人教版八年级下数学：勾股定理的逆定理的应用ppt课件
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人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT精品课件
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
猜想：
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形。
这个命题和前面学的命题1（勾股定理）之间有什么关系吗？
1.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题。
2.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
勾股定理的逆定理
1、理解勾股定理的逆定理。
2、了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一
定为真命题。
3、应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学习目标
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题
重点
运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
命题2是正确的吗？你能试着证明吗？
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∴∠QPR=90°。
P
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。 ∴∠RPS=45°，
即“海天”号沿西北方向航行。
E
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（
A．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
）
B．BC＝1，AC＝2，AB＝
∵32+42=52，∴满足.
猜想：
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形。
这个命题和前面学的命题1（勾股定理）之间有什么关系吗？
1.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题。
2.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
勾股定理的逆定理
1、理解勾股定理的逆定理。
2、了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一
定为真命题。
3、应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学习目标
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题
重点
运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
命题2是正确的吗？你能试着证明吗？
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∴∠QPR=90°。
P
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。 ∴∠RPS=45°，
即“海天”号沿西北方向航行。
E
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（
A．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
）
B．BC＝1，AC＝2，AB＝
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理的应用》
（2）a = 41 ，b = 4，c = 5；
∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 24 = 41，a2 = ( 41 )2 = 41， ∴b2 + c2 = a2.
由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
（3）a = 5 ，b = 1，c = 3 ；
4
4
∵b2 + c2 = 12 + ( 3 )2 = 1 + 9 = 25，a2 = ( 5 )2 = 25 ，
由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2，
B
E
C
AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2，
∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°.
拓广探索 【选自教材 P34】
7. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果 a，b， c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck（k 是正整数）也是 一组勾股数吗？
课堂小结
勾股理的 逆定理
判断一个三角形是不是直角三角形 判断航行方向 计算不规则四边形面积
综合运用 【选自教材 P34】
4. 在△ABC 中，AB =13，BC = 10，BC 边上的中线
AD =12. 求 AC.
解：在△ABD中，BD =
1 2
BC
=
5.
AD
=
12，AB
=
13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 =169，
人教版八年级下册数学 第二课时 勾股定理的逆定理的应用课件
6.4(海里).
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入
我领海.
第十三页，共三十四页。
探究新知 例2 一个零件的形状如图 所示,按规定这个零件中∠A和 ∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 所 示,这个零件符合要求吗?
第八页，共三十四页。
探究新知
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里.
N Q
R 21
P
E
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2， ∴∠ABC≠90°， ∴该农民挖的不合格．
第十七页，共三十四页。
探究新知
勾股定理及其逆定理的综合应用
第二十四页，共三十四页。
探究新知
（1）证明：∵CD=1，BC＝ 5 ，BD=2，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形；
（2）解：设腰长AB=AC=x，
在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x-1)2+22，
解得
x 5. 2
S△ABC
1 2
AC
BD
1 2
人教版八年级下册数学17.2 勾股定理的逆定理 原(逆)命题、原(逆)定理 课件 (共16张PPT)
么这∵∴个aA2’+命Bb’2题=2=cc2就2 是一个∴定∴△理∠ABC, C=是∠直C角’=三90角° 形
∴ A’B’ =c
（直角三角形的定义）
演绎推理 形成定理
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形．
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直 角三角形．
bc
边：两直角边的平方和等于斜边
的平方；
C
B
a
思考 2. 一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
(1)有一个内角是90° (2)如果一个三角形中，有两个角的和是90°
我们能否从边的关系来判断是否为直角三角形呢?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
经历探索 形成思路
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳
演绎推理 形成定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么有a2 + b2 = c2
互逆命题
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
演绎推理 形成定理
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形
子分成等长的12段,然后以3
个结，4个结，5个结的长度 为边长，用木桩钉成一个三
3
5
角形。
4
请同学们观察,这个三角形的三
条边有什么关系吗?
32+42=52
精确验证 提出猜想
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的
平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），
3.2 勾股定理的逆定理 课件(人教版八年级下)
要证明 AE⊥AB，可连接EB，借助 网格特征，综合运用勾股定理及其 逆定理证明△ABE是直角三角形．
3．如图，ABCD是一个盒子的正面， 小明想要知道边AB与边BC是否垂 直，他利用卷尺量得AB＝5cm， BC＝12cm，A、C两点的距离是 13cm，由此小明判断出边AB垂直 于边BC，你知道这是为什么吗？
解析： 在本题中， 当三边之比为3∶ C． 3 ，2， 5 4∶5时，不妨假设三边长分别为3， D．5，12，13 4，5． 答案：1.5∶2∶2.5＝3∶4∶5，而 32＋42＝52，由勾股定理的逆定理 可知①②可以构成直角三角形；同 样判断③④不可以构成直角三角 形，故选B．
解析：将选项逐一辨别，（ 3 ）2 ＋22≠（ 5 ）2，因此不能构成直 角三角形的是C．
3．能够成为直角三角形三条边长的 三个正整数，称为勾股数．
【对点巩固】
1．有一根长30cm的木棒，将其截 4．常见的勾股数有：①3，4，5（及 成三段，做一个直角三角形，怎样 其倍数） ； ② 5， 12， 13 （及其倍数） ； 截取（允许有余料）？请你设计三 种方案．
③8，15，17（及其倍数）． 5．互逆命题：若命题 2 与命题 1 的 题设、结论恰好相反，我们把像这样 的两个命题叫做互逆命题， 如果把其 中一个叫做原命题， 那么另一个叫做 它的逆命题．
即边AB与边BC垂直．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B 如图，连接AC，因为∠B＝90°， ＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12， AB＝3，BC＝4， AD＝13．求四边形的面积．
由勾股定理可得AC2＝AB2＋BC2 ＝9＋16＝25，所以AC＝5． 因为AC2＋CD2＝52＋122＝169， AD2＝132＝169， 所以AC2＋CD2＝AD2， 所以∠ACD
人教版八年级下册数学：17.2.2-勾股定理的逆定理课件
过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪
个方向?这辆小汽车超速了吗?
