列是指从n个不同元素中选取m个元素按照一定顺序排列的方法数，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中选取m个元素并不考虑顺序的方法数，计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。
五、常见的概率模型1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择样本的抽样方法，其样本容量n较小时，可以近似认为是简单随机抽样，使用古典概型法计算概率。
2.二项分布二项分布是一种离散型概率分布，适用于只有两种可能结果的重复试验。
数学高考知识点概率总结
数学高考知识点概率总结一、概率的基本概念概率是用来描述随机现象发生的可能性大小的一个数值。
在数学中，概率通常用P(A)来表示，其中A是一个随机事件，P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，即0≤P(A)≤1。
当事件A发生的概率接近1时，表示事件A发生的可能性很大；当事件A发生的概率接近0时，表示事件A发生的可能性很小。
在高考中，考生需要掌握概率的基本概念，包括样本空间、随机事件、事件的概率等内容。
样本空间是指一个随机实验的所有可能出现的结果的集合，通常用S来表示；而随机事件是指样本空间的子集，表示某个特定的结果或一类结果的集合。
事件的概率是指事件发生的可能性大小，通常用P(A)来表示，其中A是一个随机事件。
二、概率事件的性质在概率的研究中，有一些事件之间的性质是需要了解的，这些性质在概率计算中有一定的应用。
其中包括互斥事件、对立事件、必然事件、不可能事件等性质。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况，即事件A和事件B不能同时发生。
对立事件是指两个事件至少有一个发生的情况，即事件A和事件B至少有一个发生。
必然事件是指在每次试验中一定会发生的事件，即事件A在任何情况下都发生；而不可能事件是指在每次试验中都不会发生的事件，即事件A在任何情况下都不发生。
在数学高考中，考生需要掌握这些事件性质的概念及其应用，以便在具体题目中进行判断和计算。
三、条件概率在实际问题中，有时需要考虑一些条件限制下的概率，这就涉及到了条件概率的概念。
条件概率是指在给定某一条件下另一个事件发生的概率，通常用P(A|B)表示，其中A和B是两个事件。
条件概率的计算是基于另一个事件已经发生的前提下，计算另一个事件发生的概率。
在高考数学中，条件概率是一个重要的考察内容，考生需要掌握条件概率的计算公式以及应用。
同时，还需要了解条件概率与独立事件、互斥事件的关系，以及条件概率的互换性原理等内容。
四、随机变量和概率分布随机变量是指对随机现象结果的数量特征进行数量描述的变量，常用X、Y等字母表示。
数学高考知识点概率总结
数学高考知识点概率总结概率是数学高考的重要知识点之一，它是研究随机事件发生可能性的数学分支。
掌握概率的相关知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的思维能力。
本文将总结数学高考中常见的概率知识点，并对它们进行详细的解析。
一、基本概念概率是指某一随机事件在所有可能事件中发生的可能性。
通常用P(A)来表示事件A发生的概率，其中0≤P(A)≤1。
如果事件A 必然发生，那么P(A)=1；如果事件A不可能发生，那么P(A)=0。
二、加法公式和乘法公式加法公式和乘法公式是概率计算中的基本工具。
加法公式用于计算两个事件的并的概率，乘法公式用于计算两个事件的交的概率。
加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)乘法公式：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
三、排列和组合排列是指从n个不同元素中取出m个元素，且考虑元素顺序的情况。
排列的计算公式为：A(n,m)=n!/(n-m)!组合是指从n个不同元素中取出m个元素，且不考虑元素顺序的情况。
组合的计算公式为：C(n,m)=n!/[(n-m)!×m!]排列和组合在概率计算中经常用到，特别是在计算事件的样本空间大小时。
四、条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)其中P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
独立事件是指两个事件相互独立，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
对于两个独立事件A和B，有：P(A∩B)=P(A)×P(B)在实际问题中，判断事件是否独立往往需要根据题目条件进行推理。
五、贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的概念，通过已知的后验概率来推测前验概率的一种方法。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
高考数学 概率知识点
高考数学概率知识点概率是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的可能性的数值。
在高考数学中，概率也是一个重要的考点。
本文将介绍高考数学中的概率知识点，包括样本空间、事件、概率公式、条件概率等内容。
一、样本空间和事件在概率中，样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。
而事件是指样本空间中的一个子集，表示一个或多个结果的组合。
例如，掷一个六面骰子，其样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，掷出偶数点数为一个事件。
二、概率公式在概率中，我们通常使用概率公式来计算事件发生的可能性。
概率公式有以下几种常见形式：1. 等可能概型下的概率计算在等可能概型下，每个事件发生的可能性相等。
例如，掷一枚硬币，正面和反面的可能性都是1/2。
在这种情况下，事件A发生的概率可以用以下公式计算：P(A) = 事件A的可能性 / 样本空间的大小2. 加法法则加法法则适用于两个事件相互独立的情况。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们发生的概率可以用以下公式计算：P(A 或 B) = P(A) + P(B)3. 乘法法则乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B相互独立，那么它们同时发生的概率可以用以下公式计算：P(A 且 B) = P(A) × P(B)三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率可以用以下公式计算：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)四、排列组合与概率在高考数学中，排列组合也是与概率有关的知识点。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排序的方法数，用P(n,m)表示。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素不考虑顺序的方法数，用C(n,m)表示。
