参数方程.ppt
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参数方程ppt课件演示文稿
＋( 10cos α)t＋32＝0，设 M、N 对应的参数分别为 t1、t2，而由参数 t 的几何意义得|PM|
(t 为
参数)．
思路点拨：参数方程通过消去参数可以化为普通方程．对于(1)直接消去参数 k 有困难， 可通过两式相除，先降低 k 的次数，再运用代入法消去 k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋sin 2θ 消去 θ；对于(3)可运用恒等式(11－＋tt22)2＋(1＋2t t2)2＝1 消去 t.
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的 消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数 的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
【例 2】 (2010 年苏、锡、常、镇模拟)已知曲线 C 的方程 y2＝3x2－2x3，设 y＝tx，t 为 参数，求曲线 C 的参数方程．
4．直线
l
的参数方程为x＝t＋3 y＝3－t
，(参数
t∈R)，圆
C
的参数方程为x＝2cos y＝2sin
θ θ＋2
(参
数 θ∈[0,2π))，则圆心到直线 l 的距离为________．
解析：参数方程化为普通方程分别为 l：x＋y＝6，C：x2＋(y－2)2＝4，所以圆心(0,2) 到直线的距离 d＝ 4 ＝2 2.
y 解：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入，得 x＝1＋3·22yxx2， 化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由(11－ ＋tt22)2＋(1＋2tt2)2＝1，得 x2＋4y2＝1， 又 x＝11－＋tt22≠－1，得所求的普通方程是 x2＋4y2＝1(x≠－1)．
课件1：1.参数方程的概念~2.圆的参数方程
为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常 是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲 线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从 而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车， 欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
高考数学复习课件：参数方程+(共13张PPT)
y
t
1 t
普通方程中，必 须使x，y的取值
范围保持一致。
解：（1）x 3y 1 0(x 1) 否则，转化就是
2x 3y 00 x 3或 1 y 0 不等价的.
3x2 y2 4
二. 利用三角恒等式消去参数
例5.将 x
5 cos
为参数化为普通方程。
y 5 sin
解：利用sin2 cos2 1得到
y 27
例2.将参数方程
x
1
1
t t为参数化为普通方程
y 1 t2
解：由x 1 1 t 0得
t
1
t
x 1
1 x
利用解方 程求出参 数t ,然后 代入消去
将其代入y 1 t2得 参数。
y
1
1
1
x2
x 1
例3.将
x y
1 2
3t t为 参 数化
4t
成
普通方程
。
解 ： 将 参 数 方 程 变 形通为 过将两参数
P42 A组1~7；（8选作）。 B组3
又 x sin cos
x 2
2 sin
4
普通方程为x2 1 2 y x 2
练习 把下列参数方程化为普通方程
（1） x
5 cos
为参数，
0,
2
x
sin
为参数
y 4 sin
y cos 2
3 x
3 sin
Hale Waihona Puke 4 cos 为参数
y 4 sin 3 cos
x2 y2 25
若 0，2 ，则普通方程是什么？
思 若 0， ，则普通方程是什么？
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
圆锥曲线的参数方程 课件
规律技巧 利用双曲线的参数方程，可以求目标函数的最 值，这是常见题型的解题方法，一定要熟练掌握．
点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，不是OM的旋转角，
而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的φ称
为点M的离心角．
思考探究2
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程
x＝2pt2， y＝2pt
(t为
参数)中参数t的几何意义是什么？
提示 由抛物线参数方程的推导过程可知，参数t表示抛物线
【例2】
已知A、B分别是椭圆
