山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考数学(理)

山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考数学(理)试题命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}|02P x Z x =∈≤<，{}4|2≤∈=x Z x M ，则P M 等于A.{}1B. {}1,0C. )2,0[D. ]2,0[2. 某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有 A. 474种 B. 77种 C. 462种 D. 79种3. 复数z 1=3+i,z 2=1-i,则复数21z z 的虚部为 A. 2B. -2iC. -2D. 2i4. 过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ,MB (A ,B 为切点)，则MA MB ⋅=B.52 D.325. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 6. 如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为-55，则判断框中的条件为A.?11<nB. ?11≥nC.?10<nD. ?10≥n7. 点P 为双曲线1C ：和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为D.2 8. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形， 则该几何体的外接球的表面积为 A.10π B.50π C.25π D.100π9. 对于下列命题：①在△ABC 中，若sin2sin2A B =,则△ABC为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若2a =，5b =，6A π=,则△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos 3b π=，2012tan 3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象.其中正确命题的个数是A.0B.1C. 2D.310. 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC的体积为 A．B.C.D. 111. 函数()cos f x x π=与函数()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为 A ．2B. 4C. 6D. 812. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在正三角形3AB =中，D 是AB 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=.14. 实数对(,)x y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z=kx －y 当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k 的取值范围是 .15．已知xxx f ln )(=，在区间[]3,2上任取一点0x ，使得0'()0f x >的概率为 . 16．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b na )21(2=，设n n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）某中学参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，1,2PM BC ==．又1AC =，120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒． （1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上。

（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.21．（本小题满分12分） 已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-= （1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程；（2）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围； （3）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立，求a 的取值范围.1 2 3请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交 圆O 于点C B 、，APC ∠的平分线分别交AC AB 、于点E D 、.（1）证明：ADE AED ∠=∠；（2）若AP AC =，求PCPA的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a,已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222，直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设.,)(R a a x x f ∈-=（1）当1,()3x f x -≤≤≤时，求a 的取值范围；（2）若对任意x ∈R ，()()12f x a f x a a -++≥-恒成立，求实数a 的最小值．参考答案选择题二、填空题13、152 14、1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭15、2e - 16、 3三、解答题17、解（1）由题意知0,212>+=n n n a S a ………………1分 当1=n 时，21212111=∴+=a a a 当2≥n 时，212,21211-=-=--n n n n a S a S 两式相减得1122---=-=n n n n n a a S S a ………………3分 整理得：21=-n na a ………4分 ∴数列{}n a 是以21为首项，2为公比的等比数列.211122212---=⨯=⋅=n n n n a a ……………5分 （2）42222--==n b n na ∴nb n 24-=，……………………6分nn n n n nn a b C 28162242-=-==- n n n n n T 28162824282028132-+-⋯+-++=- ① 13228162824202821+-+-+⋯++=n n nnn T ② ①-②得1322816)212121(8421+--+⋯++-=n n n nT ………………9分 111122816)21144281621)2112184+-+-----=----⋅-=n n n n nn （（ n n 24=.………………………………11分 .28n n nT =∴……………12分18、由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230 2.3100100⨯+⨯+⨯==．………………4分（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．…………………8分 （3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=；(2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：…………………10分ξ的数学期望：4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………12分 19、方法1：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（4分）（2）取BC 的中点N ，连MN ．∵PM CN = ，∴MN PC =，∴MN ⊥平面ABC ．作NH ⊥ AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ．由三垂线定理得AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角．∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒．在ACN ∆中，AN = 在Rt AMN ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠︒=． 在Rt NCH ∆中，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=． 在Rt MNH ∆中，∵MHcos NH MHN MH ∠==． 故二面角M AC B --．（12分） 方法2：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（4分）（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设(0,0,)P z ，则(0,0,)CP z =．13(0,1,),0)(,)22AM z z =--= ．……………（5分）∵2cos60|cos ,|||||||AM CP AM CP AM CP ⋅︒=<>==⋅，且0z >12=，得1z =，∴3(,1)2AM = ．……………（7分）设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则由0,0AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得310,210,2y y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得1,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)=-n ．……………（9分） 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =．cos ,||CP CP ||CP ⋅<>==⋅n n n ．……………（11分）显然，二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M AC B --．（12分） 20、（1）由椭圆C 的离心率22=e ，得22=a c ，其中22b a c -=， 椭圆C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -,又点F 2在线段PF 1的中垂线上222221)2()3()2(|,|||c c PF F F -+=∴=∴……………（3分） 解得,1,2,122===b a c.1222=+∴y x 椭圆的方程为 …………… (5分)（2）由题意，知直线MN 存在斜率，其方程为.m kx y +=由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x ,1222消去.0224)12(,222=-+++m kmx x k y 得 … (6分) △=（4km ）2—4(2k 2+1)(2m 2—2)>0 （ 7分）设),,(),,(2211y x N y x M 则,1222,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x ……………（8分）且1,1221122-+=-+=x mkx k x m kx k N F M F ……………（9分）由已知直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，得.011,0221122=-++-+=+x mkx x m kx k k N F M F 即…（10分）化简，得02))((22121=-+-+m x x k m x kx 0212)(412222222=-+--+-⋅∴m k k m km k m k 整理得.2k m -= （11分）直线MN 的方程为)2(-=x k y ，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为（2，0） ……………（12分） 21、解：（Ⅰ）当1=a 时，xx x f x x x x f 132)(,ln 3)(2+-=+-=.………………2分 因为2)1(,0)1('-==f f . 所以切线方程是.2-=y ……………………4分 （Ⅱ）函数x x a ax x f ln )2(2)(++-=的定义域是），（∞+0. ………………5分 当0>a 时，)0(1)2(21)2(2)('2>-+-=++-=x xx a ax x a ax x f令0)('=x f ，即0)1)(12(1)2(2)('2=--=++-=x ax x x x a ax x f ， 所以21=x 或ax 1= (7)分当110≤<a ，即1≥a 时，)(x f 在［1，e]上单调递增，所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1(-=f ；当e a <<11时，)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()1(-=<f a f ，不合题意；当e a≥1时，)(x f 在（1，e ）上单调递减， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意………………8分（Ⅲ）设x x f x g 2)()(+=，则x ax ax x g ln )(2+-=，只要)(x g 在），（∞+0上单调递增即可 (9)分 而xax ax x a ax x g 1212)('2+-=+-= 当0=a 时，01)('>=xx g ，此时)(x g 在），（∞+0上单调递增；……………………10分 当0≠a 时，只需0)('≥x g 在），（∞+0上恒成立，因为),0(+∞∈x ，只要0122≥+-ax ax ， 则需要0>a ，………………………………12分 对于函数122+-=ax ax y ，过定点（0，1），对称轴041>=x ，只需082≤-=∆a a ， 即80≤<a . 综上80≤≤a . ………………………………………………12分 22、（1）∵ PA 是切线，AB 是弦，∴ ∠BAP=∠C ，又 ∵ ∠APD=∠CPE ，∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ，∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD ，∠AED=∠C+∠CPE ，∴ ∠ADE=∠AED 。