概率与排列组合有关的情况可以用以下公式计算：P(A) = 事件A的有利结果数 / 样本空间的大小五、概率分布概率分布是指随机变量在各个取值上的概率。
在高考数学中，离散随机变量的概率分布通常可以用概率分布列或概率分布图表示。
高考数学概率问题知识点
高考数学概率问题知识点概率作为数学中的一个重要分支，是生活中经常用到的数学知识。
在高考数学中，概率问题经常出现并占据着不少分值。
因此，了解概率问题的知识点，掌握解题方法，对于高考数学取得好成绩具有重要意义。
本文将从基础概率、条件概率、独立事件、排列组合等几个方面来介绍高考数学中的概率问题知识点。
概率是研究随机现象发生的可能性的数学分支。
其中，基础概率是概率问题的基础。
基础概率指的是在一次随机试验中，事件 A 发生的概率，常用公式为 P(A) = N(A)/N(S)，其中 P(A) 代表事件 A 发生的概率，N(A) 表示事件 A 包含的基本事件数目，N(S) 表示样本空间中的基本事件数目。
在高考数学中，基础概率题目往往比较简单，但是需要考生清楚地理解题目所给条件，正确运用概率定义和公式进行计算。
条件概率是指在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，常用公式表示为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
其中 P(A|B) 代表在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
条件概率题目相对来说难度较大，需要考生熟练使用条件概率公式，理解题目中给定的条件，进行复杂计算。
独立事件是指事件 A 和事件 B 的发生与否互不影响的事件。
如果两个事件 A 和 B 是独立事件，那么P(A∩B) = P(A)P(B) 成立。
高考数学中独立事件的题目较为常见，要求考生熟练使用独立事件的公式进行计算。
在解题时，需要注意题目中是否明确给出事件 A 和事件 B 为独立事件，若没有明确给出，则需要通过题目所给条件来判断。
排列组合是概率问题中另一个重要的知识点。
排列是从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照一定顺序进行排列，记为 A(n,m)，计算公式为 A(n,m) = n!/(n-m)!。
组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素，不考虑顺序，记为 C(n,m)，计算公式为 C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
高考理科统计概率知识点
高考理科统计概率知识点在高中数学课程中，统计概率是一个重要的知识点。
它涉及到我们日常生活中各种事件和现象的概率计算。
掌握统计概率知识不仅对于高考和考试有帮助，更重要的是它能够让我们在生活中做出更合理的决策，并更好地理解和分析数据。
本文将介绍高考理科统计概率的相关知识点。
1. 随机事件与样本空间统计概率的基础是随机事件和样本空间的概念。
随机事件是指在一次试验中可能发生的一个结果，而样本空间则是这个试验中所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的随机事件为正面和反面，样本空间为{正，反}。
另外，补事件、事件的并、交、差、互斥等概念也是理解统计概率的基础。
2. 古典概型在某些试验中，样本空间中各个结果的概率相等，这种情况下可以采用古典概型进行概率计算。
例如，掷一枚均匀骰子的概率计算，每个点数出现的概率为1/6。
这种情况下，样本空间中的每个结果出现的概率相等。
3. 条件概率条件概率是指在一个已知事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，在一副扑克牌中，从中任意抽出一张牌，求其为红心的条件概率。
条件概率的计算需要用到样本空间中的事件和已知信息。
4. 独立事件独立事件是指两个事件之间互不影响的情况。
例如，从一堆扑克牌中抽一张，再把它放回，重新抽一张，两次抽到红心的概率不会相互影响。
对于独立事件，可以用乘法原理进行概率计算。
5. 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要定理，它们在实际问题中的应用非常广泛。
全概率公式用于计算一个事件的概率，利用该事件与可能发生的几个互斥事件的概率之间的关系。
贝叶斯公式则用于根据已知的条件概率来计算另一个事件的概率，应用于研究事件之间的因果关系。
6. 期望与方差期望和方差是统计概率中常用的指标，用于描述随机事件的平均情况和变异程度。
期望是指随机事件在多次试验中的平均结果，方差是指随机事件结果与其均值之间的差异程度。
在概率分布和数据分析中，期望和方差是对数据进行分析和比较的重要依据。
高三数学概率知识点总结
高三数学概率知识点总结概率是数学中的一个重要概念，也是高中数学的一个重要内容。
在高三数学中，概率概念及其相关的计算方法是学生们需要掌握的知识点之一。
下面将对高三数学概率知识点进行总结。
一、基本概念概率是指某件事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
其计算公式为：概率 = 有利事件发生的次数 / 所有可能事件发生的次数。
二、事件与样本空间事件是指某些结果的集合，而样本空间则是包含所有可能结果的集合。
样本空间的元素为基本结果，也称为样本点。
事件可以包含一个或多个样本点。
三、概率的性质1. 概率的取值范围为[0,1]，且概率为0表示不可能事件，概率为1表示必然事件。
2. 对于互斥事件，即两个事件不能同时发生，其概率计算为两个事件概率之和。
3. 对于独立事件，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生，其概率计算为两个事件概率之积。
四、计算概率的方法1. 事件的概率可以通过频率计算得出，即大量重复实验中某事件发生的频率。
2. 利用等可能原则，即假设事件发生的可能性相等来计算概率。
3. 利用排列组合的方法来计算概率，例如在有限的样本空间中计算某个事件发生的概率。
五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其计算公式为：条件概率 = A与B同时发生的概率 / A发生的概率。
其中A与B同时发生的概率可以根据事件的独立性来计算。
六、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中一个重要的定理，它用于计算在已知某事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
其中P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
七、随机变量与概率分布随机变量是指用来描述试验结果的变量，它可以是离散型或连续型的。
概率分布是一个函数，用于表示随机变量的取值与其概率之间的关系。
常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布等，而连续型随机变量有正态分布、指数分布等。