x2 36
＋
y2 9
＝1的右顶点和上顶
点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方
程．
【解】 如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
(φ为参数)．通常规定参数φ的取值范围为
[0,2π)．
(2)双曲线ay22－bx22＝1的参数方程为xy＝ ＝batsaencφφ， (φ为参数)．
(3)另三种情况抛物线的参数方程如下：
普通方程
参数方程
y2＝－2px(p>0)
x＝－2pt2， y＝2pt
(t为参数)
x2＝2py(p>0)
x＝2pt， y＝2pt2
上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
名师点拨 1.圆、椭圆、双曲线的参数方程
圆、椭圆、双曲线的参数方程如下表：
点所在的 x2＋y2＝r2
曲线
ax22＋by22＝1
ax22－by22＝1
参数方程
x＝rcosθ， y＝rsinθ
参数方程的概念(课件)
对于参数方程 x = a*cos(t), y = a*sin(t) (其中 t 为参数)，可 以通过分离参数 t，得到简单 方程 tan(t) = y/x，进而求解 x 和 y。
参数代入法
01 总结词
通过将参数方程中的参数代入 到已知的函数或表达式中，求 解未知数。
02
详细描述
参数代入法的基本思想是将参 数方程中的参数代入到已知的 函数或表达式中，从而得到一 个关于未知数的简单方程。这 个简单方程通常比较容易求解 ，从而得到原参数方程的解。
在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于动画制作和游戏开发 等领域。
在经济学中的应用
在经济学中，参数方程可以用来描述经济数据的趋势和变化规律。
在生物学中的应用
在生物学中，参数方程可以用来描述生物种群的增长规律和生态系 统的平衡状态。
03
参数方程的求解方法
消去参数法
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，从 而求解未知数。
通过参数的变化，可以描述曲线的几 何性质和动态变化。
x=x(t), y=y(t) 或 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中 t 是参数。
参数方程的表示形式
平面参数方程
在平面直角坐标系中，如果用参数 t 表示曲线上点的横坐标和纵坐标，则平面 参数方程可以表示为 x=x(t), y=y(t)。
2. 通过代数方法消去 参数 t；
3. 得到直角坐标方程 。
02
参数方程的应用
在几何图形中的应用
描述平面曲线
参数方程可以用平面曲线的几何 性质和形状，通过参数的变化来 描述曲线上的点。
旋转和放缩
通过参数方程，我们可以方便地 实现图形的旋转和放缩，从而得 到不同角度和大小的图形。
参数方程 课件
意义, 也可以没有明显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形
式也不一样
3.在实际问题中要确定参数的取值范围
参数方程的定义：
普通方程：
相对于参数方程来说，前面学过的 直接给出曲线上点的坐标关系的方 程，叫曲线的普通方程.
利用参数方程 x 100t
解决问题
y
500
1 2
gt 2
由上面参数方程回答：
)
o
x
令y 0, 得t 10.10s.
代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资， 可以使其准确落在指定位置.
例题讲解：
已知曲线C的参数方程是xy
3t 2t
（t为参数） 2＋1
1、判断点M1(0，1)， M2(5，4)与 曲线C的位置关系；
引入
1.曲线上点M（x,y)直接满足方程 f (x , y) =0时；方程f (x , y) =0就 是曲线的方程。
2.当方程中x与y之间的关系不易 发现时，可通过另一个变量寻找 他们的关系;即要找一个参数。
探究活动：
一架救援飞机在离灾区地面 500m高处以100m/s的速度作水平直 线飞行，为使投放的救援物资准确 落于灾区指定的地面（不计空气阻 力），飞行员应如何确定投放时机 呢？
2、已知点M3（6，a）在曲线C上， 求a的值
解（1）把点M1的坐标（0，1） 代 入方程组，解得t＝0，所以 M1 在曲线C上。
把点M2的坐标（1，3）代入 方 程组，方程组无解，所以M2 不 在曲线C上。
(2)因为点M（3 6，a)在曲线C上，所以
ห้องสมุดไป่ตู้6＝3t
a
2t
2
式也不一样
3.在实际问题中要确定参数的取值范围
参数方程的定义：
普通方程：
相对于参数方程来说，前面学过的 直接给出曲线上点的坐标关系的方 程，叫曲线的普通方程.
利用参数方程 x 100t
解决问题
y
500
1 2
gt 2
由上面参数方程回答：
)
o
x
令y 0, 得t 10.10s.
代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资， 可以使其准确落在指定位置.