小汽车在车 速检测仪的2秒后
你觉的此题解对了吗?
50米
小汽车
北偏西60° 方向 25米/秒=90千米/时 40米 >70千米/时∴小汽车超速了
30米 北 30°
60°
车速检测仪
∠B=90°
B
答：C在B地的正北方向．
13cm
A 12cm
2、有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1cm，
又向南跳2cm，再向西跳3cm，然后又跳回原点，问电
子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的？所跳距离是多
少厘米？
y
电子跳蚤跳回原点 的运动方向是
东北方向；
所跳距离是 2 2 厘
米．
O1 x
22 2 2 2
（1）类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否 也是勾股数？如何验证？
（2）通过对以上勾股数的研究，你有什么样的 猜想？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck （k为正整数)也是一组勾股数．
北
Q
30
R S 东 12×1.5=1485° 16×1.5=24 P
港口
解:根据题意画图,如图所示:
N
PQ=16×1.5=24
Q
PR=12×1.5=18
30
S
QR=30 ∵242+182=302,
R
16×1.5=24
12×1.5=18 45°45°
即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=900
P
E
3
3、小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿
新人教版初中数学八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理
8．(2018·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( A )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
9．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上的两点，AM＝MN＝2， NB＝1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆 心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案显示
1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题 叫做__互__逆___命__题___，如果把其中一个命题叫做原命题，那么 另一个叫做它的__逆__命__题____．
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它 也是一个定理，称这两个定理互为_逆__定___理__．
3．下列命题的逆命题正确的是( A ) A．两条直线平行，内错角相等 B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
17．(2019·河北)已知：整式 A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B>0. 尝试 化简整式 A. 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ＝(n2＋1)2.
发现 A＝B2，求整式 B. 解：∵A＝B2，B>0，∴B＝n2＋1.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当 n>1 时，n2－1，2n，
(30°，60°，45°)的和的形式； (2)用旋转法将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°到△CP′A 的位置．
解：如图，将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°得△CP′A，则 P′C ＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接 PP′. 因为∠PCP′＝90°，所以 PP′2＝22＋22＝8. 又因为 P′A＝1，PA＝3， 所以 PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9. 所以 PP′2＋P′A2＝PA2. 所以∠AP′P＝90°. 易知∠CP′P＝45°， 所以∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.
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D
A
B
图
CD
13
C
5
4
12
A 3B
图
解：在△ABD中， A B 2 A D 2 3 2 4 2 2 5 5 2 B D 2 ,
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，B D 2 B C 2 5 2 1 2 2 1 6 9 1 3 2 C D 2 ,
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中 的很多问题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际 问题呢？你能举举例吗？
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需 要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定 理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
讲授新课
一 勾股定理的逆定理的应用
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”
理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常
配套使用.
【变式题1】 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知
AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形
ABCD 的面积.
西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号
艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向
我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇
注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，
AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑
船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定 可得△ABC是直角三角形，然后
Q
即6×8=10BD，解得BD= 2 4 .
在Rt△BCD中，C D B C 2 5 B D 282 2 5 4 26.4(海 里 ).
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入
我领海.
例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各 边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?
勾股定理
勾股定理的逆定理
Rt△ABC,∠C是直角
a2+b2=c2
(a,b为较短边，c为最长边）
a2+b2=c2 (a,b为直角边，c斜边）
Rt△ABC，且∠C是直角.
快速填一填： (1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形
为直角 三角形， ∠A 是最大角.
(2)等腰△ ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC 边上的高是 8 cm.
N Q
R 21
P
E
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
归纳 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体 到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数
学知识求解.
【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以
因此，这个零件符合要求.
D
13
C
5
4
12
A 3B 图
练一练
1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正 东方向，C在B地的什么方向？
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，C
AC2 =132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
5cm
即△ABC是直角三角形， B ∠B=90°.
答：C在B地的正北方向．
13cm
A 12cm
2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准 应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC ＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识 帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2， ∴∠ABC≠90°， ∴该农民挖的不合格．
问题是什么？
N
30
Q
“远航”号的航向、两艘船 的一个半小时后的航程及 距离已知，如图.
12×R1.5=182 116×1.5=24 实质是要求出两艘船航
P
E 向所成角.
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要 求角，由此你联想到了什么？
勾股定理逆定理
解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里.
P B
北 东
利用勾股定理的逆定理及直角 三角形的面积公式可求PD，然 C
DA
后再利用勾股定理便可求CD.
Q
解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形.
P B
北 东
设PQ与AC相交于点D，根据三 C
DA
角形面积公式有
1 2
1
BC·AB= 2
AC·BD，
二 勾股定理及其逆定理的综合应用 例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾 股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判 断△ACD是直角三角形.
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
12
B
3
D
A
13
解：连接AC.
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点） 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问
题.（难点）
导入新课
回顾与思考
问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理 的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行
12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，
且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知
道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
Q
R
21
P
E
问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的
在Rt△ABC中，
C
A C A B 2 B C 23 2 4 2 5 , 4
12
在△ACD中，
B
AC2+CD2=52+122=169=AD2，3
D
∴△ACD是直角三角形，
A
13
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
归纳 四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形 问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定