高考理数：第十六单元概率.docx
第十六单元概率教材复习课“概率”相关基础知识一课过互斥事件与立事件[双基 ]事件定性P( A∪ B)＝ P(A)＋ P(B) ，(事件 A， B 在一个随机中，我把一次是互斥事件 )；互斥事件下不能同生的两个事件 A 与P(A1∪ A2∪⋯∪ A n)＝ P( A1)＋P(A2)B 称作互斥事件＋⋯＋ P(A n)(事件 A1， A2，⋯， A n任意两个互斥 )在一个随机中，两个不会立事件同生，并且一定有一个生的P( A )＝ 1－ P(A)事件 A 和 A 称立事件[小速通]1．把、、黑、白 4 牌随机分甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人分得一，事件“甲分得牌”与事件“乙分得牌”是()A．立事件C．不可能事件解析：B由于每人分得一牌，故B．互斥但不立事件D．以上都不“ 甲分得牌” 意味着“ 乙分得牌” 是不可能的，故是互斥事件，但不是立事件，故 B.2．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙的概率是13，乙不的概率是()5 A.62 B.31 C.21 D.3解析： A乙不包含两种情况：一是两人和棋，二是乙，故所求概率1＋ 1＝23 56.3．某品分甲、乙、丙三，其中乙、丙两均属次品．在正常生情况下，出乙品和丙品的概率分是5% 和 3% ，抽一件是正品(甲品 )的概率 ()A． 0.92B． 0.95C． 0.97D． 0.08解析：选 A记事件 A：“生产的产品为甲级品”，B：“生产的产品为乙级品”， C：“生产的产品为丙级品” ，则P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事件A， B， C 两两互斥， P(A∪B∪ C)＝ P(A)＋ P(B)＋ P(C)＝ 1，所以 P(A)＝ 0.92.[清易错 ]易忽视互斥事件与对立事件的关系而致误互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A． A∪ B 与 C 是互斥事件，也是对立事件B． B∪C 与 D 是互斥事件，也是对立事件C． A∪ C 与 B∪ D 是互斥事件，但不是对立事件D． A 与B∪C∪ D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D由于A， B， C， D彼此互斥，且A∪ B∪ C∪ D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．古典概型[过双基 ]1．特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数.基本事件的总数[ 小题速通 ]1．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()11A.3B.223C.3D.4解析：选 A甲、乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有9 种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有 3 种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝3 19＝ .32．5 张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这 5 张卡片中随机抽取 2 张，则取出 2 张卡片上数字之和为偶数的概率为()3 2 A.5B.53 2 C.4D.3解析： 选 B 从这 5张卡片中随机抽取 2 张的所有基本事件为 (1,2) ， (1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4) ， (2,5)，(3,4)， (3,5) ， (4,5)，共 10 个，其中取出 2 张卡片上数字之和为偶数的基 本事件为 (1,3)， (1,5)， (2,4) ， (3,5)，共 4 个，所以从这 5 张卡片中随机抽取 2 张，取出 2 张卡片上数字之和为偶数的概率为4 ＝ 2 .10 53．盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球， 4 只旧球，不放回地依次摸出2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为()3 5 A.5B.92 1 C.5D.10解析： 选 B 由题可得，满足要求的所有基本事件数为6× 9＝ 54，第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的基本事件数为 6× 5＝ 30.所以由古典概型可知，P ＝ 30 554 ＝ .9 [清易错 ]1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P( A ∪ B)＝P(A)＋ P(B)－P(A ∩ B)中，易忽视只有当 A ∩ B ＝?，即 A ， B 互斥时， P(A ∪ B)＝ P(A)＋ P(B)，此时 P(A ∩ B)＝ 0.1．一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2 个，这 6 个球除颜色外完全相同，从 中摸出 2 个球，则这 2 个球中至少有1 个是红球的概率是 ()1 2 A.3B.583 C.15D.5解析： 选 D 由题意知，摸出2 个球的事件数共 15 个，至少有 1 个是红球的对立事件 为两个均不是红球，事件个数为6 个，设两个均不是红球为事件A ，则 P(A)＝6 ＝ 2，所以15 52 3其对立事件 2 个球中至少有 1 个是红球的概率 P ＝ 1－ ＝ .552．从一副混合后的扑克牌 (除去大、小王 52 张 )中，随机抽取 1 张．事件 A 为“抽到红桃 K ”，事件 B 为“抽到黑桃”，则P(A ∪ B)＝ ________(结果用最简分数表示)．解析： ∵ P(A)＝1 ， P(B)＝13，52 52∴ P (A ∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ 1 ＋ 13＝14＝ 7.52 52 52 26答案： 726几何概型[过双基 ]1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．特点：(1) 无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2) 等可能性：每个结果的发生具有等可能的．3．公式：P(A)＝构成事件 A 的区域长度 面积或体积 .试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积[ 小题速通 ]5 ， 131 1．在区间 －6 上随机地取一个数 x ，则事件“－ 1≤ log (x ＋ 1)≤ 1”不发生的概率63 为 ()8 2 A.9B.31 1C. 3D.9解析： 选 D因为－ 1≤ log 1(x ＋ 1)≤ 1，所以－ 2≤ x ≤ 2，所以所求事件的概率为1－332－ －2＝ 1.3 13－ － 59 662．