【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(二,压轴卷)数学(文)试题
【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题+Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,0,1,2,3,4A B =-=,则()B C A B I =（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,1,4 C ．{}14， D ．{}0,12.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii∙=+,则3z +=（ ）A ． D ．53.已知具有线性相关的两个变量x y ，之间的一组数据如下表所示:若x y ，满足回归方程 1.5y x a =+,则以下为真命题的是（ ） A.x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5 个单位长度 B.x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5 个单位长度 C.所有样本点的中心为(1,4.5) D.当8x =时,y 的预测值为13.54.已知点(),4P n 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点,12,F F 是椭圆C 的两个焦点,若12PF F ∆的内切圆的直径为3,则此椭圆的离心率为（ ）A ．57 B ．23 C.35 D ．455.如图,已知ABC ∆与AMN ∆有一个公共顶点A ,且MN 与BC 的交点O 平分BC ,若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．2C.32．66.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧梭垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵111,ABC A B C AC BC -⊥,若12A A AB ==,当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外 接球的体积为（ ）A ．B ．3 C.3D ． 7.“34πϕ=”是“函数= 2y cos x 与函数()=2y sin x ϕ+在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,上的单调性相同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图,若输出1007S =-,则判断框内应填的内容是（ ）A ．2015?k <B ．2016?k < C.2017?k < D ．2014?k <9.如图所示，直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线,12,F F 是双曲线C 的左、右焦点,1F 关于直线的对称点为1'F ,且1'F 是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A．310.某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人,则不同的分配方法共有（ ） A ．114种 B ．150种 C. 120种 D ．118种11.如图,正方体1111ABCD A BC D -的对角线BD 上存在一动点P ,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于,M N 两点.设,BP x BMN =∆的面积为S ,则当点P由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知()'f x 为函数()= y f x 的导函数,当02x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭，是斜率为k 的直线的倾斜角时,若不等式()()'0f x f x k -∙<恒成立，则（ ）A()3()4f f ππ>B ．(1)2()sin16f f π<()()064f ππ-> D()()063f ππ-<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2221f x cosx sinx sin x =+-+,则其最小正周期为 ．14.过()()3,1,0,M N a -两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点,则实数a 的取值范围为 ．15.如图,将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ,并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45°,PQ 为正方形BCEF 内一条直线,则直线PQ与BD 所成角的取值范围为 ．16..已知菱形ABCD ,E 为AD 的中点,且3BE =,则菱形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和221,S n n n N *=++∈n . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn .18.如图所示,已知三棱锥P ABC -中,底面ABC 是等边三角形,且=2,,PA PB AC D E ==分别是,AB PC 的中点.(1)求证:AB ⊥平面CDE ;(2)若PC =求二面角A PB C --的余弦值19.伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:(1)若以“年龄55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:(2)若从年龄在[)55,65,[]65,75内的被调查人中各随机选取2 人进行追踪调查.记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ. ①求随机变量ξ的分布列; ②求随机变量ξ的数学期望. 参考数据如下:参考公式：22(),()()()()n ad bd K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++20. 已知点()0,1A ,过点()0,1D -作与x 轴平行的直线1l ，点B 为动点M 在直线1l 上的投影,且满足MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)已知点P 为曲线C 上的一点,且曲线C 在点P 处的切线为2l ,若的与直线2l 相交于点Q ,试探究在y 轴上是否存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ? 若存在,求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.已知函数()1f x x nx =.(1)若函数()()()()2 '20g x f x ax a x a ==+-+>,试研究函()g x 数的极值情况; (2)记函数()() x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为o x ，记()(),x x m x min f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,若 ()() m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不等实根()1212, x x x x <，证明∴122o x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知圆cos 1:x C y xin αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为4 sin ρθ=. (1)分别写出圆1C 的普通方程与圆2C 的直角坐标方程;(2)设圆1C 与圆2C 的公共弦的端点为,A B ,圆1C 的圆心为1C ,求1AC B ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知,a b 均为正实数,且 1a b +=.(1)求2的最大值; (2)求1aba+的最大值.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二)一、选择题1-5:BADCC 6-10:BAACA 11、12：DD 二、填空题13.π【解析】因为()21 221= 2 +?cos 21214f x sin x sin x sin x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-++=++,所以其最小正周期为22T ππ==. 14.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[解析]点() 3,1M -关于y 轴的对称点为()'3,1M ,则直线'M N 的方程为11?(303)a y x -=---,即()1330a x y a -+-=,由题意可知，圆心(0,0)到直线()1330a x y a -+-=的距离1d =≤,即282100a a +-≤，解得5-14a ≤≤,故实数a 的取值范围为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.30,90⎡⎤⎣⎦【解析】不妨设正方形的边长为1,作DG CE ⊥,垂足为G ,由,BC CE BC CD ⊥⊥,得BC ⊥平面CDG .故BC DG ⊥.又BC CE C = ,得DG ⊥平面BCEF ,故直线BD 在平面BCEF BCEF 内的射影为BG .易知2DG =,则BD 与平面BCEF 所成的角为30DBG ∠= ,所以BD 与平面BCEF 内的直线所成的最小角为30°,而直线PQ 与BD 所成角的最大角为90°(当PQ 与CF 重合时,PQ 与BD 所成角为90°),所以直线PQ 与BD 所成角的取值范围为30,90⎡⎤⎣⎦16.12【解析】设AE x =,则2AB AD x ==,因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,所以+>,<,AB AE BE AB AE BE ⎧⎨-⎩即231233x x x x x x +>>⎧⎧⇒⎨⎨-<<⎩⎩，所以(1,3)x ∈.设BAE θ∠=,在ABE ∆中,由余弦定理可知()229222x x x xcos θ=+-∙∙,即22594x cos x θ-=，2 2.4ABCD S x x sin xθ=∙∙==菱形2t x =，则()1,9t∈，则A B C D S =菱形当5t=，即x =,ABCD S 菱形有最大值12.三、解答题17.解:(1)当1n =时,114a S ==; 当2n ≥时，()2211221,n n n a S S n n n -=-=--+=+对14a =不成立，所以数列{}n a 的通项公式为4,121,2,n an n n nN*=⎧=⎨+≥⎩ (2)当1n =时,1120T = 当2n ≥时，111(21(23)n n a a n n +=++ =111)22n+123n -+（所以111111111161(...)2025779212320101520(23)n n n T n n n n --=+-+-++-=+=++++ 又1n =时，1120T =符合上式， 所以61()20(23)N n n n n T *=-∈+18.解:(1)连接PD ,因为PA PB AC ==,底面ABC 是等边三角形， 又因为D 是AB 的中点， 所以,PD AB AB CD ⊥⊥. 又因为CD PD D = , 所以AB ⊥平面CDE . (2)因为2PA PB AC === 由(1),可知PD CD ==而PC ,所以PD CD ⊥.以D 为原点,以DB uu u r的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示，则()()()(1,0,0,1,0,0,,A B C P -,由题意,得平面ABP 的一个法向量为()0,1,0m =u r. 