例题讲解：
已知曲线C的参数方程是xy
3t 2t
（t为参数） 2＋1
1、判断点M1(0，1)， M2(5，4)与 曲线C的位置关系；
引入
1.曲线上点M（x,y)直接满足方程 f (x , y) =0时；方程f (x , y) =0就 是曲线的方程。
2.当方程中x与y之间的关系不易 发现时，可通过另一个变量寻找 他们的关系;即要找一个参数。
探究活动：
一架救援飞机在离灾区地面 500m高处以100m/s的速度作水平直 线飞行，为使投放的救援物资准确 落于灾区指定的地面（不计空气阻 力），飞行员应如何确定投放时机 呢？
2、已知点M3（6，a）在曲线C上， 求a的值
解（1）把点M1的坐标（0，1） 代 入方程组，解得t＝0，所以 M1 在曲线C上。
把点M2的坐标（1，3）代入 方 程组，方程组无解，所以M2 不 在曲线C上。
(2)因为点M（3 6，a)在曲线C上，所以
ห้องสมุดไป่ตู้6＝3t
a
2t
2
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其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的角度 y 圆心为O1 (a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
b
v O
P r y x
a
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
第二讲：参数方程
曲线的参数方程
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。 x表示物资的水平位移量， 投放点 y表示物资距地面的高度，
x 2cos 1 ( 为参数)上任意一点,则 4 点P(x, y)是曲线 y 2sin 1
x 2 y 2 的最大值为
2 2
5 已知点P是圆 x y 16 上一个动点,定点A(12, 0)， 点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动 时，求点M的轨迹． 解：设点M的坐标是(x, y), xOP 则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).
上的点是 ( B )
D (1, 3)
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 .
圆的参数方程
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
所以S 3x y 3(1 2cos ) (2 2sin ) 5 6cos 2sin 5 2 10 cos( ) 1 (tan ) 3
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
x 2 cos 1 P(x, y)是曲线 y sin (α为参数)上任意一点,则
y (1)求 的最小值与最大值 x
(2)求x－y的最大值与最小值
例6 参数法求轨迹
已知点A(2, 0),P是x2+y2=1上任一点, AOP 的平分 线交PA于Q点,求Q点的轨迹. AQ:QP=2:1
例7 已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆
( x 3)2 ( y 4)2 4
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。 参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y) r
o
M0
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
x y cos t ,sin t r r
即
x r cos t (t为参数) y r sin t
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
x 1 cos ∴参数方程为 y 3 sin
(θ为参数)
3 2 练习： 判断点A( 2,0), B( 2 , ), C (1,3)是否在曲线 2 x 2 cos (为参数,0 2 )上, 若在曲线上, 求 y 3 sin 出它对应的参数值.
5、由方程x y 4tx 2ty 5t 4 0( t为
2 2 2
参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
x sin 2 5下列在曲线 y cos sin (为参数) 3 1 1 ( , 2) ( , ) C (2, 3) A 2 B 4 2
8 8 x 4 cos , y sin 3 3
2 2 .
பைடு நூலகம்
∵2|PM|=|MA|, ∴由题设
2 2 AM AP ∴(x-12, y)= (4 cos 12, 4sin ) 3 3
8 x 4 cos , 3 ( 为参数) y 8 sin . 3
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程： 一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程； 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
x= sin cos x= t 1 (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 sin 2 y 1 2 t
上的一点,求 PA PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
x 3 2 cos y 4 2 sin
2 2
2
2
PA PB
(4 2 cos )2 (4 2 sin )2 (2 2 cos )2 (4 2 sin )2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例3 已知x、y满足( x 1)2 ( y 2)2 4 ,求 S 3 x y 的最大值和最小值．
x 1 2cos , ( 为参数) 解：由已知圆的参数方程为 y 2 2sin .
A(2，7)； B(1/3, 2/3) 3
C(1/2, 1/2)
D(1，0)
x 1 2t 已知曲线C的参数方程是 y at 2 (t为参数，a R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
x 3t 已知曲线C的参数方程是 y 2 t 2 1 （为参数）
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线 飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是 多少？（精确到1m）
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程 参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻) 考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos ( 为参数) y r sin
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. x r cos ( 为参数) y r sin
2 x 得到 y
x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
(1) (x-2)2+y2=9
x sin (2) y cos2
解: (1)由 x t 1 1
得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2 x 3( x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线；
( 2) x si n cos 2 si n (
4
)
所以x
2, 2
把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
x=100t=1000,
t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
练习
x 1 t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 y 4t 3(t为参数）
A(1，4)； B (25/16, 0)
C(1, -3)
D(±25/16, 0)
x sin (为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) 2、方程 y cos
60 8(3 cos 4 sin )
60 40sin( )
参数方程和普通方程的互化
x 3 cos , 在例1中，由参数方程 y sin . ( 为参数)
直接判断点M的轨迹是什么并不方便，
把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1， 轨迹是什么就很清楚了
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？
救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有 y 什么关系？ t时刻，水平位移为 500 2/2， y=500-gt x=100t，离地面高度y，即： x 100t , 1 2 y 500 gt . 2 o 物资落地时，应有y=0， x 即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；
b
v O
P r y x
a
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
第二讲：参数方程
曲线的参数方程
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。 x表示物资的水平位移量， 投放点 y表示物资距地面的高度，
x 2cos 1 ( 为参数)上任意一点,则 4 点P(x, y)是曲线 y 2sin 1
x 2 y 2 的最大值为
2 2
5 已知点P是圆 x y 16 上一个动点,定点A(12, 0)， 点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动 时，求点M的轨迹． 解：设点M的坐标是(x, y), xOP 则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).