已知点 P ， Q 为圆 C ：x 2＋ y 2＝ 25 上的任意两点，且 |PQ|＜ 6，若 PQ 中点组成的区域为 M ，在圆 C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 ( )39 A.5 B.2516 2 C.25D.5解析：选 BPQ 中点组成的区域 M 如图阴影部分所示，那么在 C 内部任取一点落在 M内的概率为25π－ 16π 925 π＝ 25.3． (2018 西·宁复习检测)已知球 O 内切于棱长为 2 的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．解析：由题意知球的半径为 1，其体积为V＝4π3＝ 8，球3，正方体的体积为 V正方体＝ 2 4π则这一点不在球内的概率3πP＝ 1－＝ 1－.86答案： 1－π64．数轴上有四个间隔为 1 的点依次为 A，B，C，D，在线段 AD 上随机取一点 E ，则 E 点到 B， C 两点的距离之和小于 2 的概率为 ________．解析：如图，数轴上 AD ＝ 3，而到 B， C 两点的距离之和小于 2 的点 E 在线段 MN 内，且 MN ＝5－1＝2，所以 E 点到 B， C 两点的距离之和小于 2 的概率 P＝MN＝2.2 2AD3答案：23一、选择题1．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有 1 个白球，都是红球B．至少有 1 个白球，至多有 1 个红球C．恰有 1 个白球，恰有 2 个白球D．至多有 1 个白球，都是红球解析：选 C从装有2个红球和2 个白球的口袋内任取 2 个球共有三种可能：两个白球、两个红球、一个白球和一个红球，三者互斥，“至少有 1 个白球”和“都是红球”是对立事件，“至少有 1 个白球”和“至多有 1 个红球”不互斥，“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”互斥不对立，故选 C.2．一批产品次品率为4% ，正品中一等品率为75%. 现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为 ()A． 0.75B． 0.71C． 0.72D． 0.3解析：选 C由题意可知，正品率为96% ，因为正品中一等品率为75% ，所以一等品率为96% × 75% ＝ 72% ，所以任取一件产品，恰好是一等品的概率为0.72.3．如 ，在一不 区域内，有一1 m 的正方形，向区域内随机地撒 1 000 黄豆，数得落在正方形区域内 (含 界 )的黄豆数375，以此 数据 依据可以估 出 不形的面 ()8 22 A.3mB ． 2 m1622 C.3 mD ． 3 m解析：A由几何概型的概率 算公式及 意可近似得到S 正方形 ＝ 375 ，所以 不S 不规则图形 1 0001 000 82形的面 大375 ＝ 3 (m )．4．抛 两 地均匀的骰子， 向上的点数之6 的概率等于 ()11 A.18 B.915 C.6D.36解析： B由 意抛 两 地均匀的骰子，向上的点数所有可能情况 (1,1)，(1,2)，(1,3)， (1,4) ， (1,5)， (1,6)， (2,1) ， (2,2)， (2,3)， (2,4) ， (2,5) ， (2,6)， ⋯ ， (6,1)， (6,2)， (6,3)，(6,4)， (6,5) ， (6,6)，共 36 种情况，其中点数之 6 的情况 (1,6) ， (2,3)， (3,2)， (6,1) ，共4 种情况，故所求概率P ＝4 136＝ .95．一只小蜜蜂在一个棱3 的正方体内自由 行，若蜜蜂在 行 程中始 保持与 正方体 6 个表面的距离均大于1，称其 “安全 行”， 蜜蜂“安全 行”的概率 ()8 1 A.27B.272615C.27D.27解析：B依 意，小蜜蜂的安全 行范 以 个正方体的中心 中心且棱3的小正方体内， 个小正方体的体1，大正方体的体 3 ＝ 27，故根据几何概型得安1全 行的概率P ＝1 27.6．已知5 件 品中有2 件次品，其余 合格品． 从5 件 品中任取2 件，恰有一件次品的概率()A ． 0.4B ． 0.8C 0.6D 1解析：C5 件 品中的次品 1,2，合格品 3,4,5.从5 件 品中任取2 件，不同的取法有 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,3)， (2,4)， (2,5)，(3,4)， (3,5)， (4,5)，即基本事件的 数 10.“ 从 5 件 品中任取 2 件，恰有一件次品 ” 的取法有： (1,3) ，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)， (2,5) ，共 6种取法，所以恰有一件次品的概率6＝ 0.6. P＝107．将一枚骰子连续抛掷两次，若先后出现的点数分别为b， c，则方程 x2＋ bx＋ c＝ 0 有实根的概率为 ()11A.3B.2192C.36D.5解析：选 C将一枚骰子连续抛掷两次共有36 种结果．方程x2＋ bx＋ c＝ 0 有实根，则＝ b2－ 4c≥ 0，即 b≥ 2 c，其包含的结果有：(2,1)， (3,1)，(4,1)， (5,1)， (6,1)， (3,2)，(4,2)，(5,2)， (6,2) ， (4,3)， (5,3)， (6,3) ， (4,4)， (5,4)， (6,4) ， (5,5)， (6,5)， (5,6)， (6,6)，共19 种，19由古典概型的概率计算公式可得P＝36.8．设实数 x， y 满足 x2＋ (y－ 1)2≤ 1，则 x－ y＋ 2≤ 0的概率为 ()1πA.4B.4π－ 24π－ 2C.4πD. 4π解析：选 C 如图， x2＋ (y－ 1)2≤1 表示圆心为 (0,1)，半径为 1 的圆面，面积为π；同时，x－ y＋ 2≤ 0 表示圆面内在 x－ y＋ 2＝ 0 左上方的点构成的平面区域，连接CB，则 CA⊥ CB，π1π1π－ 2阴影部分的面积为4－2× 1× 1＝4 －2，由几何概型的概率公式得P＝4π .二、填空题9．点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 ________．解析：如图，可设AB 与 AB′的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长23，则其概率是3.答案：2310．在圆 x2＋ y2＝ 4 所围成的区域内随机取一个点P(x， y)，则 |x|＋ |y|≤ 2 的概率为________．解析：不等式 |x|＋ |y|≤ 2 表示的平面区域如图中的阴影部分所示，则 |x|＋ |y|≤ 2 的概率为P＝2 2 222 ＝.π× 2π2答案：π11．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的 2 个红球和 1 个白球，从中随机摸出1 个球后不放回，再从中随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率为________．