设平面BCP 的一个法向量为(),,n x y z =r.因为()(,BC PC =-=-uu u r uu u r,所以((,,)0(,,)0BC n x y z PC n x y z ⎧∙=-∙=⎪⎨∙=∙=⎪⎩uu u r,即00x ⎧-+=⎪= 令1z =,得1,x y =.所以)n =,所以,cos m n <>==由题意知二面角A PB C --为锐角， 所以二面角A PB C --的余弦值为519.解:(1)22⨯列联表如下:2K 的观测值250(38732)9.524 6.63510403515k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. (2)①由题意,可知ξ所有可能取值有0,1,2,3,()229340225055C C P C C ξ==∙=,()1122112234340+2222255555C C C C C P C C C C ξ==∙∙=,()221113242342+2222105555CC C C C P C C C C ξ==∙∙=,()211243222555CC P C C ξ==∙=， 所以ξ的分布列是②912316()0123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解:(1)设(),M x y ,由题得(),1B x -.又()0,1A ,∴()-, 1MA x y =-uuu r ,()()0, 1 ,, 2MB y AB x =--=-uuu r uu u r ,由MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r ,得()0MA MB AB =∙+uuu r uuu r uu u r . 即()()2,2,204x y x x y --∙-=⇒=, ∴轨迹C 的方程为24x y =. (2)设点()0200,,4x N n P x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，， 由214y x =，得1'2y x =， ∴201 '2l k y x x x == ∴直线2l 的方程为0020)4(2xx y x x -=-).令-1y =,可得0020()42xx x x x ==- ∴Q 点的坐标为2,12o o x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴220=,,,142o o o x x NP x n NQ n x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭uu u r uuu r ∵点N 在以PQ 为直径的圆上 ∴22002(1+)()24x x NP NQ n n ∙=---uu u r uuu r =220(1-)()+20()4xn n n n -+-=* 要使方程(* )对o x R ∈恒成立，则必有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩，解得1n =. 即在y 轴上存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ,其坐标为(0,1).21.解:(1)由题意,得()'1f x lnx =+,故()()221g x ax a x lnx =-+++, 故()()()()2111 '22x ax g x ax a x x--=-++=, 00.x a >>， 令()'0g x =,得2111,2x x a== ①当02a <<时，112a >， ()1 '002g x x >⇒<<或1x a >;()11'02g x a<⇒<， 所以() g x 在12x =处取极大值1 ln 224a g =-- ②当2a =时，()11,'02g x a =≥恒成立,所以不存在极值; ③当2a >时，112a ， ()1'00g x x a >⇒<<或12x >， ()11'02g x x a <⇒<, 所以()g x 在1x a =处取极大值11()ln g a a a=-- 在12x =处取极小值1()1224a g n =--. 综上,当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值,124a n --，在1x a =处取极小值ln 4a a --; 当2a =时,不存在极值;当2a >时,() g x 在1x a =处取极大值ln 4a a --, 在12x =处取极小值ln 24a --. (2)()x x F x xlnx e=-,定义域为()0,x ∈+∞, ()1'1x x F x lnx e-=++,而()1,2x ∈, 故()'0F x >,即()F x 在区间(1,2)内单调递增.又()()21210,2220F F ln e e=-<=->, 且)(F x )在区间(1,2)内的图象连续不断，故根据零点存在性定理,有)(F x 在区间(1,2)内有且仅有唯一零点.所以存在()1,2o x ∈,使得()()000o o x x F x f x e =-=, 且当1o x x <<时,()x x f x e <; 当o x x >时，()xx f x e >,所以()ln ,1,o o x x x x m x x x x ex <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时,() m x xln x =,由()'1 0m x ln x =+>,得()m x 单调递增; 当o x x >时,()x x m x e =, 由()1'0x x m x e-=<,得()m x 单调递减. 若()m x n =在区间()1,+∞内有两不等实根1212,()x x x x <, 则 ()()211, ,,o o x x x x ∈∈+∞. 要证122o x x x +>,即证212o x x x >-. 又12o o x x x ->,而()m x 在区间()o x +∞，内单调递减， 故可证()()212o m x m x x <-,又由()()12m x m x =,即证()()112o m x m x x <-, 即111212 o o x x x ln x e x x -<-. 记()22 ,1o o o x x h x xln x x x e x x-=-<<-,,其中()=0o h x ()220121'1 1ln o o x x h x ln x x e x x e x x +-=++=++---022o x x e x x --, 记()t t t e ϕ=,则()1't t t eϕ-=. 当()0,1t ∈时,()'0t ϕ>;当()1,t ∈+∞时,()'0t ϕ<',故()1max t eϕ=.而()0t ϕ>,故()10t eϕ<<, 而21xo x ->, 所以2021-0o x x e e x x-<-<- 因此()22211 '1 10o o o x x h x ln x e x x e x x e -=++->->-- 即()h x 单调递增.故当1o x x <<时,()()0o h x h x <= 即111212 o o x x e x x x x ln -<- 故122o x x x +>,得证.22.解:(1)因为圆1cos 1:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数）， 所以圆1C 的普通方程是()2211x y -+=. 因为圆2:4C sin ρθ=,所以圆2C 的直角坐标方程是224 0x y y +-=.(2)因为圆()221:11C x y -+=, 圆222:40C x y y +-=,两式相减,得-20x y =,即公共弦所在直线为20x y -=,所以点(1,0)到-20x y =所以公共弦长为=，所以1122555Ac B S ∆=⨯=23.解:(l)2=211（ 221+14141)a b ≤∙+++（）（ =()()242241212a b ⎡⎤⎣⎦++=⨯+=,=即12a b ==时,取等号， 故原式的最大值为12.(2)原式=112122ab b a b a ab a b==+++. 因为1212()()a b a b a b+=++ =221+23()b a b a a b a b ++=++3≥=+a 当且仅当2b a a b=，即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,取等号.所以原式≤故原式的最大值为。
模拟试卷】衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(二)试题Word版含答案
模拟试卷】衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(二)试题Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合$A=\{x|y=x^2-2x\}$，$B=\{y|x^2+1\}$，则$A\cap B=$（）A。
$[1,+\infty)$B。
$[2,+\infty)$C。
$(-\infty,2]\cup[2,+\infty)$D。
$(-\infty,+\infty)$2.已知$a\in R$，且$a>0$，$i$是虚数单位，$\frac{a+i}{2+i}=2$，则$a=$（）A。
4B。
32C。
19D。
253.已知$\theta$为直线$y=3x-5$的倾斜角，若$A(\cos\theta,\sin\theta)$，$B(2\cos\theta+\sin\theta,5\cos\theta-\sin\theta)$，则直线AB的斜率为（）A。
3B。
-4C。
$\frac{11}{3}$D。
$-\frac{3}{4}$4.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的渐近线与抛物线$y=x^2+1$相切，则双曲线的离心率为（）A。
2B。
3C。
$\sqrt{2}$D。
$\sqrt{5}$5.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）A。
$\frac{3}{11}$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{7}{25}$D。
$\frac{9}{25}$6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由XXX所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请XXX算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入$m,n$分别代表钱数和果子个数，则符合输出值$p$的为（）A。
(衡水金卷)2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题二 理(扫描版)
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河北衡水中学2018 年高考押题试卷理数(二)试卷
（2）若函数 y f ( x ) 的最小值记为 m ，设 a, b R ，且有 a b m ，试证明：
2
2
1 4 18 . a 2 1 b2 1 7
与 y 轴相交于不同的两点 P 、 Q ，若 PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为
2 x y 3 0, y 15.设 x ， y 满足约束条件 x 2 y 2 0, 则 的取值范围为 2 x y 2 0, x
16.在平面五边形 ABCDE 中， 已知 A 120 ，B 90 ，C 120 ，E 90 ， AB 3 ， AE 3 ， 当五边形 ABCDE 的面积 S [6 3,9 3) 时，则 BC 的取值范围为 .
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.向量 a (m, n) ， b (1, 2) ，若向量 a ， b 共线，且 | a | 2 | b | ，则 mn 的值为
B． [ , ] 6 3
D． [ , ] 3 2
）
81 2
C.