上的点是 ( B )
D (1, 3)
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 .
圆的参数方程
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
所以S 3x y 3(1 2cos ) (2 2sin ) 5 6cos 2sin 5 2 10 cos( ) 1 (tan ) 3
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
x 2 cos 1 P(x, y)是曲线 y sin (α为参数)上任意一点,则
y (1)求 的最小值与最大值 x
(2)求x－y的最大值与最小值
例6 参数法求轨迹
已知点A(2, 0),P是x2+y2=1上任一点, AOP 的平分 线交PA于Q点,求Q点的轨迹. AQ:QP=2:1
例7 已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆
( x 3)2 ( y 4)2 4
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。 参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y) r
o
M0
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
x y cos t ,sin t r r
即
x r cos t (t为参数) y r sin t
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
x 1 cos ∴参数方程为 y 3 sin
(θ为参数)
3 2 练习： 判断点A( 2,0), B( 2 , ), C (1,3)是否在曲线 2 x 2 cos (为参数,0 2 )上, 若在曲线上, 求 y 3 sin 出它对应的参数值.
5、由方程x y 4tx 2ty 5t 4 0( t为
2 2 2
参数)所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
x sin 2 5下列在曲线 y cos sin (为参数) 3 1 1 ( , 2) ( , ) C (2, 3) A 2 B 4 2
8 8 x 4 cos , y sin 3 3
2 2 .
பைடு நூலகம்
∵2|PM|=|MA|, ∴由题设
2 2 AM AP ∴(x-12, y)= (4 cos 12, 4sin ) 3 3
8 x 4 cos , 3 ( 为参数) y 8 sin . 3
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程： 一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程； 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
x= sin cos x= t 1 (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 sin 2 y 1 2 t
上的一点,求 PA PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
x 3 2 cos y 4 2 sin
2 2
2
2
PA PB
(4 2 cos )2 (4 2 sin )2 (2 2 cos )2 (4 2 sin )2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例3 已知x、y满足( x 1)2 ( y 2)2 4 ,求 S 3 x y 的最大值和最小值．
x 1 2cos , ( 为参数) 解：由已知圆的参数方程为 y 2 2sin .
A(2，7)； B(1/3, 2/3) 3
C(1/2, 1/2)
D(1，0)
x 1 2t 已知曲线C的参数方程是 y at 2 (t为参数，a R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
x 3t 已知曲线C的参数方程是 y 2 t 2 1 （为参数）
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线 飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是 多少？（精确到1m）
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程 参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻) 考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos ( 为参数) y r sin
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程. x r cos ( 为参数) y r sin
2 x 得到 y
x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
(1) (x-2)2+y2=9
x sin (2) y cos2
解: (1)由 x t 1 1
得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2 x 3( x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线；
( 2) x si n cos 2 si n (
4
)
所以x
2, 2
把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
x=100t=1000,
t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
练习
x 1 t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 y 4t 3(t为参数）
A(1，4)； B (25/16, 0)
C(1, -3)
D(±25/16, 0)
x sin (为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) 2、方程 y cos
60 8(3 cos 4 sin )
60 40sin( )
参数方程和普通方程的互化
x 3 cos , 在例1中，由参数方程 y sin . ( 为参数)
直接判断点M的轨迹是什么并不方便，
把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1， 轨迹是什么就很清楚了
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？
救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有 y 什么关系？ t时刻，水平位移为 500 2/2， y=500-gt x=100t，离地面高度y，即： x 100t , 1 2 y 500 gt . 2 o 物资落地时，应有y=0， x 即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；