解析：画树状图为：红红白红白红白红红共有 6 种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，则随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率为13.答案：1312．高一年级某班有63 名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的10，则这个班的男生人数11为________．解析：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63－ x，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“ 选出的标兵是女生”的概率是63－x，“ 选63出的标兵是男生” 的概率是x ，故63－x＝10×x，解得x＝33，故这个班的男生人数为33.636311 63答案： 33三、解答题13．如图， A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间 (分钟 )10～ 2020～ 3030～ 4040～ 5050～ 60选择 L 1的人数612181212选择 L 2的人数0416164(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解： (1) 由题意知共调查了100 人，其中40 分钟内不能赶到火车站的有12＋ 12＋ 16＋ 4＝44(人 )，用频率估计相应的概率约为0.44.(2)选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人，由调查结果得：所用时间 (分钟 )10～ 2020～ 3030～ 4040～ 5050～ 60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)A1， A2分别表示甲选择 L1， L 2时，在 40 分钟内赶到火车站；B1， B2分别表示乙选择L 1， L2时，在 50 分钟内赶到火车站．由(2)知 P(A1)＝ 0.1＋ 0.2＋ 0.3＝ 0.6，P(A2)＝ 0.1＋ 0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择 L1；P(B1)＝ 0.1＋ 0.2＋0.3＋ 0.2＝ 0.8，P(B2)＝ 0.1＋ 0.4＋0.4＝ 0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择 L2.14．在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A， B， C， D， E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人．(1) 求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数；(2)若等级 A，B， C，D ，E 分别对应 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3) 已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 A 的概率．解： (1) 因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有10 人，所以该考场有10 ＝0.25 40(人 )，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为40× (1－ 0.375－ 0.375－0.15－ 0.025)＝ 40× 0.075＝ 3.(2)由图知，“ 数学与逻辑”科目的成绩为 D 的频率为 1－ 0.2－ 0.375－ 0.25－ 0.075＝ 0.1，故该考场考生“数学与逻辑” 科目的平均分为1× 0.2＋ 2× 0.1 ＋ 3× 0.375 ＋ 4× 0.25 ＋5× 0.075＝ 2.9.(3) 因为两科考试中，共有 6 个得分等级为 A，又恰有两人的两科成绩等级均为 A，所以还有 2 人只有一个科目得分为 A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是 A 的同学，则在至少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为Ω＝ {(甲，乙 )， (甲，丙 )， (甲，丁 )， (乙，丙 )， (乙，丁 )， (丙，丁 )} ，有 6 个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A 的为事件B，所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个，则P(B)＝ 16.高考研究课(一 )古典概型命题 2 类型——简单问题、交汇问题[全国卷 5 年命题分析 ]考点古典概型考查频度5 年 4 考考查角度求古典概型的概率古典概型的简单问题[典例 ] (1)有五条长度分别为1,3,5,7,9 的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为()1 B.3A.101017C.2D.10(2)(2017 山·东高考 )某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1， A2， A3和 3 个欧洲国家B1，B2， B3中选择 2 个国家去旅游．①若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率．[解 ] (1)由题意，从这五条线段中任取三条，有10种不同的取法，其中所取三条线段能构成一个三角形的取法有：(3,5,7)， (3,7,9) ，(5,7,9) ，共有 3 种不同的取法，所以所取三条线段能构成一个三角形的概率为310.答案： B(2) ①由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}， {A1， A3}， {A2， A3}， {A1， B1}， {A1，B2}， {A1，B3}， {A2，B1}， {A2，B2}， {A2， B3}，{A3， B1}， {A3， B2}， {A3， B3}， {B1，B2}， {B1， B3}， {B2， B3}，共 15 个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3 }，{A2，A3}，共 3 个．则所求事件的概率为P＝3＝1. 155②从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}， {A1， B2}， {A1，B3}， {A2， B1}， {A2， B2}， {A2， B3}， {A3， B1}， {A3， B2}，{A3， B3}，共 9 个．包括 A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1， B2} ， {A1， B3}，共 2 个，2则所求事件的概率为P＝9.