81 4
D．
81 8
n *
10.已知数列 a1 1 ， a2 2 ，且 an 2 an 2 2(1) ， n N ，则 S 2017 的值为（ A． 2016 1010 1 B． 1009 2017 C. 2017 1010 1
2 *
1 * ， 2 S n S n 1 1 ( n 2, n N ) . 2
2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 理科数学(二)含精品解析
A． 51π 4
【答案】C
B． 41π 2
C． 41π
D． 31π
【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O ABCD ，
正方体的棱长为 4， A ， D 为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过 A ， D 的平
行于底面的中截面上，
设球心到截面 BCO 的距离为 x ，则到 AD 的距离为 4 x ，
DC
，
在等腰梯形 ABCD 中， AB AD 1 2 cos 60 1， AB DC 2 ，
BC
AD
11
cos
60
1
，
BC
DC
11
cos120
1
．
2
2
AE AF 1
f
x，
x
，
5
作
OH
BQ
于
H
当Q
在半圆弧
AQB
上运动时，
QOH
1
(
)
，
2
BQ 2OQ sin 2OQ cos ，
2
2
CQ BQ2 BC2 100cos2 100 10 cos2 x 1 5 2cos x 6 ，
D．
【答案】A
【解析】 N x 2x 1 x x 0， M x | x 1，M N x | 0 x 1．故选：A．
2．若双曲线 x2 y2 1的一个焦点为 3, 0，则 m （ ）
m
A． 2 2 【答案】B
河北省衡水金卷压轴卷全国统一考试模拟试题理科数学(二)---精校解析Word版
已知集合,（D.，然后再求出【详解】由题意得．复数满足∵，，，．前三个路口遇到红灯的概率均为第四个路口遇到红灯的概率为则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（【答案】前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为．．已知双曲线方程为,为双曲线的左、右焦点为渐近线上一点且在第一象限若,则双曲线的离心率为（C. D.为直角三角形，又得所以故得的倾斜角为，即，由此可得离心率．【详解】设为正三角形，直线的倾斜角为，离心率将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量利用和则B. C. D.【答案】D，进而可得，然后再根据两角和的正弦公式求解即可．∵，又为锐角，故选D．A. B. C. D.第一次：第二次：第三次：第四次：第五次：第六次：第七次：时，的值为（C. D.运用赋值法求解，令，得，．故选C．B.D.故几何体的表面积为,B.【答案】D可得，，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论．∵整理得．，解得，所以，由于，解得，，所以C成立．，所以【点睛】本题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用，解题时注意不等式10.若函数在区间则B.D.【答案】在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间的单调区间为，．函数在区间内没有最值，在区间内单调，，解得．，得时，得；时，得，又，故的取值范围是函数在区间的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化过抛物线上两点若两切线垂直且交于点则直线【答案】B并结合点的坐标求得．再根据两切线垂直可得抛物线的方程为，设出直线方程，联立消元后根据二次方程根与系数的关系可求得直线的斜率及截距，于是可得直线方程．【详解】由，得，则抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，解得又两切线交于点，，故得．∵过两点的切线垂直，，故，故得抛物线的方程为．的斜率存在，可设直线方程为整理得和可得的方程为中，正三菱锥的内切球与三个侧面切点分别为与底面切于点的体积之比为（【答案】B，由题意可得．，．，解得．把面单独拿出来分析，如图．的中心，，．D作于，则，为等边三角形，故选B．【点睛】解答本题时注意：中,与【答案】【解析】与分别用表示，通过求【详解】设，，．，．与的夹角为【点睛】求向量夹角时，可先由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积，并求得两向量的模，然后根,组成的区域为作关于直线,和点内的任一点,则的最小值为【答案】，求出区域内的点到直线的最小距离，由题意得的最小值为表示的区域，如下图阴影部分所示．由题意得三个交点的坐标分别为．结合图形可得区域内的点到直线的距离最小，且最小值为．由题意得的最小值为因此所求的最小值为【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的平面区域，并根据数形结合解题；二是将和内的两点间的距离的最小值转化为点到直线的距离处理，满足,当,且斜率为的直线与个交点【答案】【解析】为偶函数且图象的对称轴为，由此得到函数的周期为∵，即的周期为时，，结合函数的周期性，画出函数且斜率为的直线方程为．结合图象可得：联立消去整理得，，得(舍去)时，点与点，此时直线与有两个交点，又，相切，将两式联立消去整理得，得(所以当时有三个交点．综上可得的取值范围为．【点睛】已知函数有零点(方程有根中,【答案】【解析】中由题意可得，故得．过点，交的延长线于点，根据平行线，且．然后在中，由正弦定理得【详解】在中，，，．过点作，交的延长线于点，如下图，，．中，由正弦定理得【点睛】本题考查正弦定理在几何中的应用，同时也考查三角变换的应用，解题时要注意平面几何知识的利用，并由此寻求解三角形所需要的条件，然后再根据正弦（余弦）定理求解．在数列已知,求数列或，可得由以上两式消去的公比为，，整理得，解得或）得，当，此时数列为等比数列，，此时数列【点睛】本题考查定比数列的定义及其通项公式的求法，解题时要根据所给出的条件并结合等比数列的有平面平面平面四边形为正方形，,在棱为的中点为平面平面,使得平面平面?使得平面平面平面可得平面，从而有，结合条件可得四边形平行四边形，于是，可得平面．又可根据条件得到平面的判定定理可得结论．（2）在中，由余弦定理得，于是，所以，又两两垂直，故可建立空间直角坐标系，根据空间向量的知识求解．【详解】(1)∵平面平面平面平面平面.平面，∴四边形为平行四边形，．平面平面平面．，又平面平面平面．平面平面，平面平面）在中，由余弦定理得，，∴为直角三角形，且，平面可得两两垂直.依次为则的一个法向量为，即，解得，．设平面的一个法向量为，，得，平面化简得，，故此方程无解，平面【点睛】立体几何中，对于“是否存在”型问题的解答方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步，期中在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系后与临界值表对照可得结论．；设获得某高校自主招生通过的人数为，则可得的分布列．结合可得通过的人数为因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．②设获得某高校自主招生通过的人数为，则，∴的分布列为．列联表；②根据公式计算的值；③比较的值可以确定在多大程度上认为“两个分类变量有关系”；的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握越大．已知椭圆的方程为其离心率且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为作轴的垂线,垂足为,点满足,的轨迹为曲线.求曲线）若直线与曲线且交椭圆于,的面积为的面积为，设，，得根据代入法可得曲线的方程为设直线的方程为，由与圆相切可得．将与，从而得到，求得，，.，，得代人椭圆方程得曲线的方程为由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，，即.消整理得又直线与椭圆交于，故得，，.，.，当且仅当，即时，等号成立．的最大值为．【点睛】求解解析几何中的范围（最值）问题时，可先建立目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数知函数与在交点的解析式；已知若函数的取值范围(1)。
【数学】【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题 含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,0,1,2,3,4A B =-=,则()B C A B I =（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,1,4 C ．{}14， D ．{}0,12.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii∙=+,则3z +=（ ）A ． D ．53.已知具有线性相关的两个变量x y ，之间的一组数据如下表所示:若x y ，满足回归方程 1.5y x a =+,则以下为真命题的是（ ） A.x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5 个单位长度 B.x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5 个单位长度 C.所有样本点的中心为(1,4.5) D.当8x =时,y 的预测值为13.54.已知点(),4P n 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点,12,F F 是椭圆C 的两个焦点,若12PF F ∆的内切圆的直径为3,则此椭圆的离心率为（ ）A ．57 B ．23 C.35 D ．455.如图,已知ABC ∆与AMN ∆有一个公共顶点A ,且MN 与BC 的交点O 平分BC ,若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．2C.32．66.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧梭垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵111,ABC A B C AC BC -⊥,若12A A AB ==,当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外 接球的体积为（ ）A ．B ．3 C.3D ． 7.“34πϕ=”是“函数= 2y cos x 与函数()=2y sin x ϕ+在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,上的单调性相同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图,若输出1007S =-,则判断框内应填的内容是（ ）A ．2015?k <B ．2016?k < C.2017?k < D ．2014?k <9.如图所示，直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线,12,F F 是双曲线C 的左、右焦点,1F 关于直线的对称点为1'F ,且1'F 是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A．310.某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人,则不同的分配方法共有（ ） A ．114种 B ．150种 C. 120种 D ．118种11.如图,正方体1111ABCD A BC D -的对角线BD 上存在一动点P ,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于,M N 两点.设,BP x BMN =∆的面积为S ,则当点P由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知()'f x 为函数()= y f x 的导函数,当02x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭，是斜率为k 的直线的倾斜角时,若不等式()()'0f x f x k -∙<恒成立，则（ ）A()3()4f f ππ>B ．(1)2()sin16f f π<()()064f ππ-> D()()063f ππ-<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2221f x cosx sinx sin x =+-+,则其最小正周期为 ．14.过()()3,1,0,M N a -两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点,则实数a 的取值范围为 ．15.如图,将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ,并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45°,PQ 为正方形BCEF 内一条直线,则直线PQ与BD 所成角的取值范围为 ．16..已知菱形ABCD ,E 为AD 的中点,且3BE =,则菱形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和221,S n n n N *=++∈n . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn .18.如图所示,已知三棱锥P ABC -中,底面ABC 是等边三角形,且=2,,PA PB AC D E ==分别是,AB PC 的中点.(1)求证:AB ⊥平面CDE ;(2)若PC =求二面角A PB C --的余弦值19.伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:(1)若以“年龄55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:(2)若从年龄在[)55,65,[]65,75内的被调查人中各随机选取2 人进行追踪调查.记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ. ①求随机变量ξ的分布列; ②求随机变量ξ的数学期望. 参考数据如下:参考公式：22(),()()()()n ad bd K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++20. 已知点()0,1A ,过点()0,1D -作与x 轴平行的直线1l ，点B 为动点M 在直线1l 上的投影,且满足MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)已知点P 为曲线C 上的一点,且曲线C 在点P 处的切线为2l ,若的与直线2l 相交于点Q ,试探究在y 轴上是否存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ? 若存在,求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.已知函数()1f x x nx =.(1)若函数()()()()2 '20g x f x ax a x a ==+-+>,试研究函()g x 数的极值情况; (2)记函数()() x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为o x ，记()(),x x m x min f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,若 ()() m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不等实根()1212, x x x x <，证明∴122o x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知圆cos 1:x C y xin αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为4 sin ρθ=. (1)分别写出圆1C 的普通方程与圆2C 的直角坐标方程;(2)设圆1C 与圆2C 的公共弦的端点为,A B ,圆1C 的圆心为1C ,求1AC B ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知,a b 均为正实数,且 1a b +=.(1)求2的最大值; (2)求1aba+的最大值.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二)一、选择题1-5:BADCC 6-10:BAACA 11、12：DD 二、填空题13.π【解析】因为()21 221= 2 +?cos 21214f x sin x sin x sin x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-++=++,所以其最小正周期为22T ππ==. 14.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[解析]点() 3,1M -关于y 轴的对称点为()'3,1M ,则直线'M N 的方程为11?(303)a y x -=---,即()1330a x y a -+-=,由题意可知，圆心(0,0)到直线()1330a x y a -+-=的距离1d =≤,即282100a a +-≤，解得5-14a ≤≤,故实数a 的取值范围为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.30,90⎡⎤⎣⎦ 【解析】不妨设正方形的边长为1,作DG CE ⊥,垂足为G ,由,BC CE BC CD ⊥⊥,得BC ⊥平面CDG .故BC DG ⊥.又BC CE C =,得DG ⊥平面BCEF ,故直线BD 在平面BCEF BCEF 内的射影为BG .易知2DG =,则BD 与平面BCEF 所成的角为30DBG ∠=,所以BD 与平面BCEF 内的直线所成的最小角为30°,而直线PQ 与BD 所成角的最大角为90°(当PQ 与CF 重合时,PQ 与BD 所成角为90°),所以直线PQ 与BD 所成角的取值范围为30,90⎡⎤⎣⎦16.12【解析】设AE x =,则2AB AD x ==,因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,所以+>,<,AB AE BE AB AE BE ⎧⎨-⎩即231233x x x x x x +>>⎧⎧⇒⎨⎨-<<⎩⎩，所以(1,3)x ∈.设BAE θ∠=,在ABE ∆中,由余弦定理可知()229222x x x xcos θ=+-∙∙,即22594x cos x θ-=，2 2.4ABCD S x x sin xθ=∙∙==菱形2t x =，则()1,9t∈，则A B C D S =菱形当5t=，即x =,ABCD S 菱形有最大值12.三、解答题17.解:(1)当1n =时,114a S ==; 当2n ≥时，()2211221,n n n a S S n n n -=-=--+=+对14a =不成立，所以数列{}n a 的通项公式为4,121,2,n an n n nN*=⎧=⎨+≥⎩ (2)当1n =时,1120T = 当2n ≥时，111(21(23)n n a a n n +=++ =111)22n+123n -+（所以111111111161(...)2025779212320101520(23)n n n T n n n n --=+-+-++-=+=++++ 又1n =时，1120T =符合上式， 所以61()20(23)N n n n n T *=-∈+18.解:(1)连接PD ,因为PA PB AC ==,底面ABC 是等边三角形， 又因为D 是AB 的中点， 所以,PD AB AB CD ⊥⊥. 又因为CDPD D =,所以AB ⊥平面CDE . (2)因为2PA PB AC === 由(1),可知PD CD ==而PC ,所以PD CD ⊥.以D 为原点,以DB uu u r的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示，则()()()(1,0,0,1,0,0,,A B C P -,由题意,得平面ABP 的一个法向量为()0,1,0m =u r. 设平面BCP 的一个法向量为(),,n x y z =r.因为()(,BC PC =-=-uu u r uu u r,所以((,,)0(,,)0BC n x y z PC n x y z ⎧∙=-∙=⎪⎨∙=∙=⎪⎩uu u r,即00x ⎧-+=⎪= 令1z =,得1,x y =.所以)n =,所以,cos m n <>==由题意知二面角A PB C --为锐角， 所以二面角A PB C --的余弦值为519.解:(1)22⨯列联表如下:2K 的观测值250(38732)9.524 6.63510403515k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. (2)①由题意,可知ξ所有可能取值有0,1,2,3,()229340225055C C P C C ξ==∙=,()1122112234340+2222255555C C C C C P C C C C ξ==∙∙=,()221113242342+2222105555CC C C C P C C C C ξ==∙∙=,()211243222555CC P C C ξ==∙=， 所以ξ的分布列是②912316()0123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解:(1)设(),M x y ,由题得(),1B x -.又()0,1A ,∴()-, 1MA x y =-uuu r ,()()0, 1 ,, 2MB y AB x =--=-uuu r uu u r ,由MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r ,得()0MA MB AB =∙+uuu r uuu r uu u r . 即()()2,2,204x y x x y --∙-=⇒=, ∴轨迹C 的方程为24x y =. (2)设点()0200,,4x N n P x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，， 由214y x =，得1'2y x =， ∴201 '2l k y x x x == ∴直线2l 的方程为0020)4(2xx y x x -=-).令-1y =,可得0020()42xx x x x ==- ∴Q 点的坐标为2,12o o x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴220=,,,142o o o x x NP x n NQ n x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭uu u r uuu r ∵点N 在以PQ 为直径的圆上 ∴22002(1+)()24x x NP NQ n n ∙=---uu u r uuu r =220(1-)()+20()4xn n n n -+-=* 要使方程(* )对o x R ∈恒成立，则必有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩，解得1n =. 即在y 轴上存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ,其坐标为(0,1).21.解:(1)由题意,得()'1f x lnx =+,故()()221g x ax a x lnx =-+++, 故()()()()2111 '22x ax g x ax a x x--=-++=, 00.x a >>， 令()'0g x =,得2111,2x x a== ①当02a <<时，112a >， ()1 '002g x x >⇒<<或1x a >;()11'02g x a<⇒<， 所以() g x 在12x =处取极大值1 ln 224a g =-- ②当2a =时，()11,'02g x a =≥恒成立,所以不存在极值; ③当2a >时，112a ， ()1'00g x x a >⇒<<或12x >， ()11'02g x x a <⇒<, 所以()g x 在1x a =处取极大值11()ln g a a a=-- 在12x =处取极小值1()1224a g n =--. 综上,当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值,124a n --，在1x a =处取极小值ln 4a a --; 当2a =时,不存在极值;当2a >时,() g x 在1x a =处取极大值ln 4a a --, 在12x =处取极小值ln 24a --. (2)()x x F x xlnx e=-,定义域为()0,x ∈+∞, ()1'1x x F x lnx e-=++,而()1,2x ∈, 故()'0F x >,即()F x 在区间(1,2)内单调递增. 又()()21210,2220F F ln e e=-<=->, 且)(F x )在区间(1,2)内的图象连续不断，故根据零点存在性定理,有)(F x 在区间(1,2)内有且仅有唯一零点.所以存在()1,2o x ∈,使得()()000o o x x F x f x e =-=, 且当1o x x <<时,()x x f x e <; 当o x x >时，()xx f x e >,所以()ln ,1,o o x x x x m x x x x ex <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时,() m x xln x =,由()'1 0m x ln x =+>,得()m x 单调递增; 当o x x >时,()x x m x e =, 由()1'0x x m x e-=<,得()m x 单调递减. 若()m x n =在区间()1,+∞内有两不等实根1212,()x x x x <, 则 ()()211, ,,o o x x x x ∈∈+∞. 要证122o x x x +>,即证212o x x x >-. 又12o o x x x ->,而()m x 在区间()o x +∞，内单调递减， 故可证()()212o m x m x x <-, 又由()()12m x m x =,即证()()112o m x m x x <-, 即111212 o o x x x ln x e x x -<-. 记()22 ,1o o o x x h x xln x x x e x x-=-<<-,,其中()=0o h x ()220121'1 1ln o o x x h x ln x x e x x e x x +-=++=++---022o x x e x x --, 记()t t t e ϕ=,则()1't t t eϕ-=. 当()0,1t ∈时,()'0t ϕ>;当()1,t ∈+∞时,()'0t ϕ<',故()1max t eϕ=.而()0t ϕ>,故()10t eϕ<<, 而21xo x ->, 所以2021-0o x x e e x x-<-<- 因此()22211 '1 10o o o x x h x ln x e x x e x x e -=++->->-- 即()h x 单调递增.故当1o x x <<时,()()0o h x h x <= 即111212 o o x x e x x x x ln -<- 故122o x x x +>,得证.22.解:(1)因为圆1cos 1:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数）， 所以圆1C 的普通方程是()2211x y -+=. 因为圆2:4C sin ρθ=,所以圆2C 的直角坐标方程是224 0x y y +-=.(2)因为圆()221:11C x y -+=, 圆222:40C x y y +-=,两式相减,得-20x y =,即公共弦所在直线为20x y -=,所以点(1,0)到-20x y =所以公共弦长为=，所以1122555Ac B S ∆=⨯=23.解:(l)2=211（ 221+14141)a b ≤∙+++（）（ =()()242241212a b ⎡⎤⎣⎦++=⨯+=,=即12a b ==时,取等号， 故原式的最大值为12.(2)原式=112122ab b a b a ab a b==+++. 因为1212()()a b a b a b+=++ =221+23()b a b a a b a b ++=++3≥=+a 当且仅当2b a a b=，即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,取等号.所以原式≤故原式的最大值为。