[方法技巧 ]计算古典概型的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数 n；(2)求出事件 A 所包含的基本事件个数 m；(3)代入公式求出概率 P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树状图法．[即时演练 ]1．袋中装有大小、形状完全相同的 4 只球，其中 1 只白球， 1 只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________．解析：从袋中一次摸出两个球，总的事件个数为 6.摸出两个相同颜色球只有两个黄球，所以 2 只球颜色相同的概率为12 只球颜色不同的概率为15，所以这1－＝ . 666答案：5 62．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10 人参加活动，在活动前，对所选的10 名同学进行了国学素养测试，这 10 名同学的性别和测试成绩(百分制 )的茎叶图如图所示.(1)根据这 10 名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；(2) 这 10 名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s12，s22，试比较 s12与 s22的大小 (只需直接写出结果 )；(3)若从这 10 名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率． (注：成绩大于等于 75 分为优良 )．解： (1) 设这 10 名同学中男、女生的平均成绩分别为x 1， x 2.则x 1＝64＋76＋77＋78＝ 73.75，4x2＝ 56＋ 79＋76＋ 70＋ 88＋ 87＝76，6故该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75,76.2 2(2)s1<s2.(3)设“两名同学的成绩均为优良”为事件 A，男生按成绩由低到高依次编号为a1， a2， a3， a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1， b2， b3， b4， b5， b6，则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学的取法有：(a1， b1)， (a1， b2)， (a1， b3)， (a1， b4)， (a1， b5)， (a1， b6)，(a2， b1)， (a2， b2)， (a2， b3)， (a2， b4)， (a2， b5)， (a2， b6)，(a3， b1)， (a3， b2)， (a3， b3)， (a3， b4)， (a3， b5)， (a3， b6)，(a4， b1)， (a4， b2)， (a4， b3)， (a4， b4)， (a4， b5)， (a4， b6)，共24 种．其中两名同学均为优良的取法有：(a2，b3 )，(a2， b4)，( a2，b5)， (a2，b6)，(a3， b3)，(a3，b4)， (a3，b5)，(a3， b6)， (a4，b3)，(a4， b4)， (a4， b5)， (a4， b6)，共 12 种，所以 P(A)＝12＝1，即两名同学成绩均为优良的概率为12422.古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高.常见的命题角度有：1 古典概型与平面向量相结合；2 古典概型与直线、圆相结合；3 古典概型与函数相结合；4 古典概型与统计相结合.角度一：古典概型与平面向量相结合1． (2018威·海调研)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝ (a， b)与向量n＝ (1，－ 1)垂直的概率为()1 A.61 B.31 C.41 D.2解析：选 A由题意可知m＝ ( a， b)有： (2,1)， (2,3)， (2,5) ， (3,1)， (3,3)， (3,5) ， (4,1)，(4,3)， (4,5) ， (5,1)， (5,3)， (5,5) ，共 12 种情况．因为 m⊥ n，即 m·n＝ 0，所以 a× 1＋ b× (－1)＝ 0，即 a＝ b，满足条件的有(3,3)， (5,5)，共 2 种情况，故所求的概率为1 6.角度二：古典概型与直线、圆相结合2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为在直角坐标系xOy 中，以 (x，y)为坐标的点落在直线2x－ y＝ 1 上的概率为 ________．解析：∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6× 6＝ 36 种结果，满足条件的事件是以(x， y)为坐标的点落在直线2x－ y＝ 1 上，则 (x， y)为 (1,1)， (2,3)， (3,5) ，共有 3 种结果，y，∴根据古典概型的概率公式得以(x，y)为坐标的点落在直线2x－ y＝ 1 上的概率P＝3 ＝36112.答案：112角度三：古典概型与函数相结合23．已知关于 x 的一元二次函数 f(x)＝ ax － 4bx＋ 1.(1) 设集合 P＝ {1,2,3} 和 Q＝ {－ 1,1,2,3,4} ，分别从集合P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b，求函数 y＝ f(x)在区间 [1，＋∞ )上是增函数的概率；x＋ y－ 8≤ 0，(2) 设点 (a， b)是区域 x>0，内的随机点，求函数y＝ f(x)在区间 [1，＋∞ )上是y>0增函数的概率．解： (1) 由题意知，总的基本事件的个数是3× 5＝ 15.22b2∵函数 f( x)＝ ax －4bx＋ 1 的图象的对称轴为 x＝a，要使 f(x)＝ax－ 4bx＋ 1 在区间 [1，＋∞ )上为增函数，2b当且仅当 a>0 且a≤ 1，即 2b≤ a 时．若 a＝ 1，则 b＝－ 1；若 a＝ 2，则 b＝－ 1,1；若 a＝ 3，则 b＝－ 1,1.∴事件包含基本事件的个数是1＋ 2＋ 2＝ 5，∴所求事件的概率P＝5＝1. 153(2) 由 (1)知当且仅当 2b≤ a 且 a>0 时，函数 f(x)＝ ax2－ 4bx＋ 1在区间 [1，＋∞ )上为增函a＋ b－ 8≤ 0，数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为a， b a>0，，即△ OABb>0部分；构成所求事件的区域为△OAC 部分．a＋ b－ 8＝ 0，C 16，8由a－ 2b＝ 0.得交点坐标，33∴由几何概型概率公式得所求事件的概率1× 8×82 3 1P＝1＝3.2× 8× 8角度四：古典概型与 相 合4．某企 了解下属某部 本企 工的服 情况，随机 50 名 工． 根据 50名 工 部 的 分， 制 率分布直方(如 所示 )，其中 本数据分 区 ：[40,50) ，[50,60)， ⋯， [80， 90)， [90,100] ．(1) 求 率分布直方 中 a 的 ；(2) 估 企 的 工 部 分不低于80 的概率；(3) 从 分在 [40,60)的受 工中，随机抽取2 人，求此 2 人的 分都在 [40,50)的概率．