衡水金卷2018年普通高校招生全国卷信息卷 高三文科数学(二)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}()(){}2,1,0,1,|130A B x x x =--=+-<，则AB =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}0D ．{}2,1-- 2. 若i 为虚数单位，()()13i a i i +-=+，则实数a =（ ） A ． 2 B ． -2 C ．3 D ．-33. 游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”.某车间20名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位11人，其余人都是黄金或铂金段位.从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.2，则抽得铂金段位的概率是（ ） A ．0.20 B ．0.22 C ． 0.25 D ． 0.424.下列函数既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是 （ ） A ．3y x = B ．14y x = C. y x = D ．tan y x =5.已知变量,x y 满足不等式组1035250430x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则目标函数23z x y =--的最大值是 （ ）A ．-3B ．-5 C.195D ．5 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 53πB ．73π C.76π D ．23π7.设实数,,a b c 满足21log 332,,ln a b a c a --===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a << C. a c b << D ．b c a <<8.数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的i 为 （ ）A ． 5B ． 6 C. 7 D ．89. 已知函数()()2sin 03f x x ωω=<<的图象关于直线4x π=对称，将()f x 的图象向右平移3π个单位，再向上平移1个单位可以得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．1⎡⎤-⎣⎦B ．1⎡⎤+⎣⎦C. ⎤⎥⎣⎦ D ．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知正四棱锥P ABCD -，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ） A ．1243π B ．62581π C. 50081π D ．2569π11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则关于m 的不等式()()132120m f m f m e -+-->的解集是（ ）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．11,23⎛⎫-⎪⎝⎭12.已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的离心率2e =，椭圆C 与y 轴正半轴的交点F 是抛物线()2:20D x py p =>的焦点，过点F 的直线l 交抛物线D 于,A B 两点，过点,A B 分别作抛物线D 的切线1l 和2l ，直线1l 和2l 相交于点M ，则FM AB = （ ） A ． 0 B ． 1 C. -1 D ．不确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，设,CA a CD b ==，则向量CB 用,a b 表示为 ．14.若()f n 为()2*1n n N +∈的各位数字之和，如：2111122,1225+=++=，则()115f =.记()()()()()()()()()()()*121321,,,,,k k f n f n f n f f n f n f f n f n f f n k N +====∈，则()20175f = ．15.已知点()2,0P 到双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>则双曲线离心率的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 满足1221,2,2n na a a +==是()()22,2n n a n n λ++的等差中项，若()*212n n a a n N +>∈，则实数λ的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin a C A =. （1）求角A 的大小； （2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2,,BC AB AC M N ===分别是111,A B B C 的中点. （1）求证：//MN 平面11ACC A ；（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为4，求异面直线1AC 与BN 夹角的余弦值.19. “双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间x （小时）和销售量y （件）的关系作了统计，得到了如下数据并研究.（1）求表中销售量y 的平均数和中位数；（2）① 作出散点图，并判断变量y 与x 是否线性相关？若研究的方案是先根据前5组数据求线性回归方程，再利用第6组数据进行检验，求线性回归方程ˆˆˆybx a =+； ②若根据①中线性回归方程得到商品上架12小时的销售量的预测值与检测值不超过3件，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问：①中的线性回归方程是否理想.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yb ay bx x nx==-==--∑∑. 20. 已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且y 轴和直线20x +=均与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线y x m =+与圆C 相交于,M N 两点，点()0,1P ，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围. 21.已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若(]()0,,0x e f x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，把圆O 上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C ，且倾斜角为α，经过点(Q 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）当4πα=时，求曲线C 的普通方程与直线l 的参数方程；（2）求点Q 到,A B 两点的距离之积的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()321f x x x =+--. （1）解不等式()2f x x >；（2）若存在[]1,3x ∈，使不等式()1ax f x +>成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BACCB 6-10: AABAC 11、12：AA二、填空题13. 1433a b -+14. 8 15. ( 16. [)0,+∞ 三、解答题17.解：（1sin 1sin sin c CC C=⇔==，∴tan A =，∴3A π=.（2）∵2,3b A π==，在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C=，∴2sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B Bπ2⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤∴21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.18.（1）如图，连接1AB ，因为该三棱柱是直三棱柱，所以111AA A B ⊥， 则四边形11ABB A 为矩形.由矩形性质，得1AB 过1A B 的中点M . 在11AB C ∆中，由中位线性质，得1//MN AC ， 又MN ⊄平面111,ACC A AC ⊂平面11ACC A ， 所以//MN 平面11ACC A .（2）因为2,BC AB AC ===AB BC ⊥， 故1122222ABC S BC AB ∆==⨯⨯=， 又三棱柱111ABC A B C -体积为4. 所以1124ABC S BB BB ∆=⨯=，即12BB = 由（1）知，1//MN AC ，则MNB ∠即为异面直线1AC 与BN 的夹角（或补角）.在MNB ∆中，111122MN AC BM A B BN =====，所以cos MNB ∠==，即异面直线1AC 与BN 夹角的余弦值为5. 19.解：（1）由题得，平均数为641382052853604302476+++++=；中位数为2052852452+=；（2）①作出散点图如图所示：由散点图发现这些点大致在一条直线附近，故变量y 与x 是线性相关的. 由前5组数据计算，得6,210.4x y ==，55211220,7790ii i i i xx y ====∑∑，∴2779056210.4ˆˆ36.95,210.436.95611.322056ba-⨯⨯===-⨯=--⨯， ∴线性回归方程为ˆ36.9511.3yx =-； ②将12x =代入ˆ36.95x 11.3y=-，得ˆ432.1y =， ∵432.14303-<，故①中的线性回归方程是理想的.20.解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，由题意，得00a b a r r>⎧⎪=⎪⎪=⎨=，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆C 的标准方程为()2224x y -+=；（2）将y x m =+代入圆C 的方程，得()222220x m x m +-+=，由()224280m m ∆=-->，得22m --<-+设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,2m x x m x x +=-=，依题意，得0PM PN >，即()()1212110x x x m x m ++-+->， 即210m m +->，解得12m -<或12m ->， 故实数m的取值范围是1522⎛⎛-+---+ ⎝⎭⎝. 21.解：（1）由题得，()f x 的定义域为()()22110,,a ax f x x x x-'+∞=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()f x 在区间()0,+∞上单调递减，无递增区间； 当0a >，由()0f x '<，得10x a<<， 由()0f x '>，得1x a>. 所以()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）若(]()0,,0x e f x ∈≥恒成立，即()f x 在区间(]0,e 上的最小值大于等于0， 由（1）可知，当0a ≤时，()0f x '<恒成立， 即()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 故()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln f e a e a e e=+=+， 由10a e +≥，得1a e ≥-，故10a e-≤≤， 当0a >时，若1e a ≤，即10a e<≤时，()0f x '≤对(]0,x e ∈恒成立， 所以()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 则()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln 0f e a e a e e=+=+>， 显然()f x 的区间(]0,e 上的最小值大于等于0成立. ②若10e<<，即1a >时，则有所以()f x 在区间(]0,e 上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由1ln0a a a+≥，得1ln 0a -≥， 解得a e ≤，即1a e e<≤.综上所述，实数a 的取值范围是1,e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22.解：（1）设圆O 上任意一点的坐标为()00,x y ，曲线C 上一点的坐标为(),x y ,根据题意，得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩.又点()00,x y 在圆22:1O x y +=上，所以22112x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即曲线C 的方程为2214x y +=，由题知，(,4Q πα=，所以直线l的参数方程是1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）. （2）将直线l的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数）代入2214x y +=， 得()()222cos4sin 2cos 90tt αααα++++= （*）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1222299cos 4sin 13sin t t ααα==++， 当2πα=时，经检验，（*）式中0∆>，则12t t 取得最小值，即最小值为94. 23.解：（1）因为()321f x x x =+--，所以()4,3132,3214,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，由()2f x x >，得342x x x ≤-⎧⎨->⎩或132322x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+>⎩或1242x x x⎧>⎪⎨⎪-+>⎩，解得4x <-或122x -<≤或1423x <<.综上所述，不等式()2f x x >的解集为()4,42,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭. （2）当[]1,3x ∈时，()4f x x =-+， 由()1ax f x +>，得14ax x +>-+， 即31a x>-+. 存在[]1,3x ∈，使不等式()1ax f x +>成立，等价于31min a x ⎛⎫>-+⎪⎝⎭. 因为()31g x x=-+在[]1,3x ∈上是减函数， 所以()()min 30g x g ==，所以0a >，即实数a 的取值范围是()0,+∞.。
衡水金卷2018年高考模拟卷(二)数学(文)试题Word版含答案
衡水金卷2018年高考模拟卷(二)数学(文)试题Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数二第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$，集合 $A=\{-1,0,1,3\}$，集合 $B=\{-3,-2,-1,3\}$，则 $C\cup(A\cup B)$ 的结果为（）A。
$\{-3,-2,1\}$ B。
$\{-2,-1,1\}$ C。
$\{2\}$ D。
$\{-1,2,3\}$2.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=i^{2018}$（其中 $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点所在象限为（）A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限3.函数 $f(x)=\frac{1}{4-x^2}+\ln(2x+1)$ 的定义域为（）A。
$\left\{1\right\}\cup(-\infty,2)$ B。
$(-\infty,-2)\cup\left\{2\right\}$ C。
$(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ D。
$(-\infty,2)\cup\left\{2\right\}$4.三世纪中期，魏晋时期的数学家XXX首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。
所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。
如图是XXX利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现在在圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（）A。
$\frac{33}{\pi}$ B。
$\frac{323}{333}$ C。
$\frac{2}{\pi}$ D。
$\frac{2}{\pi^2}$5.已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的一条渐近线与直线$4x+3y+1=0$ 垂直，且焦点在圆 $x^2+(y-1)^2=26$ 上，则该双曲线的标准方程为（）A。
衡水金卷2018年高考数学二模试卷(文科)
2018年全国普通高等学校高考数学二模试卷（文科）（衡水金卷）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A={x∈N|x（2﹣x）≥0}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{0，1，2}D．{0，1}2．已知复数z=（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．03．已知=2，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣54．A，B，C三位抗战老兵应邀参加了在北京举行的“纪念抗战胜利70周年”大阅兵的老兵方队，现安排这三位老兵分别坐在某辆检阅车的前三排（每两人均不坐同一排），则事件“A或B坐第一排”的概率为（）A．B．C．D．5．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l的方程为y=k（x﹣1）+3，则“k=“是”直线l与圆O相切”的．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，若△PF1F2的内切圆半径r=，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A． + B． +C． +D． +8．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．269．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x）的叙述正确的是（）A．函数g（x）=2sin（x+）B．函数g（x）的周期为πC．函数g（x）的一个对称中心为点（﹣，0）D．函数g（x）在区间[，]上单调递增10．执行如图所示的程序框图，其中输入的a i（i=1，2，…10）依次是：﹣3，﹣4，5，3，4，﹣5，6，8，0，2，则输出的V值为（）A．16 B．C．D．11．设关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+2y0=5，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．以上都不正确12．定义在R上的函数f（x）满足：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（x+2）=f（x）；③x∈[0，1]时，f（x）=log（x2﹣x+1），则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．2二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正项数列{a n}满足=4，且a3a5=64，则数列{a n}的前6项和S6=______．14．已知向量=（m，n﹣1），=（1，1），且⊥，则mn的最大值为______．15．已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，若直线AB的斜率为3，则线段AB的中点P的坐标为______．16．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）在区间[，+∞）内单调递减，则a的取值范围是______．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，sinA﹣sinB=（﹣1）sinC．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积为4，求a，b，c的值．18．到2018年，北京市高考英语总分将由150分降低到100分，语文分值将相应增加．某校高三学生率先尝试100分制英语考试，从中随机抽出50人的英语成绩作为样本并进行统计，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60]，第二组[60，70]，…第五组[90，100]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这次参加英语考试的高三学生的英语平均成绩；（2）从这五组中抽取14人进行座谈，若抽取的这14人中，恰好有2人成绩为50分，7人成绩为70分，2人成绩为75分，3人成绩为80分，求这14人英语成绩的方差；（3）从50人的样本中，随机抽取测试成绩在[50，60]∪[90，100]内的两名学生，设其测试成绩分别为m，n（i）求事件“|m﹣n|＞30”的概率；（ii）求事件“mn≤3600”的概率．19．如图，△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BD；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M﹣ADE的体积为？20．已知圆C的圆心与双曲线M：y2﹣x2=的上焦点重合，直线3x+4y+1=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=4．（1）求圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，D（﹣2，0），E（2，0）为x轴上的两点，若圆C内的动点P使得|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求•的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+（a＞1）．（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为﹣1，求该切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数f（x）在区间[1，e]上的最小值是2，求a的值．请考生在22.23.24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线PB与⊙O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是⊙O的切线，切点为C．（1）求证：PC2+AD2=PD2（2）若BC是⊙O的直径，BC=3BD=3，试求线段BP的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．设点A是曲线C：，（θ为参数）上的动点，点B是直线l：，（t为参数）上的动点（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）求A，B两点的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣4|．（1）求不等式f（x）＜0的解集；（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．2018年全国普通高等学校高考数学二模试卷（文科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A={x∈N|x（2﹣x）≥0}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{0，1，2}D．{0，1}【考点】交集及其运算．【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x∈N|x（2﹣x）≥0}═{x∈N|0≤x≤2}={0，1，2}，B={x|﹣1≤x≤1}，则集合A∩B={0，1}．故选：D．2．已知复数z=（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数的除法运算化复数为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于0列方程求出实数a的值．【解答】解：根据复数z===+i是纯虚数，得，解得a=2；所以使复数是纯虚数的实数a的值为2．故选：B．3．已知=2，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣5【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式即可得解．【解答】解：∵===2，∴解得：tanα=﹣5．故选：D．4．A，B，C三位抗战老兵应邀参加了在北京举行的“纪念抗战胜利70周年”大阅兵的老兵方队，现安排这三位老兵分别坐在某辆检阅车的前三排（每两人均不坐同一排），则事件“A或B坐第一排”的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】安排这3位老兵分别坐在某辆检阅车的前3排（每两人均不坐同一排），先求出基本事件总数，再求出A或B坐第一排的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：安排这3位老兵分别坐在某辆检阅车的前3排（每两人均不坐同一排），基本事件总数A33=6，A或B坐第一排有C21A22=4种，故“A或B坐第一排”的概率为=，故选：A．5．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l的方程为y=k（x﹣1）+3，则“k=“是”直线l与圆O相切”的．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，求出k的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：O的方程为x2+y2=1，表示以（0，0）为圆心、半径r=1的圆．求出圆心到直线l的方程为y=k（x﹣1）+3的距离为d==1，解得k=，故“k=“是”直线l与圆O相切”充要条件，故选：C．6．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，若△PF1F2的内切圆半径r=，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出椭圆的焦点坐标，令x=c，求得|PF2|=，由椭圆的定义可得，|PF1|=2a﹣，在直角△PF1F2中，运用面积相等，可得内切圆的半径r，由条件化简整理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，可得|F1F2|=2c，由x=c，可得y=±b=±，即有|PF2|=，由椭圆的定义可得，|PF1|=2a﹣，在直角△PF1F2中， |PF2|•|F1F2|=r（|F1F2|+|PF1|+|PF2|），可得△PF1F2的内切圆半径r==c，即有2b2=2（a2﹣c2）=a（a+c），整理，得a=2c，椭圆C的离心率为e==．故选：B．7．已知某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A． + B． +C． +D． +【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：上面是三棱锥、下面是半球，由三视图求出几何元素的长度，由球体、锥体的体积公式求出该几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是三棱锥、下面是半球，且三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边为1，高为1，由圆的直径所对的圆周角是直角得球的半径是，∴几何体的体积V==，故选D．