解： (1) 因 (0.004＋ a ＋ 0.018＋ 0.022× 2＋ 0.028)× 10＝ 1，所以 a ＝ 0.006. (2) 由所 率分布直方 知， 50 名受 工 分不低于80 的 率 (0.022＋ 0.018)× 10＝ 0.4，所以 企 工 部 分不低于80的概率的估 0.4.(3) 受 工中 分在 [50,60)的有： 50× 0.006× 10＝ 3(人 ) ， A 1， A 2， A 3；受 工中 分在[40,50)的有： 50× 0.004×10＝ 2(人 )， B 1， B 2. 从 5 名受 工中随机抽取2 人，所有可能的 果共有10 种，它 是 {A 1，A 2} ，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{ B 1，B 2}．又因 所抽取 2 人的 分都在 [40,50)的 果有 1 种，即 {B 1， B 2}，故所求的概率 101.[方法技巧 ]解决与古典概型交 命 的 ，把相关的知 化 事件，列 基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率 算公式 行 算．1． (2017 全·国卷Ⅱ )从分 写有 1,2,3,4,5 的 5 卡片中随机抽取 1 ，放回后再随机抽 取 1 ， 抽得的第一 卡片上的数大于第二 卡片上的数的概率()1 1 A.10B.53 2 C.10D.5解析： D两次取得卡片上的数字依次a ，b ， 一共有 25 个不同的数 ( a ， b)，其中 足a ＞b 的数 共有 10 个，分 (2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1) ，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，10 2(5,3)， (5,4) ，因此所求的概率 P ＝ 25＝ 5.2．(2016全·国卷Ⅲ )小敏打开 算机 ，忘 了开机密 的前两位，只 得第一位是M ，I ，N 中的一个字母， 第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字， 小敏 入一次密 能 成功开机的概率是 ()8 1 A.15B.811C.15D.30解析：选 C∵ Ω＝ {(M, 1)，(M, 2)，(M, 3)，(M, 4)，(M, 5)，(I, 1)，(I, 2)，( I,3)，(I,4)，(I,5)，(N, 1)， (N,2)， (N, 3)， (N,4)， (N, 5)}，∴事件总数有15 种．∵正确的开机密码只有 1 种，∴ P＝1 . 153． (2015 全·国卷Ⅰ )如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为()31A.10B.511C.10D.20解析：选 C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10 个不同的结果： (1,2,3) ，(1,2,4) ，(1,2,5) ， (1,3,4) ， (1,3,5)， (1,4,5) ， (2,3,4) ， (2,3,5) ， (2,4,5) ， (3,4,5) ，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为 1 .104． (2014 全·国卷Ⅱ )甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种的所有可能情况为(红，白 )，(白，红 )， (红，蓝 )，(蓝，红 )，(白，蓝 )， (蓝，白 )， (红，红 )，(白，白 )，(蓝，蓝 )，共 9 种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红 )，(白，白 )，(蓝，蓝 )，共 3 种．故所求概率为P＝3＝1.9 3答案：1 35． (2017 ·国卷Ⅲ全 )某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃ )有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1) 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y( 单位：元 )．当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解： (1) 这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25 的频率为2＋16＋36＝ 0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的90概率的估计值为0.6.(2) 当这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y＝ 6× 450－ 4× 450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝ 6× 300＋ 2(450 － 300)－ 4× 450＝300；若最高气温低于 20，则Y＝ 6× 200＋ 2(450 － 200)－ 4× 450＝－ 100.所以Y 的所有可能值为900,300，－ 100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20 的频率为36＋ 25＋ 7＋ 4＝ 0.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为0.8.一、选择题1．(2017 ·津高考天 )有 5 支彩笔 (除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ()4 B.3A.5521C.5D.5解析：选 C从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，有 10 种不同取法： (红，黄 )，(红，蓝)，(红，绿 )，(红，紫 )，(黄，蓝 )，(黄，绿 )，(黄，紫 ) ，(蓝，绿 )，(蓝，紫 )，(绿，紫 )．而取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有 (红，黄 )，(红，蓝 )， (红，绿 )， (红，紫 )，共 4 种，4 2故所求概率 P＝10＝5.2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为()11A.12B.611C.4D.3解析：选 C骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为 (x，y)，共有 6× 6＝ 36 个，记两次点数之积为奇数的事件为A，有 (1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)， (5,1) ， (5,3)， (5,5)共 9 个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P(A)＝9 1 36＝ .43．