8．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．26【考点】等差数列的前n项和．【分析】设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，由等差数列前n项和公式求出d=，由此利用等差数列通项公式能求出a14+a15+a16+a17．【解答】解：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则=390，解得d=，∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×=52．故选：B．9．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x）的叙述正确的是（）A．函数g（x）=2sin（x+）B．函数g（x）的周期为πC．函数g（x）的一个对称中心为点（﹣，0）D．函数g（x）在区间[，]上单调递增【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（4x+）的图象，故g（x）的周期为=，排除A、B．令x=﹣，求得f（x）=0，可得g（x）的一个对称中心为点（﹣，0），故C满足条件．在区间[，]上，4x+∈[π，]，函数g（x）没有单调性，故排除D，故选：C．10．执行如图所示的程序框图，其中输入的a i（i=1，2，…10）依次是：﹣3，﹣4，5，3，4，﹣5，6，8，0，2，则输出的V值为（）A．16 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出V=的值，由题意计算S，T的值即可得解．【解答】解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型”循环结构，模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出V=的值．由题意可得：S=3+4+5+6+8+2，T=（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）+0，所以：V===．故选：B．11．设关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+2y0=5，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．以上都不正确【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域满足的条件判断可行域边界x﹣2y=t的位置，列出不等式解出．【解答】解：作出可行域如图：∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+2y0=5，∴直线x+2y=5与可行域有交点，解方程组得A（2，）．∴点A在直线x﹣2y=t上或在直线x﹣2y=t下方．由x﹣2y=t得y=．∴，解得t≤﹣1．故选：A．12．定义在R上的函数f（x）满足：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（x+2）=f（x）；③x∈[0，1]时，f（x）=log（x2﹣x+1），则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数为（）A ．8B ．6C ．4D ．2 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】由已知画出两个函数f （x ）=log（x 2﹣x +1）与y=log 3|x |的简图，数形结合得答案．【解答】解：由①②可知，f （x ）是周期为2的奇函数，又x ∈[0，1]时，f （x ）=log （x 2﹣x +1），可得函数f （x ）在R 上的图象如图，由图可知，函数y=f （x ）﹣log 3|x |的零点个数为6个，故选：B ．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正项数列{a n }满足=4，且a 3a 5=64，则数列{a n }的前6项和S 6= 63 ．【考点】数列的求和．【分析】由正项数列{a n }满足=4，两边开方可得：a n+1=2a n ，可得公比q=2．又a 3a 5=64，利用等比数列的通项公式可得a 1．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵正项数列{a n }满足=4，∴a n+1=2a n ，∴公比q=2．∵a 3a 5=64，∴=64，解得a 1=1． 则数列{a n }的前6项和S 6==63． 故答案为：63．14．已知向量=（m ，n ﹣1），=（1，1），且⊥，则mn 的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由向量的垂直得到关于m ，n 的等式，然后利用基本不等式求mn 的最值．【解答】解：因为向量=（m ，n ﹣1），=（1，1），且⊥，所以=m +n ﹣1=0，即m +n=1，所以mn，当且仅当m=n 时取等号，所以mn 的最大值为．故答案为：15．已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |+|BF |=3，若直线AB 的斜率为3，则线段AB 的中点P 的坐标为 （1，） ． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入抛物线的方程，求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，以及中点坐标公式，结合直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求中点P 的坐标． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 可得y 12=2x 1，y 22=2x 2，抛物线y 2=2x 的焦点为F （，0），准线为x=﹣， 由抛物线的定义，可得|AF |=x 1+，|BF |=x 2+， 由AF |+|BF |=3，可得x 1+x 2+1=3， 即x 1+x 2=2，即=1，AB 的中点的横坐标为1，又k AB ====3，即为y 1+y 2=，则=．则AB 的中点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．16．若函数f （x ）=（a ＞0且a ≠1）在区间[，+∞）内单调递减，则a 的取值范围是 （0，] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意利用函数的单调性与导数的关系可得，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0且a≠1）在区间[，+∞）内单调递减，当≤x≤1时，f′（x）=﹣3x2+a≤0，且﹣1+a+≥2a﹣1，∴，求得0＜a≤，故答案为：（0，]．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，sinA﹣sinB=（﹣1）sinC．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积为4，求a，b，c的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知可得a﹣b=（）c，结合b=c，可得a=，由余弦定理可求cosB，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．（2）利用已知及三角形面积公式可求c的值，结合（1）即可求得b，a的值．【解答】解：（1）∵sinA﹣sinB=（﹣1）sinC．∴由正弦定理可得：a﹣b=（）c，又∵b=c，可得a=．∴cosB===，又∵B∈（0，π），∴B=（2）∵△ABC的面积为4，∴=4，解得：c=4，∴由（1）可得：b=4，a=418．到2018年，北京市高考英语总分将由150分降低到100分，语文分值将相应增加．某校高三学生率先尝试100分制英语考试，从中随机抽出50人的英语成绩作为样本并进行统计，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60]，第二组[60，70]，…第五组[90，100]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这次参加英语考试的高三学生的英语平均成绩；（2）从这五组中抽取14人进行座谈，若抽取的这14人中，恰好有2人成绩为50分，7人成绩为70分，2人成绩为75分，3人成绩为80分，求这14人英语成绩的方差；（3）从50人的样本中，随机抽取测试成绩在[50，60]∪[90，100]内的两名学生，设其测试成绩分别为m，n（i）求事件“|m﹣n|＞30”的概率；（ii）求事件“mn≤3600”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图能估计高三学生的英语平均成绩．（2）先求出这14人英语成绩的平均分，由此能求出这14人英语成绩的方差．（3）（i）由直方图知成绩在[50，60]内的人数为2，设其成绩分别为a，b，c，利用列举法能求出事件“|m﹣n|＞30”的概率．（ii）由事件mn≤3600的基本事件只有（x，y）这一种，能求出事件“mn≤3600”的概率．【解答】解：（1）估计高三学生的英语平均成绩为：55×0.004×10+65×0.018×10+75×0.040×10+85×0.032×10+95×0.006×10=76.8．（2）这14人英语成绩的平均分为：==70，∴这14人英语成绩的方差：S2= [2（50﹣70）2+7（70﹣70）2+2（75﹣70）2+3（80﹣70）2]=．（3）（i）由直方图知成绩在[50，60]内的人数为：50×10×0.004=2，设其成绩分别为a，b，c，若m，n∈[50，60）时，只有（x，y）一种情况，若m，n∈[90，100]时，有（a，b），（b，c），（a，c）三种情况，∴基本事件总数为10种，事件“|m﹣n|＞30”所包含的基本事件有6种，∴P（|m﹣n|＞30）=．（ii）事件mn≤3600的基本事件只有（x，y）这一种，∴P（mn≤3600）=．19．如图，△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BD；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M﹣ADE的体积为？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据平面几何知识可证明AM⊥BM，故而BM⊥平面ADM，于是BM⊥AD，结合AD⊥DM可得AD⊥平面BDM，于是AD⊥BD；（2）令，则E到平面ADM的距离d=λ•BM=，代入棱锥的体积公式即可得出λ，从而确定E的位置．【解答】证明：（1）∵四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，AB=2BC=2MC=2，∴BM=AM=，∴BM2+AM2=AB2，即AM⊥BM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面DAM，又DA⊂平面DAM，∴BM⊥AD，又AD⊥DM，DM⊂平面BDM，BM⊂平面BDM，DM∩BM=M，∴AD⊥平面BDM，∵BD⊂平面BDM，∴AD⊥BD．（2）由（1）可知BM⊥平面ADM，BM=，设，则E到平面ADM的距离d=．∵△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，AM=，∴AD=DM=1，∴V M﹣ADE =V E﹣ADM==．即=．∴．∴E为BD的中点．20．已知圆C的圆心与双曲线M：y2﹣x2=的上焦点重合，直线3x+4y+1=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=4．（1）求圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，D（﹣2，0），E（2，0）为x轴上的两点，若圆C内的动点P使得|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求•的取值范围．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）求出双曲线的标准方程求出焦点坐标，利用直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．（2）根据|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，建立方程关系，结合向量数量积的坐标进行化简求解即可．【解答】解：（1）双曲线的标准方程为=1，则c==1，即双曲线的焦点C（0，1），圆心C到直线3x+4y+1=0的距离d=，则半径r=．故圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=5．（2）设P（x，y），∵|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，∴•=x2+y2，整理得x2﹣y2=2，故•=（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=x2﹣4+y2=2（y2﹣1），由于P在圆C内，则，得y2﹣y﹣1＜0，得＜y＜，则0≤y2＜（）2=，∴2（y2﹣1）∈[﹣2，1+），则•的取值范围是[﹣2，1+）．21．已知函数f（x）=lnx+（a＞1）．（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为﹣1，求该切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数f（x）在区间[1，e]上的最小值是2，求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）=﹣1，求出a的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，单调函数的单调区间，求出函数的最小值，从而求出a的值即可．【解答】解：（1）由f（x）=lnx+，得：f′（x）=，则f′（1）=1﹣a，由切线斜率为﹣1，得1﹣a=﹣1，解得：a=2，则f（1）=2，∴函数f（x）在x=1处的切线方程是y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0，故与两坐标轴围成的三角形的面积为：×3×3=；（2）由（1）知，f′（x）=，x∈[1，e]，①1＜a＜e时，在区间[1，a]上有f′（x）＜0，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，在区间（a，e]上有f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，∴f（x）的最小值是f（a）=lna+1，由lna+1=2得：a=e与1＜a＜e矛盾，②a=e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上递减，∴f（x）的最小值是f（e）=2，符合题意；③a＞e时，显然f（x）在区间[1，e]上递减，最小值是f（e）=1+＞2，与最小值是2矛盾；综上，a=e．请考生在22.23.24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线PB与⊙O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是⊙O的切线，切点为C．（1）求证：PC2+AD2=PD2（2）若BC是⊙O的直径，BC=3BD=3，试求线段BP的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由垂径定理和切割线定理得AD=BD，PC2=PA•PB=（PD﹣AD）（PD+AD），由此能证明PC2+AD2=PD2．（2）求出AB=2BD=2，在Rt△BCP中，由射影定理得BC2=BA•BP，即可求出线段BP的长．【解答】证明：（1）∵直线PB与圆O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是圆O的切线，切点为C．∴AD=BD，PC2=PA•PB=（PD﹣AD）（PD+AD）=PD2﹣AD2，∴PC2+AD2=PD2．解：（2）∵BC是⊙O的直径，∴AC⊥AB，∵D是AB的中点，∴AB=2BD=2，在Rt△BCP中，由射影定理得BC2=BA•BP，∴BP==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．设点A是曲线C：，（θ为参数）上的动点，点B是直线l：，（t为参数）上的动点（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）求A，B两点的最小距离．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C：，（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得普通方程．由直线l：，（t为参数），消去参数t化为普通方程．（2）设A（2cosθ，sinθ），点A到直线l的距离d=（其中tanφ=4），利用三角函数的单调性与值域即可得出最值．【解答】解：（1）由曲线C：，（θ为参数），可得普通方程：=1．由直线l：，（t为参数）化为普通方程：2x﹣y﹣5=0．（2）设A（2cosθ，sinθ），点A到直线l的距离d==（其中tanφ=4），当sin（θ﹣φ）=﹣1时，d取得最小值=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣4|．（1）求不等式f（x）＜0的解集；（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于m=f（x）在R无解，求出f（x）的范围，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）原不等式即为|x﹣2|﹣|x﹣4|＜0，若x≤2，则2﹣x+x﹣4＜0，符合题意，∴x≤2，若2＜x＜4，则x﹣2+x﹣4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3，若x≥4，则x﹣2﹣x+4＜0，不合题意，综上，原不等式的解集是{x|x＜3}；（2）若函数g（x）=的定义域为R，则m﹣f（x）=0恒不成立，即m=f（x）在R无解，|f（x）|=||x﹣2|﹣|x﹣4||≤|x﹣2﹣（x﹣4）|=2，当且仅当（x﹣2）（x﹣4）≤0时取“=”，∴﹣2≤f（x）≤2，故m的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．2018年9月18日编制：衡水中学总群386429879。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
文科数学(二)
本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分1 50分。
考试用时1 20分钟。
第I 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1．已知集合{}{
}21,,26A x x n n N B x x ==-∈=-<<，则A B= A ．{1，3，5) B ．{一1，1，3，5) C ．[一1，5] D ．(--2，6) 2．下列各式的运算结果为2i 的是
A ．234i i i i +++
B ．3i i -
C ．(2)1i i +-
D ．13i i
+
3．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm 的零件，各抽测10件进行测量，其结果如 下图，则不通过计算从图中数据的变化不能反映的数字特征是 A ．极差 B ．方差 C ．平均数 D ．中位数
4．已知在底面为菱形的直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BD1=42，若∠BAD 60︒=，则异面直线B 1C 与AD 1所成的角为
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
5．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的 数字之和为20，则称该图形是“和谐图形’’．已知其中四个三角形上的 数字之和为14．现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个 三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形’’的概率为
A ．
310 B ．15 C ．110 D ．320
6.已知函数y =f (x )在区间(-∞，0)内单调递增，且f (-x )=f (x ),若a =3 1.2
1
2
1(log ),(2),()2f b f c f -==，则a ，b ，c 的大小关系为
A. a >c >b
B. b >c >a
C. b >a >c
D. a >b >c 7.执行如图所示的程序框图，则输出的m 值为 A.6 B.7 C. 8 D. 9 8. 关于函数1
()2sin()2
6
f x x π
=+的图象或性质的说法
中，正确
的个数为
①函数f (x )的图象关于直线83
x π
=对称， ②将函数f (x )的图象向右平移
3
π
个单位所得图象的函数为 1()2sin()23
f x x π
=+
③函f (x ) 在区间5(,)23ππ
-上单调递增 ④若f (x )=a ，则1cos()233
a
x π-=
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
9.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如图所示，则 该几何体外接球的面积为
A. 2a π
B. 22a π
C. 23a π
D. 24a π
10.已知F 是抛物线C:y 2=16x 的焦点，过F 点作x 轴的垂线与抛物线在第一象限的交点为P ，过P 点作直线x =-6的垂线，垂足为M ，直线x =-6与x 轴的交点为K ，在四边形KFPM 内作椭圆E.则面积最大的椭圆E 的内接矩形的最大面积为
A. 42
B. 62
C.32
D.40
11.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且a =1,4S b 2+c 2-1，则△ABC 外接圆的面积为 A. 4π B. 2π C.
π D.
2
π
12.已知函数f (x )是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，f (x )为其导函数，当x >0且
2x ≠时，'(2)[2()()]x f x xf x -+<0，若曲线y =f (x )在点(2.f (2))处的切线的斜 率为一4，则f (2)的值为
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13～21题为必考题。
每个试题考生都必须作 答。
第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
l 3．已知向量(1,),(,2)a x b x x =-=- ，其中x ∈R ，且a b + 与a
垂直，则x 的值
为 _______ ．
14．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且该直线
与y 轴的交点为Q ，若(FP OQ O < 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围 为___________．
15．已知曲线C 1的方程为(x 一1)2+(y 一2)2
=1，过平面上一点P 1作C 1的两条切线，切点分别为A 1，
B 1，且满足1113
A P
B π
∠=
．记P 1的轨迹为C 2，过平面上一点P 2作C 2的两条切线，切点分别
为A 2，B 2，且满足2233
A P
B π
∠=
．记P 2的轨迹为C 3，按上述规律一直进行下去，…，记
1min n n n a A A +=，且S n 为数列{}n a 的前n 项和，则满足50n S n ->的最小正整数n 为_______．
16．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩
具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟．已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利1 20元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是_________元． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤o 17．(本小题满分12分)
设正项等比数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *
∈已知S 2=6，a 3=8．
(1)记(2)
2log n
S n b +=，判断：数列{}n b 是否成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)记 11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为T n ，求满足2017
4036
n T >的最小正整数n 的值．
18．(本小题满分1 2分)
如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=2，BC=2,2
BCD π
∠=，以E 为
圆心，1为半径的圆过点A ，C ． (1)证明：BE ⊥平面PAE ；
(2)若AD=3，求三棱锥P —ADE 的体积．
1 9．(本小题满分12分)
下表是某学生在4月份开始进入冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩（分）：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；
②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初 始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求 该生4月份后复习提高率．(复习提高率=
净提高分
卷面总分
×100％，分数取整数)
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为12
21
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y b x x
nx
∧
∧∧
==-=
=--∑∑
20．(本小题满分12分) 已知函数2
1
()ln ,2
f x x x ax a R =+-
∈． (1)若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)证明：方程()0f x =有且只有一个实数根．
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的离心
率为
53
，且椭圆C 的短轴恰好是圆x 2+y 2
=4的一条直径． (1)求椭圆C 的方程.
(2)设A 1，A 2分别是椭圆C 的左，右顶点，点P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一 点，是否存在直线x=m ，使直线A 1P 交直线x =m 于点Q ，且满足k PA2·k QA1=一1，若 存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy ，曲线C ：2cos sin x y α
α=⎧⎨
=⎩
(α为参数)．在以原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴的极坐标系中，圆E 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=． (1)求曲线C 的普通方程和圆E 的直角坐标方程；
(2)设曲线C 与圆E 相交于A ，B 两点，求cos AEB ∠的值．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()3f x x =-．
(1)求不等式()1f x x <+的解集M ；
(2)设a ，b ∈M ，证明：(a 2+1)(b 2+1)>2a 2+2b 2．。