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3 个标间 (每个标间至多住 2 人 )，则 A ， B 入住同一标间的概率为()1 1 A.10B.53 2 C.10D.5解析： 选 B记 A ， B 入住同一标间的概率为 P ，某宾馆随机安排五名男生入住3 个标间 (每个标间至多住2 人 )共有 C 52C 32 3＝90 种不同的方法， A ， B 入住同一标间有2 32A 3 C 3A 3＝ 18A 218 1种不同的方法，∴ P ＝ 90＝ 5.4．(2018 泉·州质检 )一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当 a ＞b ，b ＜ c 时，称该三位自然数为“凹数” (如 213,312 等 )，若 a ，b ，c ∈ {1,2,3,4} ，且 a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()15A. 6B.2417C. 3D.24解析：选 C 由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321 ，共 6 个；同理由 1,2,4组成的三位自然数共6 个；由 1,3,4 组成的三位自然数也是6 个；由 2,3,4 组成的三位自然数也是 6 个．所以共有 4× 6＝ 24 个．当 b ＝ 1 时，有 214,213,312,314,412,413，共 6 个 “ 凹数 ”；当 b ＝2 时，有 324,423，共 2 个 “ 凹数 ”． 所以这个三位数为 “ 凹数 ” 的概率 P ＝6＋21 24＝ .35．高考后， 4 位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为 ()1 3 A.8 B.857 C.8D.8解析： 选 D高考后， 4 位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n ＝ 24＝ 16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是 4 位考生都参观甲大学或 4 位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P ＝ 1－1 － 1 71616＝ .86． a ， b ， c ， d ， e 是从集合 {1,2,3,4,5} 中任取的 5 个元素 (不允许重复 )，则 abc ＋ de 为奇数的概率为 ()1 4 A.2B.152 3 C.5 D.5解析： C由 意可得 a ，b ，c ，d ，e 是 1,2,3,4,5 5 个数，将 5 个数分 可得 (123,45) ，(124,35) ， (125,34) ， (134,25) ， (135,24) ， (145,23) ， (234,15)， (235,14) ， (245,13) ， (345,12) ，共分 10 ，其中能使 abc ＋ de 奇数的有 (124,35)，(135,24) ，(234,15)，(245,13) ，共有 4 ，所以 abc ＋ de 奇数的概率P ＝ 4 ＝2.10 5a27．抛 地均匀的甲、乙两 骰子， 出 的点数分a ，b ，2<|b － a |<6－ a 成立的概率 ( )13 5 A.36B.187 5 C.36D.36解析： C 由 意知 (a ，b)的所有可能情况 (1,1)，(1,2) ，(1,3)，⋯，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 36 种， “ a<|b － a 2|<6－ a 成立 ” 事件 A ， 事件 A 包括 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，27(2,2)， (2,6) ，共7 种，故 P(A)＝36.8．已知函数 f (x)＝ 1x 3＋ ax 2＋ b 2x ＋1，若 a 是从 1,2,3三个数中任取的一个数， b 是从 0,1,23三个数中任取的一个数， 函数有两个极 点的概率()7 1A.9B.35 2 C.9D.3解析： D 函数 f(x)求 可得 f ′ ( x)＝ x 2＋ 2ax ＋ b 2，要 足 意需x 2＋ 2ax ＋ b 2＝ 0 有两个不等 根，即 ＝ 4(a 2－ b 2)>0，即 a>b.又 (a ， b)的取法共有 9 种，其中 足a>b 的有 (1,0)， (2,0)， (2,1)，(3,0) ，(3,1)，(3,2) ，共6 种，62故所求的概率 P ＝ ＝ . 二、填空9．若从正八 形的8 个 点中随机 取3 个 点， 以它 作 点的三角形是直角三角形的概率是 ________．解析： 由任何三点不共 ， 共有C 83＝ 56 个三角形， 8 个等分点可得 4 条直径，可构成直角三角形有 4× 6＝ 24 个，所以构成直角三角形的概率P ＝24 356＝ .7。
高考概率题知识点理科
高考概率题知识点理科概率是数学中一个非常重要的概念，它在高考数学理科中占据着很大一部分。
了解和熟悉概率题的知识点，对于高考数学的备考有着至关重要的意义。
下面将介绍一些常见的高考概率题的知识点。
一、基本概率问题基本概率问题是概率题中最常见的问题类型，它包括了计算事件的概率、计算多个事件的交集和并集等。
在解决这类问题时，我们首先需要明确事件的定义，然后利用概率的定义进行计算。
例如，某班级有50名学生，其中20人喜欢运动。
如果从中随机选择一名学生，那么他喜欢运动的概率是多少？这个问题中，喜欢运动的学生构成了一个事件，而从中随机选择一名学生则是该事件的样本空间。
根据概率的定义，我们可以计算出喜欢运动的概率为20/50=0.4。
二、独立事件与非独立事件独立事件和非独立事件是高考概率题中另一个重要的知识点。
独立事件是指事件之间的发生没有关系，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
而非独立事件则相反。
在解决独立事件的问题时，我们可以使用乘法原理进行计算。
例如，某班级有10名男生和15名女生，如果从中随机选择两名学生，那么他们都是女生的概率是多少？因为选择第一名学生是女生的概率为15/25，选择第二名学生时，因为前一名学生已经确定为女生，所以第二名学生也是女生的概率为14/24。
根据乘法原理，我们可以计算出两名学生都是女生的概率为(15/25) * (14/24)。
对于非独立事件的问题，我们需要使用条件概率进行计算。
条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，某班级有10名男生和15名女生，如果从中随机选择两名学生，第一名学生是女生的条件下，第二名学生也是女生的概率是多少？因为第一名学生已经确定为女生，所以第二名学生也是女生的概率为14/24。
根据条件概率的定义，我们可以计算出第二名学生是女生的概率为14/24。
三、排列与组合排列与组合是高考概率题中另一个常见的问题类型。
排列是指从一组元素中取出若干个元素进行有序排列，而组合则是指从一组元素中取出若干